Notas 03 Integrales de línea - Axel Sánchez Nazario (1)

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INTEGRALES DE LÍNEA 
1 
 
 
En este tema vamos a ampliar nuestro concepto de integral para una función. Comencemos recordando que la 
integral definida (o integral de Riemann) de 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏 está dada por 
 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = lim
‖𝑃‖ → 0
∑ 𝑓( 𝑥�̅� )
𝑛
𝑖 = 1
 ∆𝑥𝑖 = 𝐿 
 
 
 
 
 
La integral definida es el número que resulta de calcular el límite de la suma de Riemann desde el extremo inferior 
𝑎 hasta el extremo superior 𝑏 cuando la norma de la partición ‖𝑃‖ tiende a cero. 
 
 
Es decir, formamos pequeños rectángulos de base ∆𝑥𝑖 que al sumarse, dan por resultado el área bajo la curva de 
𝑓(𝑥) y el eje de las abscisas. 
 
 
La idea de tener pequeñas secciones que al sumarse dan un gran total al resolver el límite de la definición, son la 
base para muchas de las aplicaciones de la integral definida. 
 
 
Ahora vamos a cambiar el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ] por una curva C en el plano XY, actuando sobre la función 𝑓(𝑥 , 𝑦), 
lo cual nos lleva a la siguiente integral, conocida como integral de línea (podríamos llamarla integral de curva) 
 
 
∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)
𝐶
 𝑑𝑠 
 
 
¿Pero qué significa esta expresión? 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
2 
 
 
Para que nuestra integral tenga sentido, la curva C deberá ser plana y suave, por lo tanto podemos escribirla 
mediante una forma paramétrica 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 
 
 
Además se cumple que sus derivadas paramétricas 𝑥′, 𝑦′ son continuas y no se anulan simultáneamente en (𝑎 , 𝑏). 
 
 
Se considera que la curva C está orientada positivamente si su dirección corresponde con los valores crecientes 
del parámetro 𝑡. 
 
Circunferencia orientada positivamente 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡
 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
 
Circunferencia orientada negativamente 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡
 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
 
 
En ambos casos, la curva es cerrada. Pero podríamos manejar un intervalo donde las curvas fueran abiertas. 
 
Circunferencia orientada positivamente 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡
 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
 
 
Circunferencia orientada negativamente 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡
 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
3 
 
 
También debemos suponer que la curva C se recorre sólo una vez cuando el parámetro 𝑡 varía desde 𝑎 hasta 𝑏. 
 
 
De manera genérica podemos escribir que para la curva C 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 
 
En la cual se cumple que 
𝐴(𝑥(𝑎) , 𝑦(𝑎)) 𝑦 𝐵(𝑥(𝑏) , 𝑦(𝑏)) 
 
 
A partir de estos extremos hacemos una partición en [ 𝑎 , 𝑏 ] para el parámetro, por lo que tendremos 𝑛 subarcos 
𝑃𝑖−1𝑃𝑖 para cada valor 𝑡𝑖 
𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 = 𝑏 
 
 
En esta gráfica podemos ver los diferentes puntos 𝑃1 que definen la 
partición de la curva C. 
 
 
El punto 𝑄𝑖( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) es un punto muestra entre 𝑃𝑖−1 y 𝑃𝑖 
 
 
La longitud de arco entre 𝑃𝑖−1 y 𝑃𝑖 la llamaremos ∆𝑠𝑖 
 
 
La suma de Riemann quedará escrita 
 
 
∑ 𝑓( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
𝑛
𝑖 = 1
 ∆𝑠𝑖 
 
 
Si la función es no negativa y continua en la región D que contiene a la curva C, entonces la suma de Riemann 
tiene un límite cuando la norma de la partición tiende a cero, lo cual es la integral de línea de la función f, a lo 
largo de la curva C, desde A hasta B con respecto de la longitud de arco 
 
 
∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)
𝐶
 𝑑𝑠 = lim
‖𝑃‖ → 0
∑ 𝑓( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
𝑛
𝑖 = 1
∆𝑠𝑖 = 𝐿 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
4 
 
 
Estamos obteniendo el área de la cortina vertical 
con altura 𝑓( 𝑥 , 𝑦 ) desde el plano XY, entre los 
puntos 𝐴 y 𝐵. 
 
