Clase N 21 Integrales de superficie

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Clase Nº 21: Integrales de Superficie Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 21: INTEGRALES DE SUPERFICIE 
 
 
1. DEFINICIÓN. 
Para definir la Integral de Superficie se seguirá el mismo proceso de cuatro pasos usados en 
las definiciones de las integrales estudiadas en las unidades anteriores. 
Sea S una superficie en R3 cuya proyección sobre el plano x,y es una región R cerrada y 
acotada. 
Sea f : u = f(x,y,z) una función continua en S. 
Se divide o particiona a la superficie S en n partes s1,s2,…,sn, cuyas áreas son Δs1, Δs2, …, Δsn 
respectivamente. Ver figura 1. (Paso 1 del proceso). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En cada una de las n partes se escoge un punto arbitrario Pi(ξi, ɳi, θi) como se ilustra en la 
figura 1. (Paso 2 del proceso). 
A continuación se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de los productos 
(Paso 
 
(Paso 4) Finalmente se considera el límite de esta suma cuando y el mayor de los s!	 → 0. 
El valor del límite es por definición la integral de superficie de la función f(x,y,z) sobre la superficie 
S. En símbolos: 
 
(1) 
 
 
å
=
Dqhx=Dqhx++Dqhx+Dqhx
n
1i
iiiinnnn22221111 s.),,(fs.),,(f...s.),,(f.s.),,(f
¥®n
 si Δsi 
 
Pi(ξi, ɳi, θi) 
ξi 
z 
y 
x 
θi 
ɳi 
Figura 1 
R 
 åòò
=
¥®
Dqhx=
n
1i
iiii
n
S
s),,(flímsd)z,y,x(f
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 2 
2. TEOREMAS DE EVALUACIÓN. 
Con la definición no es suficiente; necesitamos una manera práctica de evaluar una integral de 
superficie. Como se verá a continuación, estas integrales pueden calcularse mediante integrales 
dobles, según que la porción de superficie se proyecte sobre el plano x,y, ó el plano yz ó el plano xz. 
Lo anterior nos conduce a tres teoremas de evaluación. 
a) Proyección de la superficie S sobre el plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
S superficie de ecuación z = g(x,y). 
g, gx, gy continuas en R, 
f continua en S. 
Tesis. 
 
Demostración. 
Tomando cada porción si y proyectándola en el plano xy se obtiene una región R en el 
mencionado plano, donde R es cerrada y acotada. La superficie S es de ecuación z = g(x, y). 
En la figura 2 se representan: 
La porción de superficie si cuya área es Δsi . 
El vector ds que es perpendicular a si en el punto Pi. 
El vector dA que es perpendicular a Ri . 
El ángulo “γ” es el formado entre el vector ds y la dirección positiva del eje z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )( ) dA
y
g
x
g1y,xg,y,xfsdz,y,xf
22
RS
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+úû
ù
êë
é
¶
¶
+=òòòò
Teorema 1. 
Si S es una superficie de ecuación z = g(x, y) y R es su proyección en el plano xy. Si g, gx, gy son 
continuas en R y f es continua en S, entonces la integral de superficie de f sobre S es: 
 ( ) ( )( ) dA
y
g
x
g1y,xg,y,xfsdz,y,xf
22
RS
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+úû
ù
êë
é
¶
¶
+=òòòò
si 
Δsi 
Ri 
ds 
dA 
dA 
Pi 
γ 
z 
x 
y 
 
dA 
ds 
γ 
Pi 
Figura 2 
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 3 
En la misma figura 2 se observa que: 
dA = ds cos γ, por lo tanto (2) ds = sec γ dA . 
Como la superficie S es de ecuación z = g(x,y) y el punto Pi(ξi, ɳi, θi) pertenece a S, será θi = 
g(ξi, ɳi). Además el área Δsi de cada una de las porciones Si, por (2) será Δsi = sec γi ΔAi. 
Reemplazando θi = g(ξi, ɳi) y Δsi = sec γi ΔAi en el límite (1), es decir en la definición de integral de 
superficie, se tiene lo siguiente: 
 
 Por lo tanto: 
 (3) 
 Expresando en forma implícita la ecuación de la superficie z=g(x,y) se tiene lo siguiente: z – 
g(x,y) = 0 o sea responde a la forma F(x,y,z) = 0. 
Sabemos que el vector F = Fx i +Fy j +Fz k es perpendicular a la superficie en el punto Pi donde: 
 
y su módulo es 
 A esta última expresión la denotamos con la letra “a”, es decir: 
 
 Considerando el vector unitario normal n en la dirección del vector F se tiene: 
(4) k 
 Como n es un vector unitario normal y según el álgebra lineal, sus componentes son los 
cosenos directores de dicho vector, es decir: 
(5) 
Comparando (4) y (5) se tiene que: 
 o sea sec γ = a, 
Observe que los vectores n, F y ds son colineales. 
Reemplazando ( 6) en (3) resulta lo siguiente: 
 
 
( )
( )( ) dAyxgyxf
esmiembrosegundodellímiteeldobleegraldedefiniciónpor
Agflím
sflímsdzyxf
R
n
i
iiiiiin
n
i
iiiin
S
g
ghxhx
qhx
sec,,,
:,int
.sec),,,(
),,(),,(
1
1
òò
å
åòò
=
D=
D=
=¥®
=¥®
( ) ( )( ) dAsecy,xg,y,xfsdz,y,xf
RS
g= òòòò
Ñ
k1j
y
gi
x
gF +
¶
¶
-
¶
¶
-=Ñ
1
y
g
x
gF
22
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=Ñ
a1
y
g
x
gF
22
=+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=Ñ
Ñ
a
1j
y
g
a
1i
x
g
a
1
F
Fn +
¶
¶
-
¶
¶
-=
Ñ
Ñ
=
kcosjcosicos
F
Fn g+b+a=
Ñ
Ñ
=
a
1cos =g 1
y
g
x
gsec)6(
22
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=g\
Ñ
( ) ( )( ) dA1
y
g
x
gy,xg,y,xfsdz,y,xf
22
RS
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
= òòòò
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 4 
b) Proyección de la superficie S sobre el plano xz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Proyección de la superficie S sobre el plano yz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los teoremas 2 y 3 se demuestran siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el 
teorema 1. Dejamos para el lector las demostraciones correspondientes. 
 
EJEMPLOS 
 
a) Evalúe la integral de superficie donde S es la parte del plano 
2x – y + z = 3, por arriba del triángulo R de la figura 3. 
 
Solución. 
La superficie S es de ecuación z = - 2x + y + 3; o sea z = g(x,y) =-2x+ y+3 
donde zx = -2 y zy = 1 y la función f(x,y,z) = xy +z. Ver la figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando en la fórmula del teorema 1, se tiene 
( )dszyx
S
òò +
Teorema 2. 
Si S es una superficie de ecuación y = g(x, z) y R es su proyección en el plano xz. Si g, gx, gz son 
continuas en R y f es continua en S, entonces la integral de superficie de f sobre S es: 
 ( ) ( )( ) dA
z
g
x
g1z,z,xg,xfsdz,y,xf
22
RS
úû
ù
êë
é
¶
¶
+úû
ù
êë
é
¶
¶
+=òòòò
Teorema 3. 
Si S es una superficie de ecuación x = g(y, z) y R es su proyección en el plano yz. Si g, gy, gz son 
continuas en R y f es continua en S, entonces la integral de superficie de f sobre S es: 
 ( ) ( )( ) dA
z
g
y
g1z,y,z,ygfsdz,y,xf
22
RS
úû
ù
êë
é
¶
¶
+ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+=òòòò
(1,0) 
(1,1) 
 x 
 y 
 R 
 Figura 3 
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 5 
 
 
b) Evalúe la integral de superficie donde S es la parte de la superficie z2 = x2 +y2 
entre los planos z = 1 y z = 4. 
 
