11- INTEGRAL DEFINIDA - MENOCAL

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Mg. Ing. Gustavo Menocal 1 
 
UNIDAD 11 - INTEGRAL DEFINIDA 
 
El cálculo integral tiene sus orígenes en la antigua Grecia, con los llamados problemas de 
cuadraturas, que consistían en construir un cuadrado con área igual a la de una figura plana 
dada. Se atribuye a Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el 
área de una región aproximándola por una sucesión de polígonos. Luego Arquímedes 
perfeccionó este método y calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un 
segmento de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera. 
Recién en el siglo XIX la primera definición matemática de integral fue dada por Cauchy, que 
seguía la tradicional aproximación del área por polígonos (en este caso, rectángulos).Más 
tarde, los aportes sobre funciones dados por Fourier y posteriormente por Dirichlet (quien dio la 
definición moderna de función en 1837); como ciertas precisiones matemáticamente sobre los 
conceptos de área y de volumen, fueron esenciales para avanzar a la definición de Integral 
Definida. 
Reciénen la primera década del siglo IXX, adquirió esencialmente su forma actual, con la suma 
de Riemann, que es más general que la dada por Cauchy, sin ser más complicada, y que aporta 
la ventaja de su gran poder heurístico. 
 
 
SUMA DE RIEMANN 
 
Georg Friedrich Bernhard Riemann 
(Breselenz, Alemania,1826 ; Verbania, Italia,1866). Realizó contribuciones muy 
importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el 
camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está 
conectado con la función zeta, la hipótesis, la integral, el lema, las variedades, 
las superficies y la geometría (todas ellas llevan el sufijo: de Riemann). 
 
DEFINICIÓN 
El problema de encontrar el área de una superficie plana As, que está limitada superiormente 
por una curva de ecuación y=f(x), inferiormente por el eje OX y lateralmente por los segmentos 
verticales x=a y x=b, está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x=b x=a 
A
s 
y 
x 
f(x) 
 



n
i
ii
n
s xcfA
1
lim
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Breselenz&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Alemania
https://es.wikipedia.org/wiki/1826
https://es.wikipedia.org/wiki/Verbania
https://es.wikipedia.org/wiki/Italia
https://es.wikipedia.org/wiki/1866
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_general
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lema_de_Riemann&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann
Mg. Ing. Gustavo Menocal 2 
 
Demostración: 
Sea f una función continua en el intervalo a x b  
Si se realiza una partición regular, como se ve en la 
figura: 
 0 1 1
0 1
, ,..., ,..., ,
... ...
i n n
i n
P x x x x x tal que
a x x x x b

     
 
Entonces la Región queda dividida en n sub-áreas: 
Si que son rectanguliodes 
Esa partición divide al intervalo (a, b) en n sub-intervalos iguales: 
       0 1 1 2 2 1 1, ; , ;... , ; ,n n n na x x x x x x x x b    
En una partición regular, el intervalo (a, b) queda dividido en segmentos iguales, de longitud: 
b a
x
n

  , verificándose: 1 2 1 1; ... ...i i n nx x x x x x          
Ahora tomaremos valores de x=ci, que sean interiores a cada sub-intervalo: 
       1 1 2 1 2 1 1, ; , ; ... , ; ... ,i i i n n nc a x c x x c x x c x x     
Podemos aproximar las sub-áreas Si mediante 
rectángulos Ri de base ix y altura  if c 
El área de cada rectángulo: R1, R2, …, Rn es: 
 1 1 1R f c x  ,  2 2 2R f c x  ,  ... n n nR f c x  
La suma de las área parciales de: R1, R2, …, Rn es: 
       1 1 2 2 ... ...i i n nA f c x f c x f c x f c x          
El segundo miembro se puede expresar:  
1
n
i i
i
f c x

 Llamada SUMA DE RIEMANN 
Entonces:  
1
n
i i
i
A f c x

  
Si aumentamos la cantidad de sub-
intervalos, cada uno será más 
delgado, y los Δx, serán más 
pequeños. 
No importa si se calculan las áreas 
de los rectángulos por defecto o por 
exceso, en cualquier caso: cuando n , 0ix  . 
El área de cada rectángulo se aproximará más a la de los rectanguloides: 
En ese caso limite, el área de la región será: Queda probado el teorema. 
 
