T P N 16 Cambio de variables en integrales dobles

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 16 
 
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES 
 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
2)b); 6); 8); 9) a); 10)a), 12) 
 
Repaso Teórico 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las 
siguientes consignas: 
1. Transformación de ℜ2 en ℜ2 
2. Jacobiano de una transformación de ℜ2 en ℜ2 
3. Teorema de integración con cambio de variables de ℜ2	en	ℜ2 
4. Transformación de coordenadas polares circulares a cartesianas 
5. Teorema	de	integración	en	coordenadas	polares	circulares 
6. Transformación de coordenadas polares elípticas a cartesianas 
7. Teorema	de	integración	en	coordenadas	polares	elípticas 
 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
 
1) Calcule el jacobiano de las siguientes transformaciones 
 
a) x = u(1 -. v) y = u.v 
 
a) x = eau, y = ebv 
 
b) x = r.cosθ y = r.senθ 
 
c) x = a.r.cosθ y = b.r.senθ 
 
d) x = u 2 − v 2 y = 2uv 
 
2) Aplique la transformación sugerida, indique y trace las regiones R y R′. 
 
a) yxvyxuplantearyxxyRdxdy
yx
yx
R
-=+===-=
-
+
òò :031:.
b) 
c) 
3) Evalúe la integral doble donde R es la región del 1er 
cuadrante limitada por y los ejes coordenados. 
4) Utilizando el cambio a polares, halle ∬ (𝑥!	+𝑦!)𝑑𝐴" , siendo 
R = {(x, y) ∈ R2 / (x − 1)2 + y 2 ≤ 1 } 
5) Evalúe . 
6) Usando un adecuado cambio de variables, calcule la integral doble de la 
función: f(x, y) = ex2 + y2, en la región R definida en el primer cuadrante por: 
x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 1. 
7) Usando un adecuado cambio de variables, calcule la integral doble de la 
función: f(x, y) = 1, en la región R, que es exterior a, (x–4)2 + y2 = 16 e 
interior a, (x- 6)2 + y2 = 36. 
8) Usando un adecuado cambio de variables, calcule la integral doble de la 
función: f(x, y) = 1, en la región R definida en el primer cuadrante por: 
(x2 / 9) + (y2 / 4) = 1. 
9) Calcule las siguientes integrales dobles: 
a) ∬ #$! 	𝑑𝐴" donde la región R está comprendida entre las curvas 
⎩
⎨
⎧
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 𝑥
𝑥! +	𝑦! = 1
𝑥! +	𝑦! = 4
 en el primer cuadrante. 
 
22
2:.
2
24
0
1
2
2
yvyxuplanteardydxyx
y
y
=
-
=
-
ò ò
+
( ) xyvyxuplanteardydxxyyx
y
y
2:.2
3
2
0
1
2
2 -=+=-+ò ò
-
òò +-
R
yx dAe )(
22
222 ayx =+
22
3
0
3
0 yx
dxdyx
+
òò
b) ∬ 𝑥!	𝑑𝐴" donde R es la región del primer cuadrante limitada por 
 
3
𝑥𝑦 = 16
𝑦 = 𝑥
𝑦 = 0
𝑥 = 8
 
 
 c) ∬ (𝑦 + 2𝑥!)(𝑦 − 𝑥!)	𝑑𝐴" donde R es la región limitada por las 
curvas 
⎩
⎨
⎧
𝑥𝑦 = 1
𝑥𝑦 = 2
𝑦 = 𝑥!
𝑦 = 𝑥! − 1
 
 
10) Calcule las siguientes integrales dobles utilizando la transformación T 
indicada en cada caso: 
a) ∬ (𝑥! + 𝑦!)	𝑑𝐴" , donde la región R está limitada por las curvas 
 
 
⎩
⎨
⎧𝑥
! − 𝑦! = 1
𝑥! − 𝑦! = 9
𝑥𝑦 = 2
𝑥𝑦 = 4
, la transformación T 9𝑢 = 𝑥
! − 𝑦!
𝑣 = 2𝑥𝑦 , en el primer cuadrante. 
 
b) ∬ <𝑥! + 𝑦!	𝑑𝐴" , donde R es el triángulo con vértices (0,0), (4,0), 
(4,4), la transformación T =
𝑥 = 𝑢
𝑦 = 𝑢𝑣 
c) ∬ <(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 4𝑦)	𝑑𝐴" , donde R es el prarlelogramo con vértices 
(0,0), (1,1), (5,0), (4,-1), donde T es la transformación =
𝑢 = 𝑥 − 𝑦
𝑣 = 𝑥 + 4𝑦. 
 
d) ∬ (𝑥 − 𝑦)!𝑐𝑜𝑠!(𝑥 + 𝑦)	𝑑𝐴" donde R es la región acotada por el 
cuadrado con vértices (0,1), (1,2), (2,1), (1,0), y T es la transformación 
=
𝑢 = 𝑥 − 𝑦
𝑣 = 𝑥 + 𝑦 
11) Calcula ∬ 𝑒
"#$
"%$	𝑑𝐴" , donde la región R es el paralelogramo con vértices 
(0,1), (0,2), (1,0), (2,0). 
12) Calcula ∫ ∫ 𝑑𝑦	𝑑𝑥!$$
#
% , empleando el siguiente cambio de variables 
9𝑥 = 𝑢(1 − 𝑣)𝑦 = 𝑢𝑣 
13) Calcula ∬ (𝑥 − 𝑦)!𝑠𝑒𝑛!(𝑥 + 𝑦)	𝑑𝐴" , donde la región R es el 
paralelogramo con vértices (π,0), (2π,π), (π,2π), (0,π). 
 
Ejercicios Adicionales. 
1) Considere la integral doble de las función f(x, y) = e(x-y) / (x+y), sobre la 
región R delimitada por: x + y = 1, x=0 , y=0. Use la transformación T 
definida por 
 x = u – uv, y = u.v, para calcular la integral. Ayuda: la región que se mapea 
en R es un cuadrado cuyos vértices son: (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0,1). 
2) Usando un adecuado cambio de variables, calcule la integral doble de la 
función: f(x, y) = ex2 + y2, en la región R definida en el semiplano superior, 
exclusivamente, por: x2 + y2 = 4. 
3) Calcule la integral doble de la función: f(x, y) = 1, en la región R 
delimitada por la gráfica en coordenadas polares circulares de r = 2cos2θ. 
4) Usando un adecuado cambio de variables, calcule la integral doble de la 
función: f(x, y) = 1, en la región R delimitada por la gráfica de la elipse, x2 
+ 2y2 = 1.