Solución. 
S: donde zx = zy = f(x,y,z) = x y z. 
La proyección de la porción de superficie sobre el plano xy se representa en la figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así, 
 
Realizando el cambio de variables, pasando a coordenadas polares, esta integral se convierte 
en 
 
( ) ( )
( )
( )
8
69dx
2
x3x3
2
x6
dx
0
x
yx2
2
yy3
2
yx6
dxdyx2y3xy6
dAx2y3xy6
dA141x2y3xydszyx
1
0
23
1
0
22
1
0
x
0
R
RS
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-+=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-++=
-++=
-++=
++-++=+
ò
ò
òò
òò
òòòò
dszyx
S
òò
22 yxz += x / x2 + y2 y / x2 + y2
dxdy2yxyxdszyx
R
22
S
òòòò +=
1 2 x 
y 
 
Figura 4 
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 6 
 
c) Calcule donde S es la partede la superficie y = 1 – x2 –z2 que se proyecta 
sobre el círculo de ecuación x2 + z2 ≤ 1 en el plano xz. 
Solución. 
Reemplazando en la fórmula dada por el teorema 2, se tiene: 
 
 
Resolviendo esta integral, utilizando un cambio de variables, su resultado es: 
 
 
 
3. APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DE SUPERFICIE. 
3.1. Área de superficie 
Si en la definición de la integral de superficie se considera el caso particular en el que la función 
f(x, y, z) = 1, entonces la integral de superficie proporciona el área de la superficie S. 
Para definir el área de la superficie S se sigue el mismo proceso empleado en la definición de 
integral de superficie. 
Se divide o particiona a la superficie S en n partes s1,s2,…,sn, cuyas áreas son Δs1, Δs2, …, Δsn 
respectivamente. Considerando el caso particular en el que f(x,y,z) = 1 y formando la suma de 
Riemann se tiene: 
 
Esta suma es una aproximación del área de la porción de superficie S, es decir: 
 
 
Se define el área de la porción de superficie S como: 
(7) 
Por definición de integral de superficie este límite es igual a: 
 
x y z
S
∫∫ ds= x y x2 + y2
R
∫∫ 2 dydx
= 2 rcosθ( )
1
4
∫
0
2π
∫ r senθ( )r2 dr dθ
= 2 senθ cosθ r5 / 5"# $%
0
2π
∫ 41 dθ =
=
1023 2
5
sen2θ / 2( ) 2π0 =0
( )dszx
S
22òò +
( ) ( ) dzdx1z4x4zxdszx
R
2222
S
22 òòòò +++=+
( ) ( )
60
1525dszx
S
22 p+=+òò
å
=
D=D++D+D
n
1i
in11 s.1S.1...S.1S.1
å
=
D»
n
1i
is s.1A
å
=
¥®
D=
n
1i
i
n
s s.1limA
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 7 
 
Teoremas de Evaluación. 
Al igual que para las integrales de superficie, contamos con tres teoremas de evaluaciones para 
calcular el área de la porción de superficie, según sea la proyección de la misma sobre los planos 
coordenados. 
Teorema 4. 
Si S es una superficie de ecuación z = g(x,y) y R es su proyección en el plano xy. Si g, gx, gy son 
continuas en R, entonces el área de la porción de superficie S es: 
 