0 1 2 1... ...i n na x x x x x x b 
1S 2
S
nS
..., ,...iS
1 2 ... ...i nx x x x   
 1f c  2f c
 nf c
2c1c nc
1 2 1... ...i n nx x x x x    
R
1 
R
2 
R
n 
0a x 1 2 1i n nx x x x x b 
 



n
i
ii
n
s xcfA
1
lim
Mg. Ing. Gustavo Menocal 3 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
Definición: 
Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f entre a y b, 
si existe, se indica: ( ).
b
a
f x dx 
El resultado de esta operación es el número: 
 
1
( ). lim
nb
i i
a n
i
f x dx f c x


 
 
 
 
 El símbolo integral  es una deformación de la letra S (de suma) y fue definido por Leibniz 
en el siglo XVII; significa la suma de infinitos términos, cada uno de los cuales es el producto 
de ( ).f x dx . 
 A  f x se lo denomina integrando 
 El símbolo dx (diferencial de x) representa la variación que en el eje x tiene el valor de la base 
de cada rectángulo. 
 Los valores a y b se llaman límites de integración, e indican el intervalo en el que se calcula 
la integral. 
La integral definida es un número, resultado de un límite, que no necesariamente representa un 
área, como veremos más adelante. 
 
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
1. Si f está definida en x a , entonces   0
a
a
f x dx  
2. Si f es integrable en  ,a b , entonces    
b a
a b
f x dx f x dx   
3. Si f es integrable en los tres intervalos 
definidos por ,a b y c , con a c b 
entonces: 
      
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ix
 if c
a c b 
f(x) 
   
c b
a c
f x dx f x dx 
y 
x 
  
b
a
dxxf
a b
Mg. Ing. Gustavo Menocal 4 
 
4. Si f es integrable en 
 ,a b
 y k es una constante, entonces 
   .
b a
a b
k f x dx k f x dx  
5. Si f y g son integrables en 
 ,a b
, entonces 
        
b b a
a a b
f x g x dx f x dx g x dx     
 
 
TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL 
 
CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD: 
Enunciaremos sin demostración que: 
Teorema: 
Si una función f es continua en un intervalo  ,a b , entonces f es integrable en ,a b . 
 
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES 
Si una función f es continua en el intervalo  ,a b , 
entonces existe un número c perteneciente a ese 
intervalo tal que:      .
b
a
f x dx f c b a  
Gráficamente, este teorema nos dice que existe un 
rectángulo de base  b a y altura    ,f c con c a b
cuya área es equivalente al área del rectanguloide determinado por la gráfica de la función f , 
el eje OX y las rectas x a y x b  . 
 
Demostración: 
Como f es continua en el intervalo  ,a b , por propiedad de las funciones continuas, tiene un 
valor máximo absoluto M y un valor mínimo absoluto m , tal que    , :x a b m f x M    
Analicemos el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área rectángulo área del rectanguloide área rectángulo aPRb aQSb  , en otros 
Q 
P=m 
S=M 
R 
a c b 
f(c) 
f(c) 
a c b 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 5 
 
términos:       
1
b b
a a
m b a f x dx M b a m f x dx M
b a
      
 
 
Por una propiedad de las funciones continuas, sabemos que toma todos los valores 
comprendidos entre el mínimo absoluto my el máximo absolutoM, con lo que resulta que debe 
existir un valor  ,c a b tal que:    
1
b
a
f c f x dx
b a

 
 
Luego,     
b
a
f c b a f x dx   ;donde  f c se llama valor medio de f en el intervalo  ,a b 
 
Ejemplo: 
Determinar, si existe, el valor c que satisface el teorema del valor medio para integrales de la 
función dada a continuación, entre los parámetros establecidos: 
   : 1 0, 2f f x sen x en  
 
       
   
2
2
0
0
1 1 1
1 cos
2 2
1 1
2 cos(2 ) 0 cos0 2 1 1 1
2 2
b
a
f c f x dx sen x dx x x
b a


 
  
 
     

          
 
 
 
0
1 sen 1 sen 0
2
c
f c c c c
c




      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2π π 
f(x)=1+sen x 
y 
x 
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PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: 
Sea f(x) una función continua en [a, b], y sea x cualquier número en [a, b], 
Si F(x), es la función definida por:     ;
x
a
F x f x dx a x b   
Entonces:   ( )F x f x  
Demostración: 
Consideremos los números x y x+Δx comprendidos en [a, b], entonces: 
   
x
a
F x f t dt  y    
x x
a
F x x f t dt

   
Así que:        
x x x
a a
F x x F x f t dt f t dt

       (1) 
Por propiedades de integral:      
x x x x x
a a x
f t dt f t dt f t dt
 
       
Despejando:      
x x x x x
x a a
f t dt f t dt f t dt
 
       
Sustituyendo en (1):      
x x
x
F x x F x f t dt

    
Por el teorema del Valor Medio de integrales, 
existe algún valor x=x1 perteneciente al 
intervalo [a, b], tal que: 
   1
x x
x
f t dt f x x

   
Luego:      1F x x F x f x x    
   
 1
F x x F x
f x
x
 
 

 
Tomando límite para cuando Δx→0 en ambos 
miembros, se tiene: 
   
 1
0 0
lim lim
x x
F x x F x
f x
x   
 


 y 
   
 
0
lim
x
F x x F x
F x
x 
 


 
Cuando Δx→0,    1
0
lim
x
f x f x
 
 , ya que x1 está en el intervalo [x, x+Δx], 
Finalmente:    F x f x  , con lo que queda demostrado el teorema. 
 
 
 
 
 
 
 
a x x1 x+Δx 
b t 
A(x) 
Δx 
 
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SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL (REGLA DE BARROW) 
Si una función f es continua en el intervalo  ,a b , entonces: 
      
b
a
f x dx F b F a  
donde F es cualquier función tal que      ,F x f x x a b    
Demostración: 
Cuando vimos Integral Indefinida, establecimos que la Primitiva de una función f(x) es F(x)+C, 
tal que:    F(x) F (x)c f x    
y también definimos la Integral Indefinida: ( ) ( )f x dx F x c  ,(1). 
Si hacemos x=a, resulta: F( )a c 
Aplicando Integral Definida, sabemos que:   0 ( ) c ( )
a
a
f x dx F a F a c      
Llegando a la fórmula:  (x) ( ) ( )
x
a
F f x dx F x F a   
Si determinamos una primitiva cualquiera de f(x), la integral de f(x) entre a y x es igual a la 
diferencia de valores que toma esa primitiva entre a y x. 
En particular, si el extremo superior es b, resulta la Regla de Barrow: 
   (b) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F F a F x   
Donde la expresión  ( )
b
a
F x , indica simbólicamente (b) ( )F F a . 
 
 
CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS 
Si f es una función continua y positiva sobre el 
intervalo [a, b], entonces el área limitada por la curva, 
el eje OX y los parámetros x=a y x=b, es: 
( ).
b
a
A f x dx  
 
 
De la definición surge que para que la integral represente el área, la función debe ser positiva 
(curva por encima del eje OX), en el intervalo de integración. De manera que si la curva (o 
parte de esta) está por debajo del eje OX, al integrar no se obtiene el área. 
Daremos a continuación ejemplos de cómo calcular el área de regiones que se ubican en 
distintos sectores del Sistema Coordenado. 
 
 
 
a b 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 8 
 
Ejemplo 1: 
Calcular el área de la región limitada superiormente por la función   2f x x , y los parámetros 
x=0 y x=2. 
Como en el intervalo de análisis la función está por 
encima del eje OX (es positiva), procedemos: 
22 3 3 3
2
0 0
2 0 8
3 3 3 3
8
U.A.( )
3
x
A x dx
A Unidades de Área
 
     
 


 
 
 
Ejemplo 2: 
 Calcular el área de la región limitada superiormente por 
la función:  
 
3
1
2
f x
x


, y los parámetros x=-1 y x=3. 
La función del integrando es continua en el intervalo 
[-1, 3], y, según la gráfica es positiva en ese intervalo: 
Resolvemos primero la integral indefinida: 
     
2
3 3 23
1 1
.
2 22 2 2
2
dx dt t dx
c c
tx x x
t x dt dx
 
     
  
   
   , 
Finalmente: 
       
3
3
3 2 2 21
1
1 1 1 1 1 1 1 24
. . . 1 0,48
2 2 2 25 502 2 3 2 1 2
dx
A
x x

       
            
           
 
0,48 . .A U A 
 
 
Ejemplo 3: 
Calcular el área de la región definida por: 
2
2
0
( 2 )x x dx 
Como en el intervalo de análisis la función está por 
debajo del eje OX (es negativa), procedemos: 
3
2
2
0
( 2 ) 2
3
x
A x x dx   
2
2
x
2
3
2
0
2
2 0
3
8 4 4 4
4
3 3 3 3
A UA
   
      
 
 
 
 
-1 0 1 2 3 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 9 
 
Ejemplo 4: 
Calcular el área de la región definida por: 
4
3
1
1x dx

 
Como en el intervalo de análisis la función tiene una 
parte negativa y otra positiva, se debe dividir la 
región en dos: A=A1+A2 
Procederemos primero a resolver la integral 
indefinida: 
   
1/3 4/31/33 31 1 1
4
1
x dx x dx t dt x c
t x dt dx
      
   
   
     
1
4/3 4/3 4/3 33
1
1
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 0 16 2 1,89
4 4 4 4 2
A x

 
            
 
 
     
4
4/3 4/3 4/3 3
2
1
3 3 3 3
1 4 1 1 1 81 3,25
4 4 4 4
A x
 
        
 
 
A=A1+A2=5,13 UA 
 
 
REGIÓN LIMITADA POR DOS CURVAS: 
También podemos calcular el área de la región plana limitada por dos curvas. Se presentan los 
siguientes casos: 
1) Una de las funciones está siempre por encima de la otra 
en el intervalo considerado. 
Es necesario encontrar los puntos de corte de ambas 
curvas; para ello igualamos en y y determinamos los valores 
de x. Luego, el área es: 
 
