Presentaciones Temas Matemática Financiera

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Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
1
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
2
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
3
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
GASTARLO
INVERTIRLO
PRINCIPIO DE PREFERENCIA DE LIQUIDEZ: A igualdad de
cantidad, los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los
disponibles en momentos más lejanos.
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
INTERÉS: Retribución por el aplazamiento en tiempo del consumo
Para que compense el sacrificio del consumo…
INTERÉS: Precio por el alquiler o uso del dinero durante un periodo de
tiempo
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
¿Por qué se exige un interés?
 Por el riesgo que se asume
 Por la falta de disponibilidad del capital
 Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
¿De qué depende la cuantía de los intereses?
 De la cuantía del capital invertido
 Del tiempo que dura la operación
 Del tanto de interés al que se acuerda la operación
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
CAPITAL FINANCIERO: (C; t)
C: Cuantía de Unidades Monetarias
t: Momento del tiempo en el que se
dispone del capital
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2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
❖No se habla de Capitales Iguales
❖Se habla de Capitales Equivalentes
Dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y
C2 con vencimiento t2 son
EQUIVALENTES
cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro
C1 C2
t1 t2
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2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
Para que una operación financiera se realice es 
necesario que los capitales que se dan y que se 
reciben sean EQUIVALENTES
La equivalencia entre capitales la determina 
una LEY FINANCIERA
LEY FINANCIERA: Modelo matemático para
cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o
anticipación de un capital en el tiempo.
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.1. CONCEPTO
OPERACIÓN FINANCIERA: Sustitución de uno
o más capitales por otro u otros equivalentes en
distintos momentos de tiempo, mediante la
aplicación de una ley financiera.
Ejemplo: Concesión de un préstamo por parte de un banco: 
➢Para el cliente: Cobra el importe del préstamo y paga unas
cuotas periódicas.
➢Para el banco: Paga el importe del préstamo y cobra unas
cuotas periódicas.
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La operación financiera implica… 
 Sustitución de capitales
 Equivalencia
 Aplicación de una ley financiera
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.1. CONCEPTO
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
En toda operación financiera intervienen: 
A. Elementos Personales
B. Elementos Temporales
C. Objetivos
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
A. Elementos Personales
Acreedor Deudor
Capital/es prestado/s
Capital/es prestado/s + Intereses
PRESTACIÓN DE LA OPERACIÓN
CONTRAPRESTACIÓN DE LA OPERACIÓN
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
B. Elementos Temporales
Origen de la 
operación 
financiera
Final de la 
operación 
financiera
DURACIÓN DE LA OPERACIÓN
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
C. Objetivos
Cuantía del 
capital de 
partida
Tanto de 
interés
Tiene que haber acuerdo en:
Ley financiera
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.3. CLASES
Operaciones
Financieras
Según
duración
A corto plazo: =< 1 año
A largo plazo: > 1 año
Según
la ley
financiera
Generación 
de intereses
Régimen 
simple:
Los intereses
no generan intereses
Régimen 
compuesto:
Los intereses
sí generan intereses
Sentido de 
la ley 
financiera
Capitalización: Capital presente 
por capital futuro
Actualización: Capital futuro por 
capital presente
Según
número 
capitales
Simples: Un solo capital en prestación y 
contraprestación
Complejas: Más de un capital en prestación y/o 
contraprestación 21
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
RÉDITO (r): Rendimiento generado por un
capital
Se expresa en tanto por cien (%) o en tanto por uno
1
12
C
CC
r


No tiene en cuenta el aspecto temporal
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
TANTO O TIPO DE INTERÉS (i):
Rédito por unidad de tiempo
Se expresa en tanto por cien (%) o en tanto por uno
Sí tiene en cuenta el aspecto temporal
12
1
12
12 tt
C
CC
tt
r
i





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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Primera Parte):
C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=1 año
r? i?
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Primera Parte):
0 1 años
1.000
1.100
%101,0
000.1
000.1100.1
r 


%101,0
01
000.1
000.1100.1
i 



C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=1 año
r? i?
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Segunda Parte):
C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=2 años
r? i?
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Segunda Parte):
0 2 años
1.000
1.100
%101,0
000.1
000.1100.1
r 


%505,0
02
000.1
000.1100.1
i 



C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=2 años
r? i?
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
31
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.1. CONCEPTO
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Las operaciones en régimen de simple se 
caracterizan porque los intereses:
 a medida que se van generando no se 
acumulan,
 y , no generan intereses en los períodos 
subsiguientes (no son productivos).
Para la sustitución entre Capitales se le aplica una
LEY DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE.
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
CAPITAL INICIAL CAPITAL FINAL o MONTANTE
(C0) (Cn)
Al final de la operación:
Cn =C0+ Intereses totales generados
DURACIÓN DE LA OPERACIÓN (n)
TIPO DE INTERÉS (i)
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Suponiendo una operación de tres períodos:
0 1 2 3
Inicio
C0
C1
C2
C3=C0 + Intereses totales
Fin
iCI 01 
iCI 02 
iCI 03 
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Momento 0:
Momento 1:
Momento 2:
Momento 3:
…
0C
)i1(CiCC)iC(CICC 00000101 
   
