S03 s1 - Teoría y práctica

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3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante calcula e interpreta las medidas de tendencia central para
datos no agrupados y agrupados.
3.1 Medidas de tendencia central
Son valores representativos que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos. Las medidas de tendencia
central más comunes son:
La media aritmética
La mediana
La moda
3.1.1. La media aritmética o media
(
x
)
La media aritmética es un valor central que resume al conjunto de datos.
Calculo de la media para datos no agrupados
Sea x1, x2, · · · , xn un conjunto de n observaciones de la variable X , la media aritmética es definida como:
x =
n∑
i=1
xi
n
La función PROMEDIO( ) de Excel puede utilizarse para calcular la media.
Ejemplo 3.1
Millones de personas trabajan para sus empresas desde sus hogares. A continuación se presenta una mues-
tra de datos que dan las edades de estas personas que trabajan desde sus hogares. 18, 54, 20, 46, 26, 48, 53,
27, 26, 37. Calcule e interprete la media.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Cálculo de la media para datos agrupados
Sea x1, x2, · · · , xn un conjunto de n observaciones de la variable X con sus respectivas frecuencias absolutas
f1, f2, · · · , fk . La media aritmética está definida de la siguiente forma:
Para una variable cuantitativa discreta:
x =
k∑
i=1
xi fi
n
donde xi es el valor observado.
Para una variable cuantitativa continua:
x =
k∑
i=1
xi fi
n
donde xi es la marca de clase.
Ejemplo 3.2
Un fabricante de radios portátiles obtuvo una muestra de 50 radios de la producción de una sema-
na. Las radios se examinaron minuciosamente y el número de defectos encontrados fue el siguiente:
Número de defectos Número de radios
0 12
1 15
2 17
3 6
Total
Calcule e interprete la media
Ejemplo 3.3
La siguiente distribución de frecuencias representa la duración de llamadas telefónicas efectuadas por 180
personas durante el fin de semana en el que se celebraba el Día del Trabajo.
Duración de la llamada (minutos) Número de personas
[1,8[ 36
[8,15[ 42
[15,22[ 48
[22,29[ 24
[29,36[ 18
[36,43[ 12
Total
Calcule la duración media de dichas llamadas.
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ESTADÍSTICA APLICADA PARA LOS NEGOCIOS
3.1.2. La mediana (Me)
Es la medida de tendencia central que se localiza en el centro de un conjunto de datos ordenados (en forma
creciente o decreciente). La mediana divide en dos partes iguales al conjunto de datos..
Calculo de la mediana para datos no agrupados
Los datos xi se ordenan en forma creciente o decreciente, luego de acuerdo al tamaño de la muestra n
tenemos los siguientes casos:
Si n es impar, Me = x n+1
2
Si n es par, Me =
x n
2
+x n
2 +1
2
La función MEDIANA( ) de Excel puede utilizarse para calcular la mediana de un conjunto de datos.
Ejemplo 3.4
Millones de personas trabajan para sus empresas desde sus hogares. A continuación se presenta una mues-
tra de datos que dan las edades de estas personas que trabajan desde sus hogares. 18, 54, 20, 46, 26, 48, 53,
27, 26, 37.
Calcule e interprete la mediana.
Cálculo de la mediana para datos agrupados
1. Caso de una variable cuantitativa discreta: Si todos los valores de una variable discreta se agrupan
en una distribución de frecuencias, obteniendo en la primera columna x1, x2, · · · , xk valores distintos.
Primero se calcula n2 de tal modo que se cumple: Fi−1 ≤ n2 < Fi . Luego,
Si n2 coincide con algún Fi−1 entonces la mediana es:
Me = xi +xi−1
2
Si Fi−1 ≤ n2 < Fi entonces la mediana es:
Me = xi
2. Caso de una variable cuantitativa continua: Si los datos se agrupan en una distribución de frecuen-
cias por intervalos, la mediana se calcula de la siguiente manera:
Se determina el intervalo que contiene a la mediana con:
Fi−1 ≤ n
2
< Fi
Luego se aplica la formula:
Me = Li n f +C
[ n
2 −Fi−1
fi
]
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
donde:
Li n f : Es el límite inferior del intervalo que contiene a la mediana.
Fi−1: Es la frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo que contiene a la mediana.
fi : Es la frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana.
n: Es el número de datos observados.
C : Es la amplitud del intervalo que contiene a la mediana.