 
Para ayudarnos a evaluar de forma más simple, 
escribimos todo en términos del parámetro 𝑡. 
 
 
Del curso anterior recordamos que la diferencial 
de arco 𝑑𝑠 equivale a 
 
 
𝑑𝑠 = √ [ 𝑥′(𝑡) ]2 + [ 𝑦′(𝑡) ]2 𝑑𝑡 
 
 
Entonces podemos escribir la integral de línea así 
 
 
∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)
𝐶
 𝑑𝑠 = ∫ 𝑓( 𝑥(𝑡) , 𝑦(𝑡) )
𝑏
𝑎
 √ [ 𝑥′(𝑡) ]2 + [ 𝑦′(𝑡) ]2 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
Aun cuando sabemos que existen muchas formas de 
parametrizar una curva, cualquiera de ellas dará el 
mismo valor de integral de curva. 
 
 
Si la curva no es suave, se puede trabajar por separado 
cada etapa suave y después sumar los resultados. 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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Por ejemplo, se requiere evaluar la integral de línea para la función 𝑓(𝑥 , 𝑦) = 𝑥2𝑦 siguiendo a la circunferencia 
con centro en el origen y radio 3, a lo largo del primer cuarto positivo de la circunferencia. 
 
 
Unas curvas paramétricas de la circunferencia son 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 donde para mantenerla en el primer 
cuarto positivo, hacemos trabajar al parámetro en 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2⁄ 
 
 
Las derivadas con respecto del parámetro 𝑡 son 𝑥′ = −3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑦′ = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 por lo tanto 
 
 
∫ 𝑥2𝑦
𝐶
 𝑑𝑠 = ∫ (3 𝑐𝑜𝑠 𝑡)2 (3 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝜋
2⁄
0
 √ (−3 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (3 𝑐𝑜𝑠 𝑡)2 𝑑𝑡 
 
 
 
= 81 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝜋
2⁄
0
 𝑑𝑡 = −81 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 (−𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝜋
2⁄
0
 𝑑𝑡 = −81 
𝑐𝑜𝑠3𝑡
3
 |
0
𝜋
2⁄
= 27 𝑢. 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 
 
 
 
 
Lo que obtuvimos fue el área de la cortina vertical en 
color naranja que se aprecia en esta imagen. 
 
 
Observa que la superficie en color verde corresponde 
a la función 𝑓(𝑥 , 𝑦) = 𝑥2𝑦 
 
 
La cortina vertical tiene para cada punto de la 
circunferencia (en color azul sobre el plano XY), una 
altura correspondiente con el valor de 𝑧 donde se 
intersectan ambas superficies. 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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Si la curva C está en el espacio de tres dimensiones con 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 
 
La integral de línea será 
 
 
∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)
𝐶
 𝑑𝑠 = ∫ 𝑓( 𝑥(𝑡) , 𝑦(𝑡) , 𝑧(𝑡) )
𝑏
𝑎
 √ [ 𝑥′(𝑡) ]2 + [ 𝑦′(𝑡) ]2 + [ 𝑧′(𝑡) ]2 𝑑𝑡 
 
 
 
Ejemplo. 
 
∫ ( 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 )
𝐶
 𝑑𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑧 = 3𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
 
Derivando cada una en términos del parámetro 
 
 
𝑥′ = −4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑦′ = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑧′ = 3 
 
 
Sustituyendo en la integral de línea 
 
 
∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)
𝐶
 𝑑𝑠 = ∫ ( (4 𝑐𝑜𝑠 𝑡)2 + (4 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (3𝑡)2 )
2𝜋
0
 √ [ −4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ]2 + [ 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ]2 + [ 3 ]2 𝑑𝑡 
 
 
 
= ∫ (16 + 9𝑡2)
2𝜋
0
 √16 + 9 𝑑𝑡 = 5 ∫ (16 + 9𝑡2)
2𝜋
0
 𝑑𝑡 = 5 [ 16𝑡 + 3𝑡3 ]0
2𝜋 = 4,223.4 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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TRABAJO COMO INTEGRAL DE LÍNEA 
 
 
En física nos han enseñado que el trabajo (𝑊) se obtiene multiplicando la fuerza (𝐹) que actúa durante cierto 
desplazamiento (𝑠). 
 
