Didactica de la matematica.para.programar clases

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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA PARA PROGRAMAR CLASES EN 
EDUCACIÓN PRIMARIA 
 
Pablo Flores Martínez 
Departamento de Didáctica de la Matemática 
Universidad de Granada. 
 
 
En esta conferencia he querido describir un aporte que puede hacer la Didáctica d ela 
Matemática a la actuación en el aula, centrándome en la programación de la enseñanza. 
Para ello me he centrado en un contenido matemático que tiene mucha tradición en la 
educación obligatoria, las fracciones. ¿Cómo puede ayudar la Didáctica de la 
Matemática al maestro que tiene que enseñar las fracciones en su aula? La conferencia 
que desarrollo pretende responder a esta cuestión, empleando algunos elementos que 
han surgido en Didáctica de la Matemática, y su concreción en las fracciones. 
 
Cuando el maestro, especialmente el principiante, se enfrenta a la enseñanza de las 
fracciones comienza por acordarse de su historia discente, cuando él era alumno, y 
realizaba esos inmensos castillos de fracciones. 
 8
56
453
)258(
297
23567
35
2300
276
4
)8(
5
(
)3(
276
286
4
18
3
)
3
2
31
3
(
)
28
74
71
2
4
26
(
43
3
7
2
+−−
−÷−−
−•−÷+
•−+÷
 
Si este maestro valora estos castillos, probablemente los enfatizará en su enseñanza. Si, 
por el contrario, no logró 
manejarlos con soltura, les 
parecerán un castillo con dragón 
lanzallamas. Y es que las 
fracciones no dejan a nadie 
indiferente. Para muchos 
alumnos, como Sally, en la viñeta 
de Shultz de la figura 1, las 
fracciones pueden ser las 
causantes de su matefobia. 
 
El maestro se enfrenta pues a una 
dificultad profesional cuando 
tiene que programar la enseñanza 
de las fracciones de manera que 
no se limite a construir castillos 
en el aire, y teniendo como 
finalidad el educar matemáticamente a sus alumnos de primaria. La Didáctica de la 
Matemática le puede ayudar a los maestros a tomar decisiones fundamentadas para 
seleccionar y secuenciar los contenidos, para diseñar las tareas de enseñanza y para 
organizar la enseñanza de las fracciones en relación a la finalidad educativa que tiene 
que asumir profesionalmente. 
 
En esta conferencia quiero mostrar que la Didáctica de la Matemática tiene una 
funcionalidad práctica, para ayudar en la programación de clases, empleando para ello 
Figura 1: Shultz
los organizadores curriculares (Rico, 1997a y b), que se basan en analizar los factores 
que influyen en las decisiones que toma el maestro cuando programa (qué son las 
fracciones, qué utilidad social tienen, qué obstáculos, y qué recursos didácticos pueden 
emplearse). Tras presentar los organizadores curriculares como instrumentos de la 
Didáctica de la Matemática, los ejemplificaré en las fracciones. Posteriormente daré 
algunas sugerencias para llevar a cabo la programación, mostrando algunos ejemplos de 
tareas para la enseñanza de las fracciones. Por último cerraré con unas conclusiones. 
 
1. Didáctica de la Matemática para programar: Los organizadores curriculares 
 
Los educadores matemáticos tienen una tarea específica, que va más allá de la 
transmisión de unos conocimientos establecidos. Para ello tiene que buscar elementos 
que ayuden a ejercerla de manera racional, disponiendo de criterios que le permitan 
seleccionar los libros de texto más idóneos para trabajar la fracción en su clase, para 
diseñar actividades adecuadas para que sus alumnos superen los obstáculos referidos a 
las fracciones. En una sociedad como la actual, en la que domina la especialización, las 
demandas anteriores se reducen a plantear la necesidad de que el educador matemático 
adquiera profesionalidad en su tarea social, y para ayudarlo en esa función está la 
Didáctica de la Matemática. 
 
Recordemos que Didáctica de la Matemática, tal como se considera en nuestro ámbito 
es el “área de conocimiento que explica y sirve de fundamento a la comunicación y 
adquisición de los contenidos matemáticos” (Díaz Godino, 1991). Para estas funciones, 
los educadores matemáticos tienen que llevar a cabo estudios sistemáticos, bien 
fundamentados y con disposición a compartirlos con otros educadores, hasta lograr el 
consenso sobre esta utilidad. Por tanto su responsabilidad corresponde a todos los que 
leven a cabo este estudio sistemático, son estos investigadores, profesores o formadores 
de profesores. 
 
