Matemáticas Simplificadas 32

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CAPÍTULO 7
 ARITMÉTICA • Notación científi ca y logaritmos
127
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Otras aplicaciones de las propiedades de los logaritmos se ilustran en los siguientes ejemplos:
5 Si log 5 = 0.6989 y log 7 = 0.8450, encontrar el valor de log 35.
Solución
Se expresa 35 como: 35 = (5)(7)
Se aplica la propiedad de los logaritmos y se obtiene el resultado:
 log 35 = log (5)(7)
 = log 5 + log 7
 = 0.6989 + 0.8450 = 1.5439
Por consiguiente, el resultado es 1.5439
6 ¿Cuál es el resultado de log 12, si log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771?
Solución
Se expresa 12 como:
 12 = 2 32 ⋅
Al aplicar las propiedades de los logaritmos y efectuar las operaciones se obtiene:
 log 12 = log 2 32 ⋅
 = log 22 + log 3
 = 2log 2 + log 3
 = 2(0.3010) + 0.4771
 = 0.6020 + 0.4771
 = 1.0791
Por consiguiente, log 12 = 1.0791
7 Halla el resultado de log 2 5. si log 2 = 0.3010 y log 5 = 0.6989.
Solución
Se expresa el logaritmo del número de la siguiente manera:
 log 2 5. = log 5
2
1
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Se aplican las propiedades correspondientes y se obtiene el resultado.
 = −( )1
2
log 5 log 2
 = −( )1
2
0 6989 0 3010. .
 = ( )1
2
0 3979.
 = 0 19895.
El resultado del logaritmo es 0.19895
 7 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
128
EJERCICIO 75
Utiliza las propiedades y las tablas de los logaritmos que se encuentran al fi nal del libro, para obtener el valor aproximado 
de las siguientes operaciones:
 1. 9985
 2. 874 23 .
 3. 28930004
 4. 42 87.
 5. 511903
 6. 0 063494 .
 7. 0 063493 .
 8. 6 248.
 9. 0 42853 .
 10. (9.45)(0.536)(0.714)
 11. ( − 88.5)(0.1123)(10.5)
 12. 
−382 1
543
.
 13. 
286 5 4 714
67 84
. .
.
( )( )
−
 14. 
143
5 13 7 62−( )( ). .
 15. 5964
 16. (3.271)5
 17. 
53 21
8 164
3
.
.
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 18. 375 83 93 × .
 19. 4 0964
 20. 
9604
3 5
3
.
 21. 
675 3 151
65 34
( )( )
( )
.
.
 22. 
34 52 1
543
2
3
( ) × .
 23. 
6 53 81 51
80153
2
. .( )( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Si log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 5 = 0.6989 y log 7 = 0.8450, calcula los siguientes logaritmos:
 24. log 14
 25. log 15
 26. log 30
 27. log 42
 28. log 105
 29. log 20
 30. log 36
 31. log 150
 32. log 294
 33. log 343
 34. log 7.5
 35. log 4.2
 36. log 286
 37. log 3503
 38. log 11 25 .
 39. log 52 5.
 40. log 
14
15
3
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Cambios de base
Si se conoce el logaritmo base b de un número, se puede hallar el logaritmo en otra base a con la fórmula:
log
 log 
 log b
a
a
N
N
b
=
Demostración:
Sea logb N = x, entonces mediante la defi nición, se obtiene:
N = bx
Al aplicar logaritmo base a, en ambos miembros de la igualdad:
loga N = loga b
x
por la propiedad 3,
loga N = x loga b
al dividir ambos miembros por loga b,
x
N
b
a
a
= log 
 log 
 
Se obtiene:
log
 log 
 log b
a
a
N
N
b
=
 CAPÍTULO 7
 ARITMÉTICA • Notación científi ca y logaritmos
129
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
1 Expresa utilizando logaritmos en base 4, log2 32.
Solución
Del logaritmo se tiene que:
N = 32, b = 2, a = 4
Al sustituir en la fórmula se obtiene:
log2 32 = 
 log 
 log 
4
4
32
2
2 Halla el valor de log7 343, transformando a base 10.
Solución
De la expresión log7 343 se tiene que:
b = 7, N = 343 y a = 10
Al sustituir en la fórmula,
log7 343 = 
 log 343 
 log 7 
 2.5353 
 0.8451 
3= =
Finalmente, log7 343 = 3
3 Encuentra el log8 326.
Solución
Se realiza el cambio a base 10,
log8 326 = 
log 
log 8
326
 = 2 5132
0 9031
.
.
 = 2.7828
Finalmente, log8 326 = 2.7828
4 Encuentra el valor de: log2 354.1.
Solución
Se aplica un cambio a base 10,
log
log 354.1
log 2
2.5491
0.3010
8.4682 354 1. = = = 77
Por tanto, log2 354.1 = 8.4687
5 Encuentra el valor de: log3 2 526.
Solución
Se aplica un cambio a base 10,
log
log 2526
log 3
3.4024
0.4771
7.13143 2526 = = =
Por consiguiente, log3 2 526 = 7.1314
 7 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
130
EJERCICIO 76
Encuentra el valor de los siguientes logaritmos:
 1. log6 31
 2. log9 10.81
 3. log5 3.625
 4. log12 643.3
 5. log8 1.86
 6. log20 124
 7. log13 7.32
 8. log15 21.7
 9. log3 8.642
 10. log2 8 435
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente