Demostracion del movimiento armonico simple

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MOVIMIENTO 
ARMÓNICO SIMPLE 
 
DEMOSTRACIÓN DEL 
MOVIMIENTO ARMÓNICO 
SIMPLE 
 
El Movimiento Armónico Simple es un tipo de 
movimiento vibratorio causado por la proyección 
de un Movimiento circular Uniforme en una 
recta lineal. 
 
07/11/2013 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
 
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RESUMEN 
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. 
Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple 
unidimensional es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un 
diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme 
bidimensional. El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes 
puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento 
armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de 
vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que 
realizan los cuerpos elásticos. 
Una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo 
es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. 
Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo 
hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición 
Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las 
variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es 
decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. 
Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas 
direcciones en los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un 
valor máximo y un mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, 
es decir que va y viene, (en vaivén) sobre una misma trayectoria. 
Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y tiene su 
origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas 
amplitudes, son iguales. 
Un movimiento vibratorio es Armónico cuando la posición, velocidad y aceleración 
se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento 
armónico puede ser compuesto de forma que estén presentes varios períodos 
simultáneamente. Cuando haya un solo período, el movimiento recibe el nombre 
de Movimiento Armónico Simple o abreviadamente, M.A.S. Además de ser el más 
sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de muchas 
oscilaciones que se observan en la naturaleza 
OBJETIVOS 
a) OBJETIVO GENERAL 
 
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Estudiar, analizar y comprender como se describe el movimiento armónico simple 
mediante la demostración de este. 
 
b) OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
 Identificar el MAS como un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. 
 Definir e identificar las principales magnitudes físicas que intervienen el 
movimiento. 
 Visualizar un cuerpo que describe un MAS. 
 Visualizar la relación existente entre un MAS y el MCU. 
 
MARCO TEÓRICO 
MOVIMIENTO ARMÓNICO 
 
Una partícula describe un Movimiento Armónico 
Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje 
X, estando su posición x dada en función del tiempo 
t por la ecuación 
x=A·sen(ωt+φ) 
 
 A es la amplitud. 
 la frecuencia angular. 
 t+ la fase. 
 la fase inicial 
PARTES DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
PERIODO (T): Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa. 
 
FRECUENCIA (f): Es la cantidad de oscilaciones completas que la partícula realiza en la 
unidad de tiempo (1 segundo). Se sigue cumpliendo que f = 1/T. 
 
PUNTO DE EQUILIBRIO: Es el punto central de la trayectoria de la partícula. 
 
PUNTO DE RETORNO: Son los extremos de la trayectoria que limitan el movimiento de 
https://sites.google.com/a/colegiocisneros.edu.co/fisica10y11/home/eventos-ondulatorios/movimiento-armonico-simple-mas/Armonico_03.jpg?attredirects=0
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la partícula. 
 
ELONGACIÓN (x): Es la distancia que separa la partícula de su posición de equilibrio. 
 
AMPLITUD (A): Es la máxima elongación posible y equivale a la distancia entre el punto 
de equilibrio y uno de los puntos de retorno. 
 
OSCILACIÓN SENCILLA: Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria. 
 
OSCILACIÓN COMPLETA: Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria y 
regreso hasta el punto de partida, es decir, una oscilación completa es igual a dos 
oscilaciones sencillas. 
CARACTERÍSTICAS. 
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento 
se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. 
 
La velocidad de la partícula es mayor mientras más lejos se encuentra de los 
puntos de retorno, siendo máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y 
mínima (cero) en los puntos de retorno. 
 
La aceleración de las partículas es mayor mientras más lejos se encuentra del 
punto de equilibrio, siendo máxima en los puntos de retorno y mínima (cero) en el 
punto de equilibrio. 
Cinemática de un M.A.S. 
 
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En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad 
derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la 
velocidad. 
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por 
la ecuación 
x=A·sen(ωt+φ) 
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil 
 
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil 
 
Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial 
 
Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: 
un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, 
una temperatura, etc. 
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es 
x=A sen( t+ ) 
Condiciones iniciales 
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0. 
x0=A·sen 
v0=A ·cos 
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ 
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
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Dinámica de un M.A.S. 
Elongación "x", la posición del móvil se indica mediante la elongación "x" que es 
la distancia a que está el móvil del origen, el cual está ubicado en la posición 
central o de equilibrio. Por ello, las elongaciones pueden ser positivas, negativas o 
cero. La elongación será, por tanto, una función del tiempo. 
La posición de equilibrio no implica un equilibrio estático o reposo sino un 
equilibrio dinámico (equilibrio porque la fuerza resultante es cero). Como veremos 
luego, el móvil pasa con su máxima velocidad por esta posición de equilibrio. 
 
Gráfica de la elongación con respecto al eje Y 
Amplitud "A", en la máxima elongación o apartamiento de la posición de 
equilibrio a que llega el móvil. 
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Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza 
necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es 
proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste. 
 
Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la 
diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep. 
 
La expresión de la energía potencial es 
 
Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial 
Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0,por lo que c=0 
La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial 
Ep que es constante. 
 
Curva de energía potencial 
La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, 
que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0. 
Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición 
de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras 
palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si 
la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la 
región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S. 
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm#Fuerza conservativa. Energía potencial
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El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta 
tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es 
negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda. 
 
En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que 
por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable. 
DESARROLLO 
 
Se proyecta el movimiento de la partícula P sobre el diámetro , donde P' es la 
proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro. 
P' se mueve con movimiento oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. 
Cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria con MCU, la proyección 
P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo largo del diámetro , es decir, 
https://sites.google.com/a/colegiocisneros.edu.co/fisica10y11/home/eventos-ondulatorios/movimiento-armonico-simple-mas/Armonico_04.jpg?attredirects=0
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cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación sobre el diámetro. 
Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P , su 
proyección ortogonal sobre el diámetro determina igualmente la posición, 
velocidad y aceleración de P'. Observe que la aceleración centrípeta se ha 
descompuesto en sus dos componentes rectangulares y que como puede 
verse la segunda es paralela al diámetro . 
La aceleración centrípeta en el MCU: 
Los triángulos OPP' y el formado por los vectores y , los cuales son 
semejantes. 
 
 
DESCRIPCIÓN DEL M.A.S. COMO PROYECCIÓN DEL M.C.U. SOBRE 
EL EJE COORDENADO Y 
 
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El Movimiento ArmónicoSimple puede entenderse como la proyección sobre un 
eje coordenado (en este caso el eje "y") de un Movimiento Circular Uniforme. 
Suponemos que un móvil se desplaza con Movimiento Circular Uniforme de 
período "T", frecuencia "f", velocidad angular "w", y velocidad tangencial "V". 
Tiene además aceleración centrípeta "aC". Todas estas magnitudes son 
constantes en el M.C.U. 
Si proyectamos en cada instante el móvil en M.C.U. sobre el eje "y" obtenemos 
otro móvil que se mueve con Movimiento Armónico Simple. 
De manera que proyectando la posición lineal "S" sobre el eje "y" llegamos a la 
elongación "y". Proyectando la velocidad tangencial del M.C.U. sobre el mismo eje 
se obtiene la velocidad del M.A.S. y haciendo lo propio con la aceleración 
centrípeta se llega a la aceleración del M.A.S. 
 
Estas tres funciones son las ecuaciones horarias del M.A.S. y como vemos son 
funciones sinusoidales del tiempo. A continuación se grafican las mismas. 
La elongación "y" varía según la función seno del ángulo "q", ángulo que recibe el 
nombre de "fase del movimiento". Dicho ángulo de fase aparece en grados 
sexagesimales para mayor simplicidad en el análisis, pudiendo también 
expresarse en radianes. Los valores de "y" oscilan entre "+A" y "-A". 
La velocidad "V(t)" varía según la función coseno de "q", oscilando sus valores 
entre "+wA" y "-wA". 
La aceleración "a(t)" varía según la función "-seno", que equivale a la función seno 
multiplicada por (-1), y por lo tanto su gráfica corresponde a la de la función seno 
rebatida con respecto al eje "x". Se dice que esta gráfica está en "contrafase" con 
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION
http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIT
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml
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respecto a la función seno (en este caso a la "y(t)"). Sus valores oscilan entre 
"w2.A" y "-w2.A". 
En el primer cuarto de oscilación (con "q" entre 0 y 90º) se observa: 
El móvil parte de la posición de equilibrio (y = 0) y su elongación va creciendo 
hasta llegar a "y = A". 
La velocidad que era máxima positiva en el instante inicial, llevándolo al cuerpo a 
desplazarse hacia la derecha, va disminuyendo hasta hacerse cero en el punto de 
la máxima elongación. En ese momento el móvil está en reposo, pero es sólo un 
instante pues luego comenzará a moverse en dirección contraria. 
La aceleración que es cero en el instante inicial, empieza a tomar valores 
negativos, lo que indica que se opone al desplazamiento o elongación. Mientras 
mayor es esta elongación, mayor es la aceleración negativa, la cual se hace 
máxima cuando la fase es "q = 90º". 
En el segundo cuarto de oscilación (con "q" entre 90º y 180º) se observa: 
La elongación comienza a disminuir desde el valor máximo "A" hasta cero, 
retornando el móvil a la posición de equilibrio. 
La velocidad que era cero, se hace negativa, llevándolo al cuerpo a desplazarse 
hacia la izquierda. El móvil se va acelerando hasta alcanzar la máxima velocidad 
hacia la izquierda (negativa) al alcanzar la posición de equilibrio. 
La aceleración que era máxima negativa (hacia la izquierda) lo "empuja" al cuerpo 
a moverse en esa dirección, y va disminuyendo gradualmente hasta hacerse cero 
en la posición de equilibrio con "q = 180º". 
En el tercer cuarto de oscilación (con "q" entre 180 y 270º) se observa: 
La elongación parte de cero y va haciéndose negativa, pues el móvil se mueve 
hacia la izquierda de la posición de equilibrio. Alcanza un máximo negativo de "y = 
-A". 
La velocidad que era máxima negativa en la posición de equilibrio, llevándolo al 
cuerpo a desplazarse hacia la izquierda, va disminuyendo hasta hacerse cero en 
el punto de la máxima elongación negativa. En ese momento el móvil está en 
reposo, pero es sólo un instante pues luego comenzará a moverse en dirección 
contraria. 
La aceleración que es cero en la posición de equilibrio, empieza a tomar valores 
positivos, lo que indica que se opone al desplazamiento o elongación, la cual es 
negativa. Se trata entonces de un movimiento retardado. Mientras mayor es esta 
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml
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elongación negativa, mayor es la aceleración positiva, la cual se hace máxima 
cuando la fase es "q = 270º". 
En el último cuarto de oscilación (con "q" entre 270º y 360º) se observa: 
La elongación comienza a disminuir (en módulo) desde el valor "-A" hasta cero, 
retornando el móvil a la posición de equilibrio. 
La velocidad que era cero, se hace positiva, llevándolo al cuerpo a desplazarse 
hacia la derecha. El móvil se va acelerando hasta alcanzar la máxima velocidad 
hacia la derecha (positiva) al alcanzar la posición de equilibrio. 
La aceleración que era máxima positiva (hacia la derecha) lo "empuja" al cuerpo a 
moverse en esa dirección, y va disminuyendo gradualmente hasta hacerse cero en 
la posición de equilibrio con "q = 360º". 
 