2
1
1 2( ) ( )
x
x
A f x f x dx  
Nótese que no importa que parte de la región esté por debajo del eje OX. 
2) Las funciones están parte por encima y parte por abajo 
una de la otra en el intervalo considerado. 
Se determinan los puntos de corte y se divide la región en 
tantas sub-regiones como queden definidas por éstos; 
calculando cada área y luego sumándolas. 
A=A1+A2 
 
 
2
1
3
1 1 2
2 2 1
2
( ) ( )
( ) ( )
x
x
x
x
A f x f x dx
A f x f x dx
 
 


 
A2 
A1 
f1(x) 
f2(x) 
A1 
A2 
f1(x) 
f2(x) 
x2 
x1 
x3 x2 
x1 
A 
-1 
4 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 10 
 
Ejemplo 1: 
Calcular el área de la región limitada por: 
2 2 1
1
y x x
y x
    

 
 
2 2
1
1,2
2
1 2 1 2 0
11 1 8 1 3
22 2
x x x x x
x
x
x
         
   
  

 
Entonces el área limitada por las dos curvas, es: 
     
   
 
2
3 2
2 2
2 2
1 1
1
3 2
2 1 1 2 2
3 2
1 18 10 1 1 10 7 9 9
2 4 2 1 2
3 3 2 3 3 2 3 6 2 2
x x
A x x x dx x x dx x
A UA
 

 
                 
 
    
                        
 
 
 
Ejemplo 2: 
Calcular el área de la región limitada por: 
3y x
y x
 


; luego:3
1
0
1
x
x x x
x
 

  
 
 
Por lo tanto el área es: A=A1+A2 
 
 
0
4 2
0
3
1
1
1
4 2
1
2 4
1
3
2
0
0
1 2
4 2
( 1) ( 1) 1 1 1
0
4 2 4 2 4
1 1 1
0
2 4 2 4 4
1 1
2 2
x x
A x x dx
x x
A x x dx
A A A A UA


 
     
 
     
          
   
   
          
  
    


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2 
A1 f1(x) 
f2(x) 
f1(x) 
f2(x) 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 11 
 
CÁLCULO DE ÁREAS UTILIZANDO dy. 
El estudio realizado para determinar el área de una región plana limitada por una función f(x), 
el eje OX y los parámetros x=a y x=b, puede utilizarse para calcular el área limitada por una 
función g(y), el eje OY y los parámetros y=c y y=d , como veremos a continuación. 
 
Ejemplo 1: 
Calcular el área de la región limitada por la función   2f x x , el eje OY y los parámetros y=0 e 
y=4. 
Debemos graficar para entender bien lo que se pide y no cometer errores. 
La función está dada en la variable x; hay que expresarla como f(y): 
  2 ( )y f x x x f y y     
En este caso, en el intervalo de análisis la función está a la derecha 
del eje OY (es positiva), entonces procedemos: 
 
4
4 4
1/2 3/2 3/2 3/2
0 0
0
2 2 2 16
4 0 8
3 3 3 3
16
5,33 U.A.( )
3
A y dy y dy y
A Unidades de Área
 
          
 
 
 
 
El razonamiento es similar a cuando el elemento diferencial es dx. Vale decir, si la superficie se 
encuentra a la izquierda del eje OY (es negativa), se calcula la integral definida y se aplica valor 
absoluto. 
 
Para calcular el área limitada por dos curvas, f(y) y g(y), se procede de manera similar a lo 
trabajado cuando usábamos dx. 
En todos los casos es preciso graficar y además, 
encontrar la o las intersecciones de las curvas. 
Lo más práctico para calcular el área encerrada entre las 
curvas es aplicando integral en función de y: 
 
2
1
f(y) (y)
y
y
A g dy  
 
 
La función que está a la derecha, f(y) es la que se ubica en el minuendo; y la que se encuentra 
a la izquierda, g(y), en el sustraendo del integrando. 
 
 
 
 
dy 
g(y) 
f(y) 
dy 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 12 
 
Ejemplo 2: 
Calcular el área de la región limitada por: 
2
2
32(8 )
8( 2)
y x
y x
  

 
;
2
2
2
2
32(8 ) x 8
32
8( 2) x 2
8
y
y x
y
y x

    

     

 
Igualando en y2: 
12 2
2
8( 2) 32(8 ) 8 16 256 32 6
8
32(8 6) 64
8
x x x x x
y
y y
y
        
 
     

 
8
2 2 2 3
8 8
8 8
8
5 5
8 2 10 10
32 8 32 96
80 80 160 320
80 80 160 106,7 . .
3 3 3 3
y y y y
A dy dy y
A U A
 

        
                
        
 
          
 
 
 
 
CÁLCULO DEL VOLÚMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 
Un sólido de revolución es un cuerpo tridimensional que 
está generado por la rotación de un área plana alrededor 
de una recta llamada eje de revolución. El área plana esta 
generada a su vez por una o más funciones continuas. 
El Volumen de un sólido de revolución se puede hallar 
aplicando integral definida, según dos métodos, a saber: 
 
 
 
MÉTODO DEL DISCO 
Si hacemos girar una región del plano limitada por una función f(x)(continua), alrededor de un 
eje (en el caso de la figura, alrededor del eje OX), obtenemos un sólido de revolución. 
El volumen del cuerpo se puede calcular dividiéndolo 
en n discos (perpendiculares al eje de rotación), de 
radio r=f(x) y de ancho ∆x, como se muestra en la 
figura, cuyo volumen genérico es: 
Volumen del disco i: Vdi=π.(ri)
2.∆xi=π.(f(xi))
2.∆xi 
Por lo tanto el volumen del sólido se obtendrá sumando 
todos los volúmenes elementales. Pasando al límite, 
para cuando n tiende a infinito, se obtiene como 
g1(y) 
g2(y) 
dy 
y2 
y1 
x0 xn 
a b 
f(xi) 
∆xi 
xi 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 13 
 
∆xi 
expresión del volumen total una integral definida:    
0
2 2
1
. ( ) . . ( ) .dx
n
n x
i i i
xn
i
V lm f x x f x 


    
Por lo tanto, cuando el eje de rotación es el eje OX, el volumen es: 
 
2
. ( ) .dx
b
a
V f x  
Y cuando el eje de rotación es el eje OY, el volumen es: 
 
2
. (y) .dy
d
c
V f  
Como se ve en la siguiente figura: 
 
Ejemplo 1: 
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación del 
área limitada por la función y2=8x y la ordenada 
correspondiente a x=2, alrededor del eje OX, aplicando el 
método del disco. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación del 
área limitada por la función f(x)=x2, alrededor del eje OY, 
entre x=0 y x=2, aplicando el método del disco. 
 
2
4 4 42 2
00 0
3
( ) ( )
1
. ( ) .dy . .d . 8
2
8 25,13
y f x x f y x y
V f y y y y
V U
   

    
   
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
2 0 
4 
0 
d 
c 
f(y) 
2
(2)8 ; ( ) 8 2 4; (2,4)y x f x x x y P     
 
22 2 2
2
00 0
. 8 .d 8 . .d 4 .x 16
16 50,26 . .
V x x x x
V U V
   

   
 
 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 14 
 
MÉTODO DE LA ARANDELA 
Este método es una generalización del anterior; en este 
caso la región que gira está limitada por dos funciones 
f(x) y g(x), pudiendo girar alrededor de un eje (en el caso 
de la figura, alrededor del eje OX). De esta manera 
obtenemos un sólido de revolución hueco. El volumen del 
cuerpo se puede calcular dividiéndolo en n arandelas 
(perpendiculares al eje de rotación), de área: A=πR2 –πr2 
y de ancho ∆x, como se muestra en la figura, entonces: 
A=π.(f(x))
2
 –π.(g(x))
2
=π.[(f(x))
2
-(g(x))
2
] 
 
El volumen, si el eje de rotación es x, es:    
2 2
. ( ) g( ) .dx
b
a
V f x x   
  
Y, si el eje de rotación es y:    
2 2
. ( ) g( ) .d
d
c
V f y y y   
  
Ejemplo: 
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje OX, del área limitada 
por las curvas de las funciones dadas, entre x=0 y x=4, 
aplicando el método de la arandela. 
   
24 42 2
0 0
4
3 2
4
2
0
0
3 2
3
. 1 .d . 2 1 .d
. 1 .d .
3 2
4 4 100
. 4 0 104,72 104,72
3 2 3
V x x x x x x x
x x
x x x x
V u
 
 
 
             
 
         
 
 
        
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 4 
y=x+1 
y=√x 
a b 
f=(x) 
g=(x) 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 15 
 
MÉTODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS 
Este método (también llamado método de capas), quizás el más potente, consiste en dividir la 
región, que gira alrededor de un eje, en n cilindros huecos, concéntricos con el eje de giro. Los 
cilindros tienen espesor ∆x, o ∆y, según corresponda, y en el límite: dx o dy. 
En el caso de la figura, la región gira sobre el eje x, el volumen de cada cilindro parcial es: 
Vc=2π.y.h.∆y y el Volumen del cuerpo es: 
2 . . ( ).dy
b
a
V y f y  
 
 
Nótese que la altura h está expresada por:h=f(y) 
 
 
Si el eje de rotación sea el OY, el volumen de cada cilindro parcial es: Vc=2π.x.h.∆x 
 y el Volumen del cuerpo es: 2 . . ( ).d
d
c
V x f x x  
 
 
 
 
La altura h está expresada por: h=f(x) 
 
 
 
Ejemplo: 
Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y=2x, y=x/2 y x=1, alrededor 
del eje y. 
Trazamos un segmento paralelo al eje de rotación, como muestra la figura y determinemos el 
radio r y la altura h del casquillo; en este caso son: 
; 2
2
x
r x h x   
1 1
0 0
2 . . .d 2 . . 2 .d
2
2
x
V x h x x x x 
 
    
 

 
23
.
2
x

1
0
3
.d .x 
2
3
x
1
0
0
V
 


  

 
 
dy 
b 
h 
dx 
x 
h 
c d 
dx 
0 1 
x 
y=2x 
y=x/2 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 16 
 
LONGITUD DE UN ARCO 
Supongamos una curva plana como muestra la figura, en la que queremos hallar la longitud del 
desarrollo de la misma entre dos puntos A y B, pertenecientes a su domino. 
Si dividimos el intervalo [a,b] en sub-intervalos, mediante los puntosx0=a; x1; x2; …; xi-1; xi; …; 
xn-1; xn=b, que en la curva definen los puntos: P0=A; P1; P2; …; Pi-1; Pi; ….;Pn-1; Pn=B, y trazamos 
las cuerdas que unen cada uno de ellos; veremos que en una cuerda cualquiera de esa 
partición la longitud de la cuerda entre Pk1 y Pk es: 
 
 
 
 
Según el Teorema de Lagrange, existirá al 
Menos un punto x=ci, sobre el arco Pi-1, Pi , 
en el cual la pendiente de la tangente a la 
curva es paralela a la secante Pi-1, Pi; o sea: 
  ii
i
y
f c
x

 

, así pues: 
 
 
Y aplicando la suma de Riemann: 
 
2
1
lim 1
n
i i
n
i
AB f c x


      
O sea:  
2
1 .
b
i
a
AB f c dx     ; en definitiva cundo 
Por lo que la expresión final es:  
2
1 .
b
a
AB f x dx     
 
Ejemplo: 
Hallar la longitud del arco de curva de la siguiente función en el intervalo dado 
3
2 ; 0 5y x x   
 
 
 
   
2
2
5 5 5 53 12
2 2
0 0 0 0
3 9
1 1 1 1
2 4
9 9
1
4 4
L y dx x dx x dx x dx
t x dt dx
   
               
   
   
   
y 
x 
B=Pn 
P1 
Pn-1 
A=P0 
Pi-1 
Pi 
a=x0 x1 xi-1 xi 
∆xi 
b=xn xn-1 
∆x1 ∆xn 
∆yi 
ci 
   
2
2 2
1 1
k
k k k k k
k
y
P P x y x
x
 
       
 
  
2
1 11 ;i k i i i i iP P f c x x c x     
0; i ix c x  
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 17 
 
 
5
35
25 31
2 2
0
0
0
3 3
2 2
4 4 2 8 9
1
9 9 3 27 4
8 45 8 49
1 1 1
27 4 27 4
8 343
1 12,41
27 8
t dt t x
L Unidades
    
        
     
      
          
         
 
   
 

 
 
 
 
 
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN 
Es la superficie generada en la rotación de un arco de curva continua alrededor de una recta, 
llamada eje, situada en el mismo plano que ésta, como se observa en la siguiente gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deseamos conocer la superficie que envuelve lateralmente al sólido de revolución de la figura 
entre los puntos A y B. Para ello, lo dividimos en n secciones ortogonales a su eje de rotación; 
dicha superficie es por definición, el límite de la suma de las áreas generadas por las n cuerdas 
AP1; P1P2; …. Pn-1B, en la rotación entorno al eje x. 
Sabemos que cuando y que A(a, f(a)) y B(b, f(b)) son dos puntos de la 
curva; también sabemos que f(x) y f´(x) son funciones continuas y además, que f(x) no cambia 
de signo en el intervalo (a, b); entonces el área de la superficie generada en la rotación del arco 
AB alrededor del eje x viene dada por: 
     
   
2 2
2 2 2
2 2
2 . 2 1 .
b
x
AB a
b b
a a
S y ds f x dx dy
dx dy dy
f x dx f x dx
dx dx dx
 
 
     
     
          
     
 
 
 
3
2y x
P1 
A=P0 
P2 
P3 Pi-1 
Pi 
B=Pn 
∆xi 
∆yi 
x 
a=x0 x1 xi-1 
xi b=xn 
∆x1 
y 
; 0n x  
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 18 
 
Finalmente:    
2
2 1 .
b
x
a
S f x f x dx       
Si en particular f´(x)=0, la superficie se reduce a un cilindro de diámetro f(x); en ese caso: 
Sx=2π.f(x).(b-a) 
 
