S02 s2 - Oscilaciones

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Cálculo Aplicado a la Física III 
Semana 02 – Sesión 2
Movimiento oscilatorio
Datos/Observaciones
Logro de la sesión
Al finalizar, el estudiante analiza la teoría del movimiento
oscilatorio en medios mecánicos usando las ecuaciones del 
movimiento oscilatorio.
Datos/Observaciones
AGENDA
 Oscilador armónico simple: Sistema masa resorte
 Energía del oscilador armónico simple
 MAS y movimiento circular uniforme
 Dinámica del oscilador armónico simple
 Péndulos
Oscilador Armónico Simple: Ley de Hooke
La fuerza que actúa sobre la masa es proporcional a su 
desplazamiento pero en dirección opuesta.
El desplazamiento x es considerado en relación a la 
posición de equilibrio. 
Donde k es la constante de rigidez del resorte
Ley de Hooke:
A: es la amplitud de movimiento.
ω: es la frecuencia angular de oscilación.
ϕ: es un ángulo de fase.
Ecuación de movimiento:
Energia en un Oscilador Armónico simple
Energía mecánica total:
En los extremos: x =A ó x = − A
El sistema es conservativo
En los extremos: x =0
La energía del OAS es proporcional al cuadrado de 
su amplitud
Energía en un Oscilador Armónico simple
Energía mecánica total: El sistema es conservativo
Energía en un Oscilador Armónico simple
Energía mecánica total: El sistema es conservativo
http://eng1.mu.edu.tr/~tugrul/g_phys1/lecture_notes/oscillations/page4.html
−A +A −A +A
Ejemplos
1. Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando 
una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha (figura a), 
determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que 
una fuerza de 6.0 N causa un desplazamiento de 0.030 m. Quitamos la balanza y 
conectamos un deslizador de 0.50 kg al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0.020 m 
por una pista de aire sin fricción, lo soltamos y vemos cómo oscila. a) Determine la 
constante de fuerza del resorte. b) Calcule las velocidades máxima y mínima que 
alcanza el cuerpo al oscilar. c) Calcule la aceleración máxima. d) Determine la 
velocidad y la aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia 
el centro desde su posición inicial. e) Determine las energías total, potencial y cinética 
en esta posición.
Ejemplos
2. Un bloque con masa M, conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k, se 
mueve en movimiento armónico simple con amplitud A1. En el instante en que el bloque 
pasa por su posición de equilibrio, un trozo de masilla con masa m se deja caer 
verticalmente sobre el bloque desde una altura pequeña y se adhiere a él. a) Calcule la 
amplitud y el periodo ahora. b) Repita el inciso a) suponiendo que la masilla se deja caer 
sobre el bloque en un extremo de su trayectoria.
Moviento Armónico simple y movimiento circular
Energía mecánica total:
En los extremos: x =A ó x = − A
El sistema es conservativo
En los extremos: x =0
La energía del OAS es proporcional al cuadrado de 
su amplitud
https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Moviento Armónico simple y movimiento circular
https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Moviento Armónico simple y movimiento circular
https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion
Dinámica del Moviento Armónico simple
Segunda ley de Newton:
La fuerza en un 
oscilador masa-
resorte:
Segunda ley de 
Newton en el eje x:
Aplicando la segunda ley de Newton
Ec. de movimiento:
Dinámica del Moviento Armónico simple
Considerando:
Considerando la solución:
Dinámica del Moviento Armónico simple
Considerando la solución más general:
Dinámica del Moviento Armónico simple
Considerando la solución más general:
El periodo es:
Ejemplos
1. Un bloque de 200 g conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de 
5.00 N/m y es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque 
se desplaza 5.00 cm desde el equilibrio y se libera del reposo como en la figura.
a) Hallar el periodo de su movimiento.
b) Determine la rapidez maxima del bloque.
c) Exprese la posicion, velocidad y aceleracion como funciones del tiempo.