En este área y analizando el currículo como campo de actuación del educador 
matemático, Luis Rico ha establecido 4 dimensiones respecto a las que se pueden llevar 
a cabo varios niveles de reflexión, según la posición que se adopte en la toma de 
decisiones relacionadas con el mismo. Las dimensiones son: Cultural conceptual, 
Cognitiva o de desarrollo, Ética o formativa y Social. Rico sitúa estas dimensiones en 
los vértices de tetraedros, con lo que posibilita la representación de las interacciones 
entre todas ellas. El tetraedro de cada nivel de reflexión es el dual del de nivel anterior, 
con lo que sitúa cada dimensión en el centro de la interacción entre tres de las 
anteriores. 
 
Las dimensiones provocan cuestiones diferentes según el nivel de toma de decisiones 
que se adopte. En la tabla 1 se recogen las referidas a dos de los niveles, el de la 
planificación del aula, y el del sistema educativo. 
 
Tabla 1: Análisis del Currículo (Rico, 1997a). 
Dimensión 
Niveles 
Cultural 
conceptual 
Cognitiva o de 
desarrollo 
Ética o 
formativa 
Social 
Planificación de 
aula 
Contenido Objetivos Metodología Evaluación 
Sistema 
educativo 
Conocimientos Alumnos Profesor Escuela 
https://www.researchgate.net/publication/39143830_Bases_teoricas_del_curriculo_de_Matematicas_en_Educacion_Secundaria?el=1_x_8&enrichId=rgreq-1e29e6691cd8a4980056b5576ab1d7aa-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM5MjIxMDUyO0FTOjE2MjI4NjU4MDgwNTYzM0AxNDE1NzAzNTQ0ODA3
En el nivel de planificación de aula, cada dimensión genera unas cuestiones que se 
pueden agrupar dando lugar a los organizadores curriculares, que Rico (1987) los 
define como “aquellos conocimientos que adoptamos como componentes 
fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas”. 
Referidos a las fracciones, los organizadores que tiene que examinar el maestro para 
programar la enseñanza son los siguientes: 
1) Evolución histórica de las fracciones 
2) Fenómenos relacionados con las fracciones (Fenomenología) 
3) Obstáculos y dificultades del aprendizaje de las fracciones 
4) Formas de representar y modelos usuales para trabajar con las fracciones 
5) Materiales y recursos para la enseñanza de las fracciones 
 
Tal como puede apreciarse, los dos primeros están influidos por la dimensión 
conceptual del currículo, los dos siguientes por la cognitiva, y la última por la ética y 
social. 
 
Para mostrar con mas claridad el interés de estos organizadores para programar la 
enseñanza describiré algunos aspectos de ellos sobre las fracciones. 
 
Evolución histórica de las fracciones 
 
En primer lugar conviene estudiar el concepto matemático implicado: ¿Qué son las 
fracciones? La primera idea que conviene 
resaltar es que los conceptos matemáticos 
no han sido siempre lo que son en la 
actualidad, sino que han evolucionado a 
través de la historia de las matemáticas. 
Por tanto para analizar el concepto 
conviene a estudiar el origen de las 
fracciones, desde sus primeras apariciones 
(precursores), las primeras utilizaciones 
generalizadas como herramientas, el 
comienzo de su consideración como 
objetos matemáticos y los procesos de 
formalización. 
 
Los vestigios descubiertos nos hacen ver 
que en la antigua civilización en 
Babilonia se comienzan a emplear las 
fracciones como herramientas para 
dividir, ya que se identifica la división con 
la multiplicación por el inverso. Así en 
Egipto se extiende el empleo de las 
fracciones unitarias con fines operatorios. 
En la figura 2, de Carlavilla y Fernández 
(2003), podemos ver una recreación de un 
cálculo egipcio con fracciones. 
Efectivamente la multiplicación egipcia, que se basa en la duplicación y partición a 
mitades, permitehacer divisiones exactas por medio de las fracciones (Kline, 1992). La 
multiplicación de 25 × 13 los egipcios la realizan situando los dos números en columnas 
Figura 2. Carlavilla y Fernández 
https://www.researchgate.net/publication/44514658_El_pensamiento_matematico_de_la_antiguedad_a_nuestros_dias_Morris_Kline?el=1_x_8&enrichId=rgreq-1e29e6691cd8a4980056b5576ab1d7aa-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM5MjIxMDUyO0FTOjE2MjI4NjU4MDgwNTYzM0AxNDE1NzAzNTQ0ODA3
paralelas, una de las cuales se obtiene por duplicación y la otra por partición a mitad, y 
se suman los números de la columna de duplicaciones que corresponden a mitades 
impares, tal como aparece en la tabla 2 siguiente. Igualmente se puede aplicar este 
algoritmo para realizar divisiones, tal como señala en la tabla 3, en la que se ha tratado 
de realizar la división 19 entre 8, buscando qué número multiplicado por 8 da 19, para 
lo que necesitamos recurrir a las fracciones. 
Tabla 2: 13×25 Tabla 3: 19:8 
 