Ejemplo: 
Hallar el área de la superficie de revolución generada en la rotación alrededor del eje x, de la 
curva de la siguiente función, en el intervalo dado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sx=137,86 UA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 ; 0 3y x x  
 
2 2
3 3
0 0
3
0
12
2 12 1 12 2 12 1
2 12
36
2 12 1 2 12
12
xS x x dx x dx
x
x dx x
x
 
 
   
           
  
    
 

12 36
12
x
x


 
   
3 3
0 0
3/21/2 3/2
3
3/2 3/2 3/2
0
2 12 36
1 1 2 1
12 36 12 12 36
12 12 3 18
1 1
2 12 36 12 3 36 36 137,86
18 9
x
dx x dx
t x dt dx I t dt t x
S x UA

 
   
       
         
   
 

3 
x 
y 
0 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 19 
 
CENTRO DE GRAVEDAD (CENTROIDE) DE UNA REGIÓN PLANA 
El problema acá es encontrar en centro se una región plana; vale decir el punto interior a esta, 
sobre el cual puede sostenerse una placa rígida, de espesor despreciable. 
Antes vamos a definir el: 
Momento (de primer orden) ML de un área plana con respecto a la recta L: 
Es el producto del área por la distancia de su centro de gravedad (centroide) a dicha recta. Para 
hallar el momento de un área plana con respecto a un eje coordenado, por ejemplo con respecto al eje 
y (My), se procede como sigue: 
1) Se grafica el área en un sistema de ejes coordenados; ubicándola en el primer cuadrante. 
2) Se divide el área en n franjas verticales, definiendo rectángulos de base ∆x y altura f(c); 
siendo c el punto medio de cada sub-intervalo ∆x. 
3) Se define un rectángulo genérico de área 
Ai=∆xi .f(ci) y se realiza el producto del área 
rectángulo por la distancia de su centroide al 
eje y.  i y i i iM x f c c     
4) Se realiza la suma de Riemann: 
 
1
n
i i i
i
x f c c

   ; cuando ; 0in x   
5) El momento(de primer orden) de la región 
plana respecto del eje y es: 
   
0
1
lim
i
n b
y i i i
ax
i
M x f c c x f x dx
 

        
Procediendo de manera similar, el momento(de primer orden) del rectángulo genérico de área 
Ai=∆xi .f(ci), es el producto de esta área por la distancia de su centroide al eje x: 
     
21 1
2 2
i i i i i iMx f c f c x f c x        
Realizando la suma de Riemann: 
 
2
1 1
1
2
n n
i i i
i i
Mx f c x
 
      ; cuando: ; 0in x   
   
2 2
0
1
1 1
lim
2 2i
n b
x i i
ax
i
M f c x f x dx
 

           
Ahora estamos en condiciones de definir el Centro de Gravedad (Centroide) de una Región Plana, 
que tiene coordenadas:  ,x y 
;
y x
M M
x y
A A
  o bien: 
 
 
 
 
21
2;
bb
aa
b b
a a
f x dxx f x dx
x y
f x dx f x dx
   
 

 
 
x 
a=x0 
y 
xi-1 xi 
∆xi 
ci b=xn 
B=Pn 
A=P0 
f(x) Pi 
f(ci) 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 20 
 
Ejemplo: 
Calcular el centro de gravedad de la función dada a continuación, entre los parámetros 
indicados: ( ) 2 3 ; 0
3
y f x sen x x     
El área de la región plana es:
3
3
0
0
1 2 4
2 3 2 3 3 0
33 3 3
A sen x dx cos x cos cos UA


              
 
/3 /3
0 0
/3
0
/3
0
3 3
2 3 3
4 2
3 1
cos3 cos3 .1
2 33 cos3
3
3 1 3 1
cos3 3 cos 0
2 3 3 2 3 3 6 6
x x sen x dx x sen x dx
u x du dx
x x x x dx
dv sen x dx v x
x
x sen x sen x
 


  
 
    
  
   
       
      

   
            
   
 
 
/3 /3
2
0 0
/3
0 0
3 1 3 1 cos6
. 4. 3 . .
4 2 2 2
6 6.
1 cos6 1 1 1 1
. cos . 6
2 2 12 2 12
3 1 1 3 1
6 2 0
2 2 12 4 3 6 4 4
xM xy sen x dx dx
A
t x dt dx
x
I dx x t dt x sen x C
y x sen x sen y
 

  

 
    
 
   

     
  
         
    
 
 
 
 
 
 
