Clase N 20 Integrales de Línea

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Clase Nº 20: Integrales de Línea Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 20: INTEGRALES DE LINEA 
 
 
 Una forma de generalizar la integral definida es reemplazando el intervalo sobre 
el cual integramos por conjuntos de dimensión dos y tres. Esto nos conduce a las integrales dobles y 
triples. Una generalización muy distinta se obtiene reemplazando el intervalo por una curva C 
en el plano xy ó en el espacio tridimensional. Las integrales resultantes; ó se 
conocen como integral de línea en el plano y en el espacio, respectivamente. También se las suele 
denominar integrales de curva ó curvilíneas. 
 
1. INTEGRAL DE LÍNEA EN EL PLANO. 
1.1. Definición 
A continuación se definirá la integral de línea . La definición seguirá el mismo 
proceso de cuatro pasos usados para las definiciones de las integrales; simple definidas, doble y 
triple. 
Sea f una función de dos variables definida en una región D que incluye a una curva plana C. 
La curva plana C es suave, es decir dada C en forma paramétrica por x =x(t), y = y(t) con 
se cumple que x` e y’ son continuas y no se anulan simultáneamente en (a,b). 
Decimos que C está orientada positivamente si su dirección corresponde a los valores crecientes 
de t. 
Supongamos que C está orientada positivamente y que C se recorre sólo una vez cuando t varía 
de “a” a “b”. Así el punto inicial de C es y su punto final es . 
Paso 1. 
Se considera la partición P del intervalo del parámetro, obtenida mediante los puntos 
a = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t i < . . . < t n-1 < t n = b 
Esta partición del intervalo produce una división de la curva C en n subarcos , donde 
el punto Pi corresponde al valor del parámetro ti. 
Sean Δsi la longitud del arco y la norma de la partición P, es decir el mayor 
Paso 2. 
A continuación se elige un punto arbitrario en el subarco . (Este corresponde 
a un punto en , ver figura 1). 
 
( )dxxf
b
a
ò [ ]ba,
[ ]ba,
( )dsy,xf
C
ò ( )dsz,y,xf
C
ò
( )dsy,xf
C
ò
bta ££
( ) ( )( )ay,axA= ( ) ( )( )by,bxB=
[ ]ba,
[ ]ba, i1i PP -
i1i PP - P 1iii ttt --=D
( )iii y,xQ i1i PP -
it [ ]i1i t,t -
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 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 3. 
Se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de los productos del valor que 
toma la función f en el punto, multiplicado por la longitud Δsi del correspondiente subarco: 
 
 Paso 4. 
Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann cuando . Si este límite existe 
se define como la integral de línea de f a lo largo de C. En símbolos: 
 
Los cuatro pasos dados anteriormente conducen a la siguiente definición de integral de línea. 
 
 
 
 Puede probarse que si f es continua entonces el límite de la definición (1) 
 
 
 
0®P
( ) ( )òå =D
=
®
C
i
n
1i
ii0P
dsy,xfSy,xflim
P1 
P2 
A =P0 
Pi 
Qi 
Pi-1 
B =Pn 
D 
x 
y 
b a t 
C 
ti-1 ti 
Figura 1 
Definición. 
Si f está definida sobre una curva suave C dada por las ecuaciones x = x(t), y = y(t) ó 
bien en forma vectorial por r(t) = x(t)i + y(t)j entonces la integral de línea de f a lo largo de C 
(con respecto a la longitud de arco) es 
(1) 
 si el límite existe 
bta ££
( ) ( ) i
n
1i
ii0P
C
Sy,xflimdsy,xf D= åò
=
®
( ) i
n
1i
ii Sy,xf Då
=
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1.2. Evaluación. 
La definición (1) no proporciona una buena manera de evaluar . Un mejor camino consiste 
en expresar todo en términos del parámetro t, lo que conduce a una integral definida común. 
 Si f es continua en D que contiene a la curva suave C. Si C viene dada por las ecuaciones 
 x = x(t), y =y(t) , , donde entonces 
(1) 
Observaciones. 
a) El valor de la integral no depende de la parametrización de la curva, en vista de que se cruza 
exactamente una vez a la curva conforme t se incrementa de “a” a “b”. Puede demostrarse que 
cualquier parametrización produce el mismo valor de . 
b) La definición de una integral de línea se puede ampliar al caso donde C, aunque no necesariamente 
suave, es suave por partes es decir consta de varias curvas suaves C1, C2,…, Cn, unidas entre sí como 
se muestra en la figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Así pues, se define la integral a lo largo de C como la suma de las integrales de f a lo largo de 
cada uno de los pedazos suaves de C: 
= + + … + 
c) En el caso especial en que C es el segmento de recta que une los puntos (a,0) con (b,0), al utilizar 
a x como parámetro, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de C de la siguiente manera x =x, 
y = 0 . De modo que la fórmula (2) se convierte en: 
por lo que, en este caso, la integral de línea se reduce a una integral ordinaria de una sola variable. 
 
( )dsy,xf
C
ò
bta ££ ( )[ ] ( )[ ] dttytxdS 2'2' +=
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] dttytx)t(y),t(xfdsy,xf 2'2'
b
aC
+=òò
( )dsy,xf
C
ò
( )dsy,xf
C
ò ( )dsy,xf
1C
ò ( )dsy,xf
2C
ò ( )dsy,xf
nC
ò
bxa ££ ( ) ( ) dx0,xfdsy,xf
b
aC
òò =
C1 
C2 
C3 
Cn 
Figura 2 
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 4 
Ejemplo 1. 
Evalúe , donde C es el círculo x2+y2 = 1 con y ≥ 0. 
Solución. 
Las ecuaciones paramétricas de la mitad superior del círculo son: 
 x = cost , y =sent con . (ver figura 3) 
 
 
 
 
 
 
Por consiguiente la fórmula (2) nos dice 
 
Ejemplo 2. Integral de línea donde C es suave a trozos. 
Evalúe a lo largo del camino dado por C: triangulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1) 
recorrido en sentido contrario al de las agujas del reloj. 
Solución. 
La curva C se muestra en la figura 4. 
 
 
 
 
 
( )ò +
C
2 dsyx2
p££ t0
( ) ( )
( )
( )
3
22dsyx2
03
tcost2dtsenttcos2
dttcostsensenttcos2dsyx2
C
2
3
0
2
22
0
2
C
2
+p=+\
p
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=+=
++=+
ò
ò
òò
p
p
( )ò +
C
dsy4x
x 
y 
x2+y2 = 1 
 y ≥ 0 
-1 
1 
1 
Figura 3 
(1,0) 
(0,1) 
(0,0) 
Figura 4 
x 
y 
C1 
C2 
C3 
 
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 5 
Las ecuaciones paramétricas de C1, C2 y C3 son respectivamente: 
C1: x + y = 1 
C2 : x = 0, con y variando de 1 a 0, 
 
C3 : y = 0, con x variando de 0 a 1, 
En consecuencia: 
 
Ejercicios. 
a) Evalúe ∫ 𝑥!𝑦	𝑑𝑠" , donde C está dada por las ecuaciones paramétricas 
x = 3cost, y = 3sent 0 ≤ 𝑡 ≤ #
!
 . Rta: 27 
b) Evalúe , donde C consiste del arco C1 de la parábola y= x2 de (0,0) a (1,1), seguido por el 
segmento de recta vertical C2 de (1,1) a (1,2). 
Rta: 
 
2. INTEGRALES DE LÍNEA EN EL ESPACIO. 
 Todo lo que se ha hecho se extiende con facilidad a una curva suave C en el espacio 
tridimensional. Entonces, sea C es una curva suave en el espacio dada por las ecuaciones 
paramétricas; x = x(t), y=y(t), z = z(t), ó por la ecuación vectorial r(t) = x(t)i + y(t)j+z(t)k y sea f 
1t0
ty
t1x
££
î
í
ì
=
-=
2t1
t2y
0x
££
î
í
ì
-=
=
3t2
0y
2tx
££
î
í
ì
=
-=
x+4 y( )ds
C1
∫ = 1−t+4 t( )
0
1
∫ 1+1 dt
= 2 1−t+4 t( )
0
1
∫ dt= 2 t− t
2
2
+4 t
3 2
3
2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
1
0
= 2 .19
6
x+4 y( )ds
C2
∫ = 0 +4 2− t( )
1
2
∫ 0+1 dt= 8 / 3
x+4 y( )ds
C3
∫ = t− 2 +4.0( )
2
3
∫ 1+0 dt =1/ 2
∴ x+4 y( )ds
C
∫ = 2 .196 +
8
3
+
1
2
=
19
6
( 2 +1)
ò
C
dsx2
2
6
152
+
-
bta ££
Clase Nº 20: Integrales de Línea Mg. M. Adriana Correa Zeballos6 
una función de tres variables definida en una región E del espacio que contiene a C, entonces la 
integral de línea de f a lo largo de C (con respecto a la longitud de arco) es 
 