Así se ha podido verificar: 
1) Cuando la elongación es máxima (positiva o negativa), la velocidad se hace 
cero y el móvil está a punto de cambiar el sentido del movimiento. En esos 
instantes la aceleración es máxima y de signo contrario a la elongación. 
2) Cuando el móvil pasa por la posición de equilibrio la elongación es cero, la 
velocidad es máxima positiva o negativa y la aceleración también es cero. 
3) Se observó que la elongación "y" está en contrafase con la aceleración "a", lo 
que indica que la aceleración es recuperadora. Siempre trata de volver a 
la posición de equilibrio al cuerpo. Si la elongación es positiva (q entre 0 y 180º) la 
aceleración es negativa y si la elongación es negativa (q entre 180º y 360º), la 
aceleración es positiva. 
http://www.google.com.ec/imgres?start=146&biw=1093&bih=538&tbm=isch&tbnid=hsVD5MZUjzKNRM:&imgrefurl=http://fafisica114.wikispaces.com/MOVIMIENTO+ARM%C3%93NICO+SIMPLE&docid=OtFCC4GQ5uYerM&imgurl=http://fisicafmsceem.files.wordpress.com/2011/02/osc3.gif&w=515&h=264&ei=W6p7UrmiNa7msATioYHgDQ&zoom=1&ved=1t:3588,r:52,s:100,i:160&iact=rc&page=12&tbnh=161&tbnw=314&ndsp=13&tx=52.4000244140625&ty=72.4000244140625
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La velocidad angular "w" del Movimiento Circular Uniforme, que también está 
presente en las fórmulas del Movimiento Armónico Simple, se llama "pulsación" 
para este último movimiento. 
Es importante volver a destacar que la frecuencia natural del movimiento armónico 
coincide con la velocidad angular del movimiento circular -- del que el movimiento 
armónico simple es su proyección de perfil, sólo si el movimiento circular es 
uniforme, es decir, si no está acelerado. 
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO 
 Una lámina fija por un extremo y haciéndola vibrar por el otro extremo. 
 Un sistema formado por un cuerpo suspendido de un resorte. 
 El movimiento de un péndulo para desplazamientos pequeños. 
 Un líquido contenido en un tubo doblado en U. 
 Una esferita en una superficie cóncava. 
 Una cuerda tensa 
CONCLUSIONES 
 El movimiento armónico simple es un movimiento periódico en el que la 
posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal. 
 La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro 
de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido 
del movimiento 
 El MAS es un movimiento acelerado no uniforme. Su a aceleración es 
proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor 
máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el 
centro. 
 Podemos imaginar un MAS como una proyección de un movimiento circular 
uniforme. El desfase nos indica la posicióndel cuerpo en el instante inicial. 
BIBLIOGRAFÍA 
 (2012, 12). Movimiento Armonico Simple Demostraciones. 
BuenasTareas.com. Recuperado 12, 2012, de 
http://www.buenastareas.com/ensayos/Movimiento-Armonico-Simple-
Demostraciones/6914235.html 
 http://www.monografias.com/trabajos98/el-movimiento-armonico-simple/el-
movimiento-armonico-simple.shtml 
 http://www.Física.net 
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