Clase N 22 Ecuaciones dif ordinarias de primer orden

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Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 22: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 
 
 
1. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 
1.1. Descripción Matemática de Fenómenos Dinámicos 
 Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra 
es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los 
fenómenos naturales más interesantes involucran cambios y se describen mejor por 
medio de ecuaciones que relacionan cantidades que cambian. 
 La gran utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales se debe al hecho de 
poder formular muchas de las leyes que rigen los fenómenos naturales mediante el 
lenguaje matemático, preciso y sin ambigüedades. Algunas de esas leyes naturales, por 
ejemplo aquellas vinculadas con la rapidez de variación, son expresadas con más 
exactitud por medio de ecuaciones que contienen derivadas o diferenciales. Estas se 
conocen como las ecuaciones diferenciales. 
 Para sintetizar, podemos decir que una gran cantidad de fenómenos naturales 
estáticos, que se describan matemáticamente, se hacen con los elementos del álgebra, 
mientras que los que involucran procesos dinámicos se concretan con los del cálculo. 
Donde un concepto clave es el de derivada, esto es, la razón de cambio instantánea de 
una función respecto de una variable independiente. 
 
1.2. Definición de Ecuación Diferencial 
 
Una ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra al menos una 
derivada de una función desconocida. La expresión puede contener también a la 
función desconocida. 
 
 La ecuación diferencial puede escribirse, a veces por razones de conveniencia 
analítica, en una forma en que aparecen diferenciales en vez de derivadas, pero esa 
ecuación será siempre equivalente a una que contenga derivadas. 
Ejemplos: 
 (1) (2) (3) (𝑥! +	𝑦!)	𝑑𝑥	 − 2	𝑥	𝑦	𝑑𝑦 = 0 
 (4) (5) 
 Cuando una ecuación contiene una o más derivadas con respecto a una variable 
particular, a esa variable se le llama variable independiente. Una variable es llamada 
dependiente si una derivada de esa variable aparece en la ecuación diferencial. En los 
ejemplos mencionados anteriormente, en (1) y (2) la función desconocida es y = y(x) 
donde x es la variable independiente e y variable dependiente; en (3) la función 
desconocida puede ser y =y(x) o bien x = x(y); en (4) la función desconocida es i = i(t) 
donde t variable independiente e i es la variable dependiente, y en (5) la función 
desconocida es v = v(x,y) donde x e y son variables independientes y v la variable 
dependiente. 
xcos
dx
dy
= 0yk
dx
yd 2
2
2
=+
)wtcos(Ewi
e
1
dt
diR
dt
idL 2
2
=++ 0
y
v
x
v
2
2
2
2
=
¶
¶
+
¶
¶
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1.3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 
 Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a las siguientes propiedades: 
i) Según el tipo. 
Una ecuación que contenga derivadas ordinarias se llama ecuación diferencial ordinaria. 
Es decir son ecuaciones donde la función desconocida (variable dependiente) depende 
de una sola variable independiente. 
Una ecuación diferencial que contenga derivadas parciales se llama ecuación diferencial 
parcial. Es decir la función desconocida depende de más de una variable independiente. 
ii) Según el orden. 
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de más alto orden que 
aparece en la ecuación. 
iii) Según el grado. 
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de la derivada de más alto 
orden en la ecuación. 
iv) Según la linealidad o no linealidad. 
Una ecuación diferencial ordinaria se dice que es lineal si cada término de la ecuación 
es de primer grado en la variable dependiente y en todas sus derivadas. 
Ejemplos. 
Ecuación Tipo Orden Grado Linealidad 
y’’’+ 4y = 0 Ordinaria 3 1 lineal 
 Ordinaria 2 1 lineal 
 Ordinaria 1 2 no lineal 
 Parcial 2 1 
 Ordinaria 2 3 No lineal 
 Parcial 2 1 
 Parcial 2 1 
 
1.4. Forma General de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
La forma general de la ecuación diferencial de orden n con la variable 
independiente x y función desconocida o variable dependiente y = y(x), es: 
 
 F(x, y, y’, y’’, … , y(n)) = 0 
 
donde F es una función conocida con valores reales y de n+2 variables. Esta ecuación 
está dada en su forma implícita. En estos casos la derivada de mayor orden aparece 
definida implícitamente por dicha ecuación. 
 Suponiendo que una ecuación diferencial pueda ser resuelta explícitamente para 
la derivada de mayor orden que aparece en ella, esto es que la ecuación pueda escribirse 
en la forma: 
32
dt
sd
2
2
-=
x2 ey3)'y( =-
0
y
u
x
u
2
2
2
2
=
¶
¶
+
¶
¶
0
dx
dyx2
dx
ydy1
3
2
2
=+÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
2
x
uk
t
u
¶
¶
=
¶
¶
kN
r
N
r
1
r
N
t
N
2
2
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
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en la que G es una función de valores reales con n+1 variables. En este caso se dice que 
la ecuación diferencial está dada en su forma explícita o normal. 
En los Ejemplos y’’’+ 4y = 0; , las ecuaciones diferenciales están 
dadas en su forma implícitas. 
 En los ejemplos ; la ecuación está dada en 
su forma explícita. 
 
