Ley de ampere

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LEY DE AMPERE. 
 
Cuando un alambre lleva una corriente I, usando la ley de Ampere, podemos hallar el 
campo magnético producido por I, bajo ciertas condiciones. 
Sea la corriente I, que está en el eje Z consideramos una trayectoria cerrada C que 
encierra a la corriente, como se muestra en la figura . 
 
 
 
Figura 87. Demostración de la Ley de ampere. 
Dividamos la trayectoria cerrada en segmentos diferenciales dL y efectuemos el 
producto escalar con el campo magnético B 
dLB. 
Sumemos estos producto dLB
c
. s, es decir integremos, es el que se llama circulación 
del campo magnético :, tal como se hizo con el campo eléctrico y definimos 
diferencia de potencial, entre dos puntos, fue necesario previamente definir la 
integral curvilínea del campo. E 
Luego: 
dLB
c
. = cos1cBd 
Según el grafico: d1 cos θ = r = d 
cos1cBd = cBrd ………(1) 
Se sabe que el campo magnético creado por una corriente I a una distancia r es: 
ruoIB 2/= ………(2) 
 
De (2) en (1) 
  == c cc rdr
Iu
BrdBd 


2
cos1 0 
 == c
Iu
d
Iu
)2(
22
00 



 
 −
== −
c mA
wb
xuoIdB 70 104;1.  permeabilidad magnética del vacío. 
 
Esta última expresión se conoce como la Ley de Ampere y dice: “La circulación del 
campo magnético es proporcional a la corriente I, encerrada por la trayectoria C”. 
Esta Ley es útil para simetría de las líneas del campo y ( 1.dB ) sean fáciles de 
evaluar. 
Si la corriente I., FIG. 88, está fuera de la trayectoria cerrada C’, se tiene lo siguiente: 
 
FIG. 8 corriente fuera de la trayectoria cerrada. 
 = '
0
2
1
cc
d
Iu
dB 

 



 +=  
2
1
1
22
0






da
Iu
 
  )()(
2
2112
0 

−+−=
Iu
 
 01=c dB 
Esto quiere decir que las corrientes que no están encerradas por la trayectoria C’, no 
contribuye a la integral. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE LA LEY DE AMPERE 
 
 
PROBLEMA1) La simetría del campo magnético en este problema es la siguiente: 
puesto que para puntos alejados de los extremos podemos considerar al cable como 
infinito, entonces se ``enrolla'' en circunferencias alrededor del cable coaxial, 
dependiendo su intensidad en un punto P sólo de la distancia que separa a dicho 
punto del eje del cable. Esto nos permite utilizar la Ley de Ampère, integrando 
a lo largo de una circunferencia C de radio r que esté puesta 
perpendicularmente al cable y con centro en el cable. De esta forma, y por lo dicho 
para la simetría de para este problema, podemos escribir 
 
 
 
y aplicando la Ley de Ampère a este caso 
 
 
 
 
 
En el caso en que estemos integrando sobre puntos entre el centro y la corteza, la 
corriente que queda dentro del círculo C es la intensidad que circula por el cable 
del centro. Para el caso de que los puntos del camino de integración C estén fuera del 
cable, la intensidad que atraviesa el área de C es cero, ya que tenemos la que 
circula por el cable del centro menos la intensidad que circula por la corteza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 2) La simetría del campo magnético es la misma que en el 
problema anterior y por tanto podemos seguir utilizando el resultado anterior 
. Para ningún punto en el interior de C es atravesado 
por corriente y por tanto . Para la fracción de corriente 
que atraviesa el interior de C es igual a y por tanto 
. Y para , es decir, en el exterior de la corteza, es 
toda la intensidad la que atraviesa C. Así 
 
 
 
 
es el campo magnético para los tres casos. En todos ellos, el sentido de es 
``retorciéndose'' en circunferencias alrededor del cable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 3) Es la práctica de laboratorio de medir el campo magnético terrestre. 
El campo creado por N espiras de radio R en su centro es igual a 
 
 
 
y puesto que está orientado perpendicularmente al campo magnético terrestre 
entonces 
 
 
 
 
de donde se despeja . 
 
Ley de Gauss 
Problemas de aplicaciones de la ley de Gauss en la electrostática 
Una de las leyes mas importantes, que forman parte de las leyes de Maxwell, es la ley de Gauss. Esta 
ley permite encontrar de manera fácil el campo eléctrico, de manera sumamente fácil para cuerpos 
cargados geométricamente de manera regular. 
 
La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral, en esta sección se hablará de la 
forma integral. 
 
Para la aplicación de la ley de Gauss se requiere de la consideración de una superficie imaginaria 
llamada “superficie Gaussiana”, la cual generalmente tiene la forma de la configuración del cuerpo 
cargado. Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente. 
 
Ley de Gauss. 
 
La carga total contenida en un cuerpo cargado es igual a la suma de flujo que atraviesan la superficie 
Gaussiana su expresión matemática queda determinada por: 
 
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/ELECTRO/ley_de_gauss.htm#Ley de Gauss.
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/ELECTRO/problegauss.htm
 
Por ejemplo, si queremos encontrar el campo eléctrico de una esfera cargada, de carga Q, tendremos 
que considerar una cuerpo imaginario que tenga la misma superficie que el cuerpo original, en este 
caso de una esfera de radio r, arbitrario. 
 
 
 
 
Analizando la expresión: 
 
 
vemos que: 
 
 
 
donde QT es la carga total contenida dentro de la superficie Gaussiana, es decir, la de la esfera cargada. 
Por lo que tenemos la expresión: 
 
 
 
 
Vemos que es conveniente manejar el elemento diferencial de superficie en coordenadas esféricas. 
Tomemos el elemento de superficie: 
 
 
 
con lo que : 
 
 
 como el campo es radial, por lo que E puede salir de la integral: 
 
 
 
recordemos que: 
 
 
 
Entonces tendremos: 
 
 
 
http://148.216.10.84/ELECTRO/diferenciales.htm
finalmente despejando el campo tendremos: 
 
 
 
Que corresponde a la forma de una carga puntual, precisamente por que tiene una forma esférica 
ambas 
 
Por su puesto, en ambas situaciones intensidad del campo eléctrico el vector del campo eléctrico será 
descrito como: 
 
 
 
realmente el proceso es muy simple lo único que se tiene que hacer es encontrar una superficie 
apropiada, inclusive en ocasiones no es necesario realizar las integrales, si conocemos que la 
superficie de una esfera es igual a podemos identificar que: 
 
 
 
y directamente podemos despejar y obtener: 
 
 
Concepto de flujo 
 
Se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el 
vector superficie 
 
Si el campo no es constante o la superficie no es plana, el flujo vale 
 
 
La inducción electromagnética 
La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de forma 
independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1930. La inducción 
electromagnética es el principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador 
eléctrico, el transformador y muchos otros dispositivos. 
Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una región 
en la que hay un campo magnético. Si el flujo a través del circuito varía con el 
tiempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo está 
variando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de la rapidez de 
variación del flujo del campo magnético con el tiempo. 
 
El significado del signo menos, es decir, el sentido de la corriente inducida se 
muestra en la figura. 
 
La experiencia en el aula 
Con una bobina, un amperímetro y un imán se realizan las siguientes experiencias: 
 
1. Se sitúa el imán en reposo dentro del 
solenoide. 
2. Se introduce despacio/deprisa el imán en el 
solenoide. 
3. Se saca despacio/deprisa el imán del 
solenoide. 
 
Simulación de la experiencia 
 
Un imán podemos considerarlo como un sistema de 
dos cargas magnéticas iguales y opuestas separadas 
una distancia L. 
El campo magnético en las proximidadesde un polo 
magnético tiene una expresión similar a la del campo 
eléctrico de una carga puntual. 
 
donde K= 0q/4 . 0 es la permitividad magnética 
en el vacío, y q es la carga magnética de un polo del 
imán. El campo es radial y su módulo disminuye con 
la inversa del cuadrado de la distancia a la carga 
magnética 
El flujo del campo magnético de dicho campo a través de una espira situada a una 
distancia x del polo magnético q es 
 
El flujo total es la suma de los flujos debidos a los campos creados por las dos polos 
magnéticos 
 
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/elecmagnet/electrico/cElectrico.html#Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/elecmagnet/electrico/cElectrico.html#Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas
 
Ahora calculamos el flujo total a través de 
todas las espiras del solenoide. Se supone 
que el solenoide tiene muchas espiras 
apretadas de modo que el número de 
espiras entre las posiciones x y x+dx vale 
 
donde N es el número total de espiras, y H 
es la longitud del solenoide 
 
Para calcular la fem derivamos el flujo respecto del tiempo y lo cambiamos de signo 
 
donde la derivada de la posición z del imán respecto del tiempo t es la velocidad v del 
imán 
 
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Problemas de aplicación de la Ley de 
Faraday (I): 41-47, 49-50, 52-53, 56 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node2.html
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/prob_emo2.html
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/prob_emo2.html
 
 
P.41 Un solenoide de sección circular infinitamente largo crea en su interior un 
campo magnético uniforme igual a , donde n es el número de vueltas 
que tiene el solenoide por unidad de longitud; la dirección de este campo es paralelo 
al eje del solenoide. Fuera del solenoide infinito, el campo magnético es cero. 
Ahora consideremos una bobina formada por N espiras y cuyo radio es mayor 
que el radio de cada espira del solenoide: puesto que el campo magnético fuera 
del solenoide es cero, el único flujo que atraviesa a cada una de las N espiras de la 
bobina es igual a 
 
 
 
siendo el cero de la ecuación anterior el flujo que atraviesa el área de la bobina que 
queda fuera del solenoide. El resultado anterior es el flujo que atraviesa cada espira 
de la bobina, luego el flujo total que atraviesa a la bobina es N veces este resultado 
 
(1) 
 
 
Para el caso en que la bobina tenga un radio menor que el de la sección del 
solenoide, entonces toda la bobina es atravesada por campo magnético y 
 
(2) 
 
 
 
P.42 De acuerdo con la Ley de Faraday un flujo del campo magnético que varía 
con el tiempo al atravesar el área delimitada por un conductor cerrado produce en 
este conductor una corriente inducida igual a 
 
(3) 
 
 
siendo R la resistencia del conductor. La carga que ha circulado por este conductor al 
cabo de un cierto tiempo es, por definición de corriente eléctrica , la 
integral de la corriente con respecto al tiempo. Luego aplicando (3) se obtiene 
 
(4) 
 
 
 
P.43 Inicialmente para t=0, el flujo que atraviesa cada una de las N espiras de 
superficie ab es máximo ya que cada espira está completamente perpendicular al 
campo magnético: cada espira presenta la mayor superficie posible a ser atravesada 
por el campo B, o lo que es lo mismo, el vector superficie (que es normal a la espira) 
es paralelo al vector campo magnético. Al cabo de un cierto tiempo t, la espira ha 
rotado un ángulo y por tanto presenta una superficie más pequeña al campo 
magnético, siendo este factor de disminución el coseno del ángulo que forma B con 
el vector superficie de la espira. Este coseno es precisamente el que entra en el 
producto escalar que define el flujo magnético que atraviesa 
la espira. El flujo de una campo magnético constante que atraviesa las N espiras es 
entonces 
 
 
 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#p42a
y de acuerdo con la Ley de inducción de Faraday, la f.e.m. inducida en el conjunto de 
las espiras es 
 
(5) 
 
 
 
P.44 Este problema sirve de aplicación del resultado obtenido en el problema 42. Si 
cada espira de radio r=0.01m de una bobina de N=100 vueltas es atravesada por un 
campo magnético constante B=1.0T, entonces el flujo inicial que atraviesa cada 
espira es y cuando el campo magnético ha cambiado de sentido, el 
flujo es . De auerdo con (4), la carga que ha circulado por toda la 
bobina de resistencia R=50 ohmios es 
 
(6) 
 
 
Si para hacer esta inversión de sentido se necesita un tiempo , la 
intensidad media y la f.e.m. media son 
 
(7) 
 
 
 
P.45 El campo magnético creado por un solenoide muy largo (es decir, que se pueda 
aproximar a un solenoide infinitamente largo) es igual a la constante 
para cualquier punto en el interior del solenoide, y cero fuera del solenoide. La 
dirección de este campo magnético es paralela al eje del solenoide. El flujo 
magnético que atraviesa una circunferencia de radio r colocada perpendicularmente 
al eje del solenoide será entonces 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#problema42
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#p42b
 
 
 
Si este flujo que atraviesa el círculo de radio r cambia con el tiempo, por ejemplo 
porque cambia la intensidad I que circula por el solenoide, se induce un campo 
eléctrico que cumple 
 
 
 
es decir, el campo eléctrico inducido es tangente al camino cerrado C (si éste es una 
circunferencia) que delimita el área sobre la que acabamos de integrar para calcular 
. Aunque para hacer la integración del flujo hubiera servido cualquier camino 
cerrado (no sólo la circular), por la simetría cilíndrica del problema es más útil tomar 
una circunferencia porque así el campo es el mismo en todos los puntos del 
camino C y por tanto se puede escribir para tal circunferencia que 
 