La evaluamos utilizando una fórmula similar a la fórmula (2): 
(2) 
 
3. INTEGRALES DE LÍNEA CON RESPECTO A “X” y “Y”. 
 Se obtienen otras dos integrales de línea al sustituir Δsi por Δxi = xi-xi-1 ó Δyi = yi-yi-1 , en la 
definición (1). Se conocen como integrales de línea de f a lo largo de C con respecto a x y y. (Δxi, 
Δyi son las proyecciones de cada subarco sobre los ejes x e y respectivamente, ver figura 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
(4) 
 
3.1. Evaluación de las integrales de línea con respecto a “x” y “y”. 
 Las siguientes fórmulas expresan que las integrales de línea con respecto a “x” y a “y” también 
pueden evaluarse al expresar todo en términos del parámetro t: 
x = x(t), y=y(t), , dx = x’(t) dt, dy = y’(t) dt 
(6) 
( ) ( ) i
n
1i
iii0P
C
Sz,y,xflimdsz,y,xf D= åò
=
®
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] dttztytx)t(z),t(y),t(xfdsz,y,xf 2'2'2'
b
aC
++=òò
( ) ( ) i
n
1i
ii0P
C
xy,xflimdxy,xf D= åò
=
®
( ) ( ) i
n
1i
ii0P
C
yy,xflimdyy,xf D= åò
=
®
bta ££
( ) ( ) ( ) dttx)t(y),t(xfdxy,xf '
b
aC
òò =
Pi 
Pi-1 
Δxi 
Δyi 
Δsi 
x 
y 
C 
Figura 5 
 
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 7 
(7) 
Sucede con frecuencia que las integrales de línea con respecto a “x” y “y” se presentan al mismo 
tiempo. Cuando esto sucede se acostumbra a escribir: 
 
Observación. 
En la definición de , Δsi siempre es positivo, mientras que en las definiciones 
 y Δxi y Δyi pueden ser negativos en una trayectoria. 
Un cambio en la orientación de C, cambia el signo de y mientras que 
el de no. 
Es decir: ; 
En cambio en . (Ver figura 6.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. INTEGRALES DE LÍNEA CON RESPECTO A “X”, “Y” y ”Z”. 
 Las integrales de de línea a lo largo de la curva suave C con respecto a “x” a “y” y “z”, 
también pueden definirse. 
Sea C curva suave dada en forma paramétrica por x = x(t), y=y(t), z =z(t) con , entonces 
( ) ( ) ( ) dtty)t(y),t(xfdyy,xf '
b
aC
òò =
( ) ( ) ( ) ( )dyy,xQdxy,xPdxy,xQdxy,xP
CCC
+=+ òòò
( )dsy,xf
C
ò
( )ò
C
dxy,xf ( )ò
C
dyy,xf
( )ò
C
dxy,xf ( )ò
C
dyy,xf
( )dsy,xf
C
ò
( ) ( )dxy,xfdxy,xf
CC
òò -=
-
( ) ( )dyy,xfdyy,xf
CC
òò -=
-
( ) ( )dsy,xfdsy,xf
CC
òò =
-
bta ££
a b 
 
A 
 
A 
 
B 
 
-C 
 
C 
 
B 
 
Figura 6 
 
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 8 
* 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 = 	 lim
‖%‖→'
4𝑓(𝑥(5
)
*+,	"
	 , 𝑦(5			𝑧(5	)	∆𝑥* 
 
