ECUACIONES DIFERENCIALES

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M. Arias 
 
 
¿Qué es una ecuación diferencial? 
Es una igualdad en la que intervienen, derivadas de una función desconocida. 
Ejemplos: 3𝑦’ + 2𝑥𝑦 = 0; 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2; 
 𝑦’’ − 3 = 4𝑥2𝑦′ − 𝑥; 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 1 … 
 
 
 
1. Si la función desconocida depende de una variable independiente (𝑦 = 𝑓(𝑥)) la 
ecuación diferencial se dice ordinaria (EDO). 
Ejemplos: 𝑦’ − 𝑥𝑦 = 𝑥2 ; 
3𝑥 − (𝑦′′)2 = 𝑦 − 3𝑦′; 
𝑦′′′ = 2 
2. Si la función desconocida depende de dos o más variables independiente 
 (𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛)) la ecuación diferencial se dice a derivadas parciales (EDP). 
Ejemplos: 𝑧𝑥 − 4𝑧𝑥𝑦 = 0 ; 
 
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 𝑦 
Ecuación diferencial ordinaria (EDO) 
 
 
 
 
Ejemplo: ED: 𝑥 − 𝑦′′ = 𝑦  𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′) = 0 
Orden y Grado de una EDO 
Orden: El orden de una EDO está dado por la derivada de mayor orden presente en la ED. 
Grado: El grado está dado por el exponente de la derivada que determina el orden de la ED. 
Ejemplos: 
𝑦 − 2𝑥𝑦′′ = 𝑥𝑦′ orden 2 y grado 1 
3 − 𝑥3(𝑦′)2 = 0 orden 1 y grado 2 
Def. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene al menos una derivada de una 
función 𝑓 desconocida que depende de una o más variables independientes. 
 
Def. Una EDO es una expresión de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦’, 𝑦’’, … 𝑦𝑛) = 0 
𝑥: variable independiente; 𝑦 = 𝑓(𝑥) función desconocida (variable dependiente) 
𝑦𝑛 n-ésima derivada; 𝐹: función de 𝑛 + 2 variables; 𝐹: 𝐷𝑅𝑛+2 → 𝑅 
 
Ecuaciones diferenciales. 
 
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M. Arias 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Muestre que la 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 es solución de la ED: 𝑦’’ − 2(𝑦 + 𝑥𝑦’) = 0. 
 Derivadas de: 𝑦 = 𝑒𝑥
2
 
𝑦′ = 2𝑥𝑒𝑥
2
  𝑦′′ = 2𝑒𝑥
2
+ 2𝑥 ∙ 2𝑥𝑒𝑥
2
 
𝑦′′ = 2𝑒𝑥
2
+ 4𝑥2𝑒𝑥
2
 
Al reemplazar en la ED 
 𝑦’’ − 2(𝑦 + 𝑥𝑦’) = 0 
2𝑒𝑥
2
+ 4𝑥2𝑒𝑥
2
− 2(𝑒𝑥
2
+ 𝑥 ∙ 2𝑥𝑒𝑥
2
) = 0 
2𝑒𝑥
2
+ 4𝑥2𝑒𝑥
2
− 2𝑒𝑥
2
− 4𝑥2𝑒𝑥
2
= 0 
0 = 0 identidad. 
 
 
Ejemplo 2: La función 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3 ¿es solución de la ED: 𝑦′′ − 4 = 𝑥𝑦′′′? 
Derivadas de: 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3 
𝑦′ = 3𝑥2 + 4𝑥 
𝑦′′ = 6𝑥 + 4 
𝑦′′′ = 6 
Al reemplazar en la ED 
 𝑦’’ − 4 = 𝑥𝑦′′′ 
6𝑥 + 4 − 4 = 𝑥 ∙ 6 
6𝑥 = 6𝑥 (0=0) identidad. 
Respuesta: La función dada es solución de la ED. 
Solución General y Solución particular 
La solución general de una EDO es una solución que contiene tantas constantes arbitrarias 
como orden de la ED. 
Es decir, si la EDO es de orden 𝑛 entonces, la solución tiene 𝑛 constantes (𝐶1, 𝐶2, … 𝐶𝑛). 
Gráficamente representa una familia de curvas. 
La solución particular de una EDO es la solución en las que las constantes arbitrarias están 
determinadas por las condiciones iniciales. 
Gráficamente es una curva. 
Ejemplo 1: Dada la ED 𝑦′ − 𝑒𝑥 = 0. a) Obtener la solución general; b) Grafique las soluciones 
particulares para 𝐶 = 0; 𝐶 = 2 y 𝐶 = −1. 
La ED: 𝑦′ − 𝑒𝑥 = 0 es de orden 1 y grado 1 
Solución general 
Resolución de la ED: 𝑦′ = 𝑒𝑥 
∫ 𝑦′𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝐶 (Sol. Gral.) 
Solución de una EDO: Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una solución de una EDO si ella y/o sus 
correspondientes derivadas satisfacen la ecuación diferencial. (Verifican la igualdad) 
 
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M. Arias 
 
Soluciones particulares 
𝐶 = −1𝑦 = 𝑒𝑥 − 1 
𝐶 = 0𝑦 = 𝑒𝑥 
𝐶 = 2𝑦 = 𝑒𝑥 + 2 
 
Ejemplo 2: Determine la expresión de la solución particular de la ED: 𝑓′′(𝑥) = −2, sabiendo 
que 𝑓’(1) = 1 y su gráfica pasa por el punto 𝑃(0,4). 
La ED: 𝑓′′(𝑥) = −2 es de orden 2 (dos constantes de integración) y grado 1 
Solución general 
Resolución de la ED: 𝑓′′(𝑥) = −2 
 ∫ 𝑓′′(𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑑𝑥 
 𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 𝐶1 
 ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶1 ∫ 𝑑𝑥 
 
 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (Sol. Gral.) 
Solución particular 
𝑓′(1) = 1 siendo 𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 𝐶1; 
Se reemplaza: 1 = −2 ∙ 1 + 𝐶1  3 = 𝐶1 
Así, 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 𝐶2 
Luego, 𝑃(0, 4) ∈ 𝑓  4 = −02 + 3 ∙ 0 + 𝐶2  4 = 𝐶2 
 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 4 
Ecuaciones diferenciales a variables separables 
 
 
 
Ejemplo 1: Resolver la ED 𝑒−2𝑥𝑦′ − 1 = 0 y graficar la curva que pasa por el punto 𝑃(0,3). 
𝑒−2𝑥𝑦′ − 1 = 0 
1
𝑒2𝑥
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1  
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥 
  𝑑𝑦 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥 (separación de variables) 
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 (integración por sustitución en el segundo miembro) 
Si una ED se puede expresar como: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑀(𝑥)
𝑁(𝑦)
 de modo que 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑀(𝑥)𝑑𝑥, se dice 
que la ED es a variables separables. 
 
 
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M. Arias 
 
𝑢 = 2𝑥  𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥  
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 
Luego, 𝑦 =
1
2
∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢  𝑦 =
1
2
𝑒2𝑥 + 𝐶  Sol. Gral. Explícita. 
Para graficar la curva que pasa por 𝑃(0, 3) se obtiene la solución 
particular: 
 𝑃(0, 3)  3 =
1
2
𝑒2∙0 + 𝐶  3 −
1
2
= 𝐶
5
2
= 𝐶 
 𝑦 =
1
2
𝑒2𝑥 +
5
2
  Solución Particular. 
Ejemplo 2: Obtener la solución general de: 𝑥2𝑦′ − 𝑦3 = 0 
𝑥2 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦3  
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦3
𝑥2
  
𝑑𝑦
𝑦3
=
1
𝑥2
𝑑𝑥 (separación de variables) 
∫
1
𝑦3
𝑑𝑦 = ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥  ∫ 𝑦−3𝑑𝑦 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 (integración de potencias) 
Luego, 
𝑦−2
−2
=
𝑥−1
−1
+ 𝐶  −
1
2𝑦2
= −
1
𝑥
+ 𝐶 ; 𝑦2 =
−𝑥
2(𝐶𝑥−1)
  Sol. Gral. implícita. 
Problema: La razón de cambio de la presión atmosférica P con respecto a la altitud h es 
proporcional a P, siempre que la temperatura sea constante. A 15ºC y a nivel del mar, la presión 
es de 101.3 kPa y a una altura de 1000 metros la presión es de 87.14 KPa. 
a) Plantear la ecuación diferencial. 
b) ¿Cuál es la expresión de P? 
c) ¿Cuál es la altura cuando la presión es 50KPa? 
Planteo de la ecuación 
Razón de cambio de la presión atmosférica P con respecto a la altitud h: 
𝑑𝑃
𝑑ℎ
= 𝑃′(ℎ) 
La razón de cambio de la presión P con respecto a h es proporcional a P: 
𝑑𝑃
𝑑ℎ
≈ 𝑃 
 
𝑑𝑃
𝑑ℎ
= 𝑘𝑃 es la ecuación diferencial, donde 𝑘 es la constante de proporcionalidad. 
Expresión de P (resolución de la ED) 
𝑑𝑃
𝑑ℎ
= 𝑘𝑃  al separar variables: 
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑ℎ  ∫
1
𝑃
𝑑𝑃 = 𝑘 ∫ 𝑑ℎ 
ln 𝑃 = 𝑘ℎ + 𝐶 (𝑃 > 0)  𝑃 = 𝑒𝑘ℎ+𝐶 
𝑃 = 𝑒𝑘ℎ𝑒𝐶 (propiedad de potencia), luego 𝑒𝐶 = 𝐴 
 𝑃 = 𝐴𝑒𝑘ℎ  Sol. Gral. 
Si ℎ = 0 la presión es 𝑃 = 101.3 𝑘𝑃𝑎 y si ℎ = 1000 la presión es 𝑃 = 87.14 𝑘𝑃𝑎 
 101.3 = 𝐴𝑒𝑘∙0  101.3 = 𝐴 
Luego: 87.14 = 𝐴𝑒𝑘∙1000  87.14 = 101.3𝑒𝑘∙1000 ; 
87.14
101.3
= 𝑒𝑘∙1000 
Aplicando logaritmo neperiano: 𝑙𝑛(0.86) = 𝑙𝑛(𝑒𝑘∙1000) 
𝑙𝑛(0.86) = 1000𝑘𝑙𝑛(𝑒)  
𝑙𝑛(0.86)
1000
= 𝑘  𝑃(ℎ) = 101.3𝑒
𝑙𝑛(0.86)
1000
ℎ 
 
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M. Arias 
 
Altura cuando la presión es de 50 KPa. 
50 = 101.3𝑒
𝑙𝑛(0.86)
1000
ℎ  
50
101.3
= 𝑒
𝑙𝑛(0.86)
1000
ℎ  0.493 = 𝑒
𝑙𝑛(0.86)
1000
ℎ 
 ln (0.493) = 𝑙𝑛 (𝑒
𝑙𝑛(0.86)
1000
ℎ)  ln (0.493) =
𝑙𝑛(0.86)
1000
ℎ 
 1000
ln (0.493)
ln (0.86)
= ℎ  1000 ∙ (4.689) = ℎ  4689 = ℎ 
Respuesta: La altura será de aproximadamente 4689 metros. 
Modelo de Malthus (Modelo lineal-modelo exponencial) 
En el año 1798, el matemático y economista Ingles Thomas Malthus enunció la ley de población 
más o menos en los siguientes términos: “La variación de una población es proporcional al 
tamaño de la población presente”, suponiendo que los recursos disponibles son inagotables. 
El modelo matemático está dado por la ecuación diferencial: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑟𝑃 
 Población 
Constante de proporcionalidad. 
𝑟: Tasa relativa o intrínseca. 
𝑟 = 𝛼 − 𝛽 
 Tasa de mortalidadTasa de natalidad 
Comportamiento de 𝑃 a partir del valor de 𝑃’ 
El comportamiento de la población 𝑃 depende de la tasa relativa (𝑟 > 0; 𝑟 < 0 o 𝑟 = 0) 
1.- Si 𝑟 = 0, significa que las tasas de natalidad y mortalidad son iguales ( 𝛼 = 𝛽) 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0 (el medio está en equilibrio) 
2.- Si 𝑟 < 0 , significa que la tasa de natalidad es menor que la de mortalidad ( 𝛼 < 𝛽) 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
< 0 (la población 𝑃 decrece o disminuye en el tiempo) 
3.- Si 𝑟 > 0 , significa que la tasa de natalidad es mayor que la de mortalidad ( 𝛼 > 𝛽) 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
> 0 (la población 𝑃 crece o aumenta en el tiempo) 
Expresión de P (Población) 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑟𝑃  separando variables: 
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑟𝑑𝑡  ∫
1
𝑃
𝑑𝑃 = 𝑟 ∫ 𝑑𝑡 
ln 𝑃 = 𝑟𝑡 + 𝐶 (𝑃 > 0)  𝑃(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡+𝐶 
𝑃(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶 (propiedad de potencia y 𝑒𝐶 = 𝐴) 
 𝑃(𝑡) = 𝐴𝑒𝑟𝑡 
Si en 𝑡 = 0 la población es 𝑃 = 𝑃0 (población inicial) 
 𝑃0 = 𝐴𝑒
𝑟∙0𝑃0 = 𝐴 
𝑃 = 𝑃0 𝑒
𝑟𝑡  Sol. Gral. 
Observación: este modelo recibe el nombre de modelo lineal por la ecuación diferencial. 
 
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M. Arias 
 
Ecuaciones diferenciales lineales 
 
 
 
Ejemplos: 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 4𝑥 ; 𝑥𝑦′ − 𝑦 + 6𝑥2 = 0 
En la primera ED: 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 4𝑥, la identificación de P y Q es directa. 
𝑃(𝑥) = 2𝑥 y 𝑄(𝑥) = 4𝑥 
En la segunda ED: 𝑥𝑦′ − 2𝑦 + 6𝑥2 = 0 , operar algebraicamente para identificar 𝑃 y 𝑄. 
𝑥𝑦′ − 2𝑦 = −6𝑥2  se divide por el factor de 𝑦’: 
𝑥𝑦′
𝑥
−
2𝑦
𝑥
= −
6𝑥2
𝑥
 
 𝑦′ −
2
𝑥
𝑦 = −6𝑥 
𝑃(𝑥) = −
2
𝑥
 y 𝑄(𝑥) = −6𝑥 
Solución general de la ED lineal 
𝑦 = 𝑒− ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫ (𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝐶] 
Donde la función: 𝐼(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 se denomina factor integrante (F.I). 
Procedimiento para obtener la solución general de una EDL 
1) Determinar la función factor integrante. 
𝐼(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
2) Multiplicar la ecuación por el factor integrante. 
𝐼(𝑥) ∙ (𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦) = 𝐼(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) 
𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥(𝑦′ + 𝑃(𝑥) ∙ 𝑦) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥) (reemplazo de 𝐼(𝑥)) 
𝑦′𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥) (propiedad distributiva) 
 
𝐷𝑥(𝑦 ∙ 𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥) (1º miembro: derivada del producto entre 𝑦 y el factor 𝐼(𝑥)) 
3) Integrar y despejar 𝑦. 
∫ 𝐷𝑥(𝑦 ∙ 𝑒
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 
𝑦 ∙ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 
𝑦 =
1
𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
[∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶] 
Finalmente: 𝑦 = 𝑒− ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥[∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶] Sol.Gral. 
Ejemplos: Resolver a) 𝑦′ −
2
𝑥
𝑦 = −6𝑥; b) 𝑦’ + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
a) 𝑦′ −
2
𝑥
𝑦 = −6𝑥  𝑃(𝑥) = −
2
𝑥
 
Una ecuación diferencial lineal es una ED de primer orden de la forma: 𝑦’ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥); 
P y Q son continuas. 
 
