Teórico Matemática Financiera

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MATEMATICA FINANCIERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS de CÁTEDRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. ELVIRA CARRIZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
INDICÉ 
 OPERACIÓN FINANCIERA ………………………………………………………..5 
 Postulado Fundamental………………………………………… …………………8 
 Tasa de Interés……………………………………………………. ……………….8 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO DISCRETO. ……………………….. …11 
Valor del capital cuando se capitalizan los intereses o Monto…………………11 
Operaciones Financieras Fundamentales……………………...........................15 
Operación de Capitalización……………………………………………………….15 
Operación de Actualización………………………………………………………..16 
Operaciones financieras equivalentes……………………………… …………...17 
Tasa de interés equivalente……..…………………………………………………18 
Utilidad de las tasas equivalentes……………………………….. ……………….21 
Valor del capital cuando se retiran los intereses 
al final de cada unidad de tiempo…………………………………………………22 
Tasas proporcionales de interés…………………………………………………...24 
Tasas acumuladas equivalentes…………………………………………………...27 
Incidencia de impuestos y gastos en 
operaciones financieras……………………………………………………………..28 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO CONTINUO……………………………..30 
Valor del capital al final de la operación financiera 
o Monto en el campo continuo……………………………………………………….30 
OPERACIÓN DE DESCUENTO DE DOCUMENTO…………….……………….36 
Interés y Descuento……………………………..…………………….……………..36 
Tasa de descuento …………………………………………….…….………………38 
Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés ……………………….39 
Tasa proporcional anual de descuento………………………… …………………42 
RENTAS CIERTAS…………………………………………………………………..44 
Rentas ciertas su equivalente financiero…………………………………………..44 
Valuación de uno o múltiples pagos. ………………………………………………44 
Valuación de pagos al final de la operación……………………………………….44 
Valuación de pagos al inicio de la operación. …………………………………….52 
Valor actual de pagos diferidos……………………………………………………..59 
SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE DEUDAS…………………………………..62 
 Características generales de todo sistema 
 de amortización de deuda …………………………………….………….…………63 
Elementos de los sistemas de amortización ……………………………………...63 
 Algunos sistemas de amortización de deudas 
 con características particulares ………………..……………………….……. ..….67 
 Sistema de amortización de cuotas iguales……….………………….………..…67 
Sistema de amortización de amortizaciones iguales………….. ……………….72 
Equivalencia de los sistemas de financiamiento …………………………………75 
 Sistemas de amortización de deuda mediante 
 el primer pago diferido……………………………………………. ……….………..75 
 Tasa de amortización. ………………………………………….………….………..80 
 RENTAS CIERTAS DE PAGOS IGUALMENTE ESPACIADOS Y 
 VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA…………………………….……84 
 Valor actual de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética crecientes ……………………..………………….…….84 
 Valor actual de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética decrecientes…………………………………………….86 
 Valor final de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética crecientes …………………………….…….….……….87 
 Valor final de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética decrecientes …………………………………………….88 
 Aplicación de valor actual de rentas ciertas de pagos 
 3 
 vencidos y variables en progresión aritmética ………………………….……89 
 RENTAS CIERTAS DE PAGOS IGUALMENTE ESPACIADOS Y 
 VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. ……………………………95 
 Valor actual de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión geométrica ……………………………………………………….95 
 Valor final de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión geométrica. ………………………………………………………..98 
 Aplicación del valor actual de rentas ciertas de pagos vencidos y 
 variables en progresión geométrica……………………………………………..99 
 VALUACIÓN DE DEUDA: USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD.………..…102 
 Usufructo y Nuda Propiedad en los sistemas 
 de amortización de deudas…………………………………………………...…..102 
 Nuda Propiedad Y Usufructo en los sistemas de amortización de 
 deudas de cuotas constantes e iguales, sistema Francés…………….….......103 
 Nuda propiedad y Usufructo en los sistemas de amortización de 
 deudas de cuotas decrecientes y amortizaciones constantes 
 e iguales, sistema Alemán………………………………………………….……..108 
 CORRECCIÓN MONETARIA: ……………………………………………….......109 
 Análisis de operaciones financieras en un contexto 
 inflacionario…………………………….. …………………………………….109 
METODOS DE CÁLCULO QUE DISTORCIONAN 
 EL VALOR DE LA TASA ENUNCIADA……………………………………….….115 
 Sitema de amortización mediante el interés cargado o directo……………115 
 Sitema de amortización mediante el interés descontado…………………. .116 
 PROYECTO DE INVERSIÓN………………………………………………118 
 Proyectos de Inversión: concepto…………………………………………...…...118 
 Proyectos de inversión: elementos………………………………………..….….118 
 Rentabilidad de un proyecto de inversión……………………………………….121 
 Criterios de selección de proyectos de inversión………………………….…..121 
 Criterio del valor capital (VC)……………………………………………….……122 
 Criterio del periodo de reintegro con valores actuales (PR)…………….……124 
 Criterio de la tasa interna de retorno (TIR)……..………………………….…..127 
 Consistencia de la TIR……………………………………………………….…..129 
 Perfil del Valor Capital……………………………………………………….…..132 
 Análisis comparativo entre los 3 criterios de selección de proyectos 
 de inversión que consideran el valor capital en el tiempo……………….……133 
Tasa de intersección de Fisher………………………………………………...134 
TÍTULOS PÚBLICOS……………………………………………………………137 
Elementos del empréstito……………………………………………………….137 
Sistema de financiamiento del empréstito……………………………………138 
Elementos del título……………………….………………………………….… 138 
Sistema de financiamiento de cada título………………………………….…139 
Paridad de un título……………………………………………………………...142 
 FUNCIONES BIOMÉTRICAS…………………………………………………...143 
 Cantidad de personas de edad exacta x……………………………………..143 
 Cantidad de personas fallecidas entre dos edades consecutivas………...144 
 Números de años vividos por la generación l 0 
 entre las edades x y x+1………………………………………………………145 
Cantidad de personas comprendidas 
 entre dos edades exactas, x y x+1…………………………………………..146 
Probabilidad sobrevivencia de que una persona de edad exacta x ……...146 
Probabilidad de muerte de una persona de edad exacta x………….…….147 
Tasa de mortalidad……………………………………………………………..148 
Tasa central de mortalidad…………………………………………………….148 
 4 
Cantidad de años que vivirá el grupo desde la edad x 
hasta su total extinción, simbolizada por T x…………………………….….149 
Esperanza de vida o expectativa de vida…………………………………....150 
Relación entre la tasa de mortalidad y la tasa central de mortalidad……..150 
Tablas de vida……………………………………………………..………..…..151 
Metodología para la construcción de una tabla de vida………………..…..151 
SEGURO SOBRE LA VIDA DE LAS PERSONAS…………………………..153 
Seguro en caso de vida…………………………………………………………154 
Capital diferido…………………………………………………………………...154 
Rentas vitalicias………………………………………………………………….154 
Renta vitalicia inmediata……………………………………………………..…155 
Renta vitalicia diferida………………………………………………………..…155 
Renta vitalicia temporaria …………………………………………………..….156 
Renta vitalicia interceptada………………………………………….………....157 
Seguro en caso de muerte…………………………………………………..…158 
Seguro inmediato ………………………………………………………..……..158 
Seguro diferido……………………………………………………………..……158 
Seguro temporario…………………………………………………………..…..159 
Seguro interceptado………………………………………………………..……159 
Bibliografía…………………………………………………………………..……160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
OPERACIÓN FINANCIERA: 
 
 No toda transacción en dinero puede considerarse operación financiera. 
 
 Se dice que una operación financiera, es una transacción en dinero no 
simultanea en el tiempo de la cual surge la retribución por usar un capital ajeno. 
 
 Se observan tres elementos que intervienenen una operación financiera: 
 
 Capital prestado 
 Retribución. 
 Tiempo transcurrido. 
 
 Capital prestado = capital que entra a la operación financiera (CI) 
 Retribución = pago por usar el capital ajeno ( I ) 
 Capital Final = capital que sale de la operación financiera (CF). 
 
 
El capital al final de la operación financiera es mayor que el capital al inicio: 
 
 CF > CI 
 
Para igualar esta expresión debemos sumar al capital inicial los intereses: 
 
CF = CI + I 
 
La presencia del interés es quien determina si la operación con dinero es o no 
financiera, será financiera toda operación de préstamo de dinero donde se 
cobre por usar el capital ajeno. 
 
 
Ejemplo: 
Por un préstamo de $.1.000 realizado durante 1 mes, se cobran $ 30. 
Identificamos los elementos: 
 
Capital prestado $ 1.000.- 
Retribución $ 30.- 
Tiempo transcurrido 1 mes. 
 
Se observa que el capital a devolver al finalizar el mes es $ 1.030, constituido 
por el capital prestado y la retribución. 
Llamamos: 
 
 Capital Inicial (CI): al capital prestado. 
 Interés (I): a la retribución pagada por usar el capital ajeno. 
 Capital Final (CF): al capital inicial más los intereses. 
 
 
 1030 = 1000+30.- 
 
El capital al final del mes es mayor que el capital al inicio de sea unidad de 
 6 
tiempo: 
 
 CF > CI 
 
El capital final es igual al capital inicial, pero ubicado en otro momento, al final 
de la operación financiera, luego que ha transcurrido el tiempo por el cual se paga 
por usar el capital prestado. 
 
Para igualar esta expresión se suman al capital inicial los intereses o los 
mismos se restan del capital final: 
 
 CF = CI + I o CI = CF – I 
 
Ambas expresiones son correctas, pero como los intereses surgen a 
consecuencia del capital prestado, el capital inicial es quien da origen a los 
intereses, por lo que nos inclinamos por la expresión donde los intereses se suman 
al capital inicial. 
 
 
Para obtener el importe del capital final será necesario que el tiempo transcurra, 
tiempo o periodo por el cual se usa el dinero prestado, dando origen a esa 
retribución por usar el capital ajeno: 
 
Se observa gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes Tiempo 
 
 
Avanzando en el desarrollo, se comprenderá la función exponencial graficada 
 
Los $ 30 representan el interés pagado por usar $ 1.000 durante un mes, es 
fundamental el definir un interés determinado a que capital inicial corresponde y 
cual es el plazo del préstamo, es decir aclarar cual es el capital que da origen a 
ese interés y por cuanto tiempo se presta dicho capital. 
El capital final es el importe del capital inicial ubicado en otro momento en el 
tiempo. 
Las transacciones financieras generan transformaciones en los valores 
monetarios una vez que el tiempo ha transcurrido. Vemos como $ 1.000 durante 1 
Capital. 
1.000 
1.030 
30 
 7 
mes se transforman en $ 1.030, notamos el crecimiento del capital a medida que 
pasa el tiempo. 
 
Si por lo contrario se realiza el préstamo de $ 1.000 durante 1 mes y al finalizar 
ese plazo se pacta devolver solo el capital prestado ($ 1.000), esta transacción no 
es financiera, ya que no se paga por el uso del capital ajeno. 
 
La presencia del interés es quien determina si la operación con dinero es o no 
financiera, en otras palabras, será financiera toda operación de préstamo de dinero 
donde se cobre por usar el capital ajeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Postulado Fundamental. 
 
De lo expresado anteriormente se desprende el postulado fundamental en la 
teoría del interés que dice: 
 
“El crecimiento del capital en la operación financiera es continúo a medida que 
transcurre el tiempo” 
 
La operación financiera es un proceso de transformación del capital, el capital 
prestado, capital que se introduce en el proceso, que entra en el circuito financiero, 
una vez que se transforma en un capital distinto, es el que sale del circuito, el 
importe del mismo es mayor ya que incluye el capital inicial y sus intereses. 
 
El crecimiento del capital en la operación financiera es similar al crecimiento 
biológico en los seres vivos, este crecimiento se produce continuamente. Lo 
demostramos más adelante, cuando analizamos el comportamiento del interés en 
el campo continúo. 
 
 
 Tasa de Interés. 
 
El crecimiento del capital es permanente y continúo durante el lapso de tiempo 
por el cual dura la transacción monetaria, este crecimiento se mide en un momento 
determinado. 
 
El crecimiento operado en el capital inicial es precisamente la retribución 
pagada por usar el capital ajeno, es el interés. 
 
En el ejemplo dado anteriormente, $30 es el crecimiento de $1.000 prestado 
durante 1 mes, es el interés de la operación financiera: 
 
 Correspondiente a $ 1.000 
 
Interés de la operación $ 30 Interés 
 Durante un mes. 
 
Para determinar el interés unitario de esta operación, será necesario 
preguntarnos: ¿Cuánto se pagará por cada peso prestado durante un mes, si por 
cada $ 1.000 se paga $ 30?. 
 
Para determinar el interés unitario, se realiza el cociente entre el interés y el 
capital inicial, en el ejemplo $30 dividido $ 1000, se logran 0,03 que es el interés 
de cada peso prestado durante un mes, este interés unitario es denominado Tasa 
de interés mensual. 
 
 
 Correspondiente a $ 1 
Tasa de interés mensual. 0,03 Interés 
 
 Durante un mes 
 
 9 
 
 
El interés de cada unidad de capital inicial en un mes es igual a 0,03 
mensuales y representa la tasa de interés, que se define como, el interés de un 
capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo, entendiéndose por unidad de 
tiempo, al momento al final del cual se calculan o computan los intereses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes 
 
 
La tasa de interés es 
- el interés de un capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo. 
- lo que se le suma al capital inicial de $ 1 para encontrar su valor final. 
 
Por ahora se simboliza: 
 
Capital inicial por C.I. 
 
Capital final por C. F. 
 
Interés por I 
 
Tasa de interés por i 
 
C.F – C.I = I = i 
 C.I C.I 
Así también para determinar el interés de $1.000 prestados por 1 mes 
conociendo la tasa de interés mensual, se procede: 
 
I = 1000 x 0,03 = 30 intereses de $1000 en un mes. 
 
 
I = CI x i para determinar el interés al final de una unidad de tiempo, bastara 
multiplicar el capital inicial por la tasa de interés correspondiente a esa unidad de 
tiempo: 
 
Es importante tener presente que el calculo del interés mediante la expresión CI 
x i (capital inicial por tasa de interés) es valida solo por que el número de unidades 
de tiempo es uno, de lo contrario el calculo del interés se realiza mediante la 
diferencia entre el capital final y el capital inicial CF - CI 
 
1 
1 + 0,03 
0,03 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se grafica la tasa de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Tiempo 
 
 
Se define, entonces a la tasade interés como el incremento o interés de un 
capital inicial de $1 en una unidad de tiempo, o lo que se le suma al peso inicial 
en una unidad de tiempo, para encontrar su valor final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tasa de 
interés 
i 
Relación de 
1 en 1 
Interés de un capital 
inicial de $1 en una 
unidad de tiempo 
Capital. 
1 
1 + i 
i 
 11 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO DISCRETO. 
 
Valor del capital cuando se capitalizan los intereses o 
monto. 
 
El capital retirado de la operación financiera (C.F.) es función del capital 
prestado (C.I.), del tiempo que dura el préstamo o plazo de la operación y de la 
tasa de interés aplicada a la operación. 
 
Se supone un capital prestado de $ 1.000 durante un cuatrimestre, a una tasa 
de interés mensual del 0,03, entonces: 
 
Datos: 
C.I. = $ 1.000 
i = 0,03 mensual 
Plazo = 4 meses 
Unidad de tiempo = mes 
Numero de unidades de tiempo = 4 
 
Es importante determinar la unidad de tiempo de la operación, en nuestro caso, 
el mes, al aplicar la tasa mensual, los intereses se calculan mensualmente; en 
nuestro ejemplo los intereses se calculan mensualmente para continuar en la 
operación financiera, este procedimiento se denomina capitalización de los 
intereses: 
 
Se aplica la expresión para el cálculo de los intereses, I = C. I. × i y la 
expresión para el cálculo del capital final, C.F. = C.I. + I, Se realiza el análisis de 
las operaciones en cada una de las cuatro unidades de tiempo que dura la 
operación financiera: 
 
1º mes 
 
C.I. = 1.000 
I1º = 1.000 × 0,03 = 30 
C.F = 1.030 
 
2º mes 
 
CI = 1.030 
I 2º = 1.030 X 0,03 = 30,90 
CF = 1.060,90 
 
3º mes 
 
CI = 1060,90 
I 3º = 1060,90 X 0,03 = 31,82 
CF = 1092,72 
 
 
 
 
 12 
4º mes 
 
CI = 1092,72 
I 4º = 1092,72 X 0,03 = 32,78 
CF = 1125,50 
 
 
Se observa el importe mayor de los intereses I1º < I 2º < I 3º < I 4º a medida que 
transcurre el tiempo, esto, es a consecuencia de la capitalización de los intereses, 
en el 1er mes el capital que genera interés es 1.000 mientras que el que produce 
los intereses en el 2º mes es $1.030, importe mayor que el anterior a raíz de la 
capitalización de $30, así esto se repite durante los restantes meses, se 
comprueba el crecimiento continuo del capital, los intereses se han capitalizado, es 
decir, se han sumado al capital inicial de cada unidad de tiempo para generar 
nuevos intereses, si graficamos la función del capital final, veremos claramente la 
función exponencial y no lineal, ya que el crecimiento del capital en cada unidad 
de tiempo no es proporcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
 
Se observa que 1.030 representa tanto el capital al final del 1er mes, como el 
capital inicial del 2do mes, así también 1.060.9 es tanto el capital final de la 2da 
unidad de tiempo, como el capital inicial de la tercera, por lo que se debe asignar 
una simbología que represente el capital al momento donde se encuentra ubicado 
(al final de una unidad de tiempo o al inicio de la siguiente) así F ( 0 ) capital al 
inicio de la operación financiera , F( 1 ) capital al final de la 1era unidad de tiempo o 
inicio de la 2da, F( 2 ) capital al final de la 2da unidad de tiempo o inicio de la 3era, 
y F( n ) capital al final de la ene-sima unidad de tiempo o al final de la operación 
financiera. 
 
Para encontrar el capital final del cuatrimestre mediante una sola operación, se 
procede de la siguiente manara: 
 
 
1.000 
1.125,50 
125,50 125,50 
1.030 1.060,90 
1.092,72 
 13 
1º mes 
F( 1 ) = 1000 + 1000 x 0,03 = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
2º mes 
F( 2 ) = 1030 + 1030 x 0,03 = 1030 (1 + 0,03) 
 
Que si lo expresamos en función de $1000 en lugar de $1030 (realizamos 
$1030 en función de $1000) 
 
F( 2 ) = 1000 (1 + 0,03) (1 + 0,03)= 1000 (1+0,03) 
2 
= 1060,9 
 
 1030 
 
3º mes 
F( 3 ) = 1060,9 + 1060,9 x 0,03 = 1060,9 (1 + 0,03) = 1000 (1 + 0,03) 
2
 (1 + 0,03) 
 = 1000 (1 + 0,03)
 3
 = 1092,72 
 
4ºmes 
F( 4 ) =1092,72+1092,72x0,03 =1092,72 (1+ 0,03) = 1000 (1+ 0,03) 
3
 (1+ 0,03) 
 
 1092,72 
F( 4 ) = 1000 (1 + 0,03) 
4 
= 1125,50 
 
Es el capital inicial de $1.000 al cabo de 4 meses al 0,03 mensual. 
 
Se concluye que el valor del capital al final de n unidades de tiempo, de la tasa 
de interés i, será igual al capital inicial capitalizado n unidades de tiempo, 
mediante la expresión: 
 
 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i )
n
 
 
Donde se dice, que F( n ) es el capital final de un capital inicial F( 0 ) al cabo de 
n unidades de tiempo, utilizando en la valuación la tasa de interés i . 
 
Se observa que la unidad de tiempo es el momento al final del cual se 
computan o calculan los intereses, para pagarlos o para capitalizarlos. 
 
Para el cálculo de los intereses generados por los $ 1.000 durante los 4 meses 
se realiza la diferencia entre le capital al final del cuatrimestre y el capital al inicio 
de la operación: 
 
I = 125,50 = 1.125,50 – 1.000 
 
Como se aclaró anteriormente, cuando en la operación financiera hay más de 
una unidad de tiempo, el cálculo de los intereses solo se encuentra mediante la 
diferencia entre los capitales finales y iniciales. 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
 F( 1 ) – F( 0 ) 
 
 
 Para n = 1 Intereses 
 F( 0 ) × i 
 
 
 Para n ≠ 1 Intereses F( n ) – F( 0 ) 
 
 
Se demuestra así, que el crecimiento del capital que interviene en la operación 
financiera, a medida que transcurre el tiempo es mayor, a consecuencia de la 
capitalización de los intereses, se representa gráficamente con la función 
exponencial, con lo cual se comprenden los gráficos anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F( 0 ) 
I 1 
 I 1 y 2 
I total 
F( n ) 
F( 0 ) 
 
 15 
 Operaciones Financieras Fundamentales. 
 
La operación financiera reconoce dos funciones u operadores fundamentales, la 
capitalización y la actualización. Estas funciones permiten valuar los valores 
monetarios en diferentes momentos del tiempo. 
 
La función de capitalización permite conocer el importe que asumirán los 
capitales depositados, luego de transcurrido un periodo determinado de tiempo, 
aplicando una tasa de interés a la operación. 
 
La función de actualización es la inversa de la anterior, muestra el valor 
monetario que al momento presente o inicial asumen los capitales finales o futuros, 
realizando la valuación a una tasa de interés. 
 
 
 
Operación de capitalización: 
 
Mediante la operación de capitalización se realiza el cálculo de los capitales 
futuros o finales, esto es, se calculan los intereses sumados al capital inicial: 
 
 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i ) 
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 . . . n 
 
 
El exponente (n) en la expresión (1 + i)
n
 nos indica el numero de veces que se 
capitalizan los intereses o numero de unidades de tiempo, correspondientes a la 
tasa de interés utilizada para el calculo. 
 
En la expresión F( n ) = F( 0 ) (1 + i) 
n 
 ; al factor (1 + i) lo denominamos factor 
de capitalización, cuando se utiliza este factor, se valúan los capitales iniciales al 
final del periodo, es decir se traslada el capital inicial al finalde la operación 
financiera, tantas unidades de tiempo como corresponda según sea la tasa de 
interés utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
F( 0 ) 
 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i )
n
 
I 
 16 
La operación de capitalización, implica sumar los intereses al capital inicial. 
 
 
 
 Factor de capitalización (considerado como 
 operación) 
 
 
 ( 1 + i ) 
 Capital final de $ 1 iniciales en una unidad 
 de tiempo ( considerado como importe o 
 valor) 
 
 
 
 
Operación de actualización: 
 
La operación financiera inversa a la capitalización es la operación de 
actualización. 
 
Mediante la función de actualización se realiza el cálculo del capital inicial, 
partiendo del capital final, para una determinada tasa de interés y plazo estipulado, 
se actualiza por operación inversa a la capitalización, se obtienen las siguientes 
expresiones para el cálculo del capital inicial: 
 
 F( 0 ) = F( n ) / ( 1 + i ) 
 n 
 o F( n ) ( 1 + i ) 
– n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 n 
 
 
 
En la expresión F( n ) ( 1 + i ) 
- n 
 el exponente n indica el numero de veces que 
se actualiza el capital final o numero de unidades de tiempo de la tasa de interés 
utilizada en la valuación; a este factor ( 1 + i )
-1 
 se lo denomina factor de 
actualización, mediante este factor se calcula el importe del capital inicial, 
mediante la operación inversa a la capitalización, utilizando la tasa de interés, la 
que, en la operación financiera, se aplica al capital inicial. Más adelante en el 
desarrollo se encuentra un factor de actualización por directa. 
 
F( 0 ) 
F( n 
) 
 17 
En la actualización se restan los intereses del capital final para encontrar el 
valor del capital inicial 
 
 
 
 
 Factor de actualización (considerado como 
 operación) 
 
 
 ( 1 + i )
- 1
 
 Capital inicial de $ 1 final en una unidad 
 de tiempo ( considerado como importe o 
 valor) 
 
 
El factor de capitalización permite encontrar el importe del capital al final del 
periodo o sea el capital al inicio más los intereses correspondientes. 
 
Factor de capitalización → (1+i) 
1 
 
El factor de actualización, operación inversa a la capitalización, determina el 
importe del capital al inicio, capital prestado o financiado o sea el capital sin los 
intereses. 
 
Factor de actualización → (1+i) 
– 1 
 
 
 
 Operaciones financieras equivalentes. 
 
Si tratamos de averiguar la tasa de interés cobrada durante los 4 meses en el 
ejemplo dado en puntos anteriores, o sea la tasa de interés cuatrimestral, 
realizamos el cociente entre el interés correspondiente a los 4 meses y el capital al 
inicio de esos 4 meses: 
 
125,50 / 1.000 = 0,12550 
 
Se observa que para obtener el importe del capital al finalizar los 4 meses es 
indistinto utilizar la tasa mensual del 0,03 o la tasa cuatrimestral del 0,12550, 
teniendo en cuenta las unidades de tiempo de ambas operaciones, o sea, la 
cantidad de veces que se capitalizan los intereses, según sea la tasa utilizada en 
la valuación, así: 
 1.000 (1 + 0,03)
4 
 = 1125,50 = 1.000 (1 + 0,1250)
 1
 
 
Estas dos operaciones financieras se dicen operaciones financieras 
equivalentes, pues generan igual capital final al cabo del mismo periodo de tiempo, 
donde se utilizan en cada una de ellas, tasas de interés de unidades de tiempo 
diferentes. 
 
 
 18 
Tasa de interés equivalente. 
 
Las tasas de interés equivalentes son aquellas tasas de interés que teniendo 
unidades de tiempo diferentes, generan operaciones financieras equivalentes. 
 
En nuestro ejemplo, la tasa de interés del 0,1255088 cuatrimestral (si utilizamos 
la totalidad de los decimales) es equivalente a la tasa de interés del 0,03 mensual. 
 
Para explicarlo, analizamos primero el interés generado por los $1.000 en 1 
mes, el interés de $ 1.000 en 2 meses, en 3 meses y en 4 meses y luego pasamos 
a analizar el interés de $1 en 1 mes, de $1 en 2 meses, de $1 en 3 meses y de $1 
en 4 meses. 
 
I 1 = 30 interés de $1000 en 1 mes. 
 
I 1 y 2 = 60,90 interés de $1000 en 2 meses. 
 
I 1,2 y 3 = 92,72 interés de $1000 en 3 meses. 
 
I 1, 2, 3 y 4 = 125,5088 interés de $1000 en 4 meses. 
 
Se observan los intereses en un grafico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
Se analiza ahora el interés unitario en cada uno de los tramos (mes, bimestre, 
trimestre y cuatrimestre), interés de $ 1, en vez del interés de $ 1.000 en iguales 
tramos de tiempo, hacemos: 
 
 
I = 30 / 1.000 = 0,03 mensual U de T = mes , I = i 
 
 
 U de T = mes , I ≠ i 
 I = 60,90 / 1.000 = 0,0609 en dos meses 
 U de T = 2 meses , I = i 
 
 
1.000 
30 
 60,90 125,5088 
1.000(1+0,03)
4 
= 
 1.125,51 
 19 
 U de T = mes , I ≠ i 
 
I = 92,72/ 1.000 = 0,09272 en 3 meses U de T = 2 meses , I ≠ i 
 
 U de T = 3 meses , I = i 
 
 
 
 U de T = mes , I ≠ i 
 
 U de T = 2 meses , I ≠ i 
 
I = 125,5088 / 1.000 = 0,1255088 en 4 meses 
 U de T = 3 meses , I ≠ i 
 
 U de T = 4 meses , I = i 
 
 
 
Se observa en la siguiente gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 1 
 
 1 
 
 1 
Cada uno de los importes de los intereses encontrados se denominan tasas de 
interés, según concepto de tasa de interés, ya que representan el interés de $ 1 en 
cada una de las unidad de tiempo, mes, bimestre, trimestre y cuatrimestre, a cada 
una de ellas le corresponde una unidad de tiempo diferente. 
 
Si calculamos el capital al final del cuatrimestre de los $1.000 iniciales por 
ejemplo, con 0,03 mensual, el 0,609 bimestral o 0,1255088 cuatrimestral, 
encontraremos igual importe: 
 
 
1000 (1 + 0,03)
4 
 = 
 
1000 (1 + 0,0609)
2 
 = 1125,508 
 
1000 (1 + 0,1255088)
1
 =1 
0,03 
0,0609 0,1255088 
(1+0,03 )
4 
= 1,1255088 
 20 
Se observa cual es la unidad de tiempo en cada operación, (cual es la unidad 
de tiempo de la tasa utilizada en el calculo), para así realizar la cantidad de 
capitalizaciones necesarias según sea el caso. 
 
Las tasas que actúan en operaciones financieras equivalentes son entre sí 
tasas equivalentes de interés: 
 
 i = 0,03 mensual 
 i (2) =0,0609 bimestral Tasas equivalentes de interés 
 i (3) =0,092727 trimestral 
 i (4) =0,1255088 cuatrimestral 
 
Si en dos o más operaciones financieras actúan tasas de interés equivalentes, 
las operaciones son operaciones financieras equivalentes, coincidan o no en ellas 
los capitales iniciales y/o el plazo de las operaciones; si estos coincides los 
importes encontrados serán los mismos, pero si no coincidieran las operaciones 
son financieramente equivalentes, aún que los importes encontrados sean 
diferentes. 
 
 Las tasas de interés equivalentes son aquellas tasas de interés que teniendo 
unidades de tiempo diferentes, generan operaciones financieras equivalentes. 
 
 F( o ) (1 + i )
m
 
 
 F( m) = 1+I (m) = (1 + i )
m
 
 
 
 F( o ) (1+i (m) ) 
1 
 
 
 i tasa de interés (interés de la unidad monetaria en una 
 unidad de tiempo) 
 
 i (m) tasa de interés equivalente (interés de la unidad monetaria en 
 una unidad de tiempo m veces mayor a la unidad de tiempo de 
 la tasa i ) 
 
 
Se observa el grafico de las tasas de interés equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . m 
1 
i 
i (2) 
 i (m ) 
(1+i )m 
 21 
La expresión que permite encontrar la tasa de interés equivalente a otra tasa de 
interés, es la expresión que se utiliza para el calculo de los intereses, es decir 
capital final menos capital inicial, en este caso capital final de un capital inicial de 
$1 en m unidades de tiempo a una tasa de interés i, es igual a: (1+i)
 m
 , menos el 
capital inicial que es de $ 1, entonces, la tasa de interés equivalente se representa 
por: 
 i (m) = (1 + i ) 
m
 – 1 
 
El valor que asume m refleja la relación entre la unidad de tiempo de la tasa 
utilizada para el cálculo y la unidad de tiempo de la tasa equivalente que se trate 
de encontrar: 
 
 
Utilidad de las tasas equivalentes: 
 
No todas las operaciones financieras coinciden en la unidad de tiempo y para 
poder optar por una u otra alternativa de inversión o financiamiento necesitamos 
comparar tasas de interés de igual unidad de tiempo en cada operación, por lo que 
las tasas equivalentes son fundamentales, así, operando en la tasa de interés de 
una de las operaciones financieras, buscamos la tasa equivalente a la unidad de 
tiempo de la otra operación, con lo cual se podrán comparar y así optar por la 
mayor cuando la operación implique una inversión donde los intereses se ganan y 
eligiendo la menor cuando debemos pagar intereses en algún financiamiento. 
 
Por ejemplo, para determinar la tasa equivalente cuatrimestral de 0,03 mensual 
se hace: 
 
 I = F( m) – F( o ) 
 
(1 + 0,03)
4 
 = 1,1255088 Capital final de $1 en cuatro meses a una tasa 
 de interés mensual del 0,03. 
 
(1 + 0,03)
4 
– 1 = 0,1255088 interés de $1 en cuatro meses, 
 considerando los cuatro meses como 
 unidad de tiempo. 
 
A este interés de $1 , en cuatro meses, lo definimos como tasa de interés, sí 
decimos que la unidad de tiempo es el cuatrimestre. 
 
Entonces la tasa de interés cuatrimestral equivalente es 
 i (4) = 0,1255088 cuatrimestral 
 
Practicamos con otros ejemplos para encontrar el valor de “m”: 
 
Con la tasa de interés del 0,0609 bimestral calculamos la tasa de interés 
equivalente: 
 
Al Cuatrimestre i (cuatrimestre) = (1+ 0,0609)
 2
 – 1 = 0,1255088 cuatrimestral 
 
Al Año i (año) = (1+ 0,0609)
6
 – 1 = 0,42576 anual 
 
Al Mes i (mes) = (1+ 0,0609)
1 / 2 
 – 1 = 0,03 mensual 
 22 
Al día i (día) = (1+ 0,0609)
6. 1 / 365 
 – 1 = 0,000972 diaria 
 
A los 45 días i (45 días) = (1+ 0,0609)
6. 1 / 365 . 45 
 – 1 = 0,0447 para 45 días 
 
 
Valor del capital cuando se retiran los intereses al final 
de cada unidad de tiempo. 
 
Se supone ahora que el capital prestado de $ 1.000 durante un cuatrimestre, a 
una tasa de interés mensual del 0,03, tiene pago de intereses mensualmente, 
entonces: 
 
F( 0 ) = $ 1.000 
i = 0,03 mensual 
Unidad de tiempo = mes 
Pago de intereses mensuales 
El capital prestado se devuelve al cabo de 4 meses 
 
Al final del 1er mes se pagan los intereses y continúa el préstamo de $ 1.000: 
 
F( 1 ) = 1000 + 1000 x 0,03 = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
Se retiran de la operación financiera los intereses del 1er mes continuando $ 
1.000 en préstamo 
 
F( 1 ) – 30 = 1.000 
 
Al inicio del 2do mes: 
F( 1 ) = F( 0 ) 
 
Al final del 2do mes 
 
F( 1 ) = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
Al pagar los intereses de ese mes, se retiran de la operación financiera los 
intereses del 2do mes 
 
F( 1 ) – 30 = 1.000 
 
Al inicio del 3er mes: 
F( 1 ) = F( 0 ) 
 
Al final del 3er mes 
 
F( 1 ) = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
Se retiran de la operación financiera los intereses del 3er mes 
 
F( 1 ) – 30 = 1.000 
 
Al inicio del 4to mes: 
 23 
 
F( 1 ) = F( 0 ) 
 
Al final del 4to mes concluye la operación financiera mediante el pago de los 
intereses y la devolución del capital prestado 
 
F( 1 ) = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
Se observan 4 operaciones financieras, en cada una de ellas $ 30 es el interés 
de 1.000 en un mes, F( 0 ) × i 
 
30 × 4 = 1.000 × 0,03 × 4 = 120 ≠ I 
 
 
F( 0 ) × i × n ≠ I 
 
 No representa valor financiero 
 Es solo la suma de los intereses retirados al final de cada unidad de tiempo 
 Están ubicados en distintos momentos 
 Valores no homogéneos 
 
 
Se recuerda que n ≠ 1 por lo que no es correcto utilizar esa expresión para el 
calculo de los intereses. 
 
 
Cuando se presenta esta situación decimos que se pagaron $ 30 en cada uno 
de los 4 meses, son intereses mensuales que se retiran de la operación financiera 
(no se capitalizan) NO ES CORRECTO DECIR QUE SE PAGARON $ 120 en 
concepto de intereses. 
 
 
 
 
1.000 
30 30 30 30 
 24 
 Tasas proporcionales de interés. 
 
Se observa en la grafica, al final de cada uno de los mes durante un año, el 
interés de $ 1 a la tasa mensual de 0,03. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . 12 
 
 
Hemos demostrado que financieramente no es correcto decir que al cabo del 
año los intereses de $ 1 son 0,03 × 12 = 0,36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 11 12 
 
 
En la grafica anterior se observa que el único interés correcto del 0,03, es el 
correspondiente al 1er mes, (interés de $ 1 en una unidad de tiempo), el interés del 
2do mes, no es el interés de $ 1 sino que es el interés de $ 1,03 o sea 0,0309 y no 
0,03, al igual que en cada uno de los restantes meses en que se dividió el año, ya 
lo demostramos, que en una operación financiera donde no se retiranlos 
intereses, a medida que transcurre el tiempo, el interés en cada una de las 
unidades de tiempo, es mayor, a raíz de la capitalización de los intereses. 
0,03 
0,03 
0,03 x 12 = 0,36 anual 
para pagos mensual 
1 
$ 1 
0,03 0,03 0,03 
 25 
Si los intereses no se retiran mensualmente de la operación, el interés de $ 1 al 
cabo del año será 0,42576 = (1+ 0,03)
12 
 - 1 ; lo que corresponde a la tasa de 
interés equivalente anual al 0,03 mensual. Si se retiran tendremos 0,03 de interés 
mensual en cada uno de los 12 meses y No 0,36 de interés anual. 
 
Si se menciona 0,36 anual como interés al cabo del año, suponiendo que en 
cada mes se genera igual interés del 0,03 mensual, estamos cometiendo un grave 
error, estamos considerando en cada uno de los 12 meses que integran el año, 
igual interés al generado en el primer mes, siendo que si bien este es correcto para 
el primer mes, el interés correspondiente a cada uno de los restantes meses no es 
igual a 0,03, son importes mayores. 
 
A esta tasa proporcional de interés del 0,36 anual, para operaciones 
mensuales, se lo denomina tasa nominal anual de interés para pagos mensuales, 
y se la simboliza por i 
(m) 
o T. N. A. es la proporción anual del 0,03 mensual, 
este importe no refleja valor financiero, es nominal a consecuencia de la 
proporcionalidad. 
 
A partir de la tasa nominal anual mencionada del 0,36 para operaciones 
mensuales, se calcula la tasa mensual 
 
 i = 0,36 / 12 = 0,03 mensual 
 
Cuando la tasa nominal anual del 0,36 anual, refleja una proporción diferente al 
mes por ejemplo bimestral, trimestral o semestral, estamos en presencia de 
diferentes tasas nominales anuales: 
 
T.N.A del 0,36 para pagos o retiros bimestral 0,36 / 6 = 0,06 bimestral 
T.N.A del 0,36 para pagos o retiros trimestral 0,36 / 4 = 0,09 trimestral 
T.N.A del 0,36 para pagos o retiros semestral 0,36 / 2 = 0,18 semestral 
 
Se mencionan cuatro tasas nominales anuales según sean los pagos 
mensuales, bimestrales, trimestrales o semestrales. 
 
Las tasas de interés encontradas a partir de la proporción anual del 0,36, para 
las diferentes unidades de tiempo, no son tasas equivalentes entre si. 
 
Se comprueba cuando se busca con cada una de ellas, la mensual, la bimestral, 
la trimestral y la semestral, y luego se calcula la tasa equivalente a una 
determinada unidad de tiempo, por ejemplo el año 
 
(1+ 0,03)
12 
 - 1 = 0,42576 anual equivalente 
(1+ 0,06)
6 
 - 1 = 0,4185 anual equivalente 
(1+ 0,09)
4 
 - 1 = 0,4116 anual equivalente 
(1+ 0,18)
2 
 - 1 = 0,3924 anual equivalente 
 
En cada operación hemos encontrado diferentes tasas anuales equivalentes, 
por lo que se demuestra la no equivalencia financiera entre cada una de estas 
tasas de interés. 
 
 
 
 26 
Se observa que en: 
 
- La tasa de interés anual NO es igual a la TNA mencionada, sino que el 
verdadero interés anual de $ 1 es siempre mayor que el nominal mencionado. 
 
- Todas las tasas de intereses anuales calculadas son diferentes entre sí. 
 
 
- A mayor veces en que se divide el año la diferencia entre la verdadera tasa 
de interés anual es mayor que la TNA correspondiente. 
 
 
Elementos de la Tasa Nominal Anual 
 
Para el ejemplo dado, TNA del 0,36 para pagos mensuales, se observan 3 
elementos, a saber: 
 
- Proporción al año 
 
- 0,36 incremento del $ 1 en el año 
 
- Pago o retiro de intereses mensuales 
 
Cuando se mencione una tasa nominal anual de interés, es fundamental 
identificar cada uno de estos 3 elementos, (el único que no necesariamente es 
imprescindible es el año, ya que se ven las proporciones anuales y este elemento 
se denota en el concepto, TNA”), pero si o si debe figurar el importe del 
incremento, como así también el momento del pago o retiro de los intereses. 
 
La TNA se define como el incremento proporcional de $1 en un periodo de 
tiempo (generalmente el año), cuando habiendo dividido este periodo de tiempo 
en m partes iguales, se supone que el interés en cada una de las m partes es 
igual al interés generado en el primer enésimo. 
 
Tasa de interés nominal anual: Es la proporción anual a una tasa de interés 
cuya unidad de tiempo es inferior al año 
 
i 
(m) = TNA = i × m 
 
m representa el número de veces en que se divide el año 
 
De donde TNA / m = i interés del 1er emesimo de una unidad 
monetaria inicial 
 
 
Se observa en el grafico la tasa nominal anual de interés 
 
 
 
 
 
 
 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 m 
 
 
Se ven solo las proporciones anuales, sin desconocer que pudieran darse 
proporciones para otros periodos que no sean anuales. 
 
Al mencionar la tasa nominal anual de interés, como una tasa de interés, se 
comete un error financiero, ya que se considera igual interés en las m partes en 
que se divide el año, debido a que en la capitalización se van acumulando los 
intereses, cada vez el interés debe ser mayor, ya que se calcula sobre un capital 
inicial mayor. Este error determina que la tasa nominal anual de interés asuma un 
valor menor que la tasa de interés equivalente anual correspondiente 
 
 
 Tasas acumuladas equivalentes. 
 
Algunas inversiones de capital realizadas a una tasa de interés determinada y 
con una cierta duración a plazo, suelen renovarse sin retirar de la operación los 
intereses ganados, a una tasa de interés distinta y a iguales o diferentes plazos 
que los pactados originariamente. 
 
En estos casos la tasa de interés que actuó durante todo el periodo de tiempo 
en el que estuvo invertido el capital inicial la denominamos tasa de interés 
acumulada equivalente, y a partir de ella es que se encuentran las tasas de interés 
equivalentes correspondientes a diferentes unidades de tiempo 
 
Por ejemplo si una inversión se realiza durante 60 días a una tasa de interés del 
0,05 y el vencimiento de esta operación se renueva, sin retiro de intereses, por 35 
días más al 0,04, la tasa de interés para los 95 días (60 días + 35 días) será: 
(1+ 0,05)
1 
 * (1+ 0,04)
1 
 - 1 = 0,092 tasa para los 95 días 
 
Al 0,092 para los 95 días la denominamos tasa de interés equivalente 
acumulada. 
 
1 
i 
i 
i 
i 
 
i x m = T.N.A.= i (m) 
 
 para el enésimo 
 28 
Para calcular tasas equivalentes a cualquier otra unidad de tiempo, debemos 
realizar la operación con la tasa de interés acumulada equivalente correspondiente 
al plazo total. 
 
Si buscamos la mensual equivalente acumulada hacemos 
 
(1+ 0,092)
1/95 . 365 . 1/12 
– 1 = 0,02858 mensual 
 
Partimos de una tasa para 95 días, primero vamos al día, luego al año y por 
ultimo al mes. 
 
 
 
 
Incidencia de impuestos y gastos en 
operaciones financieras 
 
En las operaciones financieras el importe del capital final es igual al valor 
del capital retirado (CR), cuando en dicha operación no se deducen 
impuestos y/o gastos. 
 
 
 CF = CR 
Deducción = 0 
 I = IG = IR 
 
 Por lo contrario cuando a la operación financiera se le realiza alguna 
deducción, sea esta por impuestos y/o gastos, el importe correspondiente al 
capital retirado de la operación financiera no es el valor del capital final o 
monto, el importe retirado es menor al capital final o monto: 
 
 CF > CR 
Deducción > 0 
 I = IG > IR 
 
 
 Las Deducciones son generalmente para cubrir gastos y el impuesto al 
valor agregado, (IVA) que se cobra sobre el importe de los intereses ganados 
por la operación financiera.: 
 
 
 gastos 
 
 DeducciónImpuesto ( iva = 0,21 × Intereses ganados) 
 
 
 
 
 29 
Deducciones = gastos + 0,21 × IG 
 
IR = IG - Deducciones 
 
CR = CF – Deducciones = CI + IG – Ded = CI + IR 
 
 CF > CR CR = CF – Deducciones 
 
La tasa de rendimiento de la operación financiera, la que simbolizamos 
por “r”, no es igual a la tasa de interés de dicha operación. 
 
La tasa de rendimiento del capital invertido durante el tiempo que dura la 
operación, se obtiene mediante el cociente entre el interés retirado y el 
importe del capital inicial o capital invertido. 
 
r = IR / CI 
 
Se observa que n = 1 por lo que la unidad de tiempo de esta tasa de 
rendimiento coincide con el plazo de la operación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO CONTINÚO. 
 
 Valor del capital al final de la operación financiera o 
Monto en el campo continúo. 
 
Se definen los siguientes capitales finales: 
 
F( n ) capital al final de “n” unidades de tiempo 
 
F( t ) capital al final de “t” unidades de tiempo 
 
F( t + n ) capital al final de “t + n” unidades de tiempo 
 
F( t + 1 ) capital al final de “t + 1” unidades de tiempo 
 
F( t + 1/ m ) capital al final de “ t + 1/m” unidades de tiempo 
 
 
Si el capital inicial es F( o ) se definen los intereses como: 
 
I = F( n ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “n” unidades de tiempo 
 
I = F( t ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “t” unidades de tiempo 
 
 
I = F( t + n ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “t + n” unidades de tiempo 
 
 
I = F( t + 1 ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “t + 1” unidades de tiempo 
 
 
Se divide la unidad de tiempo siguiente al momento “t” en m partes iguales 
 
 
I = F( t + 1/ m ) – F( o ) representa el interés de un capital F( o ) en “t + 1/m” de 
 unidades de tiempo 
 
Se recuerda que solo para cuando n = 1 los intereses se pueden calcular 
mediante el producto entre el capital inicial y la tasa de interés correspondiente, de 
lo contrario no, entonces cuando la unidad de tiempo es diferente a uno (1) el 
cociente entre el interés y el capital inicial NO representa la tasa de interés, 
 
 u de t ≠ 1 I ÷ F( o ) ≠ i . 
 
 
Se analizan los intereses del capital F( t ) 
 
 
 31 
I = F( t + 1 ) – F( t ) corresponde al interés de un capital F( t ) en “1” unidades de 
 tiempo, la unidad de tiempo siguiente al momento t . 
 
Al dividir la expresión anterior por el capital inicial F( t ) 
 
[ F( t + 1 ) – F( t ) ] ÷ F( t ) = I = i corresponde al interés de $ 1 en la unidad 
 
de tiempo siguiente al momento “t” “tasa de interés” 
 
Se divide la unidad de tiempo en m partes iguales, el importe obtenido si bien 
representa un interés, el mismo no corresponde a tasa de interés 
 
[ F( t + 1/m ) – F( t ) ] ÷ F( t ) = I ≠ i corresponde al interés de $ 1 en el 
 
primer emesimo siguiente al momento t 
 
Al multiplicar la expresión anterior por m (cantidad de veces que se divide la 
unidad de tiempo siguiente al momento t ), encontramos un importe que no 
representa valor financiero, es una proporción, definida como el interés de un 
capital inicial de $ 1 en m emesimos (una unidad de tiempo), suponiendo que el 
incremento en cada uno de los emesimos en que se divide la unidad de tiempo 
fuera igual al incremento del 1er emesimo 
 
m × [ F( t + 1/m ) – F( t ) ] ÷ F( t ) = i (m) ≠ I 
 
Es una tasa Nominal no representa valor financiero, es proporcional, este 
análisis es en el campo discreto, procedemos a trabajar a partir de ahora, en el 
campo continuo. 
 
Reemplazamos en la última expresión a 1/m por h 
 
 i 
(m) = 1 ÷ F( t ) × [ F( t + h ) – F( t ) ] ÷ h 
 
Se desarrolla la teoría del interés en el campo continuo, dividiendo la unidad de 
tiempo en infinitas partes iguales, cada emesimo, ahora representa un 
infinitésimo, (m → ∞ ) 
 
lim i (m) = lim 1 ÷ F( t ) × [ F( t + h ) – F( t ) ] ÷ h 
 
 m → ∞ h → 0 
 
Se define la expresión como el interés de $ 1 en una unidad de tiempo, bajo el 
supuesto de haber dividido la unidad de tiempo en infinitésimos, y considerando 
que el incremento en cada uno de esos infinitésimos es igual al incremento del 
primer infinitésimo. 
 
Por definición de derivada, vamos a decir que: 
 32 
 
i 
(
∞
) = [1 ÷ F( t ) ] × [ d F( t ) ÷ d( t ) ] 
 
 
Derivada inmediata: 
 
i 
(
∞
) = d ln F( t ) ÷ d( t ) =  
 
(delta) simboliza la tasa instantánea de interés, definida como el interés 
o incremento de la unidad de capital inicial en una unidad de tiempo, 
suponiendo que el interés en cada uno de los infinitésimos en que se ha 
dividido la unidad de tiempo es igual el interés o incremento del primer 
infinitésimo. 
 
Esta tasa instantánea de interés, la que representa el crecimiento del $ 1 inicial 
medido en la unidad de tiempo es proporcional al incremento de cada instante en 
que se dividió la unidad de tiempo, esta proporcionalidad infinitesimal mantiene el 
valor financiero, por lo que NO podemos decir que la misma sea una tasa 
nominal. 
 
A continuación se demuestra la equivalencia financiera entre la tasa de 
interés y la tasa instantánea de interés. 
 
El capital al final del momento “ t ” representado por: F( t ) , esta en función del 
capital inicial F( o ) , del tiempo transcurrido “ t “ y de la fuerza del crecimiento del 
capital inicial, tasa instantánea de interés, simbolizada por 

Partimos de la ecuación diferencial, expresión de la tasa instantánea de interés 

 = d ln F( t ) ÷ d( t ) 
 
La resolvemos por variables separadas 
 
 d( t ) = d ln F( t ) 
 
Se integra en la expresión anterior entre cero y t 
 
 
 t t 
∫  d ( t ) = ∫ d ln F( t ) 
 0 0 
 
Se resuelve 
 
 33 
 t = ln F( t ) – ln F( 0 ) 
 
Por propiedades de logaritmo 
 
 t = ln [ F( t ) ÷ F( 0 ) ] 
 
e 
 t = F( t ) ÷ F( 0 ) 
 
Se despeja el capital final 
 
F( t ) = F( 0 ) × e  t 
 
 
Se define a F( t ) como el capital final de un capital inicial F( 0 ) al cabo de “ t “ 
unidades de tiempo de la tasa instantánea de interés 

Se recuerda que F( t ) se definió como el capital final de un capital inicial F( 0 ) 
al cabo de “ t “ unidades de tiempo de la tasa de interés i

 
F( t ) = F( 0 ) × (1+i ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . t 
 
Por lo que se demuestra que la tasa de interés i y la tasa instantánea de interés 
, son dos tasas equivalentes de interés, las que generan operaciones financieras 
equivalentes 
 
De las expresiones del capital final en función del capital inicial en “ t “ unidades 
de tiempo a través de las tasas de interés i e instantanea de interés 

 F( t ) = F( 0 ) × e 
 t = F( 0 ) × (1+i)
 t
 
 
Se deduce que : 
F( 0 ) 
F( t )=F( 0 ) e 
 t =F( 0 )(1+i)
 t
 
 
 
 34 
 
e 
 t = (1+i ) t o 
 
e 
 = (1+i ) 
Se definió a la expresión (1+i ) como: 
 
- Capital final de un capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa de interés i. 
 
 - Factor capitalización 
 
Ahora definimos a e 
 como: 
 
- Capital final de un capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa instantánea de interés 

- Factor de capitalización 
 
 
Lo que se observa en el siguiente grafico1 Tiempo 
 
 
Se definió a expresión (1+i ) 
- 1
 como: 
 
- Capital inicial de un capital final de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa de interés i. 
 
 - Factor actualización 
 
Ahora definimos a e 
-  como: 
 
- Capital inicial de un capital final de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa instantánea de interés 

 - Factor de actualización 
 
Capital. 
1 
1+i = e 
 
i 
 35 
Lo que se observa gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Tiempo 
 
 
Se simboliza por “ v ” al factor de actualización o el valor actual de $1 finales en 
una unidad de tiempo: 
 
e – 
 = (1+i ) – 1 = v 
 
A partir de la siguiente expresión 
 t = ln [ F( t ) ÷ F( 0 ) ] 
 
Expresando el capital final en función del capital inicial de $ 1 en una unidad de 
tiempo, se obtiene la tasa instantánea de interés a partir de la tasa de interés i 
 
ln (1+i) 
 
Y de la igualdad e 
 = (1+i ), se calcula la tasa de interés i, a partir de la tasa 
instantánea de interés  
i = e  – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capital. 
(1+i )-1 = e - 
= v 
 
 
1
 
 36 
OPERACIÓN DE DESCUENTO DE DOCUMENTO. 
 
Interés y Descuento. 
 
Descontar un documento, implica hacerlo efectivo antes de su vencimiento, la 
operación financiera de descuento de documento, se da cuando por realizar 
dicha operación se cobra un determinado importe. 
 
Dados por ejemplo: 
Valor del documento a descontar = $ 100 
Importe cobrado por la operación de descuento = $ 20 
Vencimiento del documento un mes 
Valor recibido en la operación de descuento = $ 80 
 
Se ubican los valores en una grafica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes 
 
 
Operación de descuento 
 
C.F. = 100 se denomina valor nominal y se simboliza por V.N. 
C. I = 80 se denomina valor efectivo del documento, se simboliza por V.E. 
Vencimiento = 1 mes 
 
100 – 80 = 20 es el descuento de los $ 100 en un mes, se simboliza por D 
 
 
 de $ 100 
Descuento de la operación = $ 20 descuento 
 durante un mes. 
 
 
La diferencia entre el valor nominal del documento y el descuento da cómo 
resultado el valor efectivo de dicho documento. 
 
V.N. – D = V.E. 
 
80 
100
 
 
20 
 37 
O mediante la diferencia entre el valor nominal y el valor efectivo del 
documento, se obtiene el descuento cobrado por la operación financiera. 
 
V.N. – V.E. = D 
 
Operación de interés 
 
Si observando el grafico anterior, lo analizamos como una operación de interés 
 
C. I = 80 , se simboliza por F( 0 ) 
C.F. = 100, se simboliza por F( n ) 
Plazo = 1 mes 
 
100 – 80 = 20 es el interés de los $ 80 en un mes, se simboliza por I 
 
 
 de $ 80 
Interés de la operación = $ 20 interés 
 durante un mes. 
 
 
F( 0 ) = 80 = V.E. 
 
F( n ) = 100 = V.N. 
 
I = F( n ) – F( 0 ) = V.N. – V.E. = D 
 
I = D 
 
En la operación financiera de interés el capital inicial es quien genera el interés. 
 
En la operación de descuento de documento el valor nominal del documento es 
quien genera el descuento 
 
El interés es igual al descuento, solo que se debe aclarar bien que el interés 
corresponde al capital inicial, mientras que el descuento se refiere al capital final. 
 
 
 
 
 Interés de $ 80 en un mes 
 100 – 80 = $ 20 
 Descuento de $ 100 en un mes. 
 
 
 
 
 
 
 38 
Tasa de descuento. 
 
$ 20 es el descuento de $ 100 en un mes 
 
Si la unidad de tiempo de la operación financiera es el mes, mediante el 
cociente entre el descuento y el capital final se obtiene la tasa de descuento 
mensual. 
 
20 ÷ 100 = 0, 20 mensuales 
 
0,20 mensuales es el descuento de cada unidad de capital final en un mes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes 
 
 
La tasa de descuento es lo que se le resta al capital final de $ 1 para encontrar 
su valor actual.: 1 – 0,20 = 0,80 
 
Se grafica la tasa de descuento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
La tasa de descuento se define como el descuento de un capital final de $ 1 en 
una unidad de tiempo, o lo que se le resta al capital final de $ 1, en una unidad de 
tiempo, para encontrar se valor actual. 
0,80 
1
 
 
0,20 
1 – d = v 
1
 
 
 d 
 39 
Se observa que ( 1 – d ) representa el valor actual de un capital final de $ 1, en 
una unidad de tiempo, anteriormente a este valor actual de $ 1 en una unidad de 
tiempo, lo simbolizamos con (1+i )
 - 1 o v y también lo definimos como el factor 
de actualización. Por lo que para actualizar valores finales es valido utilizar como 
factor da actualización a ( 1 – d ), además de los mencionados anteriormente. 
 
En operaciones de interés el capital inicial se calcula actualizando el capital 
final, las unidades de tiempo que corresponda, con cualquiera de las siguientes 
expresiones: 
 
F( 0 ) = F( n ) × (1+i )
 - n = F( n ) × v 
 n = F( n ) × (1– d) 
 n 
 
 O en operaciones de descuento actualizando el valor nominal del documento, 
la cantidad de unidades de tiempo que correspondan, se obtiene el valor efectivo 
utilizando alguna de las siguientes expresiones: 
 
VE = VN × (1+i )
 - n = VN × v 
n
 = VN × (1- d) 
n
 
 
Si bien el interés es igual al descuento, pasamos a ver ahora, si la tasa de 
descuento es igual o no a la tasa de interés. 
 
$ 20 es el interés de $ 80 en un mes 
 
Si la unidad de tiempo de la operación financiera es el mes, mediante el 
cociente entre el interés y el capital inicial se obtiene la tasa de interés, como se 
observo anteriormente 
 20 ÷ 80 = 0, 25 mensuales 
 
i = 0, 25 mensuales ≠ d = 0, 20 mensuales 
 
 
El interés es igual al descuento, solo que se debe aclarar bien a que capital 
hace referencia. 
 
La tasa de interés NO es igual a la tasa de descuento 
 
0,25 mensual ≠ 0, 20 mensual i ≠ d i > d 
 
 
 
 
Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés 
 
Se busca encontrar la tasa de interés a partir de la tasa de descuento, por un 
lado y por otro, determinar la tasa de descuento a partir de la tasa de interés, luego 
se analiza la relación existente entre ambas tasas. 
 
La tasa de interés, es el cociente entre el interés y el capital inicial, cuando la 
unidad de tiempo es igual a uno, para el ejemplo planteado 
 
 40 
[100 – 80] ÷ 80 = 20 ÷ 80 = 0,25 mensual 
 
La tasa de descuento, es el cociente entre el descuento y el capital final, 
cuando la unidad de tiempo es igual a uno, para el ejemplo planteado 
 
[100 – 80] ÷ 100 = 20 ÷ 100 = 0, 20 mensual 
 
Se trabaja en las expresiones utilizadas para calcular ambas tasas, para una 
unidad de tiempo: 
 
En la formula de la tasa de interés, se reemplaza, en el denominador, el capital 
inicial por su igual en función al capital final 
 
F( 0 ) = F( 1 ) × (1+i )
 - 1 = F( 1 ) × (1 - d ) 1 
 
 
i = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 0 ) = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 1 ) × (1- d) 
1
 = d ÷ (1- d)Se obtiene la tasa de interés a través de la tasa de descuento mediante la 
expresión: 
 
i = d . 
 1- d 
 
Y en la formula de la tasa de descuento, se reemplaza, en el denominador, el 
capital final por su igual en función al capital inicial. 
 
F( 1 ) = F( 0 ) × (1+i )
 1 = VN = VE × (1+i ) 1 
 
d = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 1 ) = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 0 ) × (1+i ) 1 = i ÷ (1+i ) 
 
Se obtiene la tasa de descuento a través de la tasa de interés mediante la 
expresión: 
 
d = i . 
 1 + i 
 
 
Relación entre ambas tasas: 
Se demuestra la relación entre ambas tasas, de la expresión i = d ÷ (1- d), 
se obtiene 
 
d = i × (1- d) 
 
Se recuerda que (1- d) = v = (1+i ) – 1 es el factor de actualización, mediante el 
cual se obtiene el capital inicial a través del capital final 
 
 41 
CI = CF × v 
 n
 
 
Para una unidad de tiempo, e i pesos ($ i) de capital final, se obtiene el capital 
inicial igual a d pesos ($ d) , por lo que la relación entre la tasa de interés y la tasa 
de descuento es que, la tasa de descuento es el valor actual de la tasa de interés 
en una unidad de tiempo. 
 
d = i × (1- d) = i × (1+i ) - 1 = i × v 
 
al capital final de i pesos ($ i) se lo actualiza por una unidad de tiempo para 
encontrar su valor inicial de d pasos ( $ d) 
 
De igual manera, de la expresión, d = i ÷ (1+i ), se obtiene: 
 
i = d × (1+i )
 
 
Se recuerda que (1+i) 
 
es el factor de capitalización, mediante el cual se 
obtiene el capital final a través del capital inicial 
 
CF = CI × (1+i )
 n
 
 
Para una unidad de tiempo, y d pesos ($ d) de capital inicial, se obtiene el 
capital final de i pesos ( $ i) , por lo que la relación entre la tasa de descuento y la 
tasa de interés es que, la tasa de interés es el valor final de la tasa de descuento 
en una unidad de tiempo; al capital inicial se lo capitaliza para encontrar su valor 
final 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
Se dijo que en una unidad de tiempo, el interés es igual al capital inicial 
multiplicado por la tasa de interés y que el descuento es igual el capital final 
multiplicado por la tasa de descuento, también en la unidad de tiempo 
 
si CI = d y CF = i , entonces I = D d.i = i.d 
 
Se sabe que CF – CI = I = D, se reemplaza por las tasas según corresponda y 
se obtiene: 
 
 
 
d 
i
 
 
 i. d 
 42 
Para n = 1 
 
 i – d = d.i = i.d 
 
Mediante la diferencia entre el capital final y el capital inicial se obtiene el 
interés del capital inicial o el descuento del capital final. 
 
Tasas proporcionales de descuento. 
 
AL igual que en las tasa proporcionales de interés, se ven solo las proporciones 
anuales, sin desconocer que pudieran darse proporciones para otros periodos que 
no sean anuales. Se denomina a esta proporción anual en operaciones de 
descuento, como tasa nominal anual de descuento y se la define como, el 
descuento proporcional de $1 en un periodo de tiempo (generalmente el año), 
cuando habiendo dividido este periodo de tiempo en m partes iguales, se supone 
que el descuento en cada una de las m partes es igual al descuento generado en 
el último enésimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 $ 1 
 
 
 
 
 
 1 2 m 
 
 
En la grafica anterior se observa que el único descuento correcto, es el 
correspondiente al último emésimo, represente el descuento de $ 1 final en una 
unidad de tiempo, el descuento del ante último emésimo, no es el descuento de $ 
1 sino que es el descuento de $ (1 – d) , al igual que en cada uno de los restantes 
emesimos a raíz de la operación de actualización, los descuentos efectuados 
serán menores en cada uno de los emesimos. El valor mayor corresponde al 
último e-mesimo. 
 
Se comete un error financiero, al considerar igual descuento en las m partes en 
que se divide el período de tiempo (año), ya que en la actualización se va 
descontando cada vez sobre un capital final menor. Este error determina que la 
tasa nominal anual de descuento asuma un valor mayor que la tasa de descuento 
equivalente anual correspondiente. 
 
d 
d 
d 
d 
 
d 
d 
d m = T.N.A d .= d 
(m) 
 
 43 
Similar que el caso de la tasa nominal anual de interés, en la tasa nominal anual 
de descuento se da que: 
 
- La tasa de descuento equivalente anual NO es igual a la TNA d 
mencionada, sino que el verdadero descuento anual de $ 1 es siempre menor que 
el nominal mencionado. 
 
- A mayor veces en que se divide el año la diferencia entre la verdadera tasa 
de descuento anual es mayor que la TNA d correspondiente. 
 
 
Son 3 los elementos de la Tasa Nominal Anual de descuento, a saber: 
 
- Proporción al año 
 
- importe del descuento del $ 1 en el año 
 
- Pago o retiro del descuento 
 
Cuando se mencione una tasa nominal anual de descuento, es fundamental 
identificar cada uno de estos 3 elementos. 
 
Tasa de descuento nominal anual: Es la proporción anual a una tasa de 
descuento cuya unidad de tiempo es inferior al año. 
 
Tasa nominal anual de descuento → TNAd d 
(m) 
 
 TNAd = d. m → d = TNAd / m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
RENTAS CIERTAS 
Rentas ciertas su equivalente financiero: 
 
Rentas ciertas es un conjunto de pagos que se efectúa a intervalos de tiempo 
pre-establecidos mientras subsista una situación dada, estos pagos pueden 
efectuarse al comienzo (pagos adelantados) o al final (pagos vencidos) de cada 
unidad de tiempo. 
Las dos operaciones financiera fundamentales, la capitalización y la 
actualización, permiten valuar estos pagos en diferentes momentos del tiempo. 
 
Estas valuaciones se realizan a las tasas pactadas en la operación financiera. 
 
 
 Valuación de uno o múltiples pagos. 
 
Valuar uno o múltiples pagos, depósitos o cuotas, significa determinar el valor 
financiero del o de los mismos, en un momento determinado, esto implica aplicar 
una determinada tasa de interés a cada pago por el tiempo que corresponda según 
donde se efectúe dicho pago y el momento donde se realiza la valuación. 
 
Las valuaciones bien pueden efectuarse en cualquier momento en el tiempo, 
aquí mencionaremos solo aquellas donde la valuación se realiza al final de la 
operación o al inicio de la misma. 
 
La valuación al final de los pagos se realiza mediante la operación de 
capitalización de cada uno de los pagos y la valuación al inicio de los pagos se 
efectúa a través de la operación de actualización. 
 
 Valuación de pagos al final de la operación. 
 
La valuación al final de los pagos vencidos o adelantaos a una determinada 
tasa de interés, implica transportar dichos pagos hasta el final de las n unidades de 
tiempo que dura la operación financiera, mediante la función de capitalización. 
El valor final de los pagos contiene los intereses generados por cada uno de 
esos pagos. 
 
 
Algunas aplicaciones prácticas de valuación al final de los pagos son: 
 
 depósitos de capitales en entidades financieras, 
 
 planes de ahorro previo utilizados para adquisición de artículos o 
bienes, 
 
 aportes provisionales realizados en los regímenes jubilatorios de 
capitalización. 
 
 
Si fuera el caso de un pago único, estaríamos ante la situación analizada 
cuando desarrollamos valor capital, cuando se capitalizan los intereses. 
 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Siendo CF la valuación al final de n unidades de tiempo, del único pago (CI) 
realizado en la operación financiera, valuado a una tasa de interés dada. 
 
Si la valuación fuera de múltiples pagos; debemos capitalizar cada uno de los 
mismos, hasta el momento final donde se valúan.Suponemos que los pagos se realizan a intervalos iguales de tiempo, se define 
ese intervalo como la unidad de tiempo de la valuación, por lo que la tasa de 
interés utilizada debe corresponder a dicha unidad de tiempo, por ejemplo, si los 
pagos fueran mensuales, la tasa deberá ser mensual. 
 
Se simboliza con C 1 C 2 C 3 y C n al importe del pago realizado en la primera, 
segunda, tercera y ene-sima unidad de tiempo, con n al número de pagos 
efectuados y VF la valuación al final de dichos pagos. 
Los pagos se pactan realizar al comienzo o al final de cada unidad de tiempo. 
 
 
 
 C1 C2 - - - Cn 
 
 
 
 C1 C2 . . . Cn 
 
 
Valuación al final de pagos variables y vencidos. 
 
La valuación al final de los pagos realizados al final de cada unidad de tiempo 
(pagos vencidos) será la suma del valor capitalizado de cada uno de los mismos. 
 
 
 
 C1 C2 ... Cn 
 
 
VFV = C1. (1+i)
 n – 1 + C 2 . (1+i) 
n – 2 + C3 . (1+i) 
n – 3 + . . . . . + Cn . (1+i)
 0 
 
 
Se define como el valor final de n pagos vencidos y variables valuados a la tasa 
de interés i 
 n-1 
 VFV = ∑ C n - p (1+i) 
p 
 p=0 
CI 
CFn = CI ( 1 + i ) 
n
 
 46 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos variables y vencidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 n 
 
 
 
Valuación al final de pagos variables y adelantados. 
 
La valuación al final de pagos realizados al comienzo o al inicio de cada unidad 
de tiempo (pagos adelantados) será la suma del valor de cada pago capitalizado: 
 
 
 
 C1 C2 Cn 
 
 
. . 
VFV = C1. (1+i)
 n + C 2 . (1+i) 
n – 1 + C3 . (1+i) 
n – 2
 + . . . . . + Cn . (1+i)
 1 
 
 
 
 . . n 
VF v = ∑ C n – p + 1 (1+i) 
 p 
 p = 1 
 
C1 
 
 
 C n 
 
 
VFv
rvv 
 Valor final de pagos variables y 
yencidos C 2 
 
C 3 
 
 47 
Se define como el valor final de n pagos adelantados y variables valuados a la 
tasa de interés i 
 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos variables y adelantados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 n 
 
 
 
Valuación al final de pagos iguales y vencidos. 
 
La valuación al final de los n pagos iguales realizados al final de cada unidad de 
tiempo será la suma del valor capitalizado de cada uno de los mismos. 
 
 
 
 C C C 
 
VF = C. (1+i)
 n – 1 + C. (1+i) 
n – 2 + C. (1+i) 
n – 3 + . . . . . + C. (1+i) 0 
 
 n n-1 
 VF = ∑ C (1+i) 
n - p
 = ∑ C (1+i) p 
 p=1 p=0 
 
 
Se aplica la propiedad matemática del método inductivo, donde sin necesidad 
de realizar la suma de los n pagos capitalizados, se obtiene el resultado del valor 
final buscado, mediante la formula que simplificar el cálculo. 
 
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica creciente se 
obtiene mediante el cociente entre el último término de la sumatoria multiplicado 
C1 
 
11 
 
 
 
. . 
VF v 
 Valor final de pagos variables y 
adelantados 
… 
C2 
 
C n 
 
 48 
por la razón menos el primer término de la sumatoria dividido la razón de la 
sumatoria menos el número uno: 
 [Último término × razón – 1er término] ÷ [razón – 1] 
 
Se aplica el método en el VF y se obtiene: 
 n-1 
 VF = C ∑ (1+i)
 p
 
 
 p=0 
 
VF = C [(1+i)
 n – 1 
 × (1+i)
 
 – (1+i)
 0 
] ÷ [(1+i) – 1] = C [(1+i) 
n 
 – 1
 
] ÷ [(1+i) – 1] 
 
 VF = C [ (1+i)
 n 
 – 1] ÷ i = C (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 
Se define a VF, como el valor final de n pagos iguales de $ C cada uno, 
vencidos y valuados a la tasa de interés i 
La expresión (1+ i) 
n 
-1 
 i 
Se define como el valor final de n pagos iguales de $1 cada uno, vencidos y 
valuados a la tasa de interés i y simbolizamos dicha expresión por sn┐i 
sn┐i = (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos iguales y vencidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 n 
C
 
 
C 
 
 
VF 
 Valor final de pagos vencidos e 
iguales 
 
C 
 
C 
 
 49 
Entonces se expresa el valor final de n cuotas vencidas de $ C cada una y 
valuadas a la tasa de interés i , como: 
 
VF = C (1+ i) 
n 
-1 = C sn┐i 
 i 
 
 
Valuación al final de pagos iguales y adelantados. 
 
La valuación al final de n pagos iguales realizados al comienzo o al inicio de 
cada unidad de tiempo, será la suma del valor de cada pago capitalizado: 
 
 
 C C C 
. . 
VF = C. (1+i)
 n + C. (1+i) 
n – 1 + C. (1+i) 
n – 2 + . . . . . + C. (1+i) 1 
 
. . n 
VF = ∑ C (1+i) 
 p
 
 
 p=1 
 
Se procede como se hizo para el cálculo del valor final de pagos vencidos 
utilizando propiedad matemática del método inductivo. 
 
Se aplica el método en el Valor Final de pagos adelantados y se obtiene: 
 
 . . n 
 VF = C ∑ (1+i)
 p
 
 
 p=1 
 . . 
 VF = C [(1+i)
 n 
 × (1+i)
 
 – (1+i)
 1 
] ÷ [(1+i) – 1] 
 . . 
VF = C (1+i)
 
 [(1+i)
 n 
 – 1
 
] ÷ [(1+i) – 1] 
 
 . . 
 VF = C (1+i)
 
 [ (1+i)
 n 
 – 1] ÷ i = C (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 . . 
Se define a VF, como el valor final de n pagos iguales de $ C cada uno, 
adelantados y valuados a la tasa de interés i 
 
La expresión (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
Se define como el valor final de n pagos adelantados e iguales de $1 cada uno, 
 . . 
valuados a la tasa de interés i y simbolizamos dicha expresión por sn┐i 
 
 50 
. . 
sn┐i = (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 
Entonces se expresa el valor final de n cuotas o pagos adelantados de $ C y 
valuadas a la tasa de interés i , como: 
 . . . . 
 V F = C (1+i) (1+ i) 
n 
-1 = C sn┐i 
 i 
 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos iguales y adelantados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 n 
 
 
Debido a que los pagos se capitalizan el VF, tanto para el caso de pagos 
iguales y variables, adelantados como el de pagos vencidos, será mayor el valor 
final de dichos pagos que la suma matemática de los n pagos realizados 
 
 . . n 
VFv > ∑ C p en el caso del valor final de n pagos variables y adelantados
 
 p=1 
 
 n 
VFV > ∑ C p en el caso