 
Para desarrollar esta idea matemáticamente, comencemos asumiendo que la fuerza que actúa en un punto 
𝑄(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) del espacio, está dada por el campo vectorial 
 
 
�̅�(�̅�) = �̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑀(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑖 + 𝑁(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑗 + 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑘 
 
 
Donde las funciones 𝑀 , 𝑁 , 𝑃 , son continuas. 
 
El vector de posición �̅� = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘 representa al punto 𝑄(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 
 
 
 
Siendo �̅� (en color azul claro) el vector tangente 
unitario en el punto Q. 
 
 
Entonces el trabajo realizado por la fuerza �̅� al mover 
una partícula una distancia pequeña ∆𝑠 desde Q, a lo 
largo de la curva, es aproximadamente 
 
 
�̅� ⋅ �̅� 𝑑𝑠 
 
El trabajo es una cantidad escalar obtenida con el producto punto entre dos vectores. Por lo tanto puede ser 
positivo o negativo dependiendo de los sentidos de los vectores involucrados. Esto debido a la proyección de uno 
sobre la dirección del otro. 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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Si ahora sumamos todos estos trabajos infinitamente pequeños desde el punto A hasta el punto B de la curva, 
tendremos que el trabajo es una integral de línea:𝑊 = ∫ �̅� ⋅ �̅� 𝑑𝑠
𝐶
 
 
 
En temas anteriores establecimos que 
�̅� =
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 ⋅
𝑑𝑡
𝑑𝑠
=
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 
 
De donde obtenemos que 
 
𝑊 = ∫ �̅� ⋅ �̅� 𝑑𝑠
𝐶
= ∫ �̅� ⋅
𝑑�̅�
𝑑𝑡𝐶
 𝑑𝑡 = ∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
 
 
 
El vector diferencial 𝑑�̅� se puede escribir como 𝑑�̅� = 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑𝑧 𝑘, entonces 
 
 
�̅� ⋅ 𝑑�̅� = (𝑀 𝑖 + 𝑁 𝑗 + 𝑃 𝑘) ⋅ (𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 + 𝑑𝑧 𝑘) = 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦 + 𝑃 𝑑𝑧 
 
 
Lo que conduce a la forma diferencial del trabajo 
 
 
𝑊 = ∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ 𝑀 𝑑𝑥
𝐶
+ ∫ 𝑁 𝑑𝑦
𝐶
+ ∫ 𝑃 𝑑𝑧
𝐶
 
 
 
Estas últimas tres integrales son de línea. Como ∆𝑥 , ∆𝑦 , ∆𝑧 pueden ser positivos o negativos, significa que un 
cambio en la orientación de la trayectoria de la curva, cambia el signo de la integral. 
 
 
Ejemplo. Determina el trabajo realizado con la fuerza �̅� al trasladarse a lo largo de la curva C 
 
�̅� = (𝑥2 − 𝑦2) 𝑖 + (2𝑥𝑦) 𝑗 𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑡2
𝑦 = 𝑡3
 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤
3
2
 
 
Obtenemos las diferenciales paramétricas de la curva 𝑑𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑡 , 𝑑𝑦 = 3𝑡2 𝑑𝑡 y sustituimos en la integral de 
línea para el trabajo. 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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𝑊 = ∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ (𝑥2 − 𝑦2 , 2𝑥𝑦) ⋅ (2𝑡 , 3𝑡2)
𝐶
 𝑑𝑡 = ∫ [ ( (𝑡2)2 − (𝑡3)2 ) 2𝑡 + ( 2(𝑡2)(𝑡3) 3𝑡2 ) ]
3
2⁄
0
 𝑑𝑡 
 
 
𝑊 = ∫ (2𝑡5 − 2𝑡7 + 6𝑡7)
3
2⁄
0
 𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡5 + 4𝑡7)
3
2⁄
0
 𝑑𝑡 = ( 
1
3
𝑡6 +
1
2
𝑡8 )|
0
3
2⁄
=
8505
512
= 16.61 
 
 
Las unidades deben corresponder con el sistema de unidades elegido. 
 
