Sistemas lineales y discretos

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Sistemas lineales y discretos 
"Un niño de cinco años entendería esto. ¡Manden 
a alguien a buscar a un niño de cinco!" 
En estos ejemplos se presentan· sistemas simples 
y de cálculo numérico sencillo, para introducir al 
lector en la simulación numérica de los sistemas 
biológicos. 
Decimos que es un sistema discreto, porque el 
tiempo, en nuestro caso, no es una variable continua 
y estará representado por la letra n, que correspon­
derá a un número entero. La expresión analítica de 
nuestro sistema será: 
y(n) = x(n) + b y(n-1) 
Lo emplearemos para mostrar algunas de sus 
propiedades y el parámetro b nos permitirá efectuar 
cambios significativos en su comportamiento. 
Representemos ahora la expresión analítica, con 
un diagrama funcional en forma de bloques, de la 
siguiente forma (fig. B-1): , 
...--------+ y(n) 
Fig. B-1. 
Unidad de 
memoria 
y(n-1) 
Observamos que la salida y(n) se almacena en 
una unidad de memoria. Así se obtiene y(n-1 ), que 
a su vez se multiplica por el parámetro b y se suma 
con la entrada x(n), con lo que se obtiene finalmen­
te la salida del sistema. Esta representación en blo­
ques coincide con la expresión analítica expuesta 
antes, pero nos permitirá apreciar cómo parte de la 
salida se realimenta en la entrada. 
Ahora bien, calculemos la salida suponiendo b = 
0,5, que la condición inicial y(O) = O, y que la entra­
da es constante e igual a la unidad para todo n. Con 
estas condiciones podremos calcular la salida efec­
tuando simples operaciones matemáticas, cuyos re­
sultados los expresamos en el cuadro B-1: 
n 
o 
• 1
2
3
4
5
6
Cuadro B-1 
x(n) 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
y(n) 
o 
1 
1,5 
1,75 
1,875 
1,9375 
1,9688 
Este cálculo se puede continuar para otros valo­
res de n, recordando que esta variable representa el 
tiempo y que si bien es discreto, cada incremento 
entero representa un intervalo temporal que podrá 
ser infin.itésimo. 
Graficaremos la salida en función del tiempo, 
(fig. B-2) 
2 
1.9 
1.8 
1.7 
1.6 
:s. 1.5 
1.4 
1.3 
1.2 
1.1 
2 4 6 
n 
Fig. B-2. 
7 8 9 10 
lo primero que observamos es que la salida, luego 
de un tiempo, intenta estabilizarse en un valor deter­
minado, comprendiendo así el concepto de estabili­
dad. Por otra parte, nos cuestionamos si efectiva­
mente el sistema es lineal, porque la representación 
gráfica no corresponde a una recta. Se puede de­
mostrar que este sistema es lineal, no por la respues­
ta de su salida, sino porque cumple con las propie­
dades de un sistema lineal. 
Veamos otro ejemplo con el mismo sistema, pe­
ro en este caso el único parámetro que cambia es el 
valor de b = -1,1 . Si graficamos la salida obtendre­
mos(fig. B-3): 
25 
20 
15 
10 
5 
'2 
o 
> 
.5 
-10 
-15 
-20 
-25 
o 10 15 20 25 30 35 40 
n 
Fig. B-3. 
Claramente, el sistema dejó de ser estable con só­
lo cambiar un parámetro y, como se observa en el 
gráfico, oscila crecientemente. 
Es lógico pensar que este parámetro estará aso­
ciado al tipo de realimentación, y si bien es co­
rrecto pensar que los sistemas continuos reali­
mentados negativamente son estables, y por el 
contrario los realimentados positivamente son 
inestables, no es tan simple el análisis para estu­
diar la estabilidad en sistemas continuos y en dis­
cretos. Para éstos se requerirá otro estudio espe­
cial que no es el simple análisis del signo de un 
parámetro. Como último ejemplo de sistema li­
neal discreto, efectuemos la experiencia de asig­
narle a este parámetro un valor también negativo. 
pero numéricamente distinto (b = -0,5) y grafica­
remos su salida (.fig. B-4)
1 
0.95 
0.9 -
0.85 
'2 
0.8 
> 
0.75 
0.7 
0.65 
0.6 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
n 
Fig. B-4. 
Comprobamos cómo el sistema para estas condi­
cio_nes recupera la estabilidad y su salida tiende rá­
pidamente a un valor determinado. 
SISTEMAS NO LINEALES Y DISCRETOS 
Comprendiendo los conceptos vistos para siste­
mas lineales intentaremos realizar un sistema no li­
neal y discreto, similar al anterior en la forma ma­
temática de operar pero con características no li­
neales. 