Hipótesis. 
S superficie de ecuación z = g(x, y). 
g, gx, gy continuas en R, 
f(x, y, z) =1 y obviamente continua en S. 
Tesis: 
Demostración. 
Tomando cada porción si y proyectándola en el plano xy se obtiene una región R en el 
mencionado plano, donde R es cerrada y acotada. 
La superficie S es de ecuación z = g(x, y). 
En la figura 3 se representan: 
La porción de superficie si cuya área es Δsi . 
El vector ds que es perpendicular a si en el punto Pi. 
El vector dA que es perpendicular a Ri . 
El ángulo “γ” es el formado entre el vector ds y la dirección positiva del eje z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
òòòò =\=
S
s
S
s dsAds.1A
òò ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+úû
ù
êë
é
¶
¶
+=
R
s dAy
g
x
gA
22
1
òò ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+úû
ù
êë
é
¶
¶
+=
R
s dAy
g
x
gA
22
1
si 
Δsi 
Ri 
ds 
dA 
dA 
Pi 
γ 
z 
x 
y 
 
dA 
ds 
γ 
Pi 
Figura 3 
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 8 
En la misma figura 3 se observa que: 
dA = ds cos γ por lo tanto ds = sec γ dA (8). 
El área Δsi de cada una de las porciones Si, por la igualdad (8) será 
Δsi = sec γi ΔAi. Reemplazando Δsi = sec γi ΔAi en el límite (7), es decir en la definición de área de 
superficie, se tiene lo siguiente: 
 
 Por lo tanto: 
 (9) 
 Expresando en forma implícita la ecuación de la superficie z=g(x,y) se tiene lo siguiente: z – 
g(x,y) = 0 o sea responde a la forma F(x,y,z) = 0. 
 Sabemos que el vector F = Fx i +Fy j +Fz k es perpendicular a la superficie en el punto Pi 
donde: 
 
y su módulo es 
 A esta última expresión la denotamos con la letra “a”, es decir: 
 
Considerando el vector unitario normal n en la dirección del vector F se 
tiene: 
(10) k 
 Como n es un vector unitario normal y según el álgebra lineal, sus componentes son los 
cosenos directores de dicho vector, es decir: 
(11) 
Comparando (10) y (11) se tiene que: 
 cos γ = 1/a, o sea sec γ = a , 
Observe que los vectores n, F y ds son colineales. 
Reemplazando (12) en (9) resulta lo siguiente: 
dAAs
esmiembrosegundodellímiteeldobleegraldedefiniciónpor
AlímAs
slímsdAs
R
n
i
iin
n
i
in
S
g
g
sec
:,int
.sec
1
1
òò
å
åòò
=
D=
D==
=¥®
=¥®
dAsdAs
RS
gsecòòòò ==
Ñ
k1j
y
gi
x
gF +
¶
¶
-
¶
¶
-=Ñ
1
y
g
x
gF
22
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=Ñ
a1
y
g
x
gF
22
=+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=Ñ
Ñ
a
1j
y
g
a
1i
x
g
a
1
F
Fn +
¶
¶
-
¶
¶
-=
Ñ
Ñ
=
kcosjcosicos
F
Fn g+b+a=
Ñ
Ñ
=
1sec)12(
22
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=\
y
g
x
gg
Ñ
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 9 
 
Teorema 5. 
Si S es una superficie de ecuación y = g(x,z) y R es su proyección en el plano xz. Si g, gx, gz 
son continuas en R entonces el área de la porción de superficie S es: 
 
 
Teorema 6. 
Si S es una superficie de ecuación x = g(y,z) y R es su proyección en el plano yz. Si g, gy, gz 
son continuas en R entonces el área de la porción de superficie S es: 
 
Se deja para los estudiantes, las demostraciones de estos dos últimos teoremas. Estas se 
realizan de la misma manera que lo mostrado en el teorema 4. 
 
Ejemplo d). 
Encuentre el área de la parte de la superficie z = x2 + 2y, cuya proyección sobre el plano xy es la región 
. 
 