MOMENTO DE INERCIA (IL) DE UNÉREA PLANA 
El momento de Inercia de un área plana A con respecto a un recta L, coplanar a esta, resulta 
de aplicar el siguiente procedimiento, por ejemplo para hallar el momento de Inercia de un área 
plana A con respecto al eje y: 
1) Se grafica el área en un sistema de ejes 
coordenados; ubicándola totalmente por 
encima de eje x. 
2) Se divide el área en n franjas verticales, 
definiendo rectángulos de base ∆x y altura 
f(c); siendo c el punto medio de cada sub-
intervalo ∆x. 
3) Se define un rectángulo genérico de área 
Ai=∆xi .f(ci) y se realiza el producto del área 
del rectángulo por el cuadrado de la distancia de su centroide al eje y. 
 , ,
6 4
x y
  
  
 
/ 3
0
y
x
x
x 
a=x0 
y 
xi-1 xi 
∆xi 
ci b=xn 
B=Pn 
A=P0 
f(x) Pi 
f(ci) 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 21 
 
   
2
i y i i iI x f c c     
4) Se realiza la suma deRiemann:    
2
1
n
i i i
i
x f c c

   ; cuando 
5) El momento de Inercia de un área plana A con respecto al eje yes: 
6)      
2 2
0
1
lim
i
n b
y i i i
ax
i
I x f c c x f x dx
 

        
Para calcular el momento Inercia del área A, con respecto al eje x, hay que hacer ciertas 
consideraciones previas: 
Digamos que el área A es un rectángulo de dimensiones 
a.b, como se muestra en la figura. El área del rectángulo 
genérico es: b .∆x, y su centroide es el punto (x, 1/2b). Por lo 
tanto su momento de inercia será: x2.b.∆x; entonces el 
Momento de Inercia del área A, con respecto al eje y será: 
3 3
2 2
0
0
1
3 3 3
a
a
y
x b a
I x b dx b A a
 
       

 
Sí que en un área rectangular, el momento de inercia con respecto a uno de sus lados es igual 
a 1/3 del producto del área por el cuadrado de la longitud del lado opuesto. 
 
Determinemos ahora el momento de Inercia de una región plana, (definida superiormente por 
una función positiva, inferiormente por el eje x y lateralmente por los parámetros x=a y x=b), 
con respecto al eje x. 
El área del rectángulo genérico esAi=∆xi .f(ci) y el momento de inercia de ese rectángulo 
genérico con respecto al eje x, es:      
2 31 1
3 3
i x i i i i iI x f c f c f c x             
Si se realiza la suma de Riemenn:    
3 3
0
1
1 1
lim
4 3i
n b
x i i
ax
i
I f c x f x dx
 

            
 
Ejemplo: 
Hallar el momento de inercia con respecto a cada uno de los ejes coodenados de la región 
limitada por:   ; 0y f x sen x x     
 
 
3 3
0
3 2 2
1 1
3 3
1 cos
b
x
a
I f x dx sen x dx
sen x sen x sen x sen x x

     
    
 
 
; 0in x  
x 
(a, b) 
∆x 
y 
0 a x 
P(x, b) 
Mg. Ing. Gustavo Menocal 
 22 
 
   
3
2 21 cos 1
3
t
I sen x x dx t dt t C
t cos x dt sen x dx
         
    
  
3 3 3
0
1 1 0
0
3 3 3 3 3
1 1 1 1 4 4 4
1 1
3 3 3 3 3 9 9
x
x x
cos x cos cos
I cos x cos cos
I I



    
           
    
 
         
 
 
 2 2
0 0
2
2
2
2
2
0
2 .
.cos 2 .cos .
. cos
.cos 2 .cos .
.cos 2 . .
cos .
.cos 2 . 2cos
y
y
I x f x dx x sen x dx
u x du x dx
I x x x x dx
dv sen x dx v x
x x x x dx
u x du dx
I x x x sen x sen x dx
dv x dx v sen x
I x x x sen x x
 
      
   
     
   
  
  
         
     
 



 2
2
.cos 2 . 2cos 2 cos0
4y
sen
I

    

       
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
- AYRES, F. Cálculo diferencial e integral. Mc Graw Hill, México S.A. México. 
- LARSON, HOSTELER y EDWARS, (1995). Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw Hill, Madrid. 
- LEITHOLD, L. (1973). El Cálculo con Geometría Analítica. Harla S.A., México D.F. 
- LEZANA, B. (1994). Introducción Didáctica al Análisis Matemático. Ediciones El Graduado, San Miguel de Tucumán. 
- PÉREZ GONZÁLEZ, F. J. Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable. Bajo una licencia CreativeCommons. 
Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada. 
- PROYECTO EMCI. (1988). Proyecto de Investigación: “La enseñanza de la Matemática en carreras de Ingeniería”. Universidad nacional 
de San Juan. 
- PURCELL, E. y otros. (1993). Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica S.A., México D.F. 
- TAYLOR, H. y WADE, T. (1971). Cálculo Diferencial e Integral. Litografía Ingramex, S.A., México D.F. 
- TORANZO, F. (1966). Enseñanza de la Matemática. Kapeluz. Buenos Aires. Argentina.