 
Ejemplo. Evalúa la integral de línea desde 𝐴(0 , 2) hasta 𝐵(3 , 5) empleando: 
 
 
a) Las trayectorias por partes 𝐶1 𝑦 𝐶2 
 
 
b) La trayectoria 𝐶3 
 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
 
 
 
 
Para la trayectoria 𝐶1 reconocemos la curva 𝐶1 ∶ 𝑦 = 2 de la cual 𝑑𝑦 = 0 por lo tanto 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
= ∫ 4𝑥
3
0
𝑑𝑥 = 2𝑥2 | 0
3 = 18 
 
 
Para la trayectoria 𝐶2 reconocemos la curva 𝐶2 ∶ 𝑥 = 3 de la cual 𝑑𝑥 = 0 por lo tanto 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
= ∫ 3𝑦2
5
2
𝑑𝑦 = 𝑦3 | 2
5 = 125 − 8 = 117 
 
 
Entonces, para las trayectorias conjuntas 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
= 18 + 117 = 135 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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Para la trayectoria 𝐶3 reconocemos la curva 𝐶3 ∶ 𝑦 = 𝑥 + 2 de la cual 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 por lo tanto 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
= ∫ 2𝑥𝑦2
3
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 (𝑥 + 2)2
3
0
 𝑑𝑥 = 2 ∫ (𝑥3 + 4𝑥2 + 4𝑥)
3
0
 𝑑𝑥 
 
 
∫ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦
𝐶
= 2 [ 
1
4
𝑥4 +
4
3
𝑥3 + 2𝑥2 ]
0
3
= 2 [ 
81
4
+ 36 + 18 ] =
297
2
= 148.5 
 
 
 
Podemos observar que aunque vamos del mismo punto A hasta el mismo punto B, las trayectorias diferentes, dan 
distintos valores de la integral de línea. 
 
 
En cálculo básico, para evaluar integrales definidas nos apoyamos en el teorema fundamental del cálculo 
 
 
∫ 𝑓 ′(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 
 
 
Ahora vamos a extender ese concepto para las integrales de línea. 
 
 
Siendo C una curva suave por partes �̅� = �̅�(𝑡) 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 que comienza en �̅� = �̅�(𝑎) y termina en 
 �̅� = �̅�(𝑏) 
 
 
Si la función f es continuamente diferenciable en un conjunto abierto de C, entonces se cumple 
 
 
∫ ∇𝑓(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= 𝑓(�̅�) − 𝑓(�̅�) 
 
Teorema Fundamental para integrales de línea 
 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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CAMPO CONSERVATIVO Y FUNCIÓN POTENCIAL 
 
 
Si tenemos a una función 𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧), sabemos que se trata de un campo escalar (muchas variables determinan a 
una sola variable). Si además 𝑓 es diferenciable, entonces su gradiente será un campo vectorial (un vector genera 
a otro vector), definido por 
 
�̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = ∇𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
 𝑘 
 
 
Cada uno de los vectores gradiente para un punto en particular apunta en la dirección del máximo incremento de 
𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧). 
 
 
Decimos entonces que un campo vectorial conservativo �̅� es el gradiente de un campo escalar 𝑓. 
 
 
La función 𝑓 se conoce como función potencial de �̅�. 
 
 
Podríamos decir que al derivar a la función 𝑓 se obtiene la función �̅�. 
 