Ejemplos
2. Un resorte con una contante de resorte k = 56.0 N/m tiene una pesa de plomo con 
una masa de 1.00 kg sujeta a su extremo (figura). Se tira la pesa +5.5 cm a partir de 
su posicion de equilibrio y entonces se empuja de tal manera que adquiere una 
velocidad inicial de −0.32 m/s. ¿Cual es la ecuacion del movimiento para la 
oscilacion resultante?
Ejemplos
3. Un automovil con una masa de 1 300 kg se construye de modo que su chasis esta 
sostenido mediante cuatro amortiguadores. Cada amortiguador tiene una constante de 
fuerza de 20 000 N/m. Dos personas que viajan en el automovil tienen una masa combinada 
de 100 kg. 
a) Encuentre la frecuencia de vibracion del automovil despues de que pasa sobre un bache 
en el camino.
b) Suponga que el automovil se detiene al lado del camino y las dos personas salen del auto. 
Una de ellas presiona hacia abajo el automovil y lo libera de modo que oscile en la vertical. 
¿La frecuencia de la oscilacion es la misma que el valor recien calculado?
Oscilador de Arquímides
Oscilación de un cilindro de masa M:
Equilibrio en (a) :
� = ��
�����	
�� = �
�
�
���ℎ� = �
���
Equilibrio en (b) :
�� = �� + �� �����	
�� = �
�
� + ��
��� ℎ + ∆ℎ � = �
��� + ��
En (b) se retira la masa, entonces ya no hay 
equilibrio hay una fuerza neta:
� = �� − ��
�� = ��� ℎ + ∆ℎ � − �
���
�
���
���
= ��� ℎ − � � − �
���
�
���
���
= −����� + ���ℎ� − �
���
�
���
���
= −�����
���
���
= −
����
�
�
�� =
����
�
� =
2�
� � = 2�
ℎ 
�
���ℎ = �
��
� = 2�
�
����
Aproximación sen(θ)
Oscilación de un péndulo físico de masa m:
� ! " ≈ " −
$%
&!
+
$(
)!
−
$*
+!
+ ⋯ θ (⁰) θ (rad) sen(θ)
1er Termino
"
2do Termino
" −
"&
3!
3er Termino
" −
$%
&!
+
$(
)!
4to Termino
" −
$%
&!
+
$(
)!
−
$*
+!
1 0.01745329 0.01745241 0.01745329 0.01745241 0.01745241 0.01745241
5 0.08726646 0.08715574 0.08726646 0.08715570 0.08715574 0.08715574
10 0.17453293 0.17364818 0.17453293 0.17364683 0.17364818 0.17364818
15 0.26179939 0.25881905 0.26179939 0.25880881 0.25881906 0.25881905
20 0.34906585 0.34202014 0.34906585 0.34197708 0.34202027 0.34202014
25 0.43633231 0.42261826 0.43633231 0.42248706 0.42261886 0.42261826
30 0.52359878 0.50000000 0.52359878 0.49967418 0.50000213 0.49999999
35 0.61086524 0.57357644 0.61086524 0.57287387 0.57358270 0.57357640
Aproximación sen(θ) y cos(θ)
En series de potencias:
� ! " ≈ " −
$%
&!
+
$(
)!
−
$*
+!
+ ⋯ θ (⁰) θ (rad) sen(θ)
1er Termino
"
2do Termino
" −
"&
3!
3er Termino
" −
$%
&!
+
$(
)!
4to Termino
" −
$%
&!
+
$(
)!
−
$*
+!
