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S11: CINEMÁTICA DEL M.A.S. Y PÉNDULOS Periodo, frecuencia de oscilación, amplitud, ecuación de movimiento, péndulo físico, péndulo simple y péndulo de torsión. ¿Cuál es el modelo físico del oscilador armónico? ¿Cuál es el diagrama de cuerpo libre del bloque del oscilador armónico? ¿Recuerdas la ecuación de la 2ª Ley de Newton? RECOGIENDO LOS SABERES PREVIOS CONFLICTO COGNITIVO En la nave espacial la gravedad es despreciable, por lo que es imposible que una persona sepa su masa usando una balanza de resorte. A cambio, la masa se determina usando la silla que se muestra en la figura, cuyo modelo físico se muestra. ¿Cómo se podría calcular la masa del astronauta? LOGRO Al término de la sesión, el estudiante resuelve problemas de movimiento armónico simple y de diversos tipos de péndulos, haciendo uso de sus respectivas ecuaciones, ejerciendo un análisis que permita sustentar cada etapa de su proceso de solución creativa y evaluando las consecuencias de la(s) solución(es). PREGUNTA: • ¿Por qué en el espacio exterior no se puede usar una balanza de resorte o brazos para medir la masa de un cuerpo? ¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO PERIÓDICO? Es aquel movimiento que se repite regularmente; es decir, vuelve a suceder al cabo de cierto tiempo T, denominado periodo. Son ejemplos de movimiento periódico: •Los planetas moviéndose alrededor del Sol. •El cilindro que se desliza por un doble plano inclinado en ausencia de fricción. El movimiento de los planetas alrededor del Sol αα 0 = Movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada ¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO OSCILATORIO? Se produce cuando al trasladar un cuerpo de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora lo obliga a desplazarse a puntos simétricos con respecto a esta posición. Se dice que este tipo de movimiento es periódico porque la posición y la velocidad de las partículas en movimiento se repiten en función del tiempo. Algunos ejemplos: •Este movimiento se debe a que existe una fuerza de restitución. •En la figura, el peso produce la oscilación del péndulo. EVALUANDO UN CASO: Una pelota que rebota, ¿es un ejemplo de movimiento armónico simple?; el diario de ir y venir de un estudiante de la casa a la universidad, ¿es movimiento armónico simple?. Explique cada uno de los casos. CANTIDADES FÍSICAS EN EL M.A.S. a) Elongación del resorte o posición del móvil x(t) b) Oscilación completa o ciclo c) Amplitud (A) d) Frecuencia de oscilación (f) e) Frecuencia angular: f) Período (T) 1 f Hz T = 2 f = 𝑇 = 2𝜋 𝑚 𝑘 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio en el que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de la fuerza recuperadora de un resorte sobre una superficie sin fricción. Por la segunda ley de Newton, k a x m = − F kx= − Posición de equilibrio Amplitud Periodo AA F x F x a – máxima F- máxima v = 0 a – máxima F- máxima v = 0 a = 0 F = 0 v máxima Por la Segunda Ley de Newton Considerando que la frecuencia angular es Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene La solución de la ecuación es: ECUACIONES DEL MAS k a x m = − 2 kω m = 2 2 2 d x x dt = − x( t ) Acos( t ) = + = k m 1 2 k f m = 2 m T k = PROBLEMA DE APLICACIÓN N°01 Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza 0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0,