1.5. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
 
Decimos que una función y = u(x) es una solución de la ecuación diferencial 
F(x, y, y’, y’’, … , y(n)) = 0 (2) en un intervalo I cuando las derivadas u’, u’’, … , 
u(n) existen en I y si F(x, u, u’, u’’, … , u(n)) = 0 para todo x del intervalo I. 
 
 Cuando es necesario abreviar, decimos que y = u(x) satisface la ecuación 
diferencial (2) en I. Este intervalo I puede ser abierto (a,b), cerrado [a,b], infinito (a,∞), 
etc. 
Otra manera de expresar una solución de una ecuación diferencial: 
Cualquier relación libre de derivadas, que contenga una o más de las variables, y que sea 
consistente con la ecuación diferencial, será llamada una solución de la misma. 
Ejemplo 1: 
Comprobar que la función y = e-2x es una solución de la ecuación diferencial 
y’ + 2y = 0. 
Reemplazando la función en dicha ecuación se tiene que: 
-2e-2x+ 2 e2x = 0 
0 = 0 
Ejemplo 2: Verificación de soluciones; 
Averiguar si las funciones que se dan a continuación son solución de la ecuación 
diferencial: y”- y =0 
a) y = sen x b) c) d) 
Soluciones: 
a) Como y = sen x, y’= cos x, e y’’= -sen x, se sigue que, 
 y’’- y = -sen x-sen x = -2 sen x ≠ 0. Por tanto, y=sen x no es solución. 
b) Como , y’= 2 , e y’’= 4 , se sigue que 
 y’’- y = por tanto, no es solución 
c) como , se sigue que y’’- y= por lo 
tanto es solución. 
 
d) como e , se sigue que por lo 
tanto, es solución para todo valor de C. 
 
( ))1n()n( y,...´ ,́y´,y,y,xGy -=
x2 ey3)'y( =-
( )1yx3ý 22 += ( )( )x1x4
dt
dx
--=
xey 2= xey -= 4 xCey =
xey 2= xe 2 xe 2
034 222 ¹=- xxx eee
xey 2=
xxx eyeyey --- =-== 4'',4',4 044 =- -- xx ee
xey -= 4
,', xx CeyCey == xCey ='' 0'' =-=- xx CeCeyy
xCey =
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1.6. Soluciones explícitas e implícitas. 
 Al estudiar Cálculo nos familiarizamos con los términos funciones explícitas o 
implícitas. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en explícitas 
o implícitas. Es así que: 
a) Una solución donde la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la 
variable independiente y constantes se llama solución explícita. Podemos decir que una 
solución explícita es una fórmula y = u(x) que podemos manipular, evaluar y diferenciar. 
b) Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencialordinaria, dada por la ecuación (2) o bien en la forma explícita o diferencial, en un 
intervalo I, siempre y cuando exista al menos una función u que satisfaga la relación, y 
la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a la 
función u. 
 
Ejemplo 1. 
 La relación x2 + y2 – 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial 
 en el intervalo -2 < x < 2. 
Derivando implícitamente y despejando dy/dx obtenemos la ecuación diferencial dada, 
es decir, 
 Por lo tanto la relación dada es una solución de la ecuación diferencial. 
 Es fácil comprobar que las funciones satisfacen la 
relación (en otras palabras ) y son soluciones de la 
ecuación diferencial en -2 < x < 2. 
 
Ejemplo 2. 
 Dada la ecuación diferencial y’x - x2 – y = 0, sus soluciones son de la forma y = x2 + 
Cx, donde C es constante arbitraria. 
En efecto derivando esta función se tiene y’ = 2x + C y sustituyendo y e y’ en la ecuación 
original, se obtiene la identidad (2x + C) x – x2 – x2 – Cx = 0. Esta ecuación diferencial 
tiene una infinidad de soluciones, y las mismas están dadas en su forma explícita. 
 
1.7. Tipos de Soluciones de una Ecuación Diferencial 
a) Solución general. 
Una ecuación diferencial de primer orden puede tener infinitas soluciones 
las que se representan mediante una fórmula que contiene una constante 
arbitraria y se denomina solución general. Una ecuación diferencial de n-
ésimo orden tiene una solución general que contiene n constantes 
arbitrarias. 
 
 
La solución general puede estar dada en su forma explícita o en su forma 
implícita . 
 
 
y
x
dx
dy
-=
y
x
dx
dy0
dx
dyy2x2 -=Þ=+
2
2
2
1 x4yex4y --=-=
04yxy04yx 22
22
1
2 =-+=-+
)C,x(y j=
0)C,y,x( =f
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b) Solución particular: 
 
Una solución particular de la ecuación diferencial es cualquier solución que 
se obtenga dando valores específicos a la constante arbitraria en la solución 
general. 
 
 Las soluciones particulares de una ecuación diferencial se obtienen de las 
condiciones iniciales que dan un valor de la variable dependiente, o de algunas de sus 
derivadas, para un valor particular de la variable independiente, y el problema de 
determinar la solución que cumpla con la condiciones iniciales se llama problema de 
valor inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
El término condiciones iniciales, proviene de que, con frecuencia, en problemas 
donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna 
de sus derivadas en el instante inicial t=0. 
Por ejemplo, dada la ecuación diferencial de segundo orden 
 
donde la solución general es: 
 
y si se tienen las siguientes condiciones iniciales: 
s(0)=80, s’(0)=64 
su solución particular es: 
 
 
c) Soluciones Singulares. 
 
Son soluciones de la ecuación diferencial que no se obtienen para ningún valor 
de la constante arbitraria (no están contenidas en la solución general). 
 
Ejemplo 1. 
Dada la ecuación xy’+ y = 0. 
i) Demostrar que toda función de la forma es solución de la ecuación 
diferencial. 
Solución: 
En efecto derivando y’ = -C/x2, y reemplazando en la ecuación se tiene lo siguiente, 
 x (-C/x2) + C/x = 0 , 0 = 0 
ii) Encontrar una solución particular determinada por la condición inicial y = 1 cuando 
x = 1. 
Solución 
Reemplazando en la solución general, 
32)('' -=ts
21
216)( CtCtts ++-=
80t64t16)t(s 2 ++-=
x
Cy=
Así resolver un problema de valor inicial significa encontrar 
una función derivable y = Y(x) que satisfaga ambas condiciones en algún intervalo 
que contenga a x0. 
 
( ) 00 y)x(y,y,xfdx
dy
==
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 1 = C/1, C = 1 la solución particular es y = 1/x. 
 
Ejemplo 2 
 Dada la ecuación diferencial verificar que es solución y hallar 
la solución particular determinada por la condición inicial y(-3) = 2 
Solución: 
Derivando la función , y reemplazando y e y’ en la ecuación se 
obtiene una identidad, o sea, 
x (3Cx2) – 3 Cx3= 0 , 0 = 0 
Una solución particular de 
Luego concluimos que la solución particular es: 
 
Observación: 
 Para determinar una solución particular, el número de condiciones iniciales ha de 
coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. 
 
1.8. Familia de Curvas 
 Geométricamente la solución general de una ecuación diferencial de primer orden 
representa una familia de curvas, conocidas como curvas solución, una para cada valor 
asignado a la constante arbitraria. 
Ejemplo. 
 Es fácil comprobar que toda función de la forma es solución de la 
ecuación diferencial . La figura muestra varias curvas solución 
correspondientes a diversos valores de C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. CUATRO TIPOS ESPECIALES DE ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 
 La tarea principal de la teoría de las ecuaciones diferenciales es encontrar todas 
sus soluciones e investigar sus propiedades. A tal fin se estudiarán en esta clase cuatro 
tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, donde cada una de ellas 
presentan determinadas propiedades que permiten usar métodos propios de resolución 
,03' =- yxy
3Cxy =
3Cxy = ,3' 2Cxy =
27
2)3(2 33 -=Þ-=Þ= CCCxy
27/2 3xy -=
xCy /=
0' =+yxy
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2.1. Forma General de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer 
grado. 
La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer 
grado es: 
F(x, y, y´)=0 
 
llamada forma implícita. 
Si a partir de esta expresión es posible despejar y´ en términos de las variables x,y es 
decir, 
 y´= f(x,y) 
decimos que la ecuación está en su forma explícita. 
La ecuación también puede expresarse en la forma diferencial como 
 
 M(x,y)dx +N(x,y) dy= 0 
2.2. 
2.3. Ecuación Diferencial de Variables Separables. 
 
 
Dada la ecuación diferencial en su forma implícita H(x, y, y’) = 0, ó en su forma 
explícita y’= h(x,y), o en su forma diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, si es posible 
mediante pasos algebraicos expresarla como: , ó en forma 
equivalente , donde f y g son funciones continuas en un cierto 
intervalo I, la ecuación se llama de Variables Separables o simplemente Ecuación 
Separable. 
 
 Esto es debido a que las variables x e y se han separado una de otra, de tal modo 
que x aparece solamente a la derecha e y está solamente a la izquierda. 
El siguiente teorema nos indica cómo encontrar una fórmula implícita que se 
satisfaga para cualquier solución de una tal ecuación diferencial. 
 
Teorema1. 
 
Sea y = Y(x) una solución cualquiera de la ecuación diferencial separable (a) 
 tal que Y´ sea continua en un intervalo abierto I. Suponga que f y 
la función compuesta son ambas continuas en I. Sea G cualquier primitiva 
de g, esto es cualquier función tal que G´= g. Entonces la solución Y satisface la 
fórmula implícita (b) , para un cierto valor de C. 
Recíprocamente, si ‘y’ satisface (b) entonces ´y` es una solución de (a) 
 
Demostración. 
 Puesto que Y es una solución de (a), debe ser, 
 
1 Este Teorema se puede consultar en Apostol, T.M. Cálculus, México, Editorial Reverté, 1973, pag. 
422-424 
)x(f
dx
dy)y(g =
dx)x(fdy)y(g =
)x(f
dx
dy)y(g =
( ))x(Yg
ò += Cdx)x(f)y(G
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(c) para cada x de I 
 Ya que G´= g, esta ecuación se convierte en 
Pero según la regla de la cadena, el primer miembro es la derivada de la función 
compuesta . 
Por consiguiente es una primitiva de f, lo cual significa que 
(d) 
Para un cierto valor de C. Esta es la relación(b). 
Recíprocamente, si y = Y(x) satisface (b), la derivación nos da (c) lo que demuestra que 
Y es una solución de la ecuación diferencial (a). 
 Nota. 
La fórmula implícita también puede expresarse en función de g 
a partir de , pues tenemos, 
. 
Si hacemos la sustitución y = Y(x), dy = Y´(x) dx en la integral de la izquierda, la ecuación 
se transforma en, 
(e) ∫𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 	∫ 𝑓(𝑥)	𝑑𝑥 
Puesto que representa una primitiva cualquiera de g la ecuación (e) es otra 
manera de escribir (b). 
En la práctica, la fórmula (e) se obtiene directamente de (a) por un proceso mecánico, a 
la ecuación (a) la escribimos en la forma g(y) dy = f(x) dx y luego integramos. Este 
teorema proporciona una justificación de este proceso mecánico. 
Ejemplo: 
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial , y la solución particular 
sabiendo que y(1) = 1 
Solución 
Para separar las variables se multiplica a ambos miembros por 1/y donde y ≠ 0 
 integrando ambos miembros encontramos, 
 
A la constante arbitraria C1 la expresamos como lo cual es admisible 
puesto que (cuando C2 ≠ 0) puede tomar cualquier valor - ∞ a + ∞. 
En consecuencia por lo tanto por lo tanto . 
Usando la notación ± C2 = C se tiene que, 
 
 con y ≠ 0 es la solución general 
[ ] )x(f
dx
dY)x(Yg =
[ ] )x(f
dx
dY)x(Y´G =
[ ] ( )( )[ ] [ ] )x´(Y.)x(Y´GxYG
dx
ddecires)x(YG =
[ ])x(YG
[ ] ò += Cdx)x(f)x(YG
ò += Cdx)x(f)y(G
[ ] )x(f
dx
dY)x(Yg =
[ ] òò += Cdx)x(fdx)x´(Y)x(Yg
ò dy)y(g
x
y
dx
dy
-=
Þ
x
dx
y
dy
-=
ò ò-= x
dx
y
dy Þ
1Cxlnyln +-=
21 ClnC =
2Cln
x
Clnyln 2=
x
Cy 2=
x
Cy 2±=
x
Cy =
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Teorema 1 
 
Habíamos supuesto que y ≠ 0 al separar las variables. Pero por simple sustitución en la 
ecuación dada, observamos que y = 0 la verifica. Por lo tanto y = 0 es también solución 
de la ecuación, y también se puede obtener de la solución general haciendo C = 0. En 
consecuencia la ecuación, 
 es la solución general de la ecuación diferencial para cualquier valor de C. 
 Si y(1) = 1,enonces 1= C/1, por lo tanto c=1. 
y = 1/x , es la solución particular 
 
2.4. Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Homogéneos de Igual Grado. 
Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables en x e y se convierten en 
separables al realizar un cambio de variables. Este es el caso de las ecuaciones 
diferenciales de la forma y’= f(x, y), siempre que f sea una función homogénea. 
A) Funciones homogéneas. 
 Los polinomios en los cuales todos los términos son del mismo grado, se llaman 
polinomios homogéneos. 
 Queremos extender este concepto de homogeneidad a funciones que nos son 
polinomios. 
 
Definición. 
Una función f(x,y) se dice que es homogénea de grado k en x e y si y sólo sí 
 f(λx, λy) = λk f(x,y), donde k es un número real 
 
 Esta definición se extiende a funciones de más de dos variables. 
Ejemplos. Determine si las siguientes funciones son homogéneas y de qué grado. 
a) k = 0 
f es función homogénea de grado cero en x e y. 
b) 
 = λ		f(x, y)																															k = 1 
f es función homogénea de grado uno en x e y. 
 
B) Teoremas 
 Antes de dar la definición de ecuación diferencial homogénea es necesario 
enunciar y demostrar los siguientes teoremas. 
 
 
Si Mx,y) y N(x,y) son ambas homogéneas y del mismo grado, la función 
 es homogénea de grado cero. 
x
Cy =
yx
yx)y,x(f
22 +
=
)y,x(f
xy
yx
)y)(x(
)y()x(
)y,x(f
0
22
0
22
l=
+
l=
ll
l+l
=ll
3 33 yx)y,x(f +=
3 33
3 33
yx
)y()x()y,x(f
+l=
l+l=ll
)y,x(N
)y,x(M
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Una ecuación diferencial, M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 se llama con coeficientes 
homogéneos de igual grado, si las funciones M(x,y) y N(x,y) son ambas 
homogéneas de igual grado k en x e y. 
 
 
Hipótesis. 
 M(x,y) y N(x,y) son homogéneas de igual grado k 
Tesis. 
 es homogénea de grado cero 
 Demostración 
Como por hipótesis M y N son funciones homogéneas de igual grado k, 
 M(λx, λy) = λk M(x,y) 
 N(λx, λy) = λk N(x,y) 
 
Por lo tanto es función homogénea de grado cero. 
 
Teorema 2. 
Si f(x,y) es homogénea de grado cero en x e y entonces f(x,y) es una función 
de y/x solamente. 
 
Hipótesis. 
 f(x,y) es homogénea de grado cero (k = 0) 
Tesis. 
 f(x,y) = g(y/x) 
Demostración. 
 Si se hace y = vx entonces se tiene 
 f(x,y) = f(x, vx) 
 = x0 f(1,v) donde x desempeña el papel de λ 
 = f(1, y/x) 
 = g(y/x) 
 
C) Definición de ecuación diferencial con coeficientes homogéneos de igual 
grado 
 
 
 
 
 
 Para resolver una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos se realiza un 
cambio de variables, como lo indica el Teorema 3 que se enuncia y demuestra a 
continuación, y se la resuelve por el método de separación de variables. 
 