)i21(C
)ii1(CiCiCCiCiCCIICC
0
00000002102


     
)i31(C)iii1(CiCiCiCC
iCiCiCCIIICC
000000
000032103


40
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
)i31(CC 03 
Momento 0:
Momento 1:
Momento 2:
Momento 3:
…
Momento n:
0C
)i1(CC 01 
)i21(CC 02 
     
)in1(C)iii1(CiCiCiCC
iCiCiCCIIICC
000000
0000n210n




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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE
IMPORTANTE: Esta expresión es aplicable cuando 
el tipo de interés de la operación no varía. En caso 
contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en 
cada período.
IMPORTANTE: Para poder aplicar esta fórmula el 
tipo de interés hay que expresarlo en tanto por uno
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE
IMPORTANTE: n lo que indica es el número de 
veces que se han generado (y acumulado) intereses 
al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha 
de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo 
de interés (no importando cuál sea)
43
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=2.000€
i=8% anual
Capitalización simple
n=4 años
C4?
Ejemplo 1:
44
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=2.000€
i=8% anual
Capitalización simple
n=4 años
C4?
Ejemplo 1:
0 4 años
2.000 C4?
i = 8%
€640.2)08,041(000.2C4 
)in1(CC 0n 
€640.2C4 
45
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=1.000€
i1=5% anual
Capitalización simple
n=3 años
C3?
Ejemplo 2:
i2=6% anual
i3=7% anual
46
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
€180.1706050000.1
07,0000.106,0000.105,0000.1000.1IIICC 32103


)in1(CC 0n 
€180.1C3 
C0=1.000€
i1=5% anual
Capitalización simple
n=3 años
C3?
Ejemplo 2:
i2=6% anual
i3=7% anual Hay que calcular los 
intereses año a año
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
Partiendo de la fórmula fundamental de la 
capitalización simple:
in1
C
C
n
0


Despejamos C0:
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C2=1.500€
i=6% anual
Capitalización simple
n=2 años
C0?
Ejemplo 3:
50
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C2=1.500€
i=6% anual
Capitalización simple
n=2 años
C0?
Ejemplo 3:
0 2 años
C0? 1.500
i = 6%
in1
C
C
n
0


€29,339.1
12,1
500.1
06,021
500.1
C0 


€29,339.1C0 
51
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
52
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Bastará con calcular los intereses de cada período,
que siempre los genera el capital inicial, y sumarlos:
inCI 0n 
)i...ii(C
)iC(...)iC()iC(I...IITotales nteresesI
n210
n02010n21


)i...ii(CTotales nteresesI n210 
ii...ii n21 Si inCTotales nteresesI 0 
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Conocidos los capitales inicial y final,
también se obtendrá por diferencias
entre ambos:
0nn CCI 
54
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=300€
i=7% simple anual
n=4 años
I?
Ejemplo 4:
55
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 4 años
300 C4
i = 7%
I4?
€84I4 
C0=300€
i=7% simple anual
n=4 años
I?
Ejemplo 4: inCI 0n 
Dos formas:
Forma 1:
€84407,0300I4 
56
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 4 años
300 C4
i = 7%
I4?
€84I4 
C0=300€
i=7% simple anual
n=4 años
I?
Ejemplo 4:
Dos formas:
Forma 2:
0nn CCI )in1(CC 0n 
€38428,1300)407,01(300C4 
€84300384I4 
57
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=6.000€
i=1% simple mensual
n=8 meses
I?
Ejemplo 5:
58
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 8 meses
6.000 C8
i = 1%
I8?
€480I8 
inCI 0n 
Dos formas:
Forma 1:
€480801,0000.6I8 
C0=6.000€
i=1% simple mensual
n=8 meses
I?
Ejemplo 5:
59
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
€480I8 
Dos formas:
Forma 2:
0nn CCI )in1(CC 0n 
€480.608,1000.6)801,01(000.6C8 
€480000.6480.6I8 
C0=6.000€
i=1% simple mensual
n=8 meses
I?
Ejemplo 5:
0 8 meses
6.000 C8
i = 1%
I8?
60
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
61
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalización 
simple:
1º Pasamos C0 al primer miembro:
in1
C
C
0
n

2º Dejamos la i sola en el segundo miembro:
3º Despejamos el tipo de interés:
n
1
C
C
i 0
n


in1
C
C
0
n
 in1
C
C
0
n

in1
C
C
0
n

62
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=1.000€
C5=1.500€
Capitalización simple
n=5 años
i?
Ejemplo 6:
63
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 5 años
1.000 1.500
i?
%10i 
C0=1.000€
C5=1.500€
Capitalización simple
n=5 años
i?
Ejemplo 6:
n
1
C
C
i 0
n


%101,0
5
1
000.1
500.1
i 


64
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
65
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalización 
simple:
1º Pasamos C0 al primer miembro:
 in1
C
C
0
n

2º Dejamos la n sola en el segundo miembro:
3º Despejamos la duración:
i
1
C 
C
n 0
n


)in1(CC 0n 
in1
C
C
0
n
 in1
C
C
0
n

in1
C
C
0
n

66
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=2.000€
Cn=2.640€
Capitalización simple
i=4% anual
n?
Ejemplo 7:
67
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 n?
2.000 2.640
i=4%
 años 8n 
C0=2.000€
Cn=2.640€
Capitalización simple
i=4% anual
n?
Ejemplo 7:
i
1
C 
C
n 0
n


años 8
04,0
32,0
04,0
132,1
04,0
1
2.000 
640.2
n 




68
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
69
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2. TANTOS EQUIVALENTES
¿Qué ocurre si el tanto de interés no viene 
expresado en años, sino que lo hace en períodos 
más pequeños?
Es lógico pensar que si cambia la 
frecuencia de cálculo de los 
intereses habrá que cambiar el 
importe del tanto de interés aplicado
2.1. CONCEPTO
70
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2. TANTOS EQUIVALENTES
Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas 
unidades de tiempo, son tantos equivalentes 
cuando aplicados a un mismo capital inicial y 
durante un mismo período de tiempo producen 
el mismo interés o generan el mismo capital 
final o montante.
TANTOS EQUIVALENTES
2.1. CONCEPTO
71
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
72
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia2. TANTOS EQUIVALENTES
Los Tantos Equivalentes 
en Simple son 
PROPORCIONALES:
kii k 
k=Frecuencia de capitalización
número de partes iguales en las que se divide el 
período de referencia (considerando como tal el año)
2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
Ejs.: Si la frecuencia es anual k=1; si es semestral 
k=2; si es trimestral k=4; si es mensual k=12,…
73
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
a. i anual=12%
C3?
Ejemplo 8:
b. i semestral=6%
c. i mensual=1%
2. TANTOS EQUIVALENTES
74
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
a. i anual=12%
C3?
Ejemplo 8:
)in1(CC 0n 
€95236,1700)12,031(700C3 
%12i 
 €952C3 
1k 
2. TANTOS EQUIVALENTES
75
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
b. i semestral=6%
C3?
Ejemplo 8:
)in1(CC 0n 
€95236,1700)12,031(700C3 
 €952C3 
kii k 
12,0206,0i 
%6i2  2k 
2. TANTOS EQUIVALENTES
76
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
c. i mensual=1%
C3?
Ejemplo 8:
)in1(CC 0n 
€95236,1700)12,031(700C3 
 €952C3 
kii k 
12,01201,0i 
%1i12  12k 
2. TANTOS EQUIVALENTES
77
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
78
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El descuento simple es la operación financiera que tiene 
por objeto la sustitución de un capital futuro por otro 
equivalente con vencimiento presente, mediante la 
aplicación de la ley financiera de descuento simple.
Es una operación inversa a la de capitalización.
0 n
CnC0?
3.1. CONCEPTO
3. DESCUENTO SIMPLE
79
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
80
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Los intereses no son productivos, lo que significa que:
 a medida que se generan no se restan del capital 
de partida para producir (y restar) nuevos 
intereses en el futuro y, por tanto,
 los intereses de cualquier período siempre los 
genera el mismo capital, al tanto de interés 
vigente en dicho período.
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
81
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 Punto de partida: Cn
 Para calcular C0 debemos conocer:
➢Duración de la operación: n
➢Tanto aplicado: i o d
0 n
CnC0?
i ó d
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
82
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necesariamente, C0< Cn
0nn CCI Recordemos que:
En definitiva, si trasladar un capital desde el presente 
al futuro implica añadirle intereses, hacer la 
operación inversa, anticipar su vencimiento, 
supondrá la minoración de esa misma carga 
financiera.
nn0 ICC 
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
83
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0 1 2 n-1
Inicio
C0
Cn
Fin
n
Gráficamente: Elementos:
Descuento o RebajaD
Valor Final o NominalnC
Valor Actual, Inicial o Efectivo0C
Tanto de la Operaciónd ó i
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
84
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Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital 
futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se 
denomina descuento (D). Se cumple la siguiente 
expresión:
0n CCD 
Descuento
Disminución de intereses que 
experimenta un capital futuro como 
consecuencia de adelantar su 
vencimiento
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
85
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DESCUENTO
Se calcula como el interés total
de un intervalo de tiempo
(el que se anticipe el capital futuro)
TipoTiempoCapitalD 
inCI 0n 
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
86
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Según cuál sea el capital que se considere para 
el cómputo de los intereses, SE DISTINGUEN 
DOS CLASES DE DESCUENTO:
DESCUENTO RACIONAL
DESCUENTO COMERCIAL
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
87
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
88
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DESCUENTO RACIONAL
DESCUENTO MATEMÁTICO
DESCUENTO LÓGICO
=
=
DESCUENTO PROPIAMENTE DICHO
=
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
89
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El ahorro de intereses se calcula sobre el valor 
EFECTIVO (C0), utilizando el tipo de interés 
(i) vigente en el período.
Intereses
Se calculan sobre el capital 
inicial del período
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
90
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in1
C
C
n
0


