Clase Presencial 6_ Análisis Matemático 07-10-21

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 ¿Qué entendemos por Economía? 
 En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma 
aislada como en su conjunto, tienen necesidades materiales 
(vivienda, alimentación, etc.) y no materiales (salud, recreación, 
etc.). Pero, ¿cómo las satisfacen si cuentan con recursos que son 
escasos o limitados? El camino es el de realizar actividades 
productivas. En ese marco defino a la Economía como la ciencia 
que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos 
escasos de una sociedad, con el objeto de producir bienes que 
permitan satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades 
de los individuos. 
 Los economistas son los encargados de encontrar las 
respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades 
ilimitadas, frente a recursos que son escasos. Para intentar 
entender cómo funcionan estas relaciones utilizaremos modelos 
matemáticos. 
 Seguramente se preguntarán 
 ¿Qué es un modelo matemático o modelación matemática? 
 Te comento brevemente: Los antiguos griegos fueron los 
primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un 
análisis lógico. Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era 
plano sino esférico, la que fue demostrada por Eratóstenes sin 
moverse un solo paso de Alejandría. Pero, ¿cómo lo hizo? A través 
de suposiciones y simplificaciones creó el contexto matemático en 
el cual pudieron aplicarse los principios de la geometría que le 
permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia 
de la tierra. 
 
 
 
 
 
 
 Actualmente científicos y técnicos buscan representar la 
realidad en términos matemáticos, y es a este proceso al que 
denominaremos "modelación matemática". 
 Aplicación a las Ciencias Económicas 
 Mi objetivo no es el de formar economistas, sino que los 
contenidos prioritarios, sirva de ayuda para enseñar matemática 
desde una perspectiva de las ciencias económicas, comprendiendo 
el porqué de este espacio curricular en la carrera. 
 En Economía se plantean los problemas de tal modo que 
puedan responderse matemáticamente, y que dichas respuestas 
puedan generalizarse. 
 Se entiende por modelo a la simplificación y abstracción de la 
realidad, donde se identifican variables Económicas y parámetros, a 
partir de los cuales se postulan relaciones entre ellas en forma de 
leyes o teorías. Cuánto más sencillo sea el modelo económico 
propuesto, más fácil será usarlo para dar respuestas de tipo 
general. La validez del mismo dependerá de la validez de las 
consecuencias que de él se deducen. Como no es posible controlar 
todas las variables, es frecuente introducir la condición de "ceteris 
paribus" , que nos permite suponer que todas las variables se 
mantienen constantes temporariamente, excepto la que estamos 
estudiando, y quiere decir: "Si todo lo demás no cambia". 
 Por ejemplo, cuando analizamos como varía la demanda de 
la carne de vaca al variar su precio, estamos dejando de considerar 
otros factores que influyen en la toma de decisión del consumidor 
como son el precio de productos substitutos (carne de pollo o de 
pescado); el gusto o preferencia de los consumidores por otras 
carnes; y la renta del consumidor en el mismo período de tiempo. 
 Funciones en Economía 
ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO GRAL . JOSÈ DE SAN MARTÌN CARRERA: Profesorado de Educación Secundaria en Economía 
ESPACIO CURRICULAR: ANÀLISIS MATEMÀTICO CURSO: 2do. Año DOCENTE a CARGO : Prof. Lic. Margarita Rivera 
DIA y CARGA HORARIA: Jueves 3 horas ( 5ª,6ª.7ª hora) CORREO ELECTRÒNICO: profemarga2010@gmail.com 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Clase 6 : Jueves 14 / 10 / 21 Modalidad: Presencial 
 
mailto:profemarga2010@gmail.com
 
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Ningún valor describe toda la información requerida, ya que la 
cantidad demandada de carne de vaca dependerá entre otras cosas 
de su precio. 
Expresión analítica de un modelo económico: en este curso nos 
referiremos a los modelos económicos, que serán las herramientas 
para entender la realidad en forma simplificada, esquemática y 
aproximada. 
 Su expresión analítica se realiza a través de una o varias 
funciones que nos indican las relaciones existentes entre las 
variables. 
En el desarrollo de este espacio curricular, sólo desarrollaré 
modelos económicos simples, formados en su mayoría por una sola 
función que relaciona dos variables. 
 Funciones Económicas 
 Para expresar un modelo económico utilizaremos el 
concepto matemático de función, entendiendo por tal a la relación 
de dependencia entre variables económicas. 
 En Economía las funciones pueden adoptar tanto formas 
teóricas muy complejas, como muy simples. En este caso 
trabajaremos con funciones económicas de una sola variable de 
tipo lineal y cuadrática. 
 f : R0+ --> R0+ es una función continua y biyectiva, con 
dominio y codominio en los número reales no negativos, que 
representa a un modelo económico. 
 Cada tema desarrollado desde el Análisis Matemático tendrá 
su analogía en el ámbito económico-financiero. 
 Respecto del Dominio y del conjunto de las imágenes, haré 
algunas consideraciones al definirlos, ya que los valores que 
asumen las variables deben tener sentido económico, y como tal 
estarán restringidos a números reales positivos. Si nos referimos a 
precios o cantidades no podremos hablar de valores negativos, por 
ejemplo, producir (-5) autos, o vender un bien a (-100) pesos carece 
de sentido. 
 Las funciones económicas se grafican en el primer 
cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS 
 
• Función Ingreso Marginal 
• Función OFERTA 
• Función DEMANDA 
• Punto de Equilibrio del 
Mercado 
• Consumo y Ahorro 
• Función Ingreso Total 
• Función Costo Lineal 
 Total 
• Función Costo Fijo 
 Variable 
• Función Beneficio 
• Evolución del Beneficio 
• Desempleo y Salario 
 
ECONOMÍA FINANZAS 
 
CAPÍTULO III 
 
 Monto a 
 Interés 
 Simple 
 
 
 
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Clase 7 : Jueves 14 / 10 / 21 
 
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LINEALES 
EN LA ECONOMÍA 
 Las funciones de primer grado o lineal tienen numerosas 
aplicaciones en las ciencias económicas y en las finanzas. 
 FUNCIÓN CONSTANTE → analogía con INGRESO 
MARGINAL 
 El ingreso adicional obtenido con la venta de una unidad más 
de un producto o servicio. 
 Si cada unidad de un producto se vende a un mismo precio, el 
ingreso marginal siempre es igual al precio. 
Ejemplo: Si un producto se vende a $ 40 por unidad, la función 
ingreso marginal ( mI ), se expresa como una función constante.x
y
 
FUNCIÓN DISTINTAS DE LA CONSTANTE: 
 
 
 log 
 
curva de la oferta
ana ía con curva de la demanda
consumo y ahorro
 
 Estas funciones se pueden asociar con la ley de la oferta y la 
ley de la demanda, con consumo y ahorro. 
 Por lo general, se relaciona las magnitudes precio de un artículo 
con su cantidad. Si el precio aumenta, la cantidad disminuye y por 
lo contrario si el precio disminuye, la cantidad aumenta. 
 En economía se representa el precio de un artículo en el eje “y” 
y la cantidad del mismo en el eje “x”. 
 La ley o curva de oferta y la ley o curva de demanda, se 
representa sólo en el primer cuadrante, porque tanto el precio 
como la cantidad de artículos son positivos. 
La misma tiene su analogía con la función lineal y como la gráfica 
de ésta es una recta, para representarla se debe rectificar la curva. 
 Ley o curva de la oferta 
 Una expresión que permite relacionar el precio de un 
producto, con la cantidad adquirida, se denomina ley de oferta. Su 
expresión matemática es: ( )O p mp b= + 
Si el precio aumenta, la oferta aumenta 
( )O p es la función lineal del precio 
Es una función creciente 
 
 
cantidad
Precio
curva rectificada
b curva rectificada
 
I (m)= 40 
m=0 
b=20 
 
b: correspon- 
de a un 
precio tan 
bajo, que 
los proveedores 
no ofrecerán 
ningún 
artículo x=0 
 
 
 
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Aplicación 
 Cuando se paga 100 dólares por cada camión para 
transportar harina se ofrece 5 camiones, si se pagan 120 dólares 
por cada uno se ofrecen 9 camiones. Hallar la función oferta. 
Elaboración: 
 De acuerdo a los datos de la situación, se tiene los puntos A(5, 
100) y B( 9,120). Para hallar la función oferta se debe aplicar la 
ecuación de la recta determinada por dos puntos: 
 
 
 
 
 Los puntos considerados son: 
 
)0
1
100
120
(5, " " ( )
(9, ) " " ( )
P A eje x demanda q
P B eje y precio p
→
→
 
Reemplazo en la expresión matemática: 
 
1 0
0 0
1 0
) ( 
x x
x x y y
y y
−
− = −
−
 
100
9 5
5 ( )
120 100
x y
−
− = −
−
 
Operando algebraicamente y aplicando propiedad distributiva se 
tiene: 
 
1
x y 15
5
= − que es la función de oferta 
 
 Si se representa gráficamente, se observa que a medida que 
se paga menos por cada camión el número de oferta de los 
mismos disminuye, hasta el momento en que al pagar 75 dólares 
por cada camión no se ofrece ninguno. 
 Representar gráficamente la función oferta. 
 
x
y
 
 
 Ley o curva de la demanda 
 Una expresión que permite relacionar el precio de un producto, 
con la cantidad adquirida, se denomina ley de demanda. Su 
expresión matemática es: 
 ( )D p mp b= + 
• Si el precio aumenta, la demanda disminuye 
• Si el precio disminuye, la demanda aumenta 
• Es una función decreciente. 
• En el eje x la cantidad (por unidad) de productos adquiridos 
por los consumidores. 
• En el eje y se indica el precio. 
0 0
1 0 1 0
 
x x y y
x x y y
− −
=
− −
 
0 0 0
1 1 1
( , )
( , )
P x y A
P x y B
→
→
 
1
O 15
5
p= − 
 
 
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CANTIDAD
PRECIO
CURVA RECTIFICADA
b
 
Aplicación: 
 Si el precio de un determinado artículo es de $20, la 
demanda es de 160 unidades, si el precio es de $30, la demanda es 
de 130 unidades. Se pide: 
a) Hallar la expresión analítica de la función de la 
demanda 
b) Hallar la cantidad demandada si el precio de 
cada artículo es de $40 
c) Representar gráficamente 
 Consumo y Ahorro 
 Un economista matemático, basándose en la ley de 
psicología en que los hombres están dispuestos a incrementar su 
consumo a medida que su ingreso aumenta, pero no en la misma 
cantidad del aumento de su ingreso, explicó la relación entre las 
mejoras en los ingresos y los gastos a través de una función de 
primer grado o lineal: 
 ( ) ig m i b= + 
donde: i ingresos y ( )ig , gastos en función del ingreso. Se 
debe tener en cuenta la pendiente y la ordenada al origen. 
• m ( pendiente ) es el cociente entre los cambios en el 
consumo y los cambios en el ingreso, éste recibe el nombre 
técnico de propensión marginal a consumir y representa el 
cambio en el consumo cuando el ingreso cambia una unidad. 
• b ( ordenada al origen )es siempre positiva porque cuando 
una persona no percibe ingresos, igual gastará una cierta 
cantidad b de dinero, la que conseguirá de sus ahorros, de 
un préstamo o de alguna forma, pero hay consumos como 
los de la alimentación que no pueden dejar de realizarse. 
Ejemplo: Dada la expresión : 
50
100
( ) g i i b= + , el valor de la 
pendiente es m=
50
 
100
, lo que significa que por cada $100 de 
aumento en los ingresos se gastan $50 y se ahorra $50, si el 
ingreso disminuye en $100 dejarán de gastarse $ 50. 
 
 INTERSECCIÓN DE RECTAS → analogía con INGRESOS Y 
COSTOS 
 PUNTO DE INTERSECCIÓN → analogía con PUNTO DE 
 EQUILIBRIO DEL MERCADO 
Analizaré estos conceptos y sus análogos a través de una 
situación problemática. 
 
 
 
 
 Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad 
vendida de cierto producto. Por otra parte, el costo fijo mensual 
es de $4.800 y el costo variable de $22 por unidad. Se desea 
averiguar cuántas unidades es necesario vender por mes para 
que el ingreso sea igual al costo, y cuál es ese valor. 
b: corresponde 
a un precio 
tan alto, que 
los 
consumidores 
no comprarán 
ningún 
producto x=0 
 
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 Elaboración: 
 Tanto el ingreso como el costo mensual dependen de la 
cantidad de unidades vendidas. Si llamo “x” a la cantidad, se 
tiene: 
 
 30 (
cos 4.800
cos var 22
cos 22 4.800
 ingreso I( ) 30
 cos
Ingresos x
tos fijos
tos iables x
tos x
función x x
función
− − − −→
−−− −→
−−− −→
−−− −→ +
−− − −→ =
1)
to C( ) 22 4.800x x− − − −→ = +
 
 I y C son funciones lineales, sus gráficas son rectas. Si 
represento ambas funciones en un mismo par de ejes cartesianos 
ortogonales, se intersecan en un punto común. 
Cantidad
Precio
 
 
 El punto de intersección entre ambas rectas según la gráfica 
es: P (600, 1800) para obtener este, se aplicará un método analítico 
(por igualación, por sustitución, por determinantes, por suma o 
resta), los cuales permiten hallar el valor de sus coordenadas. 
En este caso utilizo el método por igualación. 
 
 30 22 1800
30 22 1800
 8 1800
1800
 
8
 600
x x
x x
x
x
x
= +
− =
=
=
=
 
 reemplazo este valor en
 la ecuación ( , 
 30
 30 600
 1800
 
y x
y
y
•
=
=
=
1)
 
 Como se observa, gráfica y analíticamente, que es necesario 
vender 600 unidades para que el ingreso y el costo coincidan o 
sean iguales y el valor de ello es $1.800. 
Ambas funciones forman un sistema de ecuaciones lineales: 
 
( ) 30 ( ) 
( ) 22 4800 C( )
I x x I x y
C x x x y
= =
= + =
 
 Si el P (x , y), es el punto deintersección de ambas rectas, 
entonces del par de valores ( x,y) es una solución del sistema. 
En economía este punto de intersección representaría el punto 
de equilibrio del mercado. Se denomina punto de equilibrio en el 
mercado: al punto que corresponde al precio para el cual, para un 
determinado bien, la cantidad ofertada de dicho bien es igual a la 
cantidad demandada. El precio reequilibrio corresponde a la orde-
nada del punto de intersección de las gráfica de oferta y demanda, 
siempre que para las respectivas variables de ambas funciones se 
utilice la misma unidad. 
https://www.youtube.com/watch?v=KWC-hQGw-3c 
 
Humm
m… 
https://www.youtube.com/watch?v=KWC-hQGw-3c
 
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cantidad
precio
punto de equilibrio
oferta
demanda
 
¡Cuál es el Dominio y el Conjunto de las imágenes de la función? 
 
 Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el 
conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad demandada 
depende del precio, y no el precio de la cantidad demandada. 
 Desde el punto de vista matemático es indiferente considerarlo 
de una u otra forma, y desde la óptica económica el análisis se 
simplifica al suponer que el precio está determinado por el 
mercado, o sea el conjunto de todos los oferentes y demandantes, 
por lo tanto, para cada uno individualmente el precio es un dato. 
Observe en la gráfica que la variable independiente precio se mide 
sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad 
se mide en el eje horizontal. 
 Esta forma responde a una convención entre los economistas 
para poder comparar gráficos, siempre los valores monetarios se 
representan en el eje "y", y como tal lo mantendremos en este 
curso, pero desde el punto de vista matemático, en realidad no 
graficamos a la función oferta o demanda, sino, sus funciones 
inversas. 
 
Mercados de competencia perfecta: Tipo de mercado donde el precio 
se fija por la interacción de muchos compradores y vendedores y 
ninguno de ellos puede influir sobre el precio, lo único que se 
pueden modificar son las cantidades demandadas u ofrecidas. 
 
Ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las 
cantidades mensuales demandadas de un determinado modelo de 
sillones (q), y su precio de venta (p): 
 q = f(p) = 360 - 20 p 
Para obtener el Dominio de la función buscamos los límites del 
precio p : 
¿¿Cuál es el precio para el cual el mercado ya no comprará más 
productos?? 
 
 f(p) = 360 - 20 p 
 f-1(p) = - 1/20 p + 18 
 
 360 - 20p > 0 => 360 > 20p => 360/20 > p => p < 18 
Es decir que : 
 ; 
 
Si el precio es 18, nadie está dispuesto a comprar sillones. 
Para obtener el Conjunto de las Imágenes de la función, 
buscamos los límites de las cantidades demandadas, para un 
precio cero: 
 f(0) = 360 - 20p => f(0) = 360 - 20 . 0 
 f(0) = 360 
Es decir que: 
 ; 
Si el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 
sillones. 
 Recordar que las variables económicas son NO Negativas 
https://www.youtube.com/watch?v=-Iy0JyzJ4OQ&t=8s 
https://www.youtube.com/watch?v=-Iy0JyzJ4OQ&t=8s
 
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 Clase 8: Jueves 21 / 10 / 21 
 Desplazamiento de la Demanda 
 
 Considero la ecuación de la demanda como Q = a – b p. 
Analizaré ahora qué sucede cuando, permaneciendo constante el 
precio del bien en cuestión, se altera alguno de los factores que 
bajo la condición de ceteris paribus considero constante. Esos 
factores están cuantificados en el parámetro a. Un cambio de 
cualquier factor que influya en la demanda diferente del precio del 
bien, desplazará toda la curva de demanda a la derecha o a la 
izquierda, según sea el sentido del cambio del factor. Este tipo de 
desplaza-miento se denomina cambios de la demanda, mientras que 
el resultado de variaciones del precio lo denominamos cambios en 
la cantidad demandada. Esta distinción es muy importante y se 
debe entender qué factores producen uno u otro tipo de cambios. 
Entonces, una variación del precio produce un movimiento dentro 
de la curva o sea una variación de la cantidad demandada. 
 
 Los otros factores o variables que producen desplazamientos de 
la demanda porque modifican el parámetro son: 
El ingreso de los consumidores: 
 Cuando aumenta el ingreso las 
personas pueden consumir más cantidad, cualquiera fuese el 
precio, por lo tanto, aumenta la demanda y se desplaza a la 
derecha. Por el contrario, cuando disminuye el ingreso, los 
consumidores compran menos cantidad, disminuye la demanda y 
se desplaza a la izquierda. 
 
 
Las variaciones del ingreso producen cambios en la misma 
dirección. Si bien ésta es la regla, hay excepciones: como el caso de 
los bienes llamados inferiores, como la mandioca y la grasa, cuya 
demanda disminuye cuando aumenta el ingreso. 
Los precios de los bienes relacionados: 
 El efecto depende del tipo de 
bienes: pueden complementarios y bienes sustitutos. 
Consideremos primero el efecto sobre la demanda del bien x 
cuando se produce un cambio en el precio del bien 
complementario. P. ej., si se produce un aumento en el precio de la 
nafta, ello repercute en la demanda de autos nafteros, se 
demandan menos autos y la demanda se desplaza a la izquierda. 
 
Si se tratan de bienes sustitutos, por ejemplo, la naranja y la 
mandarina, cuando aumenta el precio de la naranja, aumenta la 
demanda de mandarinas y la demanda se desplaza a la derecha. 
El gusto de los consumidores: 
 El razonamiento es sencillo. Si el 
producto se pone de moda o si por medio de la publicidad se 
convence al consumidor que es mejor, más rico, más lindo, bueno 
para la salud, etc., se demandará más cantidad independiente-
mente del precio y la demanda se desplazará a la derecha. Por el 
contrario, si pasa de moda pocas personas lo comprarán aun 
cuando se ponga en oferta a un precio más bajo y la demanda 
disminuye o sea que la curva se desplaza a la izquierda. 
Otros factores pueden influir en la demanda y producir 
desplazamientos. Para caso en particular es necesario analizar 
cuáles son los más importantes. 
 Desplazamiento de la oferta 
 Al igual que en la demanda, cuando se produce un cambio 
 
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en el precio, se produce un movimiento a lo largo de la curva de 
oferta. 
 
 Pero cuando se cambian las otras variables o factores que 
consideramos constantes, cambia el parámetro y la oferta se 
desplaza a la derecha o a la izquierda. 
Las otras variables que influyen en la oferta son: 
1. Tecnología: 
 Un cambio tecnológico produce un desplazamien-
to de la oferta a la derecha, a los mismos precios se puede ofrecer 
más cantidad. 
 
 
2. El costo de producción: 
 Si disminuye el costo de producción (p. 
ej. si baja el interés bancario que los productores pagan por los 
créditos bancarios o baja el salario de los trabajadores) a los 
mismos precios se ofrecerá más cantidad y la oferta se desplaza a 
la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece 
menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda. 
 
 
3. El precio de otros bienes: 
 Cuando aumenta el precio de la yerba, disminuye la 
oferta de té, debido a que son productos de oferta rival porque 
compiten por el mismo factor de producción: la tierra. Así 
también, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de 
cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan 
del mismo proceso productivo. 
 
Pueden influirotros factores que hay que analizar en cada caso 
particular. 
 
 video: cómo construir gráfico en ECONOMÏA 
https://www.youtube.com/watch?v=1EKbmQW-yBQ (word) 
https://www.youtube.com/watch?v=ekYuEbST6es (Excel ) 
 FUNCIONES CUADRÁTICAS EN ECONOMÍA 
 Por lo general las funciones económicas No son continuas, pero 
resultan una gran ventaja al considerarlas continua cuando se 
aplica las reglas del Análisis Matemático. Las gráficas de las 
funciones cuadráticas (parábolas) aparecen con gran frecuencia en 
situaciones de oferta, demanda, ingreso, utilidad, costo, etc. 
Costo Total 
 Dada la función costo 
2 2C x x= + − , se pide: 
a) Bosquejo de la gráfica 
b) ¿Cuál es el costo total correspondiente a un nivel de 
producción de 2, 4, 8 unidades? 
c) Determinar el costo medio que se obtiene 
CtCm
x
= 
d) Hallar el costo medio al producir 3,6 y 9 unidades 
respectivamente. 
https://www.youtube.com/watch?v=1EKbmQW-yBQ
https://www.youtube.com/watch?v=ekYuEbST6es
 
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 Elaboración 
 La función costo, es una función polinómica de segundo grado 
a) Para realizar su gráfica debe calcularse todos sus elementos. 
 
2 2C x x= + − 
Raíces: 
2
2
1,2
1 2
1 1 4.1.( 2)
2.1
0 2 
 1 x 2
C x x x
x
−  − −
=  + − =
=  = −
 A( 1 , 0 )  
B( -2 , 0 ) 
Vértice 
0 0
( , )V x y 
00 0
1 9
 
2 2 4
b
y
a
x x
−
=  = − = − 91 ,2 4( )V − − 
 Eje de simetría: 0
1
 
2
x x x=  = − 
Ordenada al origen: C ( 0 , -2 ) a > 0 
 
cantidad
precio
A B
C
V
 
 b) 
2
2
2
2
( ) 2
( ) 2 2 2
( ) 4
C x x x
C
C
= + −
= + −
=
 
2
2
4
4
( ) 2
( ) 4 4 2
( ) 18
C x x x
C
C
= + −
= + −
=
 
2
2
8
8
( ) 2
( ) 8 8 2
( ) 70
C x x x
C
C
= + −
= + −
=
 
 Los costos totales para cada unidad son: $4, $18, y $70 
c) Tm
C
C
x
= 
2 2 2
 1 donde es el costo medio funcionalm m m
x x
C C x C
x x
+ −
= = + −
 d)
2
 1 mC x
x
= + − 
 
2 10
3 C 3 1 , C 
3 3
m mx =  = + − = 
2 88
9 C 9 1 , C 
9 9
m mx =  = + − = 
Ingresos: 
 Siendo
2 28 C= x 6 8I x x x= +  + + ,las funciones costos e 
ingreso respectiva-mente de una empresa manufacturera, hallar: 
a) La función beneficio B I C= − 
b) El I y el B de vender 3 u , 10 u , 50 u 
c) Si la venta de x unidades ocasiona un costo de $323, 
calcular el valor de x y el beneficio que produce su 
venta. 
d) ¿ A partir de qué nivel de ventas se obtiene 
utilidad?. x=32u está contenida en (4, ).Calcule: I, C , B 
¿ Qué significa x = 0 en I, B? 
 Elaboración 
 
2 28 6 8I x x C x x= + = + + 
 
 
 
 
 
 
 
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 2 2
 
 8 ( 6 8) 
 2 8 función beneficio 
B I C
B x x x x
B x
= −
= + − + +
= − →
a)
 
 •
2
2
2
2
 b) I( ) 8
 I(3) 3 8 3
 I(3) 33
 I(10)=10 +8 10
 I(10) 180
 I(50) 50 8 50
 I(50) 2.900
x x x
•
•
= +
= +
=
=
= +
=
 
( ) 2 8
(3) 2 3 8
(3) 2
(10) 2 10 8
(10) 12
(50) 2 50 8
(50) 92
B x x
B
B
B
B
B
B
•
•
•
= −
= −
= −
= −
=
= −
=
 
c) 
2
2
( ) 6 8
323 6 8
C x x x
x x
= + +
= + +
 
2
2
6 8 323 0
6 315 0
x x
x x
+ + − =
+ − =
 
 
2
1,2
1,2
1,2 1 1
6 6 4 1 ( 315)
2 1
6 1296
 
2
6 36
 = 15 21 
2
se debe vender 15 unidades para alcanzar un costo de $323
x
x
x x x
• •
•
−  − −
=
− 
=
− 
=  = −
 
 B(x) = I – C función beneficio 
 B(x) = 2x – 8 
 x = 15 unidades  B(15) = 2 15 – 8 
 B(15) = 22 
El beneficio que produce al vender 15 unidades es de $ 22 
d) La utilidad se produce a partir de que el beneficio es 
positivo: 
 
 > 0
2 - 8 > 0
 2 > 8 
B
x
x 
 
 
( ) 0 4,
a partir de 4 unidades de venta se obtiene utilidad
x  x > 
 
 Si x = 32 u  x(4,  ) 
 
2 2
2 2
32 32 8 32 32 32 6 32 8
32 32
( ) 8 ( ) 6 8 
( ) ( )
( ) $1.280 ( ) $1.224
I x x x C x x x
I C
I C
= + = + +
= + = + +
= =
 
0 2 0 8 
32
( ) 2 8 
( ) 
( ) 8
B x x no hay ingreso
B no hay beneficio
B
−
= −
=
= −
 
 https://www.youtube.com/watch?v=C9hJ4WHq874 
Punto de Equilibrio 
 Hallar el precio y la cantidad de equilibrio, dadas las 
siguientes funciones de oferta y demanda (analíticamente). 
 
2
2
30 20.500
100
3
6 24.500
100
p
O p
p
O p
= − +
= − + +
 
 
 Elaboración 
 Para hallar el punto de equilibrio, tanto la oferta como la 
demanda deben alcanzar un punto de intersección, para ello utilizo 
el método por igualación. 
https://www.youtube.com/watch?v=C9hJ4WHq874
 
Página 12 de 20 
 
 
2 2
2 2
2
3
30 20.500 6 24.500
100 100
 de t min agrupando , 
3
30 6 20.500 24.500 0
100 100
 algebraicamente, se obtiene:
36 4000 0
25
p p
p p
por transposición ér o y convenientemente se tiene
p p
p p
resolviendo
p
p
multiplic
− + = − + +
+ − − + − =
− − =
2
1 2
 ambos miembros por 25
p 900 100.000 0 : p
o
p calculo las raíces p− − = 
 
 1,2 1,2 1 1
1
900 1.210.000 900 1100
 1.000 100 
2 2
 valor considerado es 1.000
p p p p
El p
 
= = =  = −
=
 
 Debo calcular la ordenada correspondiente a la abscisa $ 1.000 
 Reemplazo este valor en la primera ecuación del sistema: 
 
 
2
2
30 20.500
100
(1.000)
30 (1.000) 20.500
100
1.000.000
30.000 20.500 p : precio de equilibrio
100
10.000 30.000 20.500 q : cantidad de equilibrio 
5
E
E
p
O p
O
O
O
O
•
= − +
= − +
= − +
= − +
=
( ;q )
(1000;500)
00 
 : 
 p $ 1.000 
 q 500 
E Ep
E
E
punto de equilibrio P
P
=
=
 
 Fijación de precios 
 La demanda mensual, x , de cierto artículo al precio de p 
dólares por unidad está dada por la relación: 
 1.350 45x p= − , 
 El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica 
este producto es de $ 5 por unidad y los costos fijos son de $2.000 
al mes ¿ Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor 
con el objeto de obtener una utilidad máxima mensual ?. 
 Elaboración 
 
( ) cos total de producir x unidades al mes
I(x) ingreso por vender x unidades a p dólares
U(p) utilidad
C p to→
→
→
 
 
 
( )
cos variable C 5
cos fijo C $2.000
v f
v v
f f
C p C C
C to x
C to
= +
= =
= =
 
 
 
( ) 5 2.000 función costo total
1350 45 función demanda 
sustituyo en C(p)= 5 (1.350-45p)+2.000
resolviendo algebraicamente:
C(p)= 5 1.350-45 5 p+2.000
C(p)= 6.750-225p+2.000
C(p)= 8.7
C p x
x p
•
• • •
= + →
=− →
50-225p
 
 
Página 13 de 20 
 
 El ingreso I (en dólares) obtenido por vender x unidades a p 
dólares por unidad es: 
( ) : por unidad por número de unidades vendidasI p precio 
2
I(p)=p x
I(p)= p (1.350 -45 p)
I(p)= 1350 p -45 p
•
• 
La utilidad (en dólares) está dada por la diferencia entre el ingreso 
y el costo. 
 
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) 1350 45 (8.750 225 )
( ) 1350 45 8750 225
( ) 8.750 1.575 45
( ) 45 1.575 8750 cuadrática
U p I x C x
U p p p p
U p p p p
U p p p
U p p p función
= −
= − − −
= − − +
= − + −
= − + − →
la parábola se abre hacia abajo, por lo que 
la utilidad
a = -45 a < 0 
( , ( )) p=$17,5V p U p
 máxima se alcanza en el vértice de la parábola
 
 
2
2
( ) 45 1575 8750
(17,5) 45(17,5) 1575 17,5 8750
(17,5) 5031,25
U p p p
U
U
•
= − + −
= − + −
=
 
Respondiendo en la situación planteada: 
 Un precio p=$17,50 por unidad deberá fijarse al consumidor 
con el propósito de obtener una máxima utilidad que representa 
U(p)= $5031,25 al mes. 
https://www.youtube.com/watch?v=2BJYf9WFlVE&t=0s 
 Clase 9: Jueves 28 / 10 / 21 
 Función Beneficio ( utilidad ) 
Situación problemática: 
 Una estación de servicio describe el 
beneficio semanal, de acuerdo con los litros de nafta que vendió. Esta 
descripción se expresa mediante la fórmula siguiente: 
2
( ) 46 205B x x x+= − − donde B es la función beneficio de la empresa 
expresada en $ y la variable independiente x en miles de litros. 
Se desea saber: 
a) ¿Cuánto dinero pierde si no vende ningún litro de nafta? 
b) ¿Cuántos litros se debe vender para que el beneficio sea 
máximo? 
c) ¿Para qué cantidad de litros no hay pérdida ni ganancia? 
d) Realice un bosquejo de la función beneficio, indicando 
todos los elementos necesarios para interpretar la 
situación. 
e) ¿Cuántos litros de nafta deberá venderse para que la 
actividad sea rentable? 
f) ¿En qué intervalo la función beneficio se incrementa a 
medida que se acerca al beneficio máximo? ¿En qué 
intervalo la función beneficio disminuye a medida que se 
aleja del beneficio máximo? 
g) ¿Para qué cantidad de litros, la ganancia tiene el mismo 
valor?. ¿Qué significado tiene este en análisis matemático y 
su analogía con la economía? 
h) ¿La función beneficio sólo toma valores positivos?. 
Justifique 
i) Si la ganancia es $ 180 ¿Cuántos litros se vendió? 
https://www.youtube.com/watch?v=2BJYf9WFlVE&t=0s
 
Página 14 de 20 
 
 Elaboración 
 La función beneficio tiene su analogía con la función 
cuadrática: 
a) Para responder a este interrogante, se debe tener en cuenta el 
concepto de ceros de una función. 
De acuerdo a la situación, si no se vende ningún litro, se debe 
calcular: (0)B 
 
2
(0) 0 46 0 205
(0) 205 ordenada al origen
B
B
•= − + −
= −
 
 Si no vende ningún litro, pierde $ 205. 
b) Se debe buscar el valor que hace máximo el beneficio, es decir 
que observando que el coeficiente del término cuadrático a 
(negativo), por lo este valor se encuentra en el vértice de la 
parábola, por lo tanto debo buscar sus coordenadas. 
 
0 0
( , )x yV 0 -- un máximoa tiene → 
 0
46
2( 1)
x = −
−
 
0 23x = 
2
23( ) 23 46 . 23 205B += − − 
0 0(23) 324 (23) y 324B B y= = = 23 324( , )V 
 Se deben comercializar 23 mil litros de nafta para que el 
beneficio sea máximo, obteniendo una ganancia de $ 324. 
c) Para determinar la cantidad de litros que se debe comercializar 
para no perder, ni ganar dinero, debo hallar los valores para los 
cuales la variable independiente x en el que el beneficio se 
anula, es decir las raíces de la ecuación cuadrática. 
 
2
1,2
4
2
b b ac
a
x
−  −
= 
2
1,2
 46 46 4 ( 1) ( 205)
2( 1)
x
−  − − −
−
= 
 
1 21,2
 46 36
 5 x 41
2
x x
− 
= =  =
−
 
 Los valores que anulan el beneficio, es decir en los cuales no 
hay ganancia ni pérdida son 5, y 41 
Calculando: 
 
1
2
 5 (5) 0 se cubren sólo los gastos
 x 41 (41) 0 se cubren sólo los gastos
x B no hay ganancia
B no hay ganancia
=  =
=  =
 
d) Si se desea determinar cuántos litros de nafta debe venderse 
para que la actividad sea rentable, es decir que hay ganancia 
cuando la función beneficio toma valores positivos, si toma 
valores negativos se produce pérdidas. 
 Estos temas se relacionan con los conceptos de conjunto de 
positividad y conjunto de negatividad. 
 
 Para calcular los litros que hay que vender para obtener 
ganancia , se determina los valores de x para los cuales la función 
beneficio es positiva: (5 , 41)C
+
= 
 Hay ganancia cuando el nivel de venta varía entre 5 mil y 41 
mil litros. 
 Para determinar los valores de x para los cuales la función 
beneficio es negativa, lo que indica que hay pérdida, se señala en 
la gráfica con : 
  ) ( 0 , 5 41 , 50C− = 
 Hay pérdidas si los niveles de venta varía entre o y 5 mil 
litros o entre 41 y 50 mil litros. 
 El mayor beneficio alcanza cuando se venden 23 litros por lo 
que se obtiene una ganancia de $324. Si se aproxima o aleja del 
valor máximo está relacionada con los conceptos de intervalo de 
crecimiento e intervalo de decrecimiento 
Si se observa la gráfica en el intervalo 5 a 23 , la función 
Candidad de litros que maximiza el beneficio 
 
 
 
 
 
Página 15 de 20 
 
beneficio crece, es decir que el intervalo de crecimiento está dado 
por:  )5 , 23Ic = 
Si se observa la gráfica en el intervalo 23 a 41 , la función 
beneficio decrece, es decir que el intervalo de decrecimiento está 
dado por: ( 23 , 41Id = 
g) La gráfica de la función beneficio es una función par 
( cuyo eje de simetría es la recta paralela al eje y que pasa por 
el vértice), por lo que presenta puntos simétricos, es decir que 
valores distintos de la variable independiente , la función toma 
o alcanza los mismos valores(según el análisis matemático). 
 Ejemplo: 
1
2
 15 
 x 31 
x = 
= 
(15) = 260 
(31) 260 
B
B =
 
 En economía esto significa que si se vende 15 litros o 31 
litros de nafta las ganancias son las mismas, es decir que tiene la 
misma rentabilidad, porque si se considera respecto del beneficio 
máximo los valores se acercan a éste o se alejan de él 
simétricamente. En la empresa conviene considerar los beneficios 
en los puntos simétricos. 
h) La función beneficio sólo toma valores positivos porque el 
objetivo es obtener ganancias y no pérdidas. Esto responde al 
concepto de conjunto de positividad revisado anteriormente. 
i) Si se obtiene una ganancia de $180, se debe averiguar 
cuántos litros de nafta se vendió. Para ello se debe tener en 
cuenta la expresión: 
 
2
( ) 46 205B x x x= − + − , donde ( ) 180B x = 
Sustituyendo en la expresión, resulta: 
2 46 205 180x x+− − =
(ecuación cuadrática) 
 2
1 2
2
46 385 0 la ecuación se obtiene:
11 35 
46 205 180 0
 
 
x resolviendo
x x
x
x x
+
+ − =
= =
− − − =
− 
 Para obtener una ganancia de $180 se debe vender 11 y 35 
litros ( puntos simétricos) 
 Es decir que las coordenadas en y es 180 ( ganancia), por los que 
los valores de x y de y son las coordenadas de los puntos 
simétricos que ellos determinan :1
2
(11;180)
(35;180)
 
 
P
P
 son puntos simétricos 
 Es decir que, si se venden 11 litros o 35 litros, se obtiene el 
mismo beneficio. 
 ¿cuál es tu opinión respecto a este interrogante?? 
5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
-100
100
200
300
400
miles de l
B(x) en pesos
M (máximo beneficio)
P1 P2
 
Te propongo los siguientes videos, para comprender mejor los 
temas: 
https://www.youtube.com/watch?v=vAtTMpPYCxc 
https://www.youtube.com/watch?v=75ju_-l8VfY 
https://www.youtube.com/watch?v=oa7j1jfUA54 
https://www.youtube.com/watch?v=vAtTMpPYCxc
https://www.youtube.com/watch?v=75ju_-l8VfY
https://www.youtube.com/watch?v=oa7j1jfUA54
 
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 Aplicación 
 
 a) Encuentre el punto de equilibrio de mercado entre 
las funciones oferta demanda de electrodomésticos 
dadas por: p+q2=1250 p-q2-60q=900 
 b) Si el precio de los electrodomésticos es de $ 1156, 
¿qué relación puede establecer entre la oferta y la 
demanda de electrodomésticos a este precio? 
 c) Si se producen 10 electrodomésticos, ¿qué relación 
puede establecer entre la oferta y la demanda? 
 d) Graficar 
 Elaboración 
a) Punto de equilibrio (aplico método por igualación) 
 -q2+1250=q2+60q+900 
 2q2+60q-350=0 
1
2
1,2 1,2
1,2 1,2
2
 5
 -35
60 60 4 2 ( 350) 60 3600 2800
 
2 2 4
60 6400 60 80
4 4
q
q
q q
q q
=
=
−  −   − −  +

−  − 
= =
= =
 
 q1= 5 , q2= -35 éste valor se descarta porque las cantidades 
siempre son positivas. 
 Como q= 5 
 p= -(5)2+1250 p=-25+1250 p=1225 
 Las coordenadas del punto de equilibrio son: P (5;1225) 
 
b) Oferta p = q2+60q+900 
 1156 = q2+60q+900 1156-900 = q2+60q 
 256 = q2+60q --→ q2+60q -256 = 0 
 
1
2
1,2 1,2
1,2 1,2
2
 4
 - 64
60 60 41( 256) 60 3600 1024
 
21 2
60 4624 60 68
2 2
q
q
q q
q q
=
=
−  −   − −  +

−  − 
= =
= =
 
 A este precio la cantidad producida de electrodomésticos será 
de 4 unidades. 
 Demanda p = -q2+1250 
 1156 = -q2+1250 
 q2 – 1250 + 1156 = 0 q2 – 94 = 0 
 1
2
 9.69
 9.69
94 9.69
q
q
q q
=+
=−
=  → =  
La cantidad demandada de electrodomésticos será, aproximada-
mente, 9 unidades. 
 A este precio la cantidad demandada de electrodomésticos 
supera la oferta realizada. q= 10 
 Oferta p = (10)2+60×10+900 p =100+600+900 p=1600 
 Demanda p = -(10)2+1250 p = -100+1250 p=1150 
 El precio al que se producen los electrodomésticos es superior 
al que las personas están dispuestas a pagar. 
 
 
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 FUNCIÓN RACIONAL: 
 Una función racional es aquella definida como el cociente 
entre dos funciones polinómicas de la forma: 
 
( )
( )
( )
x
x
x
p
f
q
= 
donde ( )xp y ( )xq son funciones polinómicas en " "x y ( ) 0xq  
• El dominio de una función racional es el conjunto de los 
reales, excepto aquellos valores que anulan el denominador. 
• Para determinar su dominio es necesario analizar el 
denominador 
• Los valores que anulan el denominador representan en la 
gráfica rectas paralelas al eje de las “y”. 
• Estos valores representan rectas de ecuación, las cuales 
definen un concepto muy importante en las funciones de 
esta clase, denominada asíntotas. 
EJEMPLO 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x
y
x = 3 recta de ecuación Asíntota
 
 ASÍNTOTAS 
 La asíntota representa una recta donde la gráfica de la 
función se aproxima indefinidamente a la curva, es decir que no la 
toca ni la atraviesa. 
Las asíntotas pueden ser: 
 Asíntota vertical ( A.V) 
 Asíntota horizontal (A.H) 
 Asíntota oblicua (A. O) 
Asíntota vertical: 
 Si ( )xf tiende a infinito a más o menos infinito cuando x 
tiende a 0x por derecha o por izquierda, se dice que la recta 
0x x= es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Son 
 
1
( )
3
f x
x
=
− 
Análisis del denominador: 
3 0 3x x−    
 3fD R= −
  ( ) ( ) / 3 , 3 3,ó D x R x ó Df f=   = −  
 3 recta de ecuaciónx −→= 
 
1
4
1
3
1
2
 ( )
1 
 0 
 1 
 2 1
 4 1
x f x
− −
−
−
−
 
 
 
Página 18 de 20 
 
rectas paralelas al eje “y” determinada por puntos que no 
pertenecen al dominio de la función. 
 Si . 
0 0
 A.V
f
x D  →  (x)f x= x 
Ejemplo: ( )
1
3
xf
x
=
−
 0 3x = 
 Si . 
0
3 A.V
f
x D  = (x)f x= 
Asíntota horizontal: 
 Si ( )xf tiende a un valor finito cuando x tiende a más o 
menos infinito, se dice que la recta ky = es una asíntota hori-
zontal de la gráfica de la función. Son rectas paralelas al eje “x”. 
 Si . A.Hkx k→→   (x)f y= 
Ejemplo: 
2
2
2
( )
2
x x
xf
x
−
=
−
 
2
2
2
( ) lim
2x
x x
xf
x→
−
=
−
 
2
22
2 22
2 2
2 2 2
divido numerador y denominador en x
22
lim separo numrador lim 
2 2x x
x xx x
x xx
x x
x x x

 

→ →

−  
−

− 
−

= =(x) (x)f f
 
 Evalúo el límite 
2
1
2
 
2
1
−

−

=(x)f 
2
1 1
0 0=  =
 
 
 y = 2 A. H.2 =(x)f 
Asíntota oblicua: 
 Cuando x → la diferencia del punto de la gráfica de la 
función y del correspondiente de la asíntota tiende a cero. 
 En símbolos y= m x + b es asíntota de (x)f sí y sólo sí 
 lim ( ) ( b) 0
x
f x m x
→
− + = para ello se debe determinar el valor de 
“m” y de “b” a través de las siguientes fórmulas: 
  
( )
lim b = lim ( ) 
x x
f x
m f x m x
x→ →
=  − 
Ejemplo: 
22
( )
2
x x
x
x
f
−
−
= 
Para saber si presenta asíntota oblicua se debe hallar el valor de 
“m” y de “b” a través de las expresiones dadas: 
 
 
2
2
2
 
( )
 
 
 
 
2
2lim lim
2
lim
2
 
(2 1)
lim 
( 2)
 " "
x x
x
x
f x
m m
x
m
m
x x
x
x
x x
x x
factorizo
x x
x x
Cálculo de m
→ →
→
→
= =
=
=
−
−
−
−
−
−
numerador y denominador y simplifico
 
2 1
 lim
2
 
2 1 1
1
lim . : lim
2 2
1
1
1
 2
2
1
x
x x
m
m m
m
x
x
divido
x
x xseparo num y simplifico
x
x x
evalúo el límite m
→
→ →
=
= =
=
−
−
−
−
−
−
−
 =
−

numerador y denominador en "x"
 
 
Página 19 de 20 
 
 
 
 
 lim ( ) 
22
 lim 2 
2
3
 lim
2
 min " "
3
 lim
2
3
 lim
2
 lim
 " "
x
x
x
x
x
x
b f x m x
x x
b x
x
x
b
x
divido numerador y deno ador en x
x
x
b
x
x
b
x
x x
b
Cálculo de b
→
→
→
→
→
→
= −
 −
= − 
−  
=
−

=
−
=
−
=
3
2
1
 
3
 b= 3
1 0
x
evaluando el límite
b
 −
=
−
 
 
 Una vez calculado el valor de “b” y de “m”, se debe 
reemplazar en la expresión: y = m x + b: 
 m = 2  b = 3 
 
2 3
 
y x= +

 
 Esta función lineal es la recta de ecuación de la asíntota 
oblicua. 
 
x
y
y = 2x+3
asíntota oblicua
 
 
 APLICACIONES ECONÓMICAS 
 La aplicación económica e esta clase de funciones es muy 
restringida, es decir que son muy poco losconceptos de economía 
que tienen analogía con la función racional. 
 Los conceptos más frecuentes son el desempleo, el salario, 
etc, expresados por un modelo matemático. Un destacado 
economista y matemático relacionó estos términos con la 
matemática hasta llegar a un modelo y un principio de vínculo 
entre las variables existentes. 
 Phillips (economista) fue quién a través de un trabajo 
realizado en el año 1.958 determinó una relación entre el 
desempleo y el salario (principio matemático). Él afirmó: ”cuando la 
demanda de un servicio es alta con respecto a la oferta se espera 
que suba su precio, tanto más cuanto mayor sea el exceso de 
demanda. Por el contrario cuando la demanda es baja con 
respecto a la oferta se espera que el precio disminuya, tanto más 
cuanto mayor sea el exceso de oferta. Parece razonable suponer 
que este principio debe operar como uno de los factores que 
 
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determinan la modificación de los salarios nominales, que son los 
precios de los servicios laborales”. 
 Este principio afirma que el trabajo puede ser considerado 
como mercadería que ofrece el trabajador y lo que se paga por él 
está regido por las leyes de la oferta y de la demanda. 
 Phillips propuso una expresión matemática para explicar el 
proceso: 
1
8, 2 1, 4y
x
 
= − 
 
 donde y : es el porcentaje de 
aumento o reducción del sueldo medido en cambio porcentual 
anual en tasas de salarios. 
 x : es la tasa de desempleo 
La expresión también puede escribirse: 
8, 2
1, 4y
x
= − 
Sacando común denominador: 
8,2 1,4 
y
x
−
=
x
, donde 0x  
 FUNCIÓN IRRACIONAL: 
 Una función irracional se expresa de la siguiente forma: 
 ( ) 0 x nf x=  con n par x 
Observa el análisis de los siguientes ejemplos, teniendo en 
cuenta el radicando y el índice correspondiente a cada uno 
5( ) 1) xf x= fD = R radicando : + 
 índice : impar x = 0 f(o) = 0 x = 1 f(1) = 1 x = -1 
 f(-1) = -1
 
 
4 ( ) 
4 1
4 16
2) f x x=
−
−
radicando : + índice : par
 x=0 f(o)=0 x=-1 f(-1)=
 x=1 f(1) =1 x=-16 f(-16)= 
  x=16 f(16) = 2 radicando negativo R
 
 
 
2
2
( ) 
4
0 2 
20 4.0
2 no real
0
3) x xf
x x
+
−

+=
−
radicando : + índice : par 
 x =0 f(0) =
f(0) = f(0) =
 
1 2 3 1 no real
2 31 4.1
( 1) 2 1 valor real 
52( 1) 4.( 1)
 
+ −
−−
− +
− − −
x = 1 f(1) = f(1) = f(1) =
x = -1 f(0) = f(-1) = 
 
A través del análisis de cada función se llega a las conclusiones 
siguientes: 
 1) El radicando es positivo y el índice es impar, como no presenta 
ninguna restricción, el dominio de la función es el conjunto de 
los reales, x : puede tomar valores positivos, negativos, e 
incluso el cero, es decir todos los reales. 
2) El radicando es positivo pero el índice es par, la variable 
independiente sólo puede tomar el 0 y valores positivos, es 
decir que hay una restricción del dominio, por lo que este 
pertenece al intervalo )0,  
 
4
( ) xf x= se debe hacer un análisis del radicando cuando 
el índice es par: 
  )0 , 0,x   x  )  0, , ó / 0f f fD D R D x R x
+=  = =  
. 
3) Como el radicando es una función racional, debo analizar el 
mismo teniendo en cuenta tanto el numerador como el 
denominador con las condiciones que este exige.