Observemos que emplear divisiones de la unidad en mitades es una operación cómoda 
cuando realizamos una medida, ya que si queremos medir una longitud con una unidad 
flexible, por ejemplo de papel, podemos ver cuántas veces cabe la unidad, y, si queda 
algún trozo, doblar el papel por la mitad y ver si cabe, luego con la cuarta parte (mitad 
de mitad), etc. 
 
En resumen, podemos decir que los precursores del empleo de las fracciones emplean 
las unitarias (de denominador uno), como herramientas para dividir, en problemas de 
reparto, generalmente relativos a la agrimensura. 
 
También los pitagóricos emplearon las 
fracciones, aunque extienden su 
funcionalidad desde la medida hasta otros 
campos, en concreto a la armonía musical. 
El Tetracys, es decir, los cuatro primeros 
números, se constituyen para los Pitagóricos 
(Kline, 1992) en la base del universo, y, 
observan que las fracciones menores que la 
unidad, que se pueden obtener con ellos, 
son exactamente las que dan lugar a los 
sonidos armónicos, cuando se conjugan bien 
en peso (de los martillos que golpean un 
objeto metálico), o en longitud (de las 
cuerdas que se hacen vibrar). De nuevo 
Carlaville y Fernández en la figura 3 nos 
muestran una recreación gráfica interesante 
sobre este hecho. 
 
La matemática árabe facilita el manejo de las fracciones, al proponer un sistema de 
representación más operatorio, basado en su notación posicional. Los algebristas 
italianos del renacimiento comienzan su sistematización, que alcanza un momento clave 
con las aportaciones de Stevin, en el siglo XVI, con su organización de la expresión 
decimal de un número fraccionario. Por último destaquemos la utilización que Descartes 
realiza de las fracciones al expresar la división de longitudes, además de aportar la 
notación actual. 
 
:2 ×2 1/8 1 
13 25 25 ¼ 2 
6 50 100 ½ 4 
3 100 200 1 8 
1 200 325 
 
2 16 
 
Como 19 = 16+2+1 
 
19:8 = 2+1/4+1/8 
Figura 3. Carlavilla y Fernández 
https://www.researchgate.net/publication/44514658_El_pensamiento_matematico_de_la_antiguedad_a_nuestros_dias_Morris_Kline?el=1_x_8&enrichId=rgreq-1e29e6691cd8a4980056b5576ab1d7aa-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM5MjIxMDUyO0FTOjE2MjI4NjU4MDgwNTYzM0AxNDE1NzAzNTQ0ODA3
Por último la formalización se puede ubicar en el siglo XIX, con el desarrollo de la 
teoría de números de Dirichlet y la formalización de la aritmética de Peano. 
Posteriormente, estas formalizaciones permitirán la construcción de Q a partir de los 
pares de enteros, lo que se generaliza a la creación paralela del cuerpo de fracciones de 
polinomios. De esta formalización surge la visión actual de la fracción que la concibe 
como un objeto matemático, un número, el racional, que está constituido por dos 
números, y que responde a una acción de partición. Conceptualmente, el número 
racional amplia al número entero con la posibilidad de resolver todas las ecuaciones de 
la forma ax+b=c, y con ello todos los problemas reducibles a estas ecuaciones. Este 
hecho acarrea formalmente la construcción del cuerpo de fracciones en un anillo, pero 
también la posibilidad de realizar la división y con ello la ruptura de la matemática 
discreta, para generar un conjunto denso. La densidad es una característica de muchas 
de las magnitudes, por lo que los números racionales permiten encarar la medida de 
magnitudes, con todo lo que esto aporta a la ciencia, la técnica y la práctica social. Los 
estudios de Piaget en su epistemología didáctica realzan que la fracción tiene un doble 
papel, como acción (partir, fraccionar, para realizar acciones diversas), y una 
representación perceptiva, que expresa una relación, una medida, etc. (Grupo APMA, 
1985). 
 