1 0.01745329 0.01745241 0.01745329 0.01745241 0.01745241 0.01745241
5 0.08726646 0.08715574 0.08726646 0.08715570 0.08715574 0.08715574
10 0.17453293 0.17364818 0.17453293 0.17364683 0.17364818 0.17364818
15 0.26179939 0.25881905 0.26179939 0.25880881 0.25881906 0.25881905
20 0.34906585 0.34202014 0.34906585 0.34197708 0.34202027 0.34202014
25 0.43633231 0.42261826 0.43633231 0.42248706 0.42261886 0.42261826
30 0.52359878 0.50000000 0.52359878 0.49967418 0.50000213 0.49999999
35 0.61086524 0.57357644 0.61086524 0.57287387 0.57358270 0.57357640
cos " ≈ 1 −
$/
�!
+
$0
1!
−
$2
3!
+ ⋯
θ (⁰) θ (rad) cos(θ)
1er Termino
1
2do Termino
1 −
"�
2!
3er Termino
1 −
$/
�!
+
$0
1!
4to Termino
1 −
$/
�!
+
$0
1!
−
$2
3!
0.25 0.00436332 0.99999048 1.00000000 0.99999048 0.99999048 0.99999048
0.5 0.00872665 0.99996192 1.00000000 0.99996192 0.99996192 0.99996192
1 0.01745329 0.99984770 1.00000000 0.99984769 0.99984770 0.99984770
5 0.08726646 0.99619470 1.00000000 0.99619228 0.99619470 0.99619470
10 0.17453293 0.98480775 1.00000000 0.98476913 0.98480779 0.98480775
15 0.26179939 0.96592583 1.00000000 0.96573054 0.96592627 0.96592583
20 0.34906585 0.93969262 1.00000000 0.93907652 0.93969513 0.93969262
30 0.52359878 0.86602540 1.00000000 0.86292216 0.86605388 0.86602526
� ! " ≈ "
Para ángulos pequeños:45� " ≈ 1
Péndulo simple
Oscilación de un pendulo simpl de masa m:
Segunda ley de Newton:
Fuerza eje tangencial:
Segunda ley de Newton:
Péndulo físico
Oscilación de un péndulo físico de masa m:
Segunda ley de Newton:
Ejemplos
1. Suponga que una varilla uniforme de longitud L oscila respecto a un pivote se encuentra en un extremo. Calcule el periodo 
de su movimiento.
Ejemplos
2. Todos los animales que caminan, incluido el ser humano, tienen un ritmo (paso) natural para caminar, un número de 
pasos por minuto, que es más cómodo que un ritmo más rápido o más lento. Suponga que este ritmo natural corresponde a 
la oscilación de las piernas como un péndulo físico. 
a) ¿Cómo depende el paso natural de la longitud L de la pierna, medida de la cadera al pie? Considere la pierna como una 
varilla uniforme con pivote en la cadera. 
b) Pruebas fósiles demuestran que el Tyrannosaurus rex, un dinosaurio bípedo que vivió hace 65 millones de años al final del 
periodo Cretácico, tenía una longitud de pierna L = 3.1 m y una longitud de paso (la distancia de una huella a la siguiente del 
mismo pie) S = 4.0 m. Estime la rapidez con que caminaba el T. rex.
Ejemplos
3. Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación completa con ángulo pequeño 
una vez cada 2.0 s. ¿Qué radio debe tener el aro?.
Ejemplos
4. Cada uno de los dos péndulos que se muestran en la figura consiste en una 
esfera sólida uniforme de masa M sostenida por un cordón sin masa; no obstante, 
la esfera del péndulo A es muy pequeña, en tanto que la esfera del péndulo B es 
mucho más grande. Obtenga el periodo de cada péndulo para desplazamientos 
cortos. ¿Qué esfera tarda más en completar una oscilación?
Datos/Observaciones
Recordar
 El MAS alcanza una amplitude máxima periódicamente. 
 La energía mecánica en el MAS es constante.
 La proyección del movimiento circular sobre un eje es equivalente 
a un MAS.
 El movimiento MAS es descrito por la segunda ley de Newton
 Los periodos de péndulos con MAS no dependen de la mása del 
sistema mecánico.