 
En consecuencia, al igual que las integrales de línea en el plano, evaluamos las integrales de la 
forma 
 
 
al expresar todo (x,y,z, dx, dy, dz) en términos del parámetro t. 
Observación. 
 Cuando se está formulando una integral de línea , algunas veces la cuestión más difícil es pensar en 
la representación paramétrica de una curva cuya descripción geométrica está dada. Resulta útil 
recordar que una representación vectorial del segmento de recta que comienza en r0 y termina en r1 
está dada por 
(8) r(t) = (1-t) r0 + t r1 0≤ t≤ 1 
Ejemplo 3. 
Evalúe la integral de línea en las trayectorias que se indican. 
i) C: es el segmento de recta que va de (-5,-3) a (0,2) 
ii) C: arco de parábola x = 4 –y2 de (-5,-3) a (0,2). 
Solución. 
i) Utilizando la ecuación 8 con r0 = <-5,-3> y r1 =< 0,2>, las ecuaciones paramétrica del segmento de 
recta son 
x = 5 t- 5 y = 5t -3 0≤ t≤ 1. 
dx = 5 dt, dy = 5 dt 
( ) ( ) i
n
1i
iii0P
C
yz,y,xflimdyz,y,xf D= åò
=
®
( ) ( ) i
n
1i
iii0P
C
zz,y,xflimdzz,y,xf D= åò
=
®
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dzz,y,xPdyz,y,xNdxz,y,xMdzz,y,xPdyz,y,xNdxz,y,xM
CCCC
++=++ òòòò
dyxdxy
C
2 +ò
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ii) Como C: arco de parábola x = 4 –y2 de (-5,-3) a (0,2), tomando a “y” como parámetro, las 
ecuaciones paramétricas de C son x = 4 – y2 y =y -3≤ y≤ 2. 
 
Ejemplo 4. 
Evalúe la integral de línea , donde C es la curva paramétrica x = t, y = t2, z = t3 , 
 
Solución. 
Puesto que dx = dt, dy = 2t dt, dz = 3 t2 dt, la sustitución en términos de t produce 
 
Ejercicios. 
a) Evalúe la integral de línea , a lo largo de C cuyas ecuaciones paramétricas 
son x = 5t - 5, y = 5t-3, . 
Rta. -5/6 
b) Evalúe la integral de línea , a lo largo de C cuyas ecuaciones 
paramétricas son x = t2, y = t3, . 
( ) ( ) ( )( )
( )
6
5
0
1
t4
2
t25
3
t255
dt4t25t255
dt55t5dt53t5dyxdxy
23
1
0
2
1
0
2
C
2
-=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-=
=+-=
-+-=+
ò
òò
y2 dx
C
∫ + x dy = y2 −2y( )
−3
2
∫ dy+ 4− y2( )dy
= −2 y3− y2 + 4( )
−3
2
∫ dy=245 / 6
dzxdyzdxy
C
++ò
1t0 ££
( ) ( ) ( )
( )
60
89
0
1
5
t2
4
t3
3
t
dtt2t3t
dtt3tdtt2tdttdzxdyzdxy
543
1
0
432
23
1
0
2
C
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
++=
++=
++=++
ò
òò
dyxdxy
C
2 +ò
1t0 ££
( ) dyxy2dxyx
C
22 +-ò
2
3t0 ££
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 Rta. 16,61. 
c) Evalúe la integral de línea , donde C es la hélice de ecuación r(t) = 2 cost i + 2 
sent j + t k, . 
Rta. 2π2. 
5. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA. 
5.1. Aplicaciones geométricas. 
i) Si en la definición de la integral de línea : 
La función f es no negativa, es decir f(x,y) ≥ 0, entonces la integral representa el área de 
la cortina curva vertical, que define el arco de curva C , limitada inferiormente por el plano xy y 
superiormente por la superficie f(x, y). 
ii) Si f(x,y) = 1, entonces tenemos que , donde L es la longitud 
de la curva plana C. 
iii) Análogamente, si en la definición de la integral de línea , se tiene el caso especial 
f(x,y,z)=1 entonces la integral de línea; 
 , donde L es la longitud de la curva C que se 
representa en el espacio tridimensional. 
5.2. Aplicaciones físicas. 
a) Masa y Peso de un alambre delgado de densidad variable. 
La interpretación física de una integral de línea depende del contenido físico que 
se le asigne a la función f. Suponga que δ(x,y) representa la densidad lineal en cada punto (x,y) de un 
alambre delgado en forma de curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
dzzdyxdxy
C
++ò
p££ 2t0
( )dsy,xf
C
ò
( )dsy,xf
C
ò
( )[ ] ( )[ ] Ldtt'yt'xds
b
a
22
C
=+= òò
( )dsz,y,xf
C
ò
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] Ldtt'zt'yt'xds
b
a
222
C
=++= òò
( )dsy,xf
C
ò
Δs 
x 
y 
(x,y) 
Figura 7 
B 
A 
C 
y 
x 
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 11 
Por definición 
 , 
que en términos de elementos diferenciales resulta: 
Así la masa total del alambre es 
 
Sabiendo que el peso específico ρ es el producto de la densidad δ por la aceleración de la 
gravedad g, entonces: 
ρ(x,y) =g δ(x,y) 
dP = g dM 
dP = g δ(x,y) ds 
 
por lo que el peso del alambre es 
 
b) Momentos estáticos de un alambre delgado de densidad variable con respecto a los ejes 
coordenados cartesianos. 
Sabiendo que el momento estático elemental es el producto de dM por la distancia al eje de 
referencia considerado. 
 Con respecto al eje x será 
 
y con respecto al eje y se tiene; 
 
 
c) Momentos de inercia de un alambre delgado de densidad variable con respecto a los ejes 
coordenados cartesianos. 
Sabiendo que el momento de inercia elemental dJ, es el producto de dM por el cuadrado de la 
distancia al eje de referencia considerada, entonces con respecto al eje x será 
 
y con respecto al ejey, se tiene; 
( )
ds
dM
s
Mlimy,x
0s
=
D
D
=d
®D
( ) s.y,xM Dd»D\
( ) ds.y,xdM d=
( )dsy,xdMM
CC
òò d==
( )dsy,xgdPP
CC
òò d==
( ) ( )
( )ò d=Þ
d=\Dd»D
C
x
xx
dsy,xyI
dsy,xydIs.y,xyI
( ) ( )
( )ò d=Þ
d=\Dd»D
C
y
yy
dsy,xxI
dsy,xxdIs.y,xxI
( ) ( )
( )ò d=Þ
d=\Dd»D
C
2
x
2
x
2
x
dsy,xyJ
dsy,xydJs.y,xyJ
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 12 
 
 
 
 
 
c) Centro de masa de un alambre delgado de densidad variable. 
Sea el punto Cm(xc,yc) el centro de masa del alambre, que tiene una densidad lineal variable. 
Una porción pequeña del alambre tendrá longitud Δs y masa Δm. 
Según la ley física: Los momentos estáticos del alambre con respecto a un par de ejes paralelos 
a los ejes coordenados y que pasan por el centro de masa son nulos. (Ver figura 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto IX = 0 e IY = 0. 
Calculando el momento estático de la porción de alambre con respecto al eje X e igualando a cero 
se tiene: 
Por propiedades de las integrales y trabajando algebraicamente la última igualdad se tiene, 
 
De manera similar, se obtiene la otra coordenada del centro de masa. Calculando el momento 
estático de la porción de alambre con respecto al eje Y e igualando a cero se tiene: 
y trabajando con esta igualdad se obtiene 
 
Para la determinación de las aplicaciones físicas de un alambre delgado en el espacio 
tridimensional se procede de idéntica manera a las expuestas precedentemente. 
( ) ( ) 0dsy,xyyI
C
cX =d-=ò
( )
( )
( )òò
ò
d=
d
d
=
C
C
C
c dsy,xyM
1
dsy,x
dsy,xy
y
( ) ( ) 0dsy,xxxI
C
cY =d-=ò
( )
( )
( )òò
ò
d=
d
d
=
C
C
C
c dsy,xxM
1
dsy,x
dsy,xx
x
( ) ( )
( )ò d=Þ
d=\Dd»D
C
2
y
2
y
2
y
dsy,xxJ
dsy,xxdJs.y,xxJ
Δs 
ΔM 
x 
y 
Cm 
Figura 8 
B 
A 
C 
yc 
xc 
X 
Y 
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 13 
Consignas para la revisión de la teoría 
 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Suma de Riemann en integrales de línea en el plano. 
2. Evaluación de las integrales de línea en el plano. 
3. Suma de Riemann en integrales de línea en el espacio tridimensional. 
4. Evaluación de las integrales de línea en el espacio tridimensional. 
5. Integrales de línea con respecto a “x” y “y”. 
6. Evaluación de la integral de línea con respecto a “x” y “y”. 
7. Integrales de línea con respecto a “x”, “y” y “z”. 
8. Evaluación de la integral de línea con respecto a “x”, y”, y “z”. 
9. Aplicaciones geométricas y físicas de las integrales de línea- 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
1. Evalúe la integral de línea a lo largo de la trayectoria indicada. 
 
a) C: x = t, y = 2t, z =t , . Rta: 
b) donde C es la curva suave a trozos dada en forma vectorial por 
. Rta: ≈ 1.56. 
c) C: r(t) = t i +(4/3) t3/2 j +(1/2) t2 k 0 ≤ t ≤ 2. Rta: ≈ 15.29. 
d) C: r(t) = 4t i +3t j 0 ≤ t ≤ 2. Rta: 10. 
e) C: r(t) = sen t i +cos t j +8t k 0 ≤ t ≤ π/2. 
Rta: 
f) ∫ (𝑥! − 𝑦!). 𝑑𝑠.	donde: 
i) C: eje x desde x = 0 hasta x =3; 
ii) C: circunferencia x2 +y2 = 1 recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj desde (1,0) hasta 
(0,1). Rtas: i) 9; ii) π/2 
( )ò +-
C
2 dsz3yx 1t0 ££
6
65
ò
C
dsx
( ) ( ) ( )îí
ì
££-+-
££+
=
1t0jt1it1
1t0jtit
tr 2
( )ò +
C
dsx2
x− y( )ds
C
∫
( )ò ++
C
222 dszyx
( )2163
6
65 p+÷
ø
ö
ç
è
æ p
Clase Nº 20: Integrales de Línea Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 14 
2. Evalúe a lo largo de la trayectoria dada. 
i) C: eje x desde x = 0 hasta x = 5. 
ii) C: los segmentos de (0,0) a (3,0) y de (3,0) a (3,3) 
iii) C: arco y =1-x2 desde (0,1) hasta (1,0). 
iv) C: arco dado por x = t, y = 2t2, desde (0,0) hasta (2,8). 
Rtas: i) 25; ii) 63/2 ; iii) -11/6 ; iv) 316/3. 
3. Evalúe donde C consiste de los dos segmentos de rectas que van de 
(2,0.0) a (3,4,5) y de (3,4,5) a (3,4,0). Rta: 9,5. 
4. Evalúe donde C consiste de los dos segmentos de rectas que van de 
(0,0.0) a (0,1,1) de (0,1,1) a (1,2,3) y de (1,2,3) a (1,2,4). Rta: 77/6. 
5. Utilice una integral de línea para calcular el área de la superficie lateral que se indica. 
i) f(x,y) = h, C : segmento de recta desde (0,0) hasta (3,4). Rta: 5 h 
ii) f(x,y) = x y C: x2+y2 =1 desde (1,0) hasta (0,1). Rta: ½ 
6. Halle la masa de un alambre que tiene la forma de una hélice circular 
, sabiendo que la densidad δ(x,y,z) = 1+Z . 
Rta: ≈ 144.4. 
7. Halle la masa total de un cable de densidad δ. 
i) r(t) = cos t i + sent j 0≤ t ≤ π, δ(x,y) = x+y . Rta: 2. 
ii) r(t) = t2 i + 2t j +t k 1≤ t ≤ 3, δ(x,y,z) = kz (k> 0) . Rta: 
8. Halle los momentos de inercia respecto del eje x y del eje y del cable a lo largo de una curva cuya 
ecuación está dada por r(t) = a cos t i + a sent j 0≤ t ≤ 2π y a> 0, la densidad δ(x,y) = 1.Rta: Jx=Jy=a3π. 
9. Un alambre tiene la forma de la curva x2 +y2 = 1, y≥ 0. La densidad lineal en cualquier punto es 
proporcional a su distancia a la recta y = 1. Encuentre: a) la masa y el peso del alambre; b) el centro 
de masa del alambre ; c) los momentos de inercia del alambre con respecto a los ejes x e y. 
 Rta: a) 𝑘(𝜋 − 2); g.𝑘(𝜋 − 2); b) ; c) 𝒌 =𝝅
𝟐
− 𝟒
𝟑
>; 𝒌 =𝝅
𝟐
− 𝟐
𝟑
> 
( ) ( )dyy3xdxyx2
C
++-ò
xdzdyzdxy
C
++ò
dzy2dyzdxz
C
2 +-ò
( )dsy,xf
C
ò
p££=== 6t0tz;tsen
2
1y;tcos
2
1x
( )274141
12
k
-÷
ø
ö
ç
è
æ
( )÷÷ø
ö
çç
è
æ
-p
p-
22
4,0