Fenomenología. 
 
Tras analizar el contenido matemático que se va a enseñar, en este caso las fracciones, 
que han quedado caracterizadas por medio de su estudio histórico, conviene preguntarse 
por la utilidad del concepto, el papel que desempeñan en la sociedad. Rico (1997) llama 
fenomenología de un concepto al conjunto de fenómenos para cuya comprensión se 
utiliza ese concepto. En nuestro caso, para responder al empleo social de las fracciones 
debemos analizar los fenómenos en los que están implicadas las fracciones, así como el 
significado que adquieren en ellos. El análisis del APMA (1987) resume en el cuadro 
siguiente la utilidad de las fracciones. Como varios autores han proclamado, las 
fracciones intervienen en pocos problemas cotidianos, y en ellos aparecen una cantidad 
pequeña de ellas, especialmente ½, 1/5, 1/8 y 1/10. 
 
 
Las viñetas gráficas provenientes de 
autores no matemáticos nos muestran 
algunas de las apariciones de las 
fracciones (Flores, 2003). Así Jim 
Davis, en la viñeta de la figura 4 nos 
muestra que las fracciones se emplea 
en situaciones de reparto, apareciendo 
en esta ocasión como el resultado de 
una división, que a su vez expresa la 
relación que existe entre una parte y un 
todo. En la viñeta de Bud Blake el 
alumno rechaza las fracciones en la 
enseñanza, pero las utiliza para 
expresar una probabilidad, con lo que 
la fracción adquiere un significado de 
razón (Figura 5). 
 
Cuadro 1: Utilización de fracciones: APMA (1984) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos resumir, a partir de los análisis de Llinares y Sánchez (1988), señalando que 
las fracciones aparecen en muchas ocasiones como la relación entre una parte y un todo 
que actúa como unidad de referencia (a medio camino). En otros casos aparecen como 
una división sin realizar (le toca a cada uno un tercio), o el resultado de una medida 
(cuarto y mitad). También puede ser un operador (le corresponden los dos tercios del 
total). Pero el sentido que más se aproxima al de número racional es el de la fracción 
razón, entendida como relación parte a parte, o como proporción. El número racional 
está, pues, en la base del razonamiento proporcional. Ligados a estos sentidos de uso de 
las fracciones, aparecen las equivalencias y las operaciones entre números racionales. 
La suma y resta se deducen fácilmente a partir de la suma y resta de números naturales, 
especialmente cuando se refieren a la misma unidad, pero la multiplicación y división 
obedecen a otros criterios y sentidos diferentes de las operaciones en N. En general, la 
multiplicación exige la actuación como operador de una fracción sobre el resultado 
obtenido por la otra, mientras que la división se refiere a la comparación entre partes, 
más que al reparto. Como se observa, los números racionales tienen su propia 
significación, que no siempre coincide con la de los números enteros y naturales, por lo 
que el profesor debe conocer estas características. 
 
Representaciones y modelos. 
 
El educador matemático tiene que ser consciente de que los conceptos matemáticos son 
entes abstractos, y que el trabajo con ellos se hace utilizando representaciones de los 
mismos. Pero no nos engañemos, la representación no es el concepto. 
 
Los números racionales se expresan de dos formas diferentes, en forma de fracción, y 
con notacióndecimal. La escritura en forma de fracción tiene su origen en las relaciones 
entre la aritmética y la geometría. El uso particular de fracciones decimales y su 
Figura 4: Jim Davis 
Figura 5: Bud Blake 
utilización para la medida de magnitudes, como el tiempo, da lugar a la notación 
decimal. El estudio de los conceptos tiene que hacerse mediante representaciones. Tal 
como indican Llinares y Sánchez (1988), las fracciones pueden representarse de manera 
geométrica, discreta, numérica y literal. Las representaciones geométricas se realizan en 
un contexto continuo y las más frecuentes son los diagramas circulares, rectangulares y 
la recta numérica. En las representaciones discretas la unidad está formada por un 
conjunto discreto de objetos. Las representaciones numéricas encuentran distintas 
formas de utilizar los números para indicar una relación parte-todo: representación 
como división indicada (3/5), representación como razón (3:5), representación decimal 
(0.6), representación de porcentajes (60%). En las representaciones literales podemos 
distinguir distintas formas: tres quintos, tres de cinco y proporción de tres a cinco. En la 
figura 6 aparece un naipe de una baraja de fracciones de Moisés Coriat (1989) en la que 
se expresan de forma sintética tres formas de representación de las fracciones: con 
cifras, con palabras y mediante magnitudes. 
 
