S07 s1 - integrales dobles

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INTEGRALES DOBLES.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante interpreta la noción de 
integrales dobles, y lo aplica a diferentes problemas de las Ciencias básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
DOBLES.
Teoría y 
Ejercicios.
¿ Para que sirve ?
• Calculo de áreas, volúmenes de solidos.
• Calculo de masas, movimientos estáticos.
• Entre otras.
INTEGRALES DOBLES.
1 Definición.
INTEGRALES DOBLES.
Sea 𝑓𝑓:𝐷𝐷 → ℝ una función de dos variables, la integral doble 
de 𝑓𝑓 sobre 𝐷𝐷 se denota por ∬𝐷𝐷 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 y se define por:
�
𝑫𝑫
𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
𝑷𝑷 →𝟎𝟎
�
𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝒏𝒏
𝒇𝒇(𝒖𝒖𝒊𝒊,𝒗𝒗𝒊𝒊)∆𝒅𝒅𝒊𝒊
Siempre y cuando el límite exista.
Interpretación geométrica: Si 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ es integrable 
en una región cerrada D, y 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) ≥ 0 Para todos los puntos 
de D. Entonces:
𝑽𝑽 𝑺𝑺 = �
𝑫𝑫
𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒅𝒅
Es el volumen del solido S, bajo la superficie 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) y 
tiene como base a la región D.
2.Integrales dobles sobre 
rectángulos.
Integral sobre rectángulos..
• Teorema: Sea 𝒇𝒇:𝑸𝑸 ⊂ ℝ𝟐𝟐 → ℝ definida en un rectángulo 
𝑸𝑸 = 𝒂𝒂,𝒃𝒃 × 𝒄𝒄,𝒅𝒅 . Si 𝒇𝒇 es continua en 𝑸𝑸, entonces 𝒇𝒇 es 
integrable y la integral se puede expresar como:
Ejemplo. Calcule la integral ∬𝑄𝑄 𝑓𝑓 𝑥𝑥, ,𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 , donde 𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦 =
1
(𝑥𝑥+𝑦𝑦)2
; 
𝑄𝑄 = 0,1 × 1,2
Solución.
EJEMPLO: INTEGRALES SOBRE RECTANGULOS.
3.Integrales sobre regiones 
generales.
REGIONES TIPO I Y II.
• Regiones de tipo I. Sean 𝑔𝑔1;𝑔𝑔2: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 → ℝ funciones reales y continuas en 
𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , tal que 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 ; para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 . Considere la región
𝐷𝐷 = 𝑥𝑥,𝑦𝑦 :𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏;𝑔𝑔1(𝑥𝑥) ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑔𝑔2(𝑥𝑥) ; entonces la integral doble sobre D es: 
• Regiones de TIPO II. Sean ℎ1;ℎ2: 𝑐𝑐,𝑑𝑑 → ℝ funciones reales y continuas en 
𝑐𝑐,𝑑𝑑 , tal que ℎ1 𝑦𝑦 ≤ ℎ2 𝑦𝑦 ; para todo 𝑦𝑦 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 . Considere la región
𝐷𝐷 = 𝑥𝑥,𝑦𝑦 : 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑;ℎ1(𝑦𝑦) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ℎ2(𝑦𝑦) ; entonces la integral doble sobre D es: 
Ejemplo. Calcular ∬𝐷𝐷 𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
Solución.
EJEMPLO: REGIONES TIPO I Y II.
1. ∫0
1 ∫𝑥𝑥2
𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
2. ∫0
1 ∫0
𝑦𝑦 𝑦𝑦2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar el 
tipo de región para 
integrar.
2.Recordar las 
técnicas de 
integración en 
funciones de una 
variable.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
integrales dobles.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
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