Ejemplo 3.5
Un fabricante de radios portátiles obtuvo una muestra de 50 radios de la producción de una sema-
na. Las radios se examinaron minuciosamente y el número de defectos encontrados fue el siguiente:
Número de defectos Número de radios
0 12
1 15
2 17
3 6
Total
Calcule e interprete la mediana
Ejemplo 3.6
La siguiente distribución de frecuencias representa la duración de llamadas telefónicas efectuadas por 180
personas durante el fin de semana en el que se celebraba el Día del Trabajo.
Duración de la llamada (minutos) Número de personas
[1,8[ 36
[8,15[ 42
[15,22[ 48
[22,29[ 24
[29,36[ 18
[36,43[ 12
Total
Calcule e interprete la mediana.
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ESTADÍSTICA APLICADA PARA LOS NEGOCIOS
3.2 La moda (Mo)
Es el valor que más se repite o aquel que tiene la mayor frecuencia. La moda no siempre existe o es única.
Calculo de la moda para datos no agrupados
Se ubica los valores que más se repiten.
Ejemplo 3.7
Se tiene los salarios mensuales en dólares de los trabajadores de tres empresas. Determinar e interpretar la
moda de los sueldos de las tres empresas.
a. Empresa A: 800, 700, 800, 900, 600, 800, 850.
b. Empresa B: 800, 700, 800, 900, 600, 700, 750.
c. Empresa C: 800, 700, 750, 900, 600, 850, 650.
Calculo de la moda para datos agrupados
1. Caso de una variable cuantitativa discreta: Si todos los valores de una variable cuantitativa discreta
se agrupan en una distribución de frecuencias, la moda es aquel valor que tiene la mayor frecuencia
absoluta.
2. Caso de una variable cuantitativa continua: Si los datos se agrupan en una distribución de frecuen-
cias por intervalos, la moda se calcula de la siguiente manera:
Se determina el intervalo donde se encuentra la moda (intervalo modal), es aquella que tiene
mayor frecuencia absoluta.
Luego se aplica la formula:
Mo = Li n f +C
[
d1
d1 +d2
]
donde:
d1 = fi − fi−1
d2 = fi − fi+1
Li n f : Es el limite inferior del intervalo modal.
fi : Es la frecuencia absoluta del intervalo modal.
fi−1: Es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal.
fi+1: Es la frecuencia absoluta del intervalo posterior al intervalo modal.
C : Es la amplitud del intervalo modal.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Ejemplo 3.8
Un fabricante de radios portátiles obtuvo una muestra de 50 radios de la producción de una sema-
na. Las radios se examinaron minuciosamente y el número de defectos encontrados fue el siguiente:
Número de defectos Número de radios
0 12
1 15
2 17
3 6
Total
Calcule e interprete la moda
Ejemplo 3.9
La siguiente distribución de frecuencias representa la duración de llamadas telefónicas efectuadas por 180
personas durante el fin de semana en el que se celebraba el Día del Trabajo.
Duración de la llamada (minutos) Número de personas
[1,8[ 36
[8,15[ 42
[15,22[ 48
[22,29[ 24
[29,36[ 18
[36,43[ 12
Total
Calcule e interprete la moda.
Ejemplo 3.10
En el siguiente histograma:
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ESTADÍSTICA APLICADA PARA LOS NEGOCIOS
a. Indique la variable y el tipo de variable.
b. ¿Cuál es el sueldo más frecuente?
c. ¿Cuál es el sueldo medio de los empleados de la empresa?
d. ¿Cual es el sueldo mínimo del 50% de los empleados que ganan más?
e. ¿Cuál de las medidas de tendencia central usaría para representar estos datos? Justifique su respuesta.
Ejemplo 3.11
De la base de datos en Excel “Datos Inmuebles”, se desea conocer el tipo de inmueble que se ha vendido
con mayor frecuencia.
a. Indique la variable y le tipo de variable?
b. ¿Cuál es tipo de inmueble que se ha vendido con mayor frecuencia?
c. ¿Cómo se llama la medida estadística utilizada para para responder la pregunta anterior?
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Ejemplo 3.12
De las propiedades que vende la compañía inmobiliaria “Todo se vende” analice el área de los inmuebles.
a. Indique la variable y el tipo de variable.
b. ¿Por debajo de que área se encuentran el 50% de los inmuebles con menor superficie?
c. ¿Cuál es la medida estadística utilizada para responde la pregunta anterior? ¿Por qué?
d. ¿Cuánto es el valor de la media? Describa el resultado según el contexto.
e. Si le dieran a escoger entre la media o moda, ¿cuál de estas dos medidas de tendencia central escogería
para representar a los datos?