A partir de la fórmula de la 
capitalización simple se 
despeja el capital inicial
)in1(CC 0n 
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
91
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Una vez calculado el capital inicial, por 
diferencia entre el capital de partida y 
el inicial obtenido, se obtendrá el 
interés total de la operación (Dr), o 
descuento racional o descuento 
propiamente dicho:
0nr CCD 
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
92
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in1
C
C
n
0


Sustituyendo C0:
Podemos extraer otra expresión del Dr
sustituyendo C0 en la expresión anterior:
0nr CCD 
in1
inC
D
n
r



in1
CinCC
in1
C)in1(C
in1
C
CCCD
nnnnnn
n0nr








3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
93
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
94
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DESCUENTO COMERCIAL
DESCUENTO BANCARIO
=
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
95
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El ahorro de intereses se calcula sobre el valor 
NOMINAL (Cn), utilizando el tipo de interés 
(d) vigente en el período.
Intereses
Se calculan sobre el capital 
final del período
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
96
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En este caso resulta más interesante calcular primero 
el descuento comercial (Dc) y, posteriormente el 
capital inicial (C0):
dnCdC...dCdCD nnnnc 
n veces
Como el descuento es la suma de los intereses 
generados en cada uno de los períodos 
descontados (n), y en cada período tanto el capital 
considerado para calcular los intereses como el 
propio tanto se mantiene constante:
dnCD nc 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
97
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Sustituyendo Dc:
ycn0 DCC 
 dn1CC n0 
dnCD nc 0nc CCD 
Podemos extraer la expresión del C0 por diferencia 
entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):
  dnCCdnCCDCC nnnncn0 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
98
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Ejemplo 9:
N=100€
t=3 añosE?
Tanto anual=10% simple
Dr?
Dc?
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
99
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Dr?
Para calcular Dr tres formas:
0nr CCD 
Forma 1:
€08,23Dr 
in1
C
C
n
0

€92,76
1,031
100
C0 


€08,2392,76100Dr 
€92,76C0 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 1):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dr?
100
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Dr?
Para calcular Dr tres formas:
Forma 2:
€08,23
1,031
1,03100
Dr 



in1
inC
D
n
r



€08,23Dr 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 1):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dr?
101
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Dr?
Forma 3:
€92,76C0 
€08,23Dr 
TipoTiempoCapitalD 
€08,231,0392,76Dr 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 1):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dr?
Para calcular Dr tres formas:
102
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=10%
Dc?
Para calcular E=C0 dos formas:
Forma 1:
€30Dc €70C0 
€301,03100Dc 
dnCD nc 
€7030100C0 
cn0 DCC 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 2):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dc?
103
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=10%
Dc?
Para calcular E=C0 dos formas:
Forma 2:  dn1CC n0 
€70C0 
€70)1,031(100C0 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 2):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dc?
104
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
105
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Si el tipo de interés (i) aplicado en el 
descuento racional coincide en número 
con el tipo de descuento (d) empleado 
para el descuento comercial, aunque el 
tiempo fuese el mismo, el resultado no 
sería igual ya que estamos trabajando 
sobre capitales diferentes para el 
cómputo del cálculo de intereses
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
necesariamente Dc>Dr
106
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VAMOS A BUSCAR UNA RELACIÓN
ENTRE EL TIPO DE INTERÉS (i) Y EL
TIPO DE DESCUENTO (d) para los que el
resultado de la anticipación sea el mismo,
es decir, que los descuentos (Dr y Dc) sean
iguales tanto si aplicamos el descuento
racional a un interés i como si aplicamos un
descuento comercial a un descuento d…
No obstante…
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
107
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Para que esto ocurra:
cr DD 
Dividiendo ambos miembros por (Cn·n)
in1
inC
D
n
r



dnCD nc 
dnC
in1
inC
n
n



d
in1
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
108
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d
in1
i


El tanto de descuento comercial «d» 
equivalente al tanto «i» será:
in1
i
d


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
109
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A partir de esa expresión calculemos «i» en función de «d»:
in1
i
d


 
  i
dn1
d
dn1idindid
iinddiin1d
in1
i
d






dn1
d
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
110
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IMPORTANTE: La relación de equivalencia entre 
tipos de interés y descuento, en régimen de simple, es 
una función temporal, es decir, que un tanto de 
descuento es equivalente a tantos tipos de interés 
como valores tome la duración (n) de la operación y 
al revés (no hay una relación de equivalencia única 
entre un «i» y un «d»)
in1
i
d


dn1
d
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
111
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
d equivalente?
Comprobación?
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
112
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
d?
in1
i
d


%6923,7076923,0
13,0
1,0
1,031
1,0
d 


%6923,7d 
d equivalente?
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
113
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Comprobación?
Descuento Racional:
€92,76
1,031
100
C0 