 
Llevemos esta idea al Teorema Fundamental. Dado que �̅�(�̅�) = ∇𝑓(�̅�) entonces 
 
 
∫ �̅�(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ ∇𝑓(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= 𝑓(�̅�) − 𝑓(�̅�) 
 
 
Esto significa que si conocemos la función potencial 𝑓 que dio origen a un campo vectorial �̅�, entonces sólo 
debemos evaluar esta función potencial en el extremo superior y en el extremo inferior, y hacer la resta de dichos 
valores, para obtener la integral de línea de �̅�(�̅�) en la trayectoria de la curva C. 
 
 
Aquí, como en cálculo básico, derivar es mucho más fácil que el camino inverso (integrar). Cuando integrábamos 
a F, obteníamos la función f que le dio origen. 
 
 
En nuestro curso, debemos averiguar primero si un campo vectorial �̅� es conservativo, y después buscar su 
función potencial 𝑓, la cual le dio origen. 
INTEGRALES DE LÍNEA 
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INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA 
 
 
Cuando en una integral de línea nos movemos del punto A al punto B siguiendo a una curva suave C, y obtenemos 
siempre la misma respuesta sin importar la curva que tomemos, decimos que la integral de línea es independiente 
de la trayectoria. 
 
 
Como consecuencia del Teorema Fundamental para integrales de línea, si �̅� es el gradiente de otra función 𝑓, 
entonces 
∫ �̅�(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 
 
 
Esta idea se cumple tanto de ida como de vuelta, y se expresa de la siguiente forma. 
 
 
Si �̅�(�̅�) es continua en un conjunto abierto y conexo D, entonces la integral de línea 
 
∫ �̅�(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
 
 
Es independiente de la trayectoria si y sólo si, �̅�(�̅�) = ∇𝑓(�̅�) para alguna función escalar 𝑓. 
 
 
Otra forma de enunciarlo es así 
 
 
∫ �̅�(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 ⟺ �̅� 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝐷 
 
 
Este último resultado también es equivalente con 
 
 
∫ �̅�(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐷 
 
 
 
 
 
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13 
 
 
En física esto nos indica que el trabajo realizado por un campo de fuerzas conservativo al mover una partícula en 
torno de una trayectoria cerrada es cero. 
 
 
Los campos gravitacionales y los campos eléctricos son situaciones que cumplen con ser campos conservativos, 
lo cual será muy útil en estudio de dichos campos. 
 
 
Una manera más amigable para saber si �̅� es un campo conservativo la tenemos en el siguiente teorema: 
 
 
Sea �̅� = 𝑀 𝑖 + 𝑁 𝑗 + 𝑃 𝑘 donde 𝑀 , 𝑁 , 𝑃 , son continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden en un 
conjunto abierto y conexo D, que además es simplemente conexo. 
 
 
Entonces 
�̅� es un campo conservativo si y sólo si 𝑟𝑜𝑡 �̅� = 0̅ 
 
 
 
Vale la pena recordar con el rotacional de �̅� se puede obtener del producto vectorial 
 
 
𝑟𝑜𝑡 �̅� = ∇ × �̅� = | 
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
 | = 0̅ 
 
 
Lo anterior implica que 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 ; 
𝜕𝑀
𝜕𝑧
=
𝜕𝑃
𝜕𝑥
 ; 
𝜕𝑁
𝜕𝑧
=
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 
 
 
En el caso particular de dos variables �̅� = 𝑀 𝑖 + 𝑁 𝑗, será un campo conservativo cuando 
 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
 
 
 
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14 
 
 
Ejemplo. Determinar si �̅� es un campo conservativo. 
 
�̅�(𝑥 , 𝑦) = (4𝑥3 + 9𝑥2𝑦2) 𝑖 + (6𝑥3𝑦 + 6𝑦5) 𝑗 
 
 
Por estar en dos dimensiones 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
 
 
Calculamos estas dos derivadas parciales por separado y las comparamos 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 18𝑥2𝑦 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 18𝑥2𝑦 
 
 
Como son iguales, concluimos que �̅� es un campo conservativo, y por lo tanto existe su función potencial 𝑓. 
 
 
¿Cómo encontrar a la función potencial 𝑓 partiendo del campo conservativo �̅�? No olvidemosque 
 
 
�̅� = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑗 = 𝑀 𝑖 + 𝑁 𝑗 
 
 
Al comparar esta definición con el campo vectorial �̅� de nuestro ejemplo, tenemos que 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥3 + 9𝑥2𝑦2 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 6𝑥3𝑦 + 6𝑦5 
 
 
Si integramos la primera parcial con respecto de 𝑥, es decir, consideramos a 𝑦 constante 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦) = 𝑥4 + 3𝑥3𝑦2 + 𝐶1(𝑦) 
 
 
Observemos que la constante 𝐶1 puede depender de la variable 𝑦 (lo cual todavía no sabemos). 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
15 
 
 
Si derivamos esta última expresión (la posible función potencial) pero con respecto de 𝑦 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 6𝑥3𝑦 + 𝐶1′(𝑦) 
 
 
Y ahora comparamos con la derivada parcial que es parte de nuestro campo conservativo 
 
 
6𝑥3𝑦 + 6𝑦5 = 6𝑥3𝑦 + 𝐶1′(𝑦) 
 
 
Por lo tanto 𝐶1′(𝑦) = 6𝑦
5 que al integrarla con respecto de 𝑦 
 
 
𝐶1(𝑦) = 𝑦
6 + 𝐶 
 
 
Finalmente tendremos que la función potencial queda 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦) = 𝑥4 + 3𝑥3𝑦2 + 𝑦6 + 𝐶 
 
 
Cuando una integral de línea es independiente de la trayectoria, se puede escribir indicando el punto inicial (𝑎 , 𝑏) 
y el punto final (𝑐 , 𝑑) para la trayectoria C 
 
 
∫ 𝑃(𝑥 , 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 , 𝑦) 𝑑𝑦
𝐶
= ∫ 𝑃(𝑥 , 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 , 𝑦) 𝑑𝑦
(𝑐 ,𝑑)
(𝑎 ,𝑏)
 
 
 
Hacemos lo mismo al evaluar en su función potencial 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦) |(𝑎 ,𝑏)
(𝑐 ,𝑑) = 𝑓(𝑐 , 𝑑) − 𝑓(𝑎 , 𝑏) 
 
 
Si retomamos nuestro ejemplo, supongamos que se requiere evaluar la integral en cualquier trayectoria desde 
(0 , 0) hasta (1 , 2) 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
16 
 
 
∫ �̅�(�̅�) ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ (4𝑥3 + 9𝑥2𝑦2) 𝑑𝑥 + (6𝑥3𝑦 + 6𝑦5) 𝑑𝑦
(1 ,2)
(0 ,0)
 
 
 
 
= (𝑥4 + 3𝑥3𝑦2 + 𝑦6) |(0 ,0)
(1 ,2) = (1 + 12 + 64) − (0) = 77 
 
 
Cuando nuestro campo �̅� tiene tres variables, debemos hacer varias equivalencias para encontrar su función 
potencial 𝑓. 
 
 
Ejemplo. Determinar si �̅� es un campo conservativo. En caso afirmativo, determinar su función potencial. 
 
 
�̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑧) 𝑖 + (𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) 𝑗 + 𝑥𝑦 𝑘 
 
 
Comenzamos observando 
 
𝑀(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑁(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑥𝑦 
 
 
Analizamos si el rotacional es cero 
 
𝑟𝑜𝑡 �̅� = ∇ × �̅� = | 
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
 | = || 
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑧 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦
 || 
 
 
Para la componente 𝑖 
 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑦) =
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) → 𝑥 = 𝑥 
 
 
Para la componente 𝑗 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑦) =
𝜕
𝜕𝑧
(𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑧) → 𝑦 = 𝑦 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
17 
 
 
Para la componente 𝑘 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑦
(𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑧) → 𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = −𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑧 
 
 
Por lo tanto concluimos que sí es conservativo. 
 