La expresión analítica en este caso será: 
y(n) = b y(n-1) [ l-y(n-1)} 
Obsérvese la particularidad de que la salida no 
depende de una variable de entrada, sino sólo de su 
salida. Esto es una particularidad de este sistema, 
pero no de todos los no lineales. 
Experimentando con el parámetro b = 1,5 y para 
la condición inicial y(0) = 0,1, obtenemos el si­
guiente gráfico (fig. B-5): 
0.4 
0.35 
0.3 
0.25 
e 
> 
0.2 
0.15 
0.1 
0.05 
o 
4 6 8 10 12 14 16 18 20 
n 
Fig. B-5. 
Esta respuesta de salida perfectamente podría co­
rresponder a un sistema lineal, pero veamos qué su­
cede si dejamos fijo el parámetro b y sólo variamos 
la condición inicial y(0) = 0,6 (fig. B-6) 
0.6 
0.55 
• 
0.5 
::s 0.45 
0.4 
0.35 
0.3 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
Fig. B-6. 
Parece la respuesta de otro sistema completa­
mente distinto. Esta gran sensibilidad a las condi­
ciones iniciales es característica de los sistemas no 
lineales y hace que su análisis sea complejo. 
Podremos hacer una ultima experiencia fijando el 
parámetro b = 4 y la condición inicial y(0) = 0,1; se 
obtiene el siguiente gráfico (fig. B-7): 
0.9 
0.8 
0.7 
0.6 ' 
0.5 
> 
0.4 
0.3 
0.2 
0.1 j 
o 
o 5 10 15 
� 
20 25 30 
n 
Fig. B-7. 
IJ
35 40 
En este caso particular se observa que la oscila­
ción no es periódica y se denomina caótico. 
Nota para el Docente de Medicina 
"¿ Piensas que he venido para dar paz en la Tierra?, 
os digo, no paz, sino disensión" 
Aunque no nos conozcamos personalmente, nos 
sentimos hermanados con Uds. en la creencia de 
que la fisiología es la herramienta esencial para 
construir el pensamiento clínico desde una perspec­
tiva científica. Creemos, como Uds. deben creer, 
que la fisiología es apasionante y maravillosa, y que 
cada tema en particular es un fabuloso mundo por 
descubrir. También sabemos que, para el alumno, 
este vasto mundo puede ser apabullante. 
Nuestra tarea es guiar a los alumnos para que 
aprendan a transitarlo por sí solos, o sea darles las 
herramientas para que construyan un pensamiento 
fisiológico propio que les permita resolver los pro­
blemas clínicos de los pacientes y que les sirva de 
nexo entre la investigación básica y su aplicación 
práctica. 
Si bien hay muchos �bordajes posibles a la ense­
ñanza de la fisiología y todos tienen igual validez, 
nosotros elegimos el marco conceptual que brinda 
el paciente, ya que, en teoría, representa la realidad 
con la que se enfrentará el alumno en el futuro in­
mediato y mediato. Desde este punto de vista se da 
prioridad a los conceptos que se traduzcan en meca­
nismos observables en pacientes y en aquellos que 
favorezcan el razonamiento clínico. 
Por lo tanto, en esta obra hemos tratado de en­
focar el estudio de la fisiología priorizando los 
aspectos integrativo (de ahí la idea de interrela-
Lucas, 12, 15 
ción que se observa en el diagrama conceptual), 
dinámico (cada concepto conduce a otros) y je­
rárquico, al priorizar conceptos de alta relevancia 
clínica. El mapa conceptual, en la versión desple­
gable y electrónica del CD, tiene como fin orde­
nar el estudio y exponer la idea de interrelación 
de los temas. 
Si bien el libro mantiene el formato convencional 
de la enseñaza por disciplinas, incorpora material 
que puede utilizarse en planes de estudio basados en 
la resolución de problemas, (patologías trazadoras y 
ejercitación clínica.) 
Además de la versión interactiva del mapa, en el 
CD hemos incluido material que el docente puede 
utilizar para mostrar imágenes en tiempo real, como 
ECG y ecografías entre otras, y modelos in­
teractivos, para que el alumno pueda realizar medi­
ciones y verificar mecanismos fisiopatológicos por 
ensayo y error. 
Por ultimo, nos gustaría conocer cualquier co­
mentario, opinión, queja o sugerencia que pueda 
ayudarnos a mejorar la enseñanza de la medicina. 
Para ello pueden dirigirse a la siguiente direcciónde 
correo electrónico: 
mariodvorkin@medicapanamericana.com 
*Docente de Medicina