EJERCICIOS ADICIONALES
Utilizando Microsoft Excel o de forma manual, resuelva los siguientes ejercicios.
1. El gerente de producción de una imprenta desea determinar el tiempo promedio necesario para fotografiar
una placa de impresión. Utilizando un cronómetro y observando a los operadores, registra los siguientes
tiempos (en segundos):
20.4 20.0 22.2 23.8 21.3 25.1 21.2 22.9 28.2 24.3
22.0 24.7 25.7 24.9 22.7 24.4 24.3 23.6 23.2 21.0
Un tiempo promedio por placa menor a los 23 segundos indica una productividad satisfactoria. ¿Debe estar
preocupado el gerente de producción?
2. En el distrito de Cerro Colorado, ante la pregunta del número de veces que un estudiante dio un examen de
admisión a una universidad, una muestra de 20 estudiantes marcó las siguientes respuestas:
3 1 2 4 1 3 2 3 2 4
1 2 1 2 2 1 2 4 3 2
Calcule e interprete las medidas de tendencia central.
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ESTADÍSTICA APLICADA PARA LOS NEGOCIOS
3. En la siguiente tabla se presenta la distribución de salarios en miles de soles de una muestra de 50 trabaja-
dores de una Universidad del mes de marzo del presente año.
Salario Número de trabajadores
[2;4[ 8
[4;6[ 18
[6;8[ 12
[8;10[ 7
[10;12[ 5
Total
a. Indique la variable y le tipo de variable.
b. ¿Cuál es el salario más frecuente?
c. ¿Cuál es el salario promedio de los trabajadores de la universidad?
d. ¿Cual es el salario mínimo del 50% de los trabajadores que ganan más?
4. Una empresa de transportes de Lima Metropolitana conocido como la línea 40 que recientemente brinda
servicio en altas horas de la noche de (11 pm a 3 am) desea medir la satisfacción de sus pasajeros a dicha
hora, por ello encuesta a una muestra de 31 usuarios y se les pregunta sobre el tiempo que esperan en el
paradero hasta que llegue un autobús de la línea 40. Los resultados se muestran a continuación.
Tiempo [0,10[ [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[
fi 3 6 7 12 3
a. Indique la variable y le tipo de variable.
b. Se sabe además que la gerencia de la Línea 40 ha establecido que un tiempo de espera en promedio de
más 28 minutos se considera un mal indicador para la empresa y se sancionará a todos los conducto-
res. ¿Se sancionará a los conductores? Justifique su respuesta.
c. ¿Cuál es el tiempo más frecuente de espera?
d. ¿A partir de que minuto se encuentra el 50% de los usuarios con mayores tiempos de espera a los buses
de la línea 40?
TAREA DOMICILIARIA
1. El promedio mínimo para aprobar una asignatura es 12. Si un estudiante obtiene las siguientes notas 13;5;
14; 19;5; 12; 9; 8; 11; 5; 12 en los trabajos mensuales de la asignatura en cuestión. ¿El estudiante fue aproba-
do? Justifique su respuesta. (Antes de responder debe indicar la variable)
2. Una empresa que se dedica a preparar dietas proyecta lanzar al mercado una dieta rigurosa. Los empleados
de la compañía se presentaron como voluntarios para dicha dieta. Se realizó un muestreo de 45 emplea-
dos elegidos aleatoriamente. Los resultados del chequeo de los pesos (en kg.) se muestran en el siguiente
histograma:
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
¿Cuál es el peso más frecuente de los empleados? (Antes de responder debe indicar la variable)
3. Millones de estadounidenses trabajan para sus empresas desde sus hogares. A continuación se presenta una
muestra de datos que dan las edades de estas personas que trabajan desde sus hogares.
18, 20, 46, 25, 48, 40, 36, 25, 27, 33, 28.
Por estudios anteriores se sabe que la edad mediana de la población de todos los adultos es 36 años. Calcule
la edad mediana de la muestra para decir si las personas que trabajan desde sus hogares tienden a ser más
jóvenes o más viejos que la población de todos los adultos. (Antes debe indicar la variable)
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	MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
	Medidas de tendencia central
	La media aritmética o media (1.5mu-1.5mux-1.5mu1.5mu)
	La mediana (Me)
	La moda (Mo)