Solución 
La región R se muestra en la figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando en la fórmula dada por el teorema 4, se tiene: 
 
 
 
Ejemplo e). 
Calcule el área de la parte de la superficie x = y2 +z2, que está detrás del plano x=9. 
 
dA
y
g
x
gsdAs
RS
1
22
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
== òòòò
òò úû
ù
êë
é
¶
¶
+úû
ù
êë
é
¶
¶
+=
R
22
s dAz
g
x
g1A
òò úû
ù
êë
é
¶
¶
+ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+=
R
22
s dAz
g
y
g1A
( ){ }xy0,1x0/y,xR ££££=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )5527
12
1dA2x21A
0
1
5x4
12
1dx5x4x
dxdy5x4dA2x21A
R
22
s
2
3
2
1
0
2
1
0
x
0
2
R
22
s
-=++=
+=+=
+=++=
òò
ò
òòòò
 y 
Figura 4 
(1,0) 
(1,1) 
 x 
 R 
 y =x 
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 10 
Solución. 
La proyección de la porción de superficie sobre el plano yz da el círculo de ecuación: 
 
Empleando la fórmula dada por el teorema 6, se tiene: 
 
 
 
Pasando a coordenadas polares, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
( ){ }9zy0/z,yR 22 £+£=
( ) ( ) òòòò ++=++=
R
22
R
22
s dzydz4y41dAz2y21A
( ) ( )
( )13737
6
14
213737
12
1
0
3
14
3
2.
8
114
2
0
3
0
2
2
0
2
32
2
0
3
0
2
-=+=
-=ú
û
ù
ê
ë
é
+=+=
ò ò
òò ò
pq
pqq
p
qp
ddrrrA
drddrrrA
s
s
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 11 
Consignas para la revisión de la teoría 
 
 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
 
1, Suma de Riemann en integrales de superficies. 
2. Teorema de evaluación de las Integrales de superficies cuando S se proyecta sobre el plano xy. 
1. Teorema de evaluación de las Integrales de superficies cuando S se proyecta sobre el plano xz. 
2. Teorema de evaluación de las Integrales de superficies cuando S se proyecta sobre el plano yz. 
3. Áreas de superficies en el espacio tridimensional. 
4. Teoremas de evaluación de areas de superficies para los tres casos posibles de proyección de 
la superficie S. 
 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
 
 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
 
a) Integrales de superficies. 
1. Evalúe la integral de superficie donde Ses el hemisferio 
 . Rta: 16π 
 
 
2. Cálcule donde S es . Rta: πa3 
 
 
3. Evalúe la integral de superficie donde S es la parte del paraboloide x = 
4 –y2-z2 que está enfrente del plano x = 0. Rta: 
 
 
 
b) Áreas de superficies. 
 
4. Calcule el área de la parte del paraboloide y = x2 +z2 detrás del plano y = 
 Rta: . 
5. Calcule el área de la parte de la esfera que está encima del plano x = 1 
Rta: 4π. 
( )dszyzx
S
22òò +
0z,4zyx 222 ³=++
dsz
S
òò 0z,azyx 2222 ³=++
( )( )dszy41
S
22òò ++
( )
p
- .
10
117 2
5
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
p 117
6
23
4zyx 222 =++
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 12 
 
6. Calcule el área de la parte del paraboloide z = x2 +y2 que está bajo el plano 
z = 9. Rta: . 
7. Calcule el área de la porción de plano x = 2 - y-z que está dentro del cilindro y2 +z2 = 1 en el primer 
octante. Rta: . 
8. Calcule el área de la porción de plano y = 2 - x-z que está dentro del cilindro x2 +z2 = 1 en el primer 
octante. Rta: . 
9. Calcule el área de la porción de que está dentro de 
 Rta: 10 π. 
10. Calcule el área de la porción de plano z = 2 - x- y que está encima del círculo de x2 +y2 = 1 en el 
primer octante. Rta: . 
11. Calcule el área de la porción de superficie que está dentro del cilindro x2 
+z2 = 9. Rta: 10 π. 
 
 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
p 1)37(
6
2
3
p.
4
3
p.
4
3
25zyx 222 =++ 9yx 22 =+
p.
4
3
25zyx 222 =++