Funcion de impulso

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Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (tal como lo dice la segunda ley de Newton) son una ecuación diferencial de segundo orden (concepto explicado más adelante), como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión y el movimiento de partículas subatómicas, por mencionar algunos.
Pocas veces existe una solución analítica perfecta para estas ecuaciones, y es necesario realizar una aproximación y estudiar al sistema bajo ciertos indoles. Es por esto por lo que en ciertos sistemas podemos cortar ciertos aspectos como despreciables e ignorarlos de la ecuación ya que sabemos que su existencia, aunque real, es prácticamente nula.
Reconocer estos métodos (algunos creados desde hace más de 300 años) nos permitirá obtener una verdadera respuesta a los modelos de la naturaleza y a la forma de estructura de nuestro universo. Específicamente, nos enfocaremos solamente en el método para resolver la función Dirac delta, de impulso, y su transformada de Laplace.
En matemáticas, la función de impulso unitario (usualmente conocida como la función Dirac delta [función δ]) es una función generalizada, o sea, una distribución creada por el físico Paul Dirac. Se utiliza para modelar la densidad de un punto de masa ideal o punto de carga como una función igual a cero en todos lados excepto en cero, y su integral es igual a uno. Debido a que no existe una función con estas características, estos cálculos parecieron disparates hasta que las distribuciones fueron introducidas por Laurent Schwartz para validar los cálculos. Desde entonces, la función Dirac delta es una forma lineal que mapea todas las funciones a su valor en cero. La función Kronecker delta es un análogo discreto de la función Dirac delta.
La función Dirac delta se define como , aunque como mencioné anteriormente, no es una función en sí, sino una distribución. Esta función satisface sus propiedades, explanadas así:
Naturalmente, esta función tiene una transformada de Laplace, que aplica cuando t0 > 0:
En ingeniería [], la función delta, o de impulso unitario, se puede observar a través de su transformación Laplace. Las reglas que obedece esta función son parte del llamado cálculo operacional. En muchas de sus aplicaciones, la función Dirac delta es considerada como un tipo de límite débil de una secuencia de funciones con un gran salto en su origen:
De ahí, se ve que las funciones aproximadas de la secuencia son funciones delta aproximadas.
Similarmente, la función impulso unitario se define como ya que
Donde a > 0, t0 > 0 se conoce como la función impulso unitario.
Para valores pequeños de a, se tiene que es una función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de t0. Similarmente a como sen(x) = x en valores muy pequeños.
Como propiedad, la función impulso unitario satisface que:
La cual se demuestra con:
 
Ya físicamente, se puede observar en algunos sistemas mecánicos que están sometidos fuerzas externas, o tensión eléctrica, de gran magnitud que solamente actúa durante un tiempo muy reducido. Ejemplificando, cuando una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión o a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.
Ejemplo:
 con la solución de 
La cantidad de métodos es grande; cada uno tiene ciertos parámetros y aspectos que la limitan a un cierto escenario y aplicación especifica. Es esto lo que hace a las ecuaciones diferenciales un campo de las matemáticas sumamente diverso: casi todas las situaciones posibles (que contengan elementos de variables) podrán representarse, y ser resueltas, a través de una ecuación diferencial.
Sabiendo esto, también se tiene que apostar por la exactitud; la manera propia de resolver una ecuación diferencial es a través de una solución numérica, que fue lo tocado en este ensayo. La idea de este concepto viene a entenderse sencillamente como la superación del aspecto práctico sobre el teórico, ya que para hallar la solución más aproximada es requerido usar estos métodos numéricos.
En sí, la función de impulso nos sirve más en un nivel físico y práctico. Eso es EL aspecto que lo hace fuertemente importante de comprender como ingenieros, sin dejar abajo la teoría que todo elemento de ecuaciones diferenciales tiene.
Referencias
Wikimedia Foundation, Inc. (2018, Noviembre 16). Dirac delta function. Retrieved from Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
Boas, R. P. (1972). A Primer of Real Functions. New Jersey: The Mathematical Association of America.
M., G. F. (n.d.). Ecuaciones Diferenciales: Transformada de Laplace. Retrieved from Instituto Tecnológico de Costa Rica: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node9.html
Rainville, E. D., & Bedient, P. E. (1989). Elementary Differential Equations (7th ed.). New York, New York: Maxwell Macmillan International Editions.