Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 20 M. Arias Capítulo 2: Relaciones y Funciones Relación Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre elementos de dos conjuntos o de un mismo conjunto. Ejemplos: Reglas de correspondencias: “hermano de”; “madre de”; “la abscisa de un punto es el doble de la ordenada”; “Área de un terreno circular”, “área foliar de las hojas con relación del área de dimensión largo por ancho de las hojas”, “número de bacterias en el tiempo”… Gráficas que representan relaciones: Función Definición: Una función f de un conjunto 𝐴 a un conjunto 𝐵 es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto 𝐴 exactamente un elemento, llamado imagen )(xfy = , de un conjunto 𝐵. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 si a cada 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde una y solo una imagen 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 "𝒙" recibe el nombre de variable independiente o argumento de f "𝒚" variable dependiente o imagen de la variable independiente. Dominio Definición: El dominio de una función es el conjunto formado por los valores de la variable independiente que están relacionados. Simbólicamente: Sea 𝑓: 𝐴→𝐵 entonces )(/ xfyAxD f == Ejemplo: Enunciado: “El perímetro de un cuadrado” Algebraicamente se expresa: llP 4)( = Capítulo 2 21 M. Arias l es la longitud de cada lado del cuadrado, entonces es un número real positivo o igual a cero. De modo que: 0/ = lRlDP o bien se puede expresar )= ,0PD Imagen Definición: El rango o imagen de una función es el conjunto cuyos elementos son las imágenes de la variable independiente. Simbólicamente: 𝐼𝑓 = {𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵/𝑥 ∈ 𝐷𝑓} En el ejemplo anterior los elementos del conjunto imagen son el valor del perímetro de los posibles cuadrados, entonces: 𝐼𝑃 = {𝑃 ∈ 𝑅/𝑃 ≥ 0} Función de variables real Definición: Una función f , de un conjunto RA a un conjunto RB , es una regla que asigna a cada elemento Ax exactamente un elemento, llamado imagen Bxfy = )( . Simbólicamente: RBRAf →: Representaciones semióticas del concepto de función El concepto de función puede estar representado mediante: Un enunciado Ejemplos: "La producción de tomate depende de la cantidad de fertilizante que se suministre a la plantación" "El área foliar de las hojas depende del área del rectángulo de lados, largo y ancho de la misma" Una expresión algebraica 32 2 4 3 xxxy −+= 3 2 )( − = x x xf Una gráfica Datos de Estación Meteorológica Parque Bicentenario Salta- 22/11/19-23/11/19 Una tabla Ejemplo: En Meteorología las variaciones del alcance visual reciben el nombre de visibilidad horizontal, que se define como la distancia máxima a la que un observador puede distinguir claramente algunos jalones de referencia en el horizonte. La tabla muestra esa relación: DISTANCIA (metros) 50 200 500 1.000 2.000 4.000 10.000 20.000 50.000 TAMAÑO DEL OBJETO (metros) 0.05 0.20 0.50 1 2 4 10 20 50 Consulta en www.rumtor.com http://www.rumtor.com/ Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 22 M. Arias Reconocimiento de funciones Desde una gráfica Para determinar si una gráfica representa una función al recorrer el dominio de la relación con una recta paralela al eje de las ordenadas (recta vertical) la misma debe cortar en un sólo punto a la gráfica. Es decir: “a cada elemento “𝑥”del dominio le corresponde uno y solo un valor de 𝑦 = 𝑓(𝑥)”. Ejemplos: a) b) En la gráfica del inciso a): Dominio: ( )−−= ,02,D Al recorrer el dominio, la recta vertical corta a la gráfica en un solo punto. La gráfica representa una función: a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen. En la gráfica del inciso b): Dominio: 5.32/ −= xRxD Al recorrer el dominio se observa que una recta, corta a la gráfica en más de un punto. Ejemplo: el elemento x1 del dominio tiene dos imágenes; y1 e y2 (ver gráfica). Por lo tanto: No representa una función. Desde una tabla Los pares de valores de una tabla pertenecen a una función, si No se repiten los valores de la variable independiente. Ello indica que cada elemento del dominio tiene una sola imagen. Ejemplo: Tabla1 DISTANCIA (metros) 50 200 500 1.000 2.000 4.000 10.000 20.000 50.000 TAMAÑO DEL OBJETO (metros) 0.05 0.20 0.50 1 2 4 10 20 50 Tabla2 Edad (años) 5 10 20 12 35 20 Estatura (metros) 0. 5 1.2 1.67 1.2 1.78 1.8 Desde una fórmula Para identificar si una fórmula corresponde a una función es necesario analizar si a cada valor de la variable dependiente le corresponde un único valor como imagen. Ejemplo: La expresión: 1 2 1 3 −= xy ; tiene como dominio: RD = Rx existe un único valor como imagen. La relación entre los elementos de la Tabla1 representa una función, depende de la distancia para poder observar un objeto de determinado tamaño. La Tabla2 NO representa una función al elemento 20 le corresponden dos imágenes (dos personas de la misma edad con distinta estatura) Capítulo 2 23 M. Arias La expresión: xy =2 NO es función. Su domino es el conjunto 𝐷 = [0, ∞) , y como ejemplo: a 𝑥 = 1 le corresponden dos valores de 𝑦 = ±1 , es decir, tiene dos imágenes. Funciones polinómicas Una función polinómica tiene la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑛 ≠ 0 𝑛 ∈ 𝑁 Su dominio es el conjunto de los números reales: 𝐷𝑓 = 𝑅. Se cumple que Rx , existe un único valor 𝑦 = 𝑓(𝑥) como imagen de 𝑥. Ejemplo: 𝑦 = 1 2 𝑥3 − 1 es una función polinómica de grado 3; siendo su dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅. Función racional Una función racional se define como un cociente de polinomios. Simbólicamente: 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) con 𝑃 y 𝑄 polinomios y 𝑄(𝑥) ≠ 0 El dominio de una función racional tiene como elementos a todos los valores de 𝑥 que hacen que exista la fracción (denominador distinto de cero). Entonces: 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑄(𝑥) ≠ 0} Ejemplo 1: ¿Cuál es el dominio de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑥−3 ? Para determinar el dominio de la función 𝑓, la condición es: "denominador distinto de cero" Es decir: 030 − xentoncesden Sumando en ambos miembros 3: 3033 ++−x 3x El dominio es: 3−= RD o bien, se escribe 3/ = xRxD También, se puede escribir en notación de intervalo: ( ) ( )−= ,33,D Ejemplo 2: Muestre que el dominio de 𝑔(𝑥) = 𝑥−1 𝑥2+4 son todos los números reales. Por condición 𝑥2 + 4 ≠ 0, en este caso ∀𝑥 ∈ 𝑅 el denominador es distinto de cero entonces, el dominio es: 𝐷𝑔 = 𝑅 Función irracional Se definirá a una función irracional como: 𝑓(𝑥) = √𝑃(𝑥) 𝑛 siendo 𝑃(𝑥) un polinomio. Es preciso distinguir dos casos: raíz de índice par o raíz de índice impar. Expresiones con raíces de índice par Para que exista una raíz con índice par el "radicando es mayor o igual a cero" Entonces el dominio es: 0)(/ = xPRxD Ejemplo: Determinar el domino de ℎ(𝑥) = √2𝑥 − 4 Por condición: 𝑟𝑎𝑑 ≥ 0 2𝑥 − 4 ≥ 0 Resolver la inecuación (despejar 𝑥) Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 24 M. Arias Sumando en ambos miembros 4 resulta: 2𝑥 − 4 + 4 ≥ 0 + 4 entonces 2𝑥 ≥ 4 Multiplicando por el inverso de 2: 1 2 (2𝑥) ≥ 1 2 ∙ 4 resulta, 𝑥 ≥ 2 El dominio es: 𝐷ℎ = [2, ∞) Expresiones con raíces de índice impar Una raíz de índice impar existe para cualquier número real, implica que no hay condiciones para el radicando, el dominio son todos los números reales. Ejemplo: 3 2 xxy −= , dominio RD = Otros casos de funciones con raíces y fracciones Es frecuente encontrar expresiones con raíces y fracciones, en esos casos es preciso tener en cuenta, la condición de existencia de una fracción (denominador ≠0) y la condición para que exista una raíz de índice par (radicando ≥ 0), para luego realizar las interseccionesde los conjuntos correspondientes. Ejemplo: xx x xf − + + = 5 21 )( 3 1er término 2do término La raíz del primer término tiene índice impar y el radicando es un cociente de polinomios ello implica que para que exista la fracción del radicando el denominador debe ser distinto de cero. En el segundo término, está presente una fracción cuyo denominador es una raíz de índice par, entonces surge una condición: radicando mayor que cero ya que no puede ser cero por estar en el denominador. Las condiciones a tener presente son: 𝑑𝑒𝑛 ≠ 0 para la fracción del radicando del primer término y 𝑟𝑎𝑑 > 0 para la raíz de índice par que se encuentra en el denominador. 