 0nr CCD 
in1
C
C
n
0


€08,2392,76100Dr 
€08,23Dr €92,76C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
114
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=7,6923%
Comprobación?
Descuento Comercial (Forma 1): dnCD nc 
cn0 DCC €08,23076923,03100Dc 
€92,7608,23100C0 
€08,23Dr €92,76C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
115
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=7,6923%
Comprobación?
Descuento Comercial (Forma 2): dnCD nc 
€08,23076923,03100Dc 
€08,23Dr €92,76C0 
 dn1CC n0 
€92,76)076923,031(100C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
116
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0=76,92€
i=10%
d=7,6923%
Comprobación?
Descuento Racional (i=10%):
€08,23Dr 
€92,76C0 
Descuento Comercial (d=7,6923%):
€08,23Dr 
€92,76C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
117
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
118
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
119
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ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
120
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ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
121
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1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES:
CONCEPTO
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Dos capitales, C1 y C2, que vencen en
los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados
en un mismo momento de tiempo «t», tienen la misma cuantía…
CAPITAL 1; MOMENTO 1 CAPITAL 2; MOMENTO 2
(C1; t 1) (C2; t 2)
Esta definición se cumple cualquiera que sea el número 
de capitales que intervengan en la operación
122
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1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES:
CONCEPTO
CAPITAL 1; MOMENTO 1 CAPITAL 2; MOMENTO 2
(C1; t 1) (C2; t 2)
IMPORTANTE: Dependiendo de en qué momento 
del tiempo se haga la comparación 
el resultado será uno u otro.
… en consecuencia, si doso más capitales se dice que son equivalentes
resultará indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por
ninguno en particular .
123
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
124
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
La sustitución de un(os) capital(es) por otro u 
otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a 
las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si 
financieramente resultan ambas alternativas 
EQUIVALENTES
1º) Se tendrá que elegir una fecha de estudio (época o fecha focal)
2º) Se tendrá que obligar a los capitales tengan la misma cuantía
125
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Acreedor y Deudor deben acordar:
 Momento del tiempo a partir del cual se computan
los vencimientos
 Momento en el cual se realiza la equivalencia
 Tanto de valoración de la operación
 Capitalización o descuento
126
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Casos posibles para sustituir capitales:
 Determinar un CAPITAL COMÚN
 Determinar un VENCIMIENTO COMÚN
 Determinar un VENCIMIENTO MEDIO
127
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
128
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El capital común es la cuantía C de un 
capital único que vence en el momento 
t, conocido, y que sustituye a varios 
capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos 
en t1, t2, … , tn, respectivamente, todos 
ellos conocidos en cuantías y tiempos.
129
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
CAPITAL
COMÚN
(C)
Estudio en el 
Momento 0
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
Estudio en el 
Momento «t»
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
130
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «0» TIPO DE INTERÉS «i»
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
i
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







in1
C
C
n
0


 in1CC 0n 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
Para actualizar:
131
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







Despejando C:
 
 it1
it1
C
it1
it1
C
...
it1
C
it1
C
C
n
1S S
S
n
n
2
2
1
1






















MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i»
132
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
d
 dn1CC n0 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
Para actualizar:
133
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C:
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
     
 
dt1
dt1C
dt1
dt1C...dt1Cdt1C
C
n
1S
ss
nn2211









134
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «t», TIPO DE INTERÉS «i»
in1
C
C
n
0


 in1CC 0n 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
i
     
 
C
itt1
C
...itt1Citt1C
n
n
2211 


Para capitalizar:
Para actualizar:
135
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C:
MOMENTO «t», TIPO DE INTERÉS «i»
     
 
C
itt1
C
...itt1Citt1C
n
n
2211 


     
  itt1
C
...itt1Citt1CC
n
n
2211


136
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «t», TIPO DE DESCUENTO «d»
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
i
         Cdtt1C...itt1Citt1C nn2211 
 dn1CC n0 
 in1CC 0n 
Para capitalizar:
Para actualizar:
137
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C:
MOMENTO «t», TIPO DE DESCUENTO «d»
         Cdtt1C...itt1Citt1C nn2211 
        dtt1C...itt1Citt1CC nn2211 
138
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2 CASOS:
▪ Fecha de estudio 0
▪ Fecha de estudio t=9 meses
Ejemplo 1:
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
C?
t=9 meses
t3=10 meses
i=8% simple anual
139
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
C?
t=9 meses
t3=10 meses
i=8% simple anual
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
0
2.000 4.000 5.000
C?
6 8 109
i
meses
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







140
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
Despejando C y sustituyendo los datos:
   
€53,032.11
06,104528,408.1008,0
12
9
1
08,0
12
10
1
000.5
08,0
12
8
1
000.4
08,0
12
6
1
000.2
it1
it1
C
it1
it1
C
...
it1
C
it1
C
C
n
1S S
S
n
1
2
1
1
1












































 

€53,032.11C 
141
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
C?
t=9 meses
t3=10 meses
i=8% simple anual
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»
0
2.000 4.000 5.000
C?
6 8 109 meses
    
 
C
itt1
C
...itt1Citt1C
n
n
2211 


142
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C y sustituyendo los datos:
€55,033.11C 
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»
     
 
   
 
€55,033.11
08,0
12
910
1
000.5
08,0
12
89
1000.408,0
12
69
1000.2
itt1
C
...itt1Citt1CC
n
n
2211

