D) Teorema: Cambio de variables en ecuaciones con coeficientes 
homogéneos 
Teorema 3 
Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es con coeficientes homogéneos, entonces se puede 
transformar en una ecuación diferencial cuyas variables son separables por la 
sustitución y = vx donde v es una función de x. 
)y,x(N
)y,x(M
Þ
Þ
)y,x(N
)y,x(M
)y,x(N
)y,x(M 0l=
ll
ll
)y,x(N
)y,x(M
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Hipótesis. 
 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es con coeficientes homogéneos 
Tesis. 
 La ecuación se transforma en variables separables por la sustitución y = vx 
Demostración. 
 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 mediante pasos algebraicos la reescribimos como 
 
(1) donde suponemos que N(x,y) ≠ 0 
Por los teoremas 1 y 2 este último cociente es una función de g(y/x) por lo tanto 
(2) 
Realizando la sustitución donde v es una función derivable de x. 
 
(3) 
4) 
ecuación de variables separables en las variables ‘x’ y ‘v’ 
 Suponiendo que x ≠0 y g(v) - v ≠ 0 y dividiendo ambos miembros de la ecuación 
(4) por x.[g(v) – v ] ≠ 0 resulta 
 
Integrando ambos miembros 
 
La solución general será: 
 F(x, v, C) = 0 
 
Volviendo a las variables originales 
 
 
 
E) Otra forma de resolver una ecuación diferencial homogénea 
Sea y= vx entonces dy = v dx+ x dv ,y, por sustitución. 
 
 por ser M y N homogéneas de grado n, se sigue que 
 
 
 
 
)y,x(N
)y,x(M
dx
dy
-=
)x/y(g
dx
dy
=
xvyv
x
y
=Þ=
dx
dvxv
dx
dy
+=
)v(g
dx
dvxv =+
v)v(g
dx
dvx -=
dx
dy
v)v(g
dv
=
-
òò =- x
dx
v)v(g
dv
0C,
x
y,xF =÷
ø
ö
ç
è
æ
)xdvvdx)(vx,x(Ndx)vx,x(Mdy)y,x(Ndx)y,x(M ++=+
0)dvxdxv)(v,1(Nxdx)v,1(Mx nn =++
xdx)v,1(Nvdx)v,1(Ndx)v,1(M -=+
[ ] xdv)v,1(Ndx)v,1(Nv)v,1(M -=+
0dv
)v,1(Nv)v,1(M
)v,1(N
x
dx
=
+
+
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
Donde los denominadores deben ser distintos de cero. Integrando ambos 
miembros y volviendo a las variables originales obtenemos la solución general de la 
ecuación diferencial. 
Nota: 
 Es fácil probar que la ecuación con coeficientes homogéneos también puede 
resolverse realizando la sustitución x = uy y la ecuación debe llevarse a la forma: 
. 
 Algunas veces sucede que la solución de una ecuación homogénea se obtiene más 
rápida o fácilmente, de manera indistinta, con una de las dos sustituciones y = v x ó x = 
u y, y en otros casos es conveniente usar sólo una de ellas. Generalmente, decidir de 
antemano cuál de ellas nos conviene puede resultar difícil. Hablando en general, la única 
orientación para escoger entre las dos sustituciones es la siguiente:M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 si el coeficiente M contiene menos términos o 
más sencillos que N, realice la sustitución x = uy y si N es más simple que 
M, utilice y=vx. 
Observaciones2. 
a) Cuando g(v) = v en (4) la ecuación se reduce a por lo tanto v = C y y = C x 
que es solución de la ecuación diferencial dada. Esto, es un problema trivial puesto que 
cuando g(v) = v la ecuación (2) toma la forma es soluble inmediatamente por 
separación de variables. 
b) Al separar las variables en (4) se divide ambos miembros por el producto x.[g(v) – v] 
por lo cual se perdían las soluciones que hacían cero sus factores, es decir x = 0 y g(v) – 
v = 0. Se debe analizar si x = 0 es solución de la ecuación diferencial (en este caso solución 
singular ya que la misma no se puede obtener a partir de la solución general). 
Sin embargo si v = v0 es una raíz de la ecuación g(v) – v = 0 con una prueba directa nos 
convencemos de que v = v0 o y = v0 x (recta que pasa por el origen de coordenadas ) es 
también solución de la ecuación diferencial dada. 
c) Si g(v0) – v0 = 0 entonces v = v0 es solución de la ecuación diferencial 
pues anula ambos miembros de la ecuación. 
 
Si g(v) – v = 0 tiene raíces v = v1, v = v2, v = v3, … , etc. entonces las rectas de ecuaciones 
y = v1x, y = v2x, y = v3x, … (son rectas que pasan por el origen de coordenadas) son 
soluciones de la ecuación diferencial dada. Estas soluciones pueden ser particulares o 
singulares. 
 
Ejemplo 1: 
Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial homogénea: 
 
 
 
2 Para más información consultar a Redick, H.W. y Miller, F.H. Matemáticas superiores para ingenieros, 
México-España, pag. 26-28, Compañía Editorial Continental, S.A., 1967; Rey Pastor, J.; Pi Calleja, P.; 
Trejo, C. Análisis matemático, Buenos Aires, Kapelusz, 1952. 
)y/x(g
dy
dx
=
0
dx
dvx =
x
y
dx
dy
=
v)v(g
dx
dvx -=
( ) 0dyxdxyyx 22 =-+
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
 
Solución: 
M(x , y) = x y + y2 
 
N( x, y ) = - x2 
 
Verificación de la condición de homogeneidad: 
M(λx, λy) = (λx) (λy) + λ2 y2 N(λx, λy) = (- λx)2 
 
M(λx, λy) = λ2 ( x y + y2) N(λx, λy) = λ2 x2 
 
M(λx, λy) = λ2 M(x, y) N(λx, λy) = λ2 N(x, y) 
 
Por lo tanto los coeficientes M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas de igual 
grado de homogeneidad (grado 2). 
Resolviendo la ecuación de acuerdo al teorema 3: 
 
 
Notas: 
• x=0 es solución singular de la ecuación diferencial 
• Si v = o entonces y = 0 es solución singular de la ecuación diferencial no se 
obtiene para ningún valor de C 
 
2.5. Ecuaciones Diferenciales Exactas. 
A) Definición 
 
Dada una ecuación diferencial (I) M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 se dice que es exacta, si 
el primer miembro es la diferencial total o exacta (II) de alguna 
función U(x,y). 
generalsolución
Cxln
x)x(y
Cxln
1
x
y
Cxln
1v
Cxln
v
1
x
dx
v
dv
separablesiablesvardeecuación
x
dx
v
dv
0vy0xdondev.xpordividesev
dx
dvx
vv
dx
dvxv;
dx
dvxv
dx
dy
xvyv
x
yaquídex
yg
dx
dy
x
y
x
y
dx
dy;
x
yyx
dx
dy
2
2
22
2
2
2
2
+
-=
Þ
+
-=Þ
+
-=
Þ+=-Þ=
=
¹¹=Þ
+=++=
=Þ=÷
ø
öç
è
æ=
÷
ø
ö
ç
è
æ+=
+
=
òò
dy
y
Udx
x
UdU
¶
¶
+
¶
¶
=
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
 
 Es decir la ecuación (I) se puede expresar como dU(x,y) = 0 y su solución general 
se obtiene integrando ambos miembros: . 
 Resolver este tipo de ecuación diferencial significa encontrar la función U(x,y). 
Para ello se debe probar primero la existencia de dicha función, es decir el primer 
miembro de la ecuación diferencial debe ser la diferencial total o exacta de una función 
U(x,y). 
Comparando (I) y (II) vemos que y si U(x,y) 
tiene derivadas parciales segundas continuas, por el Teorema de Schwarz se cumple 
que: 
 
por lo tanto se tiene que 
Esto sugiere el criterio de exactitud siguiente. 
 
B) Teorema. Criterio de Exactitud. 
 
Supongamos que las funciones M(x,y) y N(x,y) son continuas y que tienen 
primeras derivadas de primer orden continuas en el rectángulo abierto R: 
a˂x˂b, c <x< d. 
Entonces la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta en R sí y 
sólo sí, (III) , en cada punto de R. 
Esto es existe una función U(x,y) definida en R con, 
 , si y solamente si la ecuación 
(III) se cumple. 
 
Condición necesaria 
Hipótesis. 
La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta, donde M y N tienen 1ª derivadas 
parciales continuas. 
 
Tesis. 
 : 
 
Demostración. 
Como la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta por definición 
existe la función U(x,y) tal que es el primer miembro de la 
( ) ( ) Cy,xUCy,xUd =Þ=ò
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
yx
)y,x(U
xy
)y,x(U 22
¶¶
¶
=
¶¶
¶
x
)y,x(N
y
)y,x(M
¶
¶
=
¶
¶
x
)y,x(N
y
)y,x(M
¶
¶
=
¶
¶
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
x
)y,x(N
y
)y,x(M
¶
¶
=
¶
¶
dy
y
Udx
x
UdU
¶
¶
+
¶
¶
=
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
ecuación por lo tanto de aquí 
. 
Como por hipótesis M y N tienen primeras derivas parciales continuas entonces 
son continuas y por el Criterio de Schwarz-Clairaut estas 
derivadas son iguales; 
Por lo tanto se prueba que es una condición necesaria para 
que (I) sea exacta. 
Condición suficiente. 
Hipótesis. 
Se cumple que: 
 
Tesis. 
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta. 
Es decir existe una función U(x,y) tal que 
 
 
Demostración. 
Se observa que para cualquier función g(y), se cumple que la función 
 
 satisface la ecuación 
 
 
 
La constante de integración se puede expresar como una función de y porque 
estamos integrando parcialmente respecto de la variable x. 
Se quiere escoger g(y) de modo que 
Entonces 
Es decir (IV) 
Para probar que existe g(y) es suficiente con demostrar que el segundo miembro 
de (IV) es una función de y solamente. 
Para ello derivamos el segundo miembro con respecto a x y esta derivada debe 
ser cero. 
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
x
N
yx
)y,x(Uy
y
M
xy
)y,x(U 22
¶
¶
=
¶¶
¶
¶
¶
=
¶¶
¶
yx
)y,x(Uy
xy
)y,x(U 22
¶¶
¶
¶¶
¶
x
N
yx
)y,x(U
xy
)y,x(U
y
M 22
¶
¶
=
¶¶
¶
=
¶¶
¶
=
¶
¶
x
)y,x(N
y
)y,x(M
¶
¶
=
¶
¶
x
)y,x(N
y
)y,x(M
¶
¶
=
¶
¶
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
( ) ( ) ( )ygdxy,xMy,xU += ò )y,x(Mx
)y,x(U
=
¶
¶
)y,x(N
y
)y,x(U
=
¶
¶
)y,x(N)y´(gdx)y,x(M
yy
U
=+
¶
¶
=
¶
¶
ò
ò¶
¶
-= dx)y,x(M
y
)y,x(N)y´(g
Es una primitiva 
de M(x,y) 
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
 
 
De esta manera, se puede encontrar la función buscada g(y) integrando ambos 
miembros de la ecuación (IV), 
 
Sustituyendo este resultado en la ecuación se tiene que, 
 (V) 
Que es la función buscada con 
 
C) Método práctico de resolución 
Desde el punto de vista práctico, para resolver una ecuación exacta se procede 
de la siguiente manera: 
Sabiendo que (I) es exacta existe una función U(x,y) tal que: 
 
 
 
Como entonces 
 
 
 
La solución general será: 
 
Para verificar la solución general se debe calcular la diferencial total de la función 
U(x,y) obtenida y se debe obtener el primer miembro de la ecuación diferencial. 
Nota: 
Para encontrar la solución general se podría haber partido de (b), en lugar de (a), 
y se realiza el mismo procedimiento, cambiando lo que haya que cambiar. 
 
 
hipótesispor0
y
M
x
N
dx)y,x(M
xyx
N
dx)y,x(M
yxx
Ndx)y,x(M
y
)y,x(N
x
=
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
=ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
ò
òò
dydx)y,x(M
y
)y,x(N)y(g ò ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-=
dydx)y,x(M
y
)y,x(Ndx)y,x(M)y,x(U ò ò ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-+=
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
)y,x(N
y
)y,x(U)b(;)y,x(Mx
)y,x(U)a( =
¶
¶
=
¶
¶
ò +=Þ )y(gdx)y,x(M)y,x(U
)y,x(N
y
)y,x(U
=
¶
¶ ò =+¶
¶
=
¶
¶ )y,x(N)y´(gdx)y,x(M
yy
)y,x(U
ò¶
¶
-=Þ dx)y,x(M
y
)y,x(N)y('g
1kdydx)y,x(My
)y,x(N)y(g +ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-= ò ò
Cdydx)y,x(M
y
)y,x(Ndx)y,x(M)y,x(U =ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-+= ò ò ò
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
Ejemplo 1. 
Comprobar si la siguiente ecuación diferenciales es exacta. 
 
Llevándola a la forma diferencial 
Donde M(x,y) = xy2 + x y N(x,y) = y x3 
Aplicando la condición de exactitud 
 por lo tanto la ecuación es exacta. 
Obsérvese que el criterio de exactitud de es el mismo que el 
criterio para determinar si es el gradiente de una función 
potencial. Esto significa que puede obtenerse una solución general 
f(x, y) = C de una ecuación diferencial exacta por el método usado para hallar una función 
potencial para un campo vectorial conservatorio. 
 
Ejemplo 2. 
Dada la ecuación diferencial, 
probar si es exacta, y en caso afirmativo hallar su solución general. 
Solución 
La ecuación diferencial dada es exacta, ya que, 
 
Sabiendo que la ecuación es exacta, existe una función U(x,y) tal que 
donde U(x, y)= C es la solución general. 
Para encontrar U(x,y), 
Para encontrar g(y) se deriva parcialmente la función U(x, y) con respecto y se 
iguala a N(x, y) 
Entonces; 
Luego: g’(y)= -2y y se sigue que por lo tanto, 
 es la solución general. 
 
2.6. Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Exactas 
A) Definición 
Dada la ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y)dy = 0, si no es exacta, puede que 
se la transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado H(x,y), llamado factor 
integrante de la ecuación diferencial, si, bajo ciertas condiciones esto es posible, a la 
ecuación original se la denomina reducible a exacta. 
Por ejemplo la ecuación diferencial, 2y dx + x dy =0 no es exacta, pero es posible 
transformarla en exacta si se multiplica por el factor integrante H(x,y) = x. Observamos 
que la ecuación resultante 2xy dx + x2 dy = 0 es exacta, el primer miembro es la 
diferencial total de . 
( ) dyyxdxxxy 22 -=+
( ) 0dyyxdxxxy 22 =++
[ ] [ ]22 yx
x
xy2xxy
y ¶
¶
==+
¶
¶
0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+
j)y,x(Ni)y,x(M)y,x(f +=
( ) ( ) 0dyy2xdxx3xy2 22 =-+-
( ) ( ) y2xy,xNx3xy2y,xM 22 -=-=
x2]y2x[
x
;x2)]y(gxyx2[
y
232 =-
¶
¶
=+-
¶
¶
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
( )òò +-=-== )y(gxyxdxx3xy2dx)y,x(M)y,x(U 322
y2x)y('gx)]y(gxyx[
y
)y,x(U 2232y -=+=+-¶
¶
=
1
2 ky)y(g +-=
Cyxyx)y,x(U 232 =--=
yx 2
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
Determinar los factores integrantes de una ecuación diferencial puede resultar 
una tarea difícil. Sin embargo en aquellas ecuaciones cuyos factores integrantes son 
función de x solamente o de y solamente, pueden hallarse de manera rutinaria. El 
teorema siguiente nos da las condiciones que deben cumplirse para que existan dichos 
factores y sugiere un procedimiento para hallarlos. 
B) Teorema: Factores integrantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Si una de ellas h(x) o k(y) es constante el teorema aún se aplica 
Parte a) 
Hipótesis. La ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0 admite el factor integrante F(x) 
Tesis. 
 
Demostración. 
Partiendo de la ecuación M(x, y) dx +N(x, y) dy =0 y multiplicando ambos miembros 
por F(x) F(x) M(x, y) dx+ F(x) N(x, y) dy =0 
esta ecuación debe ser exacta, es decir debe cumplir la condición de exactitud. 
 
 
 ; por lo tanto 
, donde . Se considera C = 1 ya que de los 
infinitos factores integrantes buscamos solo uno. Entonces: 
 
 
 
Partes b) 
Hipótesis. 
 La ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0 admite el factor integrante F(y) 
( ) ( )[ ]ò -=
dxy,xxNy,xyM)y,x(N
1
e)x(F
[ ] [ ])y,x(N.)x(F
x
)y,x(M.)x(F
y ¶
¶
=
¶
¶
1Cdxx
N
y
M
N
1
)x(F
)x(Fd;dx
x
N
y
M
N
1
)x(F
)x(Fd
N.
dx
)x(Fd
x
N
y
M)x(F;
x
N.)x(FN.
dx
)x(Fd
y
M.)x(F
+ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
=ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
=
=ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
+=
¶
¶
ò ò
1Cdxx
N
y
M
N
1)x(Fln +ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
= ò 1C
dx
x
N
y
M
N
1
e.e)x(F
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
=
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
=
dx
x
N
y
M
N
1
eC)x(F 1CeC ±=
Dada la ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0: 
a) Si es una función de x solamente , entonces 
 es un factor integrante. 
b) Si , es una función de y solamente, entonces 
 es un factor integrante. 
( ) ( )[ ] )x(hy,xNy,xM
)y,x(N
1
xy =-
ò=
dx)x(h
e)x(F
( ) ( )[ ] )y(ky,xMy,xN
)y,x(M
1
yx =-
ò=
dy)y(k
e)y(F
 
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
=
dx
x
N
y
M
N
1
e)x(F
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
Tesis. 
 
Demostración. 
 Partiendo de la ecuación M(x, y)dx+N(x, y)dy =0 y multiplicando ambos 
miembros por F(y) 
 F(y) M(x, y) dx+ F(y) N(x, y) dy =0 
esta ecuación debe ser exacta, es decir debe cumplir la condición de exactitud. 
 
 
 
 ; 
 donde . Se considera C = 1, por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
C) Solución de la Reducible a Exacta 
 Una vez calculado el factor integrante, ya sea F(x) o F(y), se multiplica toda la 
ecuación por dicho factor y se obtiene una nueva ecuación diferencial que es exacta y 
se la resuelve siguiendo el procedimiento presentado en el apartado 2.3. 
 
Ejemplo . 
 Resolver la siguiente ecuación diferencial. 
 
 la ecuación no es exacta. Como existe F(x) 
; 
Multiplicando toda la ecuación por el factor integrante, 
esta ecuación debe ser exacta. 
 , 2 y. ex = 2 y ex 
( ) ( )[ ]ò --
=
dyy,xxNy,xyM)y,x(M
1
e)y(F
[ ] [ ])y,x(N.)y(F
x
)y,x(M.)y(F
y ¶
¶
=
¶
¶
2Cdxx
N
y
M
M
1
)y(F
)y(Fd;dy
x
N
y
M
M
1
)y(F
)y(Fd
M.
dy
)y(Fd
x
N
y
M)y(F;
x
N.)y(F
y
M.)y(FM.
dy
)y(Fd
+ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
-=ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
-=
-=ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
+
ò ò
2Cdyx
N
y
M
M
1)y(Fln +ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
-= ò
2C
dy
x
N
y
M
M
1
e.e)y(F
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
-
=
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
-
=
dy
x
N
y
M
M
1
eC)y(F 2CeC ±=
( ) 0dyy2dxxy2 =+-
0
x
Ny2
y
M
=
¶
¶
¹=
¶
¶ [ ] 1NM
N
1
xy =-
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
=
dx
x
N
y
M
N
1
e)x(F
[ ]
x
dx0y2
y2
1
ee)x(F ==
ò -
( ) 0dyey2dxxye x2x =+-
[ ] [ ]x2x ey2
x
)xy(e
y ¶
¶
=-
¶
¶
 
ò úû
ù
ê
ë
é
¶
¶
-
¶
¶
-
=
dy
x
N
y
M
M
1
e)y(F
 
Clase Nº 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 
Existe U(x,y) tal que 
 
 , 
, 
 
)y,x(N
y
)y,x(U;)y,x(M
x
)y,x(U
=
¶
¶
=
¶
¶
)x(hey)y,x(U
dyey2)y,x(U
dy)y,x(N)y,x(U
x2
x
+=
=
=
ò
ò
( )x'hey
x
U x2 +=
¶
¶ ( ) xeeyx'hey xx2x2 -=+
( ) xex'h x-= ( ) dxexxh xò-=
( ) Ceexeyy,xU xxx2 =+-=