 
 
En las viñetas de Gelluck (2002) de la figura 7 podemos observar diversas formas de 
contemplar el término literal “medio”, una de las representaciones de una fracción, que 
se concibe de diversas formas para provocar el humor. 
 
Para trabajar con las fracciones se recurre a sus representaciones, que actúan como 
metáforas del concepto. Estas metáforas nos permiten realizar operaciones con ellas, 
constituyéndose pues en modelos de las fracciones. Los más usuales en el trabajo con 
números y operaciones podemos destacar los siguientes: lineales, utilizan la recta 
numérica como modelo de representación numérica; métricos, emplean longitudes, 
superficies, balanzas para el estudio de conceptos numéricos; geométricos, que utilizan 
figuras geométricas para representar partes de la unidad; funcionales, aunque no son los 
modelos habituales actualmente se emplean para operaciones con racionales pero no 
con decimales, excepto algunos casos de porcentajes. 
 
 
Figura 6: Naipe de Fracciones, 
Coriat (1989)
Figura 7: Gelluck (2002) 
Obstáculos y dificultades 
 
El maestro que encara la programación de la enseñanza de las fracciones tiene que partir 
de la forma en que los alumnos van a reaccionar ante este concepto. Los investigadores 
en Didáctica de la Matemática han examinado obstáculos y dificultades que suelen 
encontrar los alumnos en su aprendizaje. Llinares y Sánchez, en el texto de la colección 
Matemáticas, Cultura y Aprendizaje, editado por Síntesis (1988), nos recuerdan algunos 
de estos obstáculos. De ellos hay que destacar los que surgen al relacionar distintas 
interpretaciones de la fracción. La identificación de la fracción con una cantidad es un 
obstáculo para interpretar y manejar la fracción como razón, y para el número racional. 
La noción de equivalencia de fracciones es origen de errores debidos al manejo 
simultáneo de diversos sentidos de fracción y de equivalencia, y otras veces por los 
problemas originados ante la transitividad del signo igual. La introducción demasiado 
pronta del cálculo algorítmico provoca confusiones en su manejo. Estos equívocos 
también se pueden producir por la similitud entre las notaciones de los números 
naturales y las fracciones. En este sentido se puede considerar que las operaciones 
aprendidas con los números naturales pueden generar obstáculos para las operaciones 
con racionales ya que, por ejemplo, la multiplicación no significa siempre un aumento 
de la cantidad. En la figura 8, de Urdezo y Goscini, Obelix de manera interesada hace 
una partición, no 
un 
fraccionamiento, 
al hacer una 
división que no 
es igualitaria, 
aunque si sea 
exhaustiva. 
 
 
 
Materiales y recursos 
 
¿Qué herramientas existen para enseñar las fracciones? ¿Cómo se emplean? ¿Qué se 
aprende con ellas?. Estas son algunas de las cuestiones profesionales que interesan al 
maestro que está programando su intervención en el aula para enseñar las fracciones. Un 
recorrido por las Jornadas de Profesores, sus revistas profesionales y los 
establecimientos especializados pueden servirle para darse cuenta que hay una gran 
cantidad de materiales y recursos destinados a la enseñanza de las fracciones. Dentro de 
ellos podrá observar que algunos tienen como función el hacer que los alumnos 
manipulen modelos de fracciones para comprender el concepto de fracción, mientras 
que otros están destinados a afianzar el manejo de algoritmos y mecanismos de cálculo. 
 
Con intención de que los alumnos comprendan el concepto de fracción, puede utilizar 
materiales y recursos relacionados con la enseñanza de los números, como los 
marcadores, los ábacos, etc. También se pueden emplear otros materiales generales, 
como el Tangram y la calculadora. La calculadora potencia las relaciones entre 
fracciones, decimales y porcentajes. Otros recursos específicos para la comprensión son: 
el círculo de fracciones, el libro de fracciones, las tabletas y puzzles troquelados de 
fracciones, entre los cuales destacamos el diagrama de Freudenthal (figura 9), en el que 
podemos establecer equivalencias de fracciones, desigualdades, ordenación, operaciones 
Figura 8: Urdezo y Goscini 
(cuántas veces está contenido un octavo en un medio, 
cual es la mitad de un cuarto, etc.). Al trazar rectas 
verticales obtenemos fracciones equivalentes, o 
comparamos tamaños de fracciones, lo que permite 
ordenar y obtener desigualdades. 
 