 
Para encontrar su función potencial 𝑓, escribimos 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑧 (1) 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 (2) 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝑥𝑦 (3) 
 
 
Si de (1) obtenemos su antiderivada con respecto de 𝑥 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝐶1(𝑦 , 𝑧) (4) 
 
 
Al derivar (4) con respecto de 𝑦 para compararla con (2) 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝐶1′(𝑦 , 𝑧) = 𝑥𝑧 − 𝑒
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 (5) 
 
 
Por lo cual sabemos que 
𝐶1′(𝑦 , 𝑧) = 0 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
18 
 
 
Si de (5) obtenemos su antiderivada con respecto de 𝑦 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝐶2(𝑧) (6) 
 
 
Que al compararla con (4) nos asegura 
 
𝐶1′(𝑦 , 𝑧) = 𝐶2(𝑧) 
 
 
 
Ahora derivamos (6) con respecto de 𝑧 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝑥𝑦 + 𝐶2′(𝑧) = 𝑥𝑦 
 
 
Como 𝐶2′(𝑧) = 0 implica que 𝐶2(𝑧) = 𝐶, por lo que finalmente escribimos 
 
 
𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝐶 
 
 
El orden elegido para ir resolviendo las antiderivadas y las constantes de integración es indistinto, pues al final 
deberemos revisar todas las derivadas parciales y todas las variables involucradas. 
 
 
Ejercicio. Determina si la función �̅� es un campo vectorial. En caso contrario indica porque no lo es. 
 
 
a) �̅�(𝑥 , 𝑦) = (10𝑥 − 7𝑦) 𝑖 − (7𝑥 − 2𝑦) 𝑗 
 
 
b) �̅�(𝑥 , 𝑦) = (45𝑥4𝑦2 − 6𝑦6 + 3) 𝑖 + (18𝑥5𝑦 − 12𝑥𝑦5 + 7) 𝑗 
 
 
c) �̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = (2𝑥𝑦 + 𝑧2) 𝑖 + (𝑥2) 𝑗 + (2𝑥𝑧 + 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑧) 𝑘 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
19 
 
 
CAMBIO DE COORDENADAS ORTOGONALES EN INTEGRALES DE LÍNEA 
 
 
En algunas ocasiones, se vuelve necesario cambiar el sistema de referencia al momento de resolver una integral 
de línea. Esto es relativamente sencillo de un sistema ortogonal a otro sistema ortogonal. 
 
 
Si una función �̅�(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) de un sistema cartesiano cambiará a otro sistema ortogonal en la cual �̅�(𝑢 , 𝑣 , 𝑤) es la 
forma equivalente de la original aplicando las respectivas ecuaciones de transformación entre ellas, entonces la 
diferencial también se verá afectada por el cambio de sistema. 
 
 
La diferencial original cambiará a la nueva diferencial afectada por sus correspondientes números de Lamé. 
 
 
𝑑�̅� = (𝑑𝑥 , 𝑑𝑦 , 𝑑𝑧) = (ℎ𝑢 𝑑𝑢 , ℎ𝑣 𝑑𝑣 , ℎ𝑤 𝑑𝑤) 
 
 
Aplicando esta idea resulta que de forma general, al cambiar una integral de línea en un sistema cartesiano 
 
 
∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧)
𝐶
 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 𝑑𝑧 
 
 
En el nuevo sistema ortogonal lucirá así 
 
 
∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ ℎ𝑢 𝑃(𝑢 , 𝑣 , 𝑤)
𝐶
 𝑑𝑢 + ℎ𝑣 𝑄(𝑢 , 𝑣 , 𝑤) 𝑑𝑣 + ℎ𝑤 𝑅(𝑢 , 𝑣 , 𝑤) 𝑑𝑤 
 
 
En donde ℎ𝑢 , ℎ𝑣 , ℎ𝑤 son los correspondientes números de Lamé del cambio del sistema original al segundo 
sistema ortogonal. 
 
 
En el tema anterior se dedujeron las diferentes ecuaciones de transformación, los números de Lamé y el Jacobiano 
para los sistemas ortogonales polar, cilíndrico circular y esférico. 
 
 
 
 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
20 
 
 
INTEGRAL DE LÍNEA CAMBIANDO AL SISTEMA POLAR 
 
 
Las ecuaciones de transformación del sistema cartesiano en dos dimensiones al sistema polar son 
 
 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
El Jacobiano y los números de Lamé son 
 
 
𝐽 = 𝑟 ℎ𝑟 = 1 ℎ𝜃 = 𝑟 
 
 
Por lo tanto, la transformación de la integral de línea de un sistema cartesiano a uno polar es 
 
 
∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ 1 𝑃(𝑟 , 𝜃)
𝐶
 𝑑𝑟 + 𝑟 𝑄(𝑟 , 𝜃) 𝑑𝜃 
 
 
En esta expresión, 𝑃(𝑟 , 𝜃) 𝑦 𝑄(𝑟 , 𝜃) resultan del cambio de las variables 𝑥 , 𝑦 aplicando las ecuaciones de 
transformación en las variables originales de la función. 
 
 
 
Es muy importante enfatizar que el valor de la integral de curva no cambia, puesto que la curva es la misma pero 
expresada en otro sistema de referencia equivalente, más conveniente al momento de resolver la integral, y 
evaluarla en los extremos correspondientes del sistema utilizado. 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
21 
 
 
INTEGRAL DE LÍNEA CAMBIANDO AL SISTEMA CILÍNDRICO CIRCULAR 
 
 
Las ecuaciones de transformación del sistema cartesiano en tres dimensiones al sistema cilíndrico circular son 
 
 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 = 𝑧 
 
 
El Jacobiano y los números de Lamé son 
 
 
𝐽 = 𝑟 ℎ𝑟 = 1 ℎ𝜃 = 𝑟 ℎ𝑧 = 1 
 
 
Por lo tanto, la transformación de la integral de línea de un sistema cartesiano a uno polar es 
 
 
∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ 1 𝑃(𝑟 , 𝜃 , 𝑧)
𝐶
 𝑑𝑟 + 𝑟 𝑄(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) 𝑑𝜃 + 1 𝑅(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) 𝑑𝑧 
 
 
En esta expresión, 𝑃(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) , 𝑄(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) 𝑦 𝑅(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) resultan del cambio de las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 aplicando las 
ecuaciones de transformación en las variables originales de la función. 
 
 
 
Es muy importante enfatizar que el valor de la integral de curva no cambia, puesto que la curva es la misma pero 
expresada en otro sistemade referencia equivalente, más conveniente al momento de resolver la integral, y 
evaluarla en los extremos correspondientes del sistema utilizado. 
 
INTEGRALES DE LÍNEA 
22 
 
 
INTEGRAL DE LÍNEA CAMBIANDO AL SISTEMA ESFÉRICO 
 
 
Las ecuaciones de transformación del sistema cartesiano en tres dimensiones al sistema cilíndrico circular son 
 
 
𝑥 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜙 
 
 
El Jacobiano y los números de Lamé son 
 
 
𝐽 = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 ℎ𝜌 = 1 ℎ𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 ℎ𝜙 = 𝜌 
 
 
Por lo tanto, la transformación de la integral de línea de un sistema cartesiano a uno polar es 
 
 
∫ �̅� ⋅ 𝑑�̅�
𝐶
= ∫ 1 𝑃(𝜌 , 𝜃 , 𝜙)
𝐶
 𝑑𝜌 + 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑄(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) 𝑑𝜃 + 𝜌 𝑅(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) 𝑑𝜙 
 
 
En esta expresión, 𝑃(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) , 𝑄(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) 𝑦 𝑅(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) resultan del cambio de las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 aplicando 
las ecuaciones de transformación en las variables originales de la función. 
 
 
 
Es muy importante enfatizar que el valor de la integral de curva no cambia, puesto que la curva es la misma pero 
expresada en otro sistema de referencia equivalente, más conveniente al momento de resolver la integral, y 
evaluarla en los extremos correspondientes del sistema utilizado.