𝑥 ≠ 0 5 − 𝑥 > 0 𝑥 ≠ 0 5 − 𝑥 − 𝟓 > 0 − 𝟓 𝑥 ≠ 0 −𝑥 > −5 𝑥 ≠ 0 (−1). (−𝑥) < (−1). (−5) 𝑥 ≠ 0 𝑥 < 5 El dominio es: ( ) ( )5,00, −=D Intersecciones de las gráficas con los ejes cartesianos Ceros o raíces de una función Los ceros o raíces de una función )(xfy = son los valores de la variable independiente 𝑥 para los cuales la función es nula. Para determinar esos valores se resuelve la ecuación 0)( =xf Ejemplo: 23 42)( xxxf += Haciendo 0)( =xf resulta, 042 23 =+ xx Resolviendo la ecuación: 0)2(2 2 =+xx Capítulo 2 25 M. Arias Aplicando propiedad, los valores que verifican la igualdad son: 2;0 −== xx Los puntos son: 𝐴(0,0) y 𝐵(−2,0) Valor de la función para 𝒙 = 𝟎 El valor de una función )(xfy = en 𝑥 = 0 es único, se obtiene resolviendo )0(fy = . Ejemplo: 23)( 2 +−= xxxf 22)0(302 =+−= yy El punto es: )2,0(P Comportamientos de una función Intervalos de monotonía, en ellos la función es creciente, decrece o permanece constante. La gráfica representa a una función f definida en un intervalo cerrado ⌈𝑎, 𝑏⌉ Observe que: En el intervalo [𝑎, 𝑐1] la función es decreciente (los valores de 𝑓 disminuyen a medida que los valores de 𝑥 aumentan). En el intervalo [𝑐1, 𝑐2 ] la función es constante (los valores de 𝑓 no varían en ese intervalo). En el intervalo [ 𝑐2, 𝑏] la función es creciente (los valores de 𝑓 aumentan a medida que los valores de 𝑥 aumentan). Definición: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida en el intervalo baI ,= 1. Si Ixx 21 es )()( 21 xfxf , la función es creciente en .I 2. Si Ixx 21 es )()( 21 xfxf , la función es decreciente en .I 3. Si Ixx 21 es )()( 21 xfxf = , la función es constante en .I Gráficamente: ∀𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼 es 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 𝑓 crece en 𝐼 ∀𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼 es 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 𝑓 decrece en 𝐼 ∀𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼 es 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 𝑓 es constante en 𝐼 Gráficamente: 𝑦 = 2 es el valor donde la gráfica de la función interseca al eje de las ordenadas (ordenada al origen) Gráficamente son los valores donde la gráfica de la función interseca al eje de las abscisas Matemática para Agronomía, Recursos Naturales y Biología 26 M. Arias Autoevaluación Actividades de revisión e integración Defina función, dominio e imagen. Proporcione ejemplos. Explicite los métodos que utilizaría para reconocer si una gráfica, una fórmula, los valores de una tabla o un enunciado representa a una función. Proporcione ejemplos que ilustren cada situación. Realice un cuadro con los distintos tipos de funciones algebraicas (ej. Polinómicas, racionales…). ¿Cuáles son las condiciones para determinar el dominio de cada una de las funciones que mencionó? Ejemplifique. Proporcione un ejemplo de una función racional cuyo dominio sea el conjunto de los números reales. ¿Es posible que una función irracional de índice par tenga como dominio al conjunto de los números reales? Fundamente su respuesta. Analice todas las posibilidades para determinar el dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑃(𝑥) 𝑛 𝑄(𝑥) ; 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son expresiones polinómicas. Escriba el dominio que corresponda en cada caso. ¿Cómo determina los intercepto de la gráfica de una función con los ejes coordenados? ¿En cuántos valores del eje de las abscisas puede cortar la gráfica de una función? y ¿al eje de las ordenadas? Defina función creciente y decreciente en un intervalo. Ejemplifique. Proporcione ejemplos de una función: a) creciente ∀𝑥 ∈ 𝑅; b) decreciente ∀𝑥 ∈ 𝑅; c) constante ∀𝑥 ∈ 𝑅. Analice si las afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Los ceros de una función son los números donde la gráfica interseca al eje de las abscisas. b) La gráfica de una función polinómica siempre interseca al eje de las abscisas. c) El dominio de una función racional depende de los ceros del polinomio denominador. Ejercitación Determine el dominio y las intersecciones con los ejes coordenados, si corresponde, de las funciones: a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − √ 1 2𝑥 3 ; b) 𝑔(𝑥) = 1−𝑥 3𝑥−4 + 1 ; c) ℎ(𝑥) = √9 − 𝑥 − √𝑥 + 1 Analice el comportamiento de la función 𝑓(𝑥) = { 2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −1 1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 3 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2 en su dominio. Considere las relaciones representadas por las gráficas y las tablas: a) Justificando mediante métodos correspondientes, determine si representan funciones. b) Si las gráficas o tablas representan funciones: exprese dominio, imagen, estime intersecciones con los ejes coordenados y estudie el comportamiento de las mismas. Capítulo 2 27 M. Arias i) ii) iii) iv) v) vi) vii)
Compartir