 
 
donde el subíndice en el campo eléctrico indica que su dirección es tangente a una 
circunferencia. De esta forma obtenemos finalmente que 
 
(8) 
 
 
de donde se despeja directamente el campo eléctrico inducido. 
P.46 La posición de la barra, con y 
, cambia con el tiempo a lo largo del eje X, llevando una velocidad 
. Puesto que este movimiento lo hace dentro de 
un campo magnético perpendicular a la velocidad, y puesto que la barra es 
conductora y por tanto su carga puede moverse dentro de ella, entonces sobre las 
cargas de la barra aparece una fuerza (la fuerza de Lorentz) que es perpendicular 
tanto al campo magnético como a la velocidad, es decir, una fuerza paralela a la 
barra. Esta fuerza va a mover las cargas libres positivas del conductor hacia 
uno de los extermos del conductor (y las cargas negativas hacia el extremo contrario) 
creando una acumulación de cargas en los extremos que crea un campo eléctrico que 
se opone a la fuerza de Lorentz: la fuerza de Lorentz seguirá moviendo las cargas 
libres hasta el momento en que el campo eléctrico que crean estas cargas desplazadas 
compense la fuerza de Lorentz. Este campo eléctrico de equilibrio tendrá por tanto 
un módulo igual a ; si la barra se mueve en el sentido del eje X positivo, el 
sentido de la fuerza de Lorentz es del eje Y negativo y por tanto el sentido del campo 
eléctrico creado por las cargas desplazadas es el del eje Y positivo. La diferencia de 
potencial entre los extremos de la barra viene dada por 
 
(9) 
 
 
puesto que el campo magnético y la velocidad no dependen de la coordenada y. 
Otra forma de obtener este resultado es la siguiente: cuanco la barra se ha desplazado 
a lo largo del eje X una distancia , el flujo del campo magnético 
que atraviesa el área barrida por la barra al moverse es y por tanto, ladiferencia de potencial inducida es 
 
(10) 
 
 
ya que el campo magnético es constante. 
P.47 En este problema hay que considerar tres intervalos de tiempos: 
• Desde t=0 hasta el tiempo , en que la espira 
está entrando dentro de la zona donde hay campo magnético. 
• Desde hasta en que la espira 
recorre el área con campo magnético hasta que su extremo delantero va a 
empezar a salir. 
• Desde hasta en que la espira sale 
totalmente de la zona con campo magnético. 
Puesto que el campo magnético es constante, B=1.7T y perpendicular a la espira 
rectangular de anchura a=0.05m, el cálculo del flujo que atraviesa la espira es 
inmediato 
 
 
 
La f.e.m. inducida en la espira por el movimiento de ésta es por tanto 
 
(11) 
 
 
con R=2.5 ohmios la resistencia de la espira e la corriente inducida en ella. 
P.49 La corriente en el circuito de la izquierda circula en sentido horario, del polo 
positivo al polo negativo de la batería. Esta corriente crea un campo magnético que 
va hacia fuera de la página en los puntos dentro de la superficie delimitada por la 
espira derecha. Si ahora la corriente de la izquierda disminuye repentinamente, 
disminuye también el campo magnético que atraviesa la espira derecha. Como 
respuesta, en la espira derecha se induce una corriente que al circular por tal espira 
intenta reponer el número de líneas de campo magnético que han disminuido, esto es, 
la corriente inducida en la derecha irá en sentido antihorario, porque es en este 
sentido que el campo creado por una espira en su centro va hacia fuera de la página. 
P.50 El campo creado por un conductor rectilíneo infinito a una distancia en 
perpendicular r es igual a con dirección circulando alrededor del 
conductor y siendo I la corriente que circula por el conductor: esto se obtiene o bien 
por integración directa de la Ley de Biot-Savart o bien aplicando la Ley de Ampére 
sobre un camino circular entorno al conductor. Por tanto, la fuerza que actúa sobre 
una carga móvil q que se mueve con una velocidad v paralela al conductor infinito a 
una distancia r es 
 
 
 
con dirección horizontal hacia la izquierda. Como en el problema 46, las cargas 
desplazadas en el conductor por la fuerza de Lorentz terminan creando un campo 
eléctrico de valor que compensa la fuerza de Lorentz, y así, tal campo 
lleva dirección horizontal hacia la derecha (en el sentido en que crece la distancia r). 
La diferencia de potencial, debida al campo E, que aparece entre los extremos de la 
varilla móvil es 
 