143
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
144
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2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El vencimiento común es el momento de 
tiempo t en que vence un capital 
único C, conocido, que sustituye a varios 
capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos 
en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos 
ellos conocidos. Se tiene que cumplir:
n21 C...CCC 
145
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
VENCIMIENTO
COMÚN
(t)
Estudio en el 
Momento 0
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
Estudio en el 
Momento «t»
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
Nota: No desarrollaremos todos y cada uno de los casos, ya que 
se procede de igual forma que en el capital común, salvo que 
ahora la incógnita a despejar es el vencimiento común «t» 146
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i»
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







in1
C
C
n
0


 in1CC 0n 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
Para actualizar:
0
C1 C2 Cn
C
t1 t2 tnt?
i
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
147
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







Despejando t:
  1
it1
C
C
it
it1
C
C
it1it1
it1
C
C
n
1S S
S
n
1S S
S
n
1S S
S
















i
1
it1
C
C
t
n
1S S
S





2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i»
148
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
0
C1 C2 Cn
C
t1 t2 tnt?
d
 dn1CC n0 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
Para actualizar:
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
149
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t:
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
dtCtCdCCdtCCtCdC
dtCCtCdCdtCCtCdC
n
1S
SS
n
1S
S
n
1S
SS
n
1S
S
n
1S
SS
n
1S
S
n
1S
SS
n
1S
S






dC
tCdCC
t
n
1S
SS
n
1S
S





150
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Ejemplo 2:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
t?
C=11.200€
t3=10 meses
i=8% simple anual
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
0
2.000 4.000 5.000
11.200
6 8 10t? meses
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







151
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Ejemplo 2:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t y sustituyendo los datos:
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
años 951133,0
00667,0
07609063,0
08,0
1
08,0
12
10
1
000.5
08,0
12
8
1
000.4
08,0
12
6
1
000.2
200.11
i
1
it1
C
C
t
n
1S S
S














meses 41,1112951133,0t 
Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo 
anterior por 12 meses que tiene un año::
152
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
153
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2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El vencimiento medio es el momento de 
tiempo t en que vence un capital 
único C, conocido, que sustituye a 
varios capitales C1, C2, ... , Cn, con 
vencimientos en t1, t2, ... , tn, 
respectivamente, todos ellos conocidos. 
Se tiene que cumplir:
n21 C...CCC 
154
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
VENCIMIENTO
MEDIO
(t)
Estudio en el 
Momento 0
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
Estudio en el 
Momento «t»
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
Nota: El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que 
varía es la cuantía del capital único que sustituye al conjunto de 
capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma 
aritmética de las cuantías a las que sustituye
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
155
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
0
C1 C2 Cn
C
t1 t2 tnt?
d
 dn1CC n0 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
Para actualizar:
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
156
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t:
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
  dtCCtC...tCtCdC...CC nn2211n21 
 
  dtCtCddtCtC...tCtCd
dtCCtC...tCtCdC
S
n
1S
Snn2211
nn2211




C
tC
t
S
n
1S
S



157
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Ejemplo 3:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
t?
C=11.000€
t3=10 meses
d=8% simple anual
MOMENTO t=0, TIPO DE DESCUENTO «d»
0
2.000 4.000 5.000
11.000
6 8 10t? meses
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
158
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Ejemplo 3:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t y sustituyendolos datos:
meses 55,812712121,0t 
Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo 
anterior por 12 meses que tiene un año::
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
MOMENTO t=0, TIPO DE DESCUENTO «d»
años 712121,0
000.11
12
10
000.5
12
8
000.4
12
6
000.2
C
tC
t
S
n
1S
S







159
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
160
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
161
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 162
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 163
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TÍTULO DE CRÉDITO: Documento que expresa en su
contenido, un derecho literal y autónomo, y que con solo poseer
ese soporte material (el documento) puede ejecutarse, sin
probar los hechos que determinaron su emisión. Son ejemplos
de títulos de crédito, las acciones de sociedades anónimas, los
pagarés y los cheques.
1.1. CONCEPTO DE DESCUENTO DE EFECTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
El descuento bancario es una operación 
financiera que consiste en la presentación de un 
título de crédito en una entidad financiera para 
que ésta anticipe su importe y gestione su cobro.
164
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1.1. CONCEPTO DE DESCUENTO DE EFECTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Tenedor Entidad
Financiera
Nominal-Descuento
165
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 166
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1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS DESCUENTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
TIPOS DE
DESCUENTOS
DESCUENTO
BANCARIO
(Título=Letra de 
Cambio)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(La letra procede de la actividad
comercial habitual del cedente)
❖ DESCUENTO FINANCIERO
(Las letras proceden de un
préstamo concedido al cliente)
DESCUENTO
NO CAMBIARIO
(Título=Letra de 
Cambio)
167
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 168
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NOMINAL: Importe de la Letra de Cambio
1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
EFECTIVO
O LÍQUIDO: Importe anticipado por la Entidad al Cliente
Efectivo (E) Nominal (N)
(D) DescuentoNE 
Gastos OtrosComisionesInteresesD 
0 t
169
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
d
360
t
NIntereses 
1. Intereses:
siendo:
N Nominal del efecto
t Número de días que el banco anticipa el efecto
d Tipo de descuento anual, en tanto por uno