Para ejercitarse con los cálculos y la relación entre 
formas de representación de las fracciones puede 
emplearse el dominó de fracciones, la baraja de 
fracciones y cualquier objeto que se preste a la 
partición y estudio de las relaciones entre las partes. 
Con estos instrumentos los alumnos pueden jugar con 
la representación fraccionaria de la misma forma que 
lo harían con cartas y dominós tradicionales 
(encontrar parejas, “la escoba” o barrer las cartas de la 
mesa sumando la unidad, etc.), pero obligándose a 
identificar diversas formas de representar las 
fracciones, o efectuando las operaciones que aparecen 
en el juego. 
 
Hay que destacar la importancia de los instrumentos 
de medida en la enseñanza de los racionales: reglas 
graduadas, escalas, vasos graduados, jeringuillas, 
calibradores, cartulinas, papel cuadriculado, balanzas 
y pesas, etc. 
 
2. Programación de la enseñanza de fracciones en Educación Primaria 
Programar clases consiste en tomar decisiones sobre qué se va a enseñar, cómo se va a 
hacer y con qué intenciones. Cada contenido que se selecciona tiene que obedecer a una 
intención educativa. El maestro que opta por seleccionar castillos de fracciones tiene la 
intención de introducir a sus alumnos en una disciplina operatoria, valiosa en todo caso 
para desarrollar la capacidad de razonamiento abstracto, pero ajena a las necesidades 
inmediatas del niño. Por ello no cabe decir que programar es seleccionar en un cierto 
orden los elementos del currículo: objetivos, contenidos y tareas. Se trata de organizar 
todo esto en un sistema en que estén articuladas las tres dimensiones. Por ello 
proponemos para programar el esquema del cuadro 2, en el que el orden de elaboración 
propuesto trata de acercarse más a la situación de los maestros noveles, quienes suelen 
partir de qué tengo que enseñar (contenidos), antes de decidir el resto. La intención del 
cuadro es resaltar que cada componente debe examinarse de manera extensa, abriendo a 
diversas posibilidades, creando un catálogo de contenidos y tareas, antes de pasar al 
proceso de selección y secuenciación, que deberá establecerse cuando se examinen las 
finalidades pretendidas con el conjunto de la clase, y las cualidadesdidácticas de cada 
tarea para cada contenido. 
 
Supuesto que comenzamos por analizar los contenidos, sería conveniente examinar lo 
que aportan los documentos oficiales, para ceñirse a las obligaciones profesionales. Pero 
además conviene revisar fuentes profesionales de iguales, como los libros de texto, que 
nos suministran formas de seleccionar y organizar los contenidos. Una vez se han hecho 
estas consultas habrá que organizar los contenidos estableciendo relaciones entre ellos, 
para tener presentes las dependencias funcionales y conceptuales. Una forma gráfica de 
Figura 9: Diagrama de 
Freudenthal. 
poner de evidencia estas relaciones son los mapas conceptuales y los esquemas gráficos. 
Llinares y Sánchez (1988) nos suministran un esquema para las fracciones que puede 
ejemplificar el que debería llevar a cabo cada maestro (cuadro 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez organizados los contenidos, podemos pasar a seleccionar los que vamos a 
incorporar a cada curso y en cada período de clase. Podemos entonces buscar tareas de 
enseñanza, para lo cual haremos uso de las fuentes profesionales habituales: libros de 
texto, libros de profesor, artículos de revistas de profesores, y libros de divulgación de 
Didáctica de la Matemática. Con ellos podemos extraer algunas consideraciones, como 
las que nos suministran en el artículo del APMA (1984), en el que realzan la 
importancia de que los alumnos comiencen su aprendizaje manipulando materiales 
(Alcalá, 1986) y transmitiendo a sus compañeros de manera oral sus logros, con lo cual 
Cuadro 2: Esquema de tareas para programar 
Cuadro 3: Esquema de contenidos para las fracciones. Llinares y Sánchez (1988) 
estarán ejercitándose en emplear las fracciones en procesos de acción y representación, 
pasando de acciones a diagramas, nombres y símbolos (Llinares y Sánchez, 1988). Los 
estándares curriculares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 
2003) nos sugieren que el foco de atención en las edades de educación primaria sean las 
fracciones familiares, sin ánimo de generalizar de manera precipitada. Dada la 
fenomenología de las fracciones, ligada a la medición, Obando (2003) nos sugiere que 
realicemos mediciones de cantidades continuas, como la longitud, por medio de 
unidades reales, en papel, por ejemplo, que permiten su fraccionamiento por doblez. 
 
El contenido de las fracciones es tan universal en la educación matemática obligatoria 
que ha sido ampliamente tratado en la literatura de profesores como en la de 
investigadores (ver Giménez 1991, Gairín 1998, etc.). En estos trabajos se nos hacen 
numerosas recomendaciones sobre tareas para la enseñanza de las fracciones, y se 
examina el efecto conseguido con algunas de ellas. 
 
Entre las tareas que nos han parecido interesantes destacamos las relacionadas con 
materiales manipuativos, como las que derivan del empleo del TANGRAM, en el que 
Obando (2003) propone que las cuestiones que le planteemos a los alumnos permitan la 
relación directa e inversa entre la fracción y la unidad, de manera que quede claro 
siempre la unidad de referencia, especialmente cuando se trabaja la fracción como 
relación parte-todo (cuadro 4). 
 
Cuadro 4: Tarea para la enseñanza de la fracción parte-todo (Obando, 2003) 
 
- El área del triángulo G, ¿Cuánto es del área 
de A? 
- El área de A ¿Cuántas veces contiene al área 
de G? 
- El área de C ¿Cuánto es del área de G?, 
- ¿Cuántas veces está el área de C en G? 
 
 
 
Las viñetas gráficas nos suministran contextos en los que se emplean las fracciones, lo 
que nos permite analizar su significado. En la tarea del cuadro 5 (Flores, 2004), 
partimos de una viñeta en la que se pretende contar empleando fracciones. 
 
Cuadro 5: Tarea para enseñanza de fracciones, la fracción para contar 
- Encontrar el número siguiente en la serie 
que está utilizando Chiripa 
- Determinar cuántos números tendrá que 
decir Chiripa antes de llegar a 3. 
- Suponiendo que emplea un segundo en 
decir cada número, determinar el tiempo 
que tardarán en atacar 
- Estudiar qué cualidades tienen los 
números naturales que les hacen 
especialmente aptos para contar. 
Analizar qué pasaría si contásemos con 
fracciones. 
A C 
B E D 
C G 
https://www.researchgate.net/publication/28053978_Sistemas_de_representacion_de_numeros_racionales_positivos_Un_estudio_con_maestros_en_formacion?el=1_x_8&enrichId=rgreq-1e29e6691cd8a4980056b5576ab1d7aa-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM5MjIxMDUyO0FTOjE2MjI4NjU4MDgwNTYzM0AxNDE1NzAzNTQ0ODA3
Gateño (1959) nos anima a emplear los números en color para la enseñanza de la 
aritmética, en general, y de las fracciones en particular. La comparación de regletas de 
colores nos permite establecer expresiones de cada una de ellas en función de las otras. 
En la figura 10 se han puesto varias regletas que permiten estudiar la porción de cada 
una que es la otra regleta. 
 
Algunas otras consideraciones interesantes son que 
propongamos tareas en que se explicite la unidad y se 
lleve a cabo la reconstrucción de la unidad (Llinares y 
Sánchez, 1988, Obando, 2003), para lo cual se sugiere 
que se utilicen las fracciones unitarias, tal como 
hacían los egipcios, manejando la relación directa y su 
inversa, ya que si X = n.Y, podemos extraer Y = (1/n) . 
X; la fracción m/n aparecerá entonces como m veces la fracción 1/n. 
 
Los diversos autores recomiendan introducir la fracción como la relación que existe 
entre la parte y el todo, o como el resultado de una división. Para trabajar estas 
fracciones conviene emplear diversidad de modelos y representaciones, ya que la 
comprensión de la fracción consistirá en la capacitación para relacionar entre si las 
diversas formas de representación. La NCTM (2003) nos recomienda que se utilicen en 
clase las calculadoras escolares en las que aparece la notación fraccionaria, con lo que 
se estará abordando la dimensión de cálculo que encierra la fracción en una herramienta 
que debe ser familiar a los alumnos. 
 
 
3. Conclusiones 
En esta conferencia he tratado de mostrar como la Didáctica de las Matemáticas permite 
al profesor mejorar la programación de su actuación en el aula para enseñar fracciones. 
Empleando los organizadores curriculares (Rico, 1997b), he tratado de mostrar algunos 
elementos cuyo descubrimiento y análisis permitirá que el maestro comprenda con 
mayor profundidad lo que es la fracción y los procesos de enseñanza y aprendizaje de 
las fracciones. Pero además le suministran herramientas para llevar a cabo la 
programación de sus clases, siempre tratando de que su intención sea educar 
matemáticamente a los alumnos, es decir adquirir los valores que subyacen a las 
matemáticas (Bishop, 1994). No basta con enseñar matemáticas, también debemos 
educarles acerca de las matemáticas, mediante las matemáticas y con las matemáticas. 
Para lograr estos fines, el educador matemático tiene que tener conciencia de su tarea y 
sus competencias, y para su adquisición la Didáctica de la Matemática puede colaborar 
explícitamente. Los organizadores curriculares pueden aportarle puntos de referencia 
que, una vez descritos para cada contenido matemático, le permitirán tener un repertorio 
de conocimientos gracias a los que podrá llevar a cabo una tarea en el aula más acorde 
con los fines, seleccionando con mayor racionalidad, en función de las circunstancias en 
que se mueva. Los textos específicos le ayudarán a desarrollar estos organizadores. En 
esta conferencia hemos hablado de algunos. El artículo del grupo del APMA (1984) 
realizó un estudio amplio del concepto de fracción, haciendo algunas consideraciones 
metodológicas importantes que han tenido repercusión en publicaciones posteriores. Su 
mayor cualidad es haber reunido un grupo de profesores de diferentes niveles 
educativos para producir una serie de consideraciones que llegan a hacer propuestas 
concretas para la enseñanza de las fracciones que han tenido repercusión en la 
enseñanzaposterior. 
Figura 10: Números en color 
https://www.researchgate.net/publication/246776364_Mathematical_Enculturation_A_Cultural_Perspective_on_Mathematics_Education?el=1_x_8&enrichId=rgreq-1e29e6691cd8a4980056b5576ab1d7aa-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM5MjIxMDUyO0FTOjE2MjI4NjU4MDgwNTYzM0AxNDE1NzAzNTQ0ODA3
 
El texto de Manolo Alcalá (1986) reúne las observaciones de un profesor de Primaria, 
con amplia experiencia, una gran capacidad creativa, sobre las aportaciones de la Teoría 
de Freinet a la enseñanza de las fracciones. Salvador Llinares y María Victoria Sánchez 
(1988) llevaron a cabo un amplio y sistemático análisis de la investigación existente 
sobre la enseñanza de las fracciones, divulgando estas investigaciones hasta constituirse 
en referente obligado de todos los estudios posteriores. Más aun cuando los autores se 
atreven a hacer recomendaciones de enseñanza, en línea con los mejores manuales para 
profesores de la colección que la Editorial Síntesis dedicó a Matemáticas, Cultura y 
Aprendizaje. Por último los Estándares Curriculares del National Council of Teachers 
of Mathematics (NCTM 2003) es un trabajo de actualización de los estándares 
profesionales publicados en el año 1991, en el que se ha ampliado el proceso de 
consulta a todos los interesados, hasta concretarse en un manual de referencia obligado 
para los educadores matemáticos de todo el mundo. En esta ocasión, la edición del 2000 
se ve reforzada por la presencia de un CD con propuestas de clase, así como 
presentaciones de vídeos de actuación en clase de los profesores, que también aparece 
en la edición española. 
 
Todos estos aportes nos permiten afrontar la enseñanza de las fracciones de una manera 
más profesional, como educadores matemáticos, evitando caer en propuestas ingenuas, 
repetitivas de las que hemos sufrido en nuestra vida de estudiantes, en las que hemos 
pasado quizás demasiado tiempo buscando un Mínimo común Denominador, que, tal 
como aparece en la viñeta de la figura 11 ya estaban buscando en tiempos de nuestros 
tatarabuelos, y que, como dice Bob Thaves (figura 12) puede que en un futuro sea inútil 
por que algún departamento de marketing encuentre uno aun menor. 
 
 
 
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