teoria de vectores 2019

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Algebra y Geometría Analítica – Vectores Mg Analía P. Mena 
 
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VECTORES EN EL ESPACIO n – 
DIMENSIONAL 
RECORDANDO……… 
Definición de vector en n 
Denominamos vector n–dimensional a la n – upla ordenada de 
números reales 
 v = (x1 , x2 ,…,xn) con xi  , i = 1, 2, …n, se denomina 
componente o coordenada i - ésima del vector. 
Los denotaremos con letras minúsculas u, v, x, w, etc y al 
conjunto de todas las n-uplas ordenadas se lo denomina espacio 
n dimensional y se representa por n. 
 
 
Norma o Módulo de un vector 
 
Definición: Sea el vector v = (x1 , x2 , ….,xn )  
n
 , 
definimos norma o módulo de v y lo denotamos v o 
bien v al número real no negativo 
 v = 2
n
2
2
2
1
x....xx  = 
n
2
i
i=1
x 
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OPERACIONES CON VECTORES 
 
 
Igualdad de Vectores en 
n
 
Definición: Dados u = (u1 , u2 , …., un) 
n
 y 
v = (v1 , v2 , …., vn) 
n
. 
 u = v  ui = vi  i = 1, 2, …n 
 
Suma de vectores en 
n
 . 
Definición: 
Dados u = (u1 , u2 , …, un)
n
 , v =(v1 , v2 , …., vn)
n
 
Se define: 
 u + v = w / w = (u1+v1 , u2+ v2 , …., un+ vn) 
n
 
 
 
 
 
 
 
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Producto de un número real por un vector. 
 
Definición:  k  ,  v = (v1 , v2 , …., vn) 
n 
 se 
define el producto de k por v como el vector 
k v = (k v1 , k v2 , …., k vn) 
n
 
 
 
Producto escalar o Producto interno en 
n
. 
 
Definición: Sean u = (u1 , u2 , …., un)
n
, 
v = (v1 , v2 , …., vn)
n
 
 u . v = u1 v1 + u2 v2 +…..+ un vn = 

n
1i
ii
vu   
 
 
 
 
 
 
 
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Vectores Ortogonales 
 
Definición 
Sean u = (u1 , u2 , …., un) 
n
 y v = (v1 , v2 , …., vn) 

n
 entonces 
 u y v son ortogonales (u  v ) si y sólo si u . v = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Representación gráfica 
Desde el punto de vista geométrico: 
“Vector es un segmento de recta que une dos puntos 
P y Q de dicha recta y que está orientado porque se 
distingue cual es el punto inicial y cual es final” 
 
Es decir que, vector es un ente matemático que 
posee magnitud, dirección y sentido. 
 
La magnitud o módulo de un vector u es la 
longitud de la flecha, medida con una cierta unidad y 
denotamos u . 
La dirección del vector está dada por la recta que lo 
contiene o soporta y el sentido por el extremo de la 
flecha. 
 
 
 
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Los vectores pueden graficarse en: 
1) la recta real (), 
2) en el plano (
2
) y 
3) en el espacio (
3
). 
 
1) Si n = 1 
1
 = ( x) / x   =  
 O U P 
 0 1 x 
Esta recta recibe el nombre de eje x. 
El vector OP (segmento orientado o dirigido) 
OP = P = (x) es el vector que identificamos con su 
extremo P y con el número real x que es la abscisa 
de P. 
 
Ejemplo. Graficar el vector P = (-3) 
 
 -3 0 
 
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2) Si n = 2, entonces a 
2
 = (x , y) / x, y    
Identificamos al punto P del plano con el par 
ordenado (x , y) y escribimos: P = (x , y) 
 
 
 
 
Consideremos el segmento orientado OP, que por 
definición de vector de 
2
 podemos identificar a 
OP = P = (x , y) = u que es el segmento orientado 
cuyo origen es el (0 , 0) y extremo (x , y). 
El vector u = (x , y) queda unívocamente 
determinado por las coordenadas de su extremo- 
 
 
 
 
 
 
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Versores o Vectores Canónicos 
En 
2
 
 i = (1 , 0) y j = (0 , 1) 101 i 22  
110 j 22  
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
u = (x , y) = x (1 , 0) + y (0 , 1) = x i + y j  
u = x i + y j 
 
Expresión canónica o cartesiana del vector u 
 
 
 
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3) Si n = 3, entonces 
3
 = (x , y , z) / x, y, z    
OP = P = (x , y , z) = u 
 
 
 
 
 
 
 
Los vectores canónicos o versores son: 
 i = (1 , 0 , 0), j = ( 0 , 1 , 0) y k = (0 , 0 , 1) 
Tales que 1001 i 222  1010 j 222  
y 1100k 222  
u = (x , y z) = x i + y j + z k 
 
 Expresión canónica o cartesiana del vector u 
 
 
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Ejemplo Graficar: v = (2 , 3 , -1) u = (-3 , -3 , 0) 
 
 
Observación: 
u (u1 , u2 , …., un) es un punto del espacio 
n 
 
u = (u1 , u2 , …., un) vector del espacio 
n 
, 
 
Suma Vectorial gráfica 
Consideremos los vectores u , v
2
, tales que 
 u = (u1 , u2) y v = (v1 , v2) 
 
 
 
 
 
 
 
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Consideremos ahora el vector de 
2
 que tiene por 
origen al punto A(a1 , a2) y por extremo al punto 
B(b1 , b2). 
 
 
 
 
 
 
A + AB = B AB = B – A = (b1 – a1 , b2 – a2) 
 
Dado AB 
n
 : 
 AB = B – A = (b1 – a1 , b2 – a2 , ….., bn – an) 
Y por lo tanto 
 AB = 2
nn
2
22
2
11
)ab(...)ab()ab(  
 
 
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Ejemplo: Dados los puntos A y B, calcular en cada 
caso el vector AB y su módulo 
a) A ( 2 , 1) y B (3 , -2) 
b) A (1 , 0 , -3) y B (-2 , -1 , 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distancia entre dos puntos 
Definición: Sean los puntos A, B  
n
, se define la 
distancia entre A y B como la norma o módulo del 
vector AB 
 
 
 
 
 dist (A , B) = AB = A - B 
 AB = 2
nn
2
22
2
11
)ab(....)ab()ab(  
 
 
 
 
 
 
 
 
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Producto escalar o Producto interno en 
n
. 
Definición 2 
 
Sean u , v 
n
 dos vectores no nulos. Su producto 
escalar es el número que se obtiene como el 
producto de los módulos de u y v por el coseno del 
ángulo que forman los vectores. 
 Es decir:  cos v u v.u 
 
Ejemplo Sean u = (3 , 0), v = (5 , 5) y  = 45° 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Angulo entre dos vectores no nulos 
De  cos v u v.u se obtiene 
 v u 
v. u
cos  , 
que es la expresión que nos permite calcular el 
ángulo no negativo más pequeño entre los vectores u 
y v 
 
Ejemplo. Sean los vectores u = 2 i + 2 j , v =3 j. 
Calcular: a) El producto escalar b) El ángulo entre 
los vectores 
a) u . v = (2 , 2) . (0 , 3) = 6 
b) 8u  v = 3  cos  = 22
 3 .8
6
 
  = 45° 
 
 
 
 
 
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Vectores paralelos 
Sean 
u = (u1 , u2 , ., un) 
n
 y v = (v1 , v2 , ., vn)
n
 
El vector u es paralelo a v y denotamos u // v 
   k   -  0  / v = k u  
  k   -  0  / vi = k ui  i = 1, 2, ….,n 
 
Ejemplo. Averiguar si los vectores u = (1 , -2) y 
v = (-2 , 4) son paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observaciones 
u // v significa que los vectores tienen la misma 
dirección 
Si además k > 0 significa que tienen igual sentido 
Si k < 0 significa que tienen sentido contrario. 
 
Vectores Unitarios o Versores 
Dado u 
n
, u ≠ 0
~
 llamamos vector unitario en la 
dirección de u al vector de módulo 1, paralelo a u 
que se calcula como el cociente entre el vector u y 
su módulo. Es decir: 
uu = 
u 
u
 vector unitario en la dirección de u 
 
Observación 1: 
Dado u 
n
, u ≠ 0
~
, vector unitario en la dirección 
de u verifica que: a) u 
u
= 1 b) uu // u 
 
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Observación 2: 
En 
n
 hay n versores en la dirección positiva de los 
ejes y se denominan e1, e2, ……, en tales que: 
e1 = ( 1, 0 , 0 , …0), e2 = ( 0 , 1, 0 , 0, ….0), ……, 
en = (0 , 0, ……1) denominados versores 
fundamentales. 
 
Ejemplo. Sean los vectores 
u = (-2 , 3) y v = (-1 , -5), encuentre los vectores 
unitarios en la dirección de los vectores dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ángulos Directores 
Se llama así, a los ángulos que forma un vector con 
los ejes coordenados 
 
Sea u 
n
 , u ≠ 0
~
 y sean 1, 2, 3,……, n los 
ángulos directores de u. 
 i = 1, 2, …n , i es el ángulo director que forma 
el vector u con el je ei y los cosenos directores se 
calculan: 
u 
u
u 
)0,....1,....0,0).(u,..,u,.....u , u(
 e u 
e. u
cos ini21
i
i
i

 
 . 
2
2
i
i
2
u 
u
cos  
Y entonces 1
u 
u 
u
u 
1
u 
u
cos
2
2
n
1i
2
i2
n
1i
n
1i
2
2
i
i
2  
 
 
 
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Observación 1: Sea u 
2
 , u ≠ 0
~
  
cos
2
1+cos
2
2 = 1 que es la conocida relación 
pitagórica 
 
 
 
 
 
Cosenos directores: cos 1 = 
u 
u
1 cos 2 = 
u 
u
2 
 
Observación 2: Sea u 
3
 , u ≠ 0
~
  
cos
2
1+cos
2
2 + cos
2
 3 = 1 
 
 
 
 
 
 
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cos 1 = 
u 
u
1 cos 2 = 
u 
u
2 cos 3 = 
u 
u
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Proyección de un vector sobre otro 
Sean u, v 
n
 tal que u ≠ 0
~
 y v ≠ 0
~
, definimos 
proyección vectorial ortogonal de u sobre v al vector 
Pu,v tal que cumple las siguientes condiciones: 
1) v // Pu ,v 2) u – Pu , v  v 
 
 
 
 
 
 
 Vamos a determinar Pu ,v. Como v // Pu , v  
  k   -  0  / Pu , v = k v. (1) 
Además como u – Pu , v  v  (u – Pu , v) . v = 0 
 ( u – k v ) v = 0 Por (1)  u.v – k 
2
 v = 0 
k =
2
 v
v.u
. Por (1) Pu , v = k v  Pu , v = 2
 v
v.u
 v 
 
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La proyección escalar de u sobre v es el módulo 
de P, o sea: 
 v
 v.u 
 v
 v
 v.u 
 v 
 v 
v.u
 v k k v P 
22vu,
 
 
 v
 v.u 
 P 
vu,
 
 
Ejemplo. Calcular el vector Pu,v (vector proyección 
ortogonal de u sobre v). Siendo u = (2 , -1) y 
v = (1 ,1). 
Pu , v = 2
 v
v.u
 v  Pu , v = 





2
1
 , 
2
1
 Vector 
proyección vectorial ortogonal de u sobre v 
 
 v
 v.u 
 P 
vu,
 = 
22
2
1
2
1












= 
2
2
 Proyección 
escalar de u sobre v 
 
 
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Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. Hallar x N tal que la proyección escalar 
del vector u sobre el vector v sea 2 6 , siendo 
u = (1 , x , -x) y v = (1 , 2 , -1) 
Como 
 v
 v.u 
 P 
vu,
 ,   x : Pu , v = 2 6 
 
 
 
 
 
 
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Producto Vectorial 
Dados dos vectores u= (u1 , u2 , u3)  
3
 y 
 v = (v1 , v2 , v3)  
3
 definimos Producto 
 c = u x v = 
 = (u2 v3 – u3 v2 , u3 v1 – u1 v3 , u1 v2 – u2 v1) 
 
 
Observación 1 
El producto vectorial recibe el nombre de producto 
exterior o producto cruz. 
u1 u2 u3 u1 u2 
v1 v2 v3 v1 v2 
 u x v = (u2 v3 – u3 v2 , u3 v1 – u1 v3 , u1 v2 – u2 v1) 
 
 
 
 
 
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Observación 2: 
El producto vectorial da como resultado un vector 
 c = u x v donde: 
1.- El Módulo o magnitud se obtiene 
 sen v u u x v , donde  es el ángulo que 
forman los vectores u y v. 
 
2.- La Dirección del vector u x v es perpendicular al 
plano determinado por los vectores u y v 
 
 
 
 
3.- El Sentido del vector u x v está dado por la regla 
de la mano derecha. Es decir que los vectores u y v, 
se encuentran situados de modo tal que u tiene la 
dirección del índice de la mano derecha, el vector v 
la del dedo mayor y el pulgar indica la dirección 
positiva del vector uxv. 
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Observación 3 Si consideramos los vectores no 
nulos u = u1i + u2 j + u3k y v = v1i +v2 j+ v3k 
Se puede demostrar que 
u x v = 
vvv
uuu
kji
 
321
321
= 
 = (u2 v3 – u3 v2 , u3 v1 – u1 v3 , u1 v2 – u2 v1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 
Sean u = i – 2j y v = 3k. Calcular: i) u x v y 
ii) v x u 
i) u x v = 
300
02-1
kji
 = 3 (-1)
3+3
 
2-1
ji
 = 
 =3 (-2 i – j ) = -6i – 3 j = (-6 , -3 , 0) 
 
ii) v x u =02-1
300
kji
 = 3 (-1)
2 + 3
 
2-1
ji
 = 
 = - 3 (- 2 i – j) = 6 i + j = ( 6 , 1 , 0) 
Se concluye que u x v ≠ v x u 
 
 
 
 
 
 
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Observación Importante 
El producto vectorial es anticonmutativo, es decir: 
u x v = - (v x u). Estos vectores u x v y v x u tienen 
igual longitud y son colineales. Los sentidos de estos 
vectores son contrarios, ya que desde el extremo del 
vector u x v se ve que el giro más breve de u a v 
pasa en sentido contrario a las agujas del reloj y 
desde el extremo del vector v x u en sentido de las 
agujas del reloj. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Propiedades 
1.- El producto vectorial no es conmutativo 
  u, v 
3
: 
 
u x v ≠ v x u 
2.- El producto vectorial no es asociativo 
  u, v, w 
3
 (u x v) x w ≠ u x (v x w) 
 
Ejemplo: ( i x j) x j = k x j = - i 
 i x ( j x j ) = i x 0
~
 = 0
~
 
3.-  k    u, v 
3
: (k u) x v = k (u x v) 
4.- El producto vectorial es distributivo respecto de 
la suma de vectores 
 u, v, w 
3
: i) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) 
ii) (v + w) x u = (v x u) + (w x u) 
5.- u x v = 0
~
  u // v 
6.-  u, v 
3
 : (u x v)  u  (u x v)  v 
7.-  u, v 
3 
: u x v = área del paralelogramo de 
lados u y v 
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Demostración de la propiedad 7 
 
 
 
 
 
 
 Área paralelogramo = base x altura 
 = u h (1) 
 
sen  = 
 v
h
  h = v sen  
Reemplazando en (1) 
Área del paralelogramo = u v sen  = u x v 
Por lo tanto se verifica que: u x v = u v sen  
 
 
 
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Triple producto escalar o doble producto mixto 
Sean los vectores A, B, C 
3
 definimos triple 
producto escalar o doble producto mixto (ABC) al 
escalar o número real que resulta de multiplicar 
escalarmente el vector AxB y el vector C 
Es decir: 
 (ABC) = (A x B) . C 
 
Se puede demostrar que si A = (a1 , a2 , a3) 
 B = (b1 , b2 , b3) C = (c1 , c2 , c3) 
(ABC) = (A x B). C = 
ccc
bbb
aaa
 
321
321
321
 
 
 
 
 
 
 
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Propiedades 
1.-  A, B, C 
3
: (ABC) = (BCA) = (CAB) 
2.-  A, B, C 
3
: (BCA) = (ACB) = 
 = (CBA) = -(ABC) 
3.-  A, B, C 
3
: A x B . C = A . B x
 
C 
4.- ( A B C ) = Volumen del paralelepípedo de 
aristas ( A , B , C) 
5.- (ABC) = 0  A , B , C son coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Demostración de la propiedad 4 
 
 
 
 
 
 
V = Superficie de la base por altura = volumen del 
paralelepípedo 
Superficie de la base es BA x  V = BA x h 
h = PB , (AxB) (proyección del vector B sobre el vector 
(A x B) 
 cos  = 
 C 
h
  h = C cos  
V = BA x C cos  = (A x B) . C = (ABC) 
 
 
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Demostración de la propiedad 5 
Si (ABC) = 0  Vol del paralelepípedo (ABC) = 0 
 h = 0  A , B , C son coplanares 
 
Ejemplo 
Determinar si los vectores 
A = (7, 4, 6), B= (2, 1, 1) y C= (19, 11, 17), 
son coplanares.