170
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
2. Comisiones, quebranto o daño:
Se escoge la mayor entre: 
➢ Un porcentaje sobre el nominal
➢ Una cantidad fija que se pone como mínimo
3. Otros gastos o suplidos:
Se trata de gastos muy variados que pueden ser: 
➢ Gastos de correo
➢ Timbre
➢ IAJD
171
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 1:
N=3.250€
t=60 días
Comisión=3‰ (mínimo 5€)
d=14% anual
E?
Otros Gastos=2€
172
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 1:
N=3.250€
t=60 días
Comisión=3‰ (mínimo 5€)
d=14% anual
E?
Otros Gastos=2€
(D) DescuentoNE 
Gastos OtrosComisionesInteresesD 
€83,7514,0
360
60
250.3d
360
t
NIntereses 
€75,9Comisión€5€75,9003,0250.3Comisión 
€2gastos Otros 
3.162,42€2-9,75-75,83-3.250Gastos OtrosComisiónInteresesNE 
173
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 174
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LIBRADO: Es el deudor, quien debe pagar la letra de
cambio cuando llegue la fecha indicada o de vencimiento.
1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
La letra de vuelta es aquella que se 
devuelve al cedente al no ser atendido su 
pago a su vencimiento por parte del 
librado
175
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1. El Nominal de la letra devuelta
2. Gastos de devolución:
❖ Comisión de devolución
❖ Correo
3. Gastos de protesto:
❖ Comisión de protesto
❖ Coste del protesto
El banco le cargará al cliente:
176
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
4. Intereses:
❖ Si se carga en la cuenta del cedente el 
mismo día de su vencimiento NO SE 
GENERAN INTERESES adicionales a los 
que se cobraron la primera vez
❖ Si el cedente se retrasa en el pago al banco 
de la letra de vuelta, los INTERESES son:
i
360
t
impago) del GastosN(Intereses 


El banco le cargará al cliente:
siendo: t’ tiempo transcurrido desde el vencimiento
de la letra hasta que el cedente pague.
i tipo de interés anual que el banco leaplique.


177
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 2:
Comisión de devolución=1‰
Letra del Ejemplo 1 impagada: N=3.250€
Comisión de protesto=2‰
Correo=2,50€
Efectivo adeudado al banco (E’)?
178
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 2:
Comisión de devolución=1‰
Efectivo adeudado al banco (E’)?
Letra del Ejemplo 1 impagada: N=3.250€
Comisión de protesto=2‰
Correo=2,50€
Protesto GastosDevolución GastosNE 
€25,262.350,2002,0250.3001,0250.3250.3E 
IMPORTANTE: No se le cargan intereses porque se le 
adeuda directamente a la cuenta del cedente el mismo día 
en que se produce el impago.
179
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 180
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LOS GASTOS A LOS QUE SE REFIERE ESTA
DEFINICIÓN: Son los que acabamos de ver, es decir, los
gastos de devolución, los de protesto y los intereses, en
caso de que se hayan generado.
1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
La letra de resaca o renovación es aquella 
que se emite para recuperar otra anterior
que ha sido devuelta, junto con los gastos
que originó su devolución.
181
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PROBLEMA: Calcular el nuevo nominal de 
la una nueva letra para cobrarle al LIBRADO 
todo lo que debe
1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
t0
E’ = Todo lo que debe el librado
N’?
182
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1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 3:
d=15%
Letra del Ejemplo 2 impagada: E’=3.262,25€
Comisión=3‰
Otros gastos=10€
Nuevo nominal (N’)?
t=30 días
30 días0
E’ = 3.262,25€
N’?
183
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1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 3:
d=15%
Letra del Ejemplo 2 impagada: E’=3.262,25€
Comisión=3‰
Otros gastos=10€
Nuevo nominal (N’)?
t=30 días
 GOCINE 
10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3
)10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3








)D( ' DescuentoNE 
184
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1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 3:
10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3
)10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3