(12) 
 
 
 
P.52 y P.53 El campo creado por el conductor rectilíneo infinito a una distancia en 
perpendicular x es igual a entrando hacia dentro de la página para los 
puntos de la espira de dimensionesaxb, con a=0.05m y b=0.1m. Consideremos en la 
espira derecha una tira vertical situada a una distancia x del conductor rectilíneo, tira 
de anchura dx y altura b: el flujo que atraviesa esta tira es 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#problema46
 
 
 
donde el signo menos viene de que el vector superficie de la espira va hacia fuera, en 
sentido contrario al campo magnético. El flujo que atraviesa toda la espira es por 
tanto 
 
(13) 
 
 
con d=0.02m. 
Para el problema 53, la distancia d a la que está el lado izquierdo de la espira crece 
linealmente con el tiempo ya que la velocidad v con la que se aleja es constante. 
Luego basta con sustituir en la ecuación (13) d por d+vt 
 
 
 
Puesto que ahora el flujo que atraviesa la espira varía con el tiempo, el resultado va a 
ser que se induce en la espira una f.e.m. igual a 
 
(14) 
 
 
El sentido de la corriente inducida en la espira derecha es fácil de obtener. Al alejarse 
la espira disminuye el campo magnético que la cruza hacia dentro de la página, y por 
tanto la corriente inducida tiende a compensar esta pérdida: la corriente va a circular 
en sentido horario porque éste es el sentido que crea en el interior de la superficie de 
la espira un campo magnético hacia dentro de la página. Por como se ha deducido la 
f.e.m. (14) (en tiras verticales de anchura infinitesimal) ésta es inducida en los 
segmentos verticales, paralelos al conductor rectilíneo infinito: son estos segmentos 
los que al moverse barren una superficie en la que varía el flujo magnético. Los 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#p52
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#p53
segmentos horizontales, por otra parte, no barren ninguna superficie, al menos 
mientras la espira sólo se desplace horizontalmente. 
Ahora vamos a obtener el resultado (14) pero calculando directamente la f.e.m. 
inducida en cada uno de los segmentos de la espira rectangular: la técnica es la del 
problema 50. Empecemos por el segmento vertical más próximo al conductor 
infinito, conductor que crea un campo magnético hacia adentro en los 
puntos del segmento. Puesto que las cargas de este segmento conductor se mueven 
hacia la derecha con velocidad v, sobre ellas actúa una fuerza de Lorentz 
hacia arriba, que al desplazar a las cargas termina 
creando un campo eléctrico a lo largo del segmento hacia abajo. 
Tomemos un vector tangente a la espira rectangular y dirigido en sentido horario: 
en el segmento vertical que estamos considerando, va hacia arriba y por tanto 
 
 
 
Lo mismo aplicado al otro segmento vertical, donde va hacia abajo, en el mismo 
sentido que el campo eléctrico , nos da 
 
 
 
Ahora consideremos uno de los dos segmentos horizontales: en ellos la fuerza de 
Lorentz sigue siendo hacia arriba y por tanto el desplazamiento de cargas en en 
dirección vertical. El campo eléctrico que se pudiera inducir iría en dirección vertical 
hacia abajo, pero puesto que en estos segmentos el vector tangente a la espira va 
en dirección horizontal entonces al calcular la f.e.m. tendríamos la integral de 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#p53
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#problema50
, producto escalar que es cero. Por tanto la f.e.m. inducida en los cuatro 
segmentos es igual al resultado (14) 
 
 
 
donde el cero es la contribución de los dos segmentos horizontales. 
P.56 Una carga q (móvil ya que la varilla es conductora) situada a una distancia r del 
punto de giro lleva una velocidad lineal tangencial igual a y puesto que la 
varilla se mueve dentro de una campo magnético que es perpendicular a ella, sobre la 
carga q actúa una fuerza (de Lorentz) igual a 
 
(15) 
 
 
con dirección hacia el centro de giro (es una fuerza centrípeta). Tal fuerza va a 
empezar a desplazar las cargas móviles de la varilla hasta que el campo creado por 
ellas compense la fuerza de Lorentz (ver problema 50). Este campo es igual a 
y va en dirección radial hacia afuera: la diferencia de potencial es entonces 
 
(16) 
 
 
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#p53
http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo2/node1.html#problema50