 
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M. Arias 
 
Factor integrante: 𝐼(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥  𝐼(𝑥) = 𝑒−2 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝐼(𝑥) = 𝑒−2𝑙𝑛𝑥  𝐼(𝑥) = 𝑒𝑙𝑛(𝑥
−2)  𝐼(𝑥) = 𝑥−2 
Producto del F.I por la ecuación diferencial: 𝑥−2 (𝑦′ −
1
𝑥
𝑦) = −6 ∙ 𝑥−2 
𝑥−2𝑦′ − 𝑥−2
1
𝑥
𝑦 = −6 ∙ 𝑥−2 
1
𝑥2
𝑦′ −
1
𝑥3
𝑦 = −
6
𝑥2
 
𝐷𝑥 (𝑦 ∙
1
𝑥2
) = −
6
𝑥2
 
Integral de la ecuación 
∫ 𝐷𝑥 (𝑦 ∙
1
𝑥2
) 𝑑𝑥 = −6 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 
𝑦 ∙
1
𝑥2
=
6
𝑥
+ 𝐶 
Despejando 𝑦: 𝑦 = 𝑥2 (
6
𝑥
+ 𝐶) 
𝑦 = 6𝑥 + 𝐶𝑥2  Sol. Gral. 
 
b) 𝑦’ + 4𝑦 = 𝑥𝑒−3𝑥 
Factor integrante: 𝐼(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥  𝐼(𝑥) = 𝑒4 ∫ 𝑑𝑥 
𝐼(𝑥) = 𝑒4𝑥 
Producto del F.I por la ecuación diferencial: 𝑒4𝑥(𝑦′ + 4𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑒−3𝑥 ∙ 𝑒4𝑥 
𝑒4𝑥𝑦′ + 4𝑒4𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 
𝐷𝑥(𝑦 ∙ 𝑒
4𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 
Integral de la ecuación 
 ∫ 𝐷𝑥(𝑦 ∙ 𝑒
4𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 (integración por partes en el segundo miembro) 
𝑦 ∙ 𝑒4𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑦 ∙ 𝑒4𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑦 = 𝑥
𝑒𝑥
𝑒4𝑥
−
𝑒𝑥
𝑒4𝑥
+
𝐶
𝑒4𝑥
 
 𝑦 = 𝑥𝑒−3𝑥 − 𝑒−3𝑥 + 𝐶𝑒−4𝑥  Sol. Gral. 
 
 
 
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M. Arias 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
− Defina ecuación diferencial; orden y grado. Ejemplifique 
− Defina ecuación diferencial ordinaria. 
− Defina solución de una ecuación diferencial. 
− Defina solución general y particular de una ecuación diferencial. Ejemplifique. 
− Explique la diferencia entre solución general y solución particular de una ecuación diferencial 
(diferencia algebraica y gráfica). 
− ¿Cuándo una EDO se puede resolver a variables separables? Explique. 
− ¿Cuándo una EDO es lineal? Ejemplifique. 
− Realice la deducción de la solución general de una ecuación diferencial lineal. 
− ¿Existen EDO que se pueden resolver a variables separables y lineales? Ejemplifique. 
− Decida si las siguientes proposiciones son correctas: 
a) Todas las soluciones de la ecuación diferencial 𝑦′ = −1 − 𝑥4 son funciones decrecientes. 
b) La función 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑛𝑥
𝑥
 es una solución de la ecuación diferencial 𝑥2𝑦′ + 𝑥𝑦 = 1 
c) El factor integrante de la ecuación diferencial 2𝑡𝑃′ = −𝑃 es 𝐼(𝑡) = √𝑡.