 003,0
360
30
15,01N1025,262.3
€77,323.3N
9845,0
75,272.3
NN9845,025,272.3 
185
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 186
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1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1. Factura con todos los efectos y sus características.
2. Sumar:
❖ Nominales
❖ Intereses
❖ Comisiones
3. Los otros gastos se consignan aparte.
4. Se resta al NOMINAL TOTAL, TODOS LOS 
GASTOS habidos.
Si queremos descontar más de un efecto, tenemos 
que calcular una FACTURA DE NEGOCIACIÓN:
187
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1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 4:
Tipo de descuento=12%
Efectivo remesa (E)?
Remesa:
Comisión=5‰ (mínimo 90€)
Correo=6€/efecto
1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
Efecto Nominal Días de descuento
A 30.000 20
B 20.000 25
C 15.000 30
188
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1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 4:
1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión Correo
A 30.000 20 12% 200,00 5‰ 150 6
B 20.000 25 12% 166,67 5‰ 100 6
C 15.000 30 12% 150,00 mínimo 90 6
65.000 516,67 340 18
€33,125.641834067,516000.65OGCINE 
189
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 190
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LAS CUENTAS CORRIENTES: Se pueden llevar entre
empresas, entre particulares, y, las más frecuentes, son las que
se usan entre los bancos y sus clientes.
2.1. DEFINICIÓN DE CUENTA CORRIENTE
2.CUENTAS CORRIENTES
Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo 
entre dos partes con relaciones comerciales 
frecuentes, por el que ambas se comprometen a 
ir anotando el importe de las operaciones que 
hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas
en la fecha que señalen.
191
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TIPOS DE
CUENTAS
CORRIENTES
CUENTA 
CORRIENTE DE 
DEPÓSITO
CUENTA 
CORRIENTE DE 
CRÉDITO
2.1. DEFINICIÓN DE CUENTA CORRIENTE
2.CUENTAS CORRIENTES
Contrato bancario por el que 
el titular puede ingresar 
fondos en una cuenta de un 
banco, o retirarlos total o 
parcialmente sin previo 
aviso.
Contrato en el que es el 
banco quien concede al 
cliente (acreditado) la 
posibilidad de obtener 
financiación hasta una 
cuantía establecida de 
antemano (límite del 
crédito).
192
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 193
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CLASES DE
CUENTAS
CORRIENTES
(de depósito)
SEGÚN SUS 
TITULARES
SEGÚN EL 
DEVENGO DE LOS 
INTERESES
2.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES
2.CUENTAS CORRIENTES
❖ INDIVIDUAL
❖ INDISTINTA
❖ CONJUNTA
❖ SIN INTERÉS
❖ CON INTERÉS
❖ RECÍPROCO
❖ NO RECÍPROCO
194
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2.Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 195
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PROBLEMA: Conocemos los capitales y el 
tanto de interés, pero no conocemos el 
tiempo para poder liquidar las cuentas 
corrientes
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.CUENTAS CORRIENTES
TRES MÉTODOS
Directo
Indirecto
Hamburgués o de 
Saldos
196
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 197
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Considera que cada capital, 
deudor o acreedor, devenga 
intereses durante los días 
que median desde la fecha 
de su vencimiento hasta el 
momento de liquidación.
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.1. MÉTODO DIRECTO
2.CUENTAS CORRIENTES
198
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 199
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Los capitales generan intereses desde 
la fecha en la que se originan hasta 
una fecha fija denominada época. 
Ello supone un cálculo de intereses 
que no se corresponden con la 
realidad, por lo que cuando se 
conozca la fecha de liquidación 
deben rectificarse
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.2. MÉTODO INDIRECTO
2.CUENTAS CORRIENTES
200
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 201
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Los intereses se calculan en base a los 
saldos que van apareciendo en la 
cuenta (y no en función de los 
capitales)
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
202
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1. Se ordenan las operaciones según fecha-valor .
2. Se halla la columna de saldos como diferencia 
entre el Debe y el Haber de capitales.
3. Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a 
vencimiento, y del último vencimiento a la 
fecha de cierre.
4. Se calculan los números comerciales
multiplicando los saldos por los días y se 
colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el 
Haber si el saldo es acreedor.
Pasos a Seguir:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
203
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5. A partir de aquí terminaremos la liquidación:
a. Cálculo del interés.
El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de 
interés de liquidación (anual) entre el total de días del año (360 ó 
365).
b. Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de 
Capital) sobre los intereses acreedores.
c. Cálculo del saldo a cuenta nueva.
Pasos a Seguir:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
cliente del fijo dorMultiplicaacreedores números de Sumaacreedores Intereses 
banco del fijo dorMultiplicadeudores números de Sumadeudores Intereses 
204
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Ejemplo 5:
Comisión por apunte=3€
Liquidar por el método hamburgués:
IRC=15%
i=6%
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Concepto Cuantía Signo
06-05 Ingreso apertura 35.000 Haber
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 Haber
23-05 Cheque c/c 5.000 Debe
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 Haber
Fecha de liquidación: 30-junio
205
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H
14-05
Cheque a compensar a su favor
20.000 H 55.000 H
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H
30-06
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8 días
9 días
19 días
19 días
Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días 
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8
14-05
Cheque a compensar 
a su favor 20.000 H 55.000 H 9
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19
30-06
mayo de 14 al 6 Del
mayo de 23 al 14 Del
junio de 11 al mayo de 23 Del
junio de 30 al 11 Del
Número de días
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280.000
495.000
950.000
1.140.000
Total 2.865.000
Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05
Cheque a 
compensar a su 
favor
20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06
Ingreso en 
efectivo
10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
8000.35 
9000.55 
19000.50 
19000.60 
Números acreedores
208
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
cliente del fijo dorMultiplicaacreedores números de Sumaacreedores Intereses 
€96,470
365
06,0
000.865.2acreedores Intereses 
Cálculo de los números comerciales acreedores:
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
Retención de impuestos:
€64,7096,470 de %15impuestos tenciónRe 
Comisión de administración:
€1243ciónadministra de Comisión 
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo