D-Irracionalidad_de_e

Vista previa del material en texto

1 
ipri
 
 Irracionalidad del número e 
Definición: Los números irracionales son los números reales que no son racionales, es decir, aquellos 
que no se pueden escribir en forma de fracción. 
 
Teorema: El número e es irracional. 
 
Demostración: 
Supongamos que con , y 0
a
e a b b
b
   . 
Como 
0 !
n
x
n
x
e
n


 
se tiene que 
     1
0 0 1
1 1 1
! ! !
n n na
n n n a
b
e
a n n n
 

   
  
      
de donde 
   
0 1
1 1
! !
n na
n n a
b
a n n

  
 
   
Multiplicamos ambos miembros por   11 !a a 
         1 1 1
0 1
1 1
1 ! 1 ! 1 !
! !
n na
a a a
n n a
b
a a a
a n n

  
  
 
      
y simplificamos 
           1 1 1
0 1
1 ! 1 !
1 1 ! 1 1
! !
n na
a a a
n n a
a a
a b
n n

  
  
 
       [1] 
Como        1 1
0
1 !
1 1 ! y 1
!
na
a a
n
a
a b
n
 


      al ser n a , resulta que 
       1 1
0
1 !
1 1 ! 1
!
na
a a
n
a
a b
n
 


      
Por otro lado, 
            
1
1
1 1
1 ! 1 ! 1 1 1
1 ...
! ! 1 1 2 1 2 3
n n a
a
n a n a
a a
n n a a a a a a
  

   
 
     
       
y esta serie alternada es convergente aplicando el criterio de Leibniz, y su suma S , verifica 
  
1 1 1 1
1 1 1 2 2
S
a a a a a
   
    
 
Como 1a  , resulta que 
0 1S  
es decir, el miembro de la izquierda de [1] es un número entero y el miembro de la derecha, un número 
irracional, lo que supone una contradicción. 
C.Q.D. 
 
Teorema: El conjunto de los números irracionales es no numerable y su cardinal es c   . 
 
Problema abierto: No se sabe si 2 , 2 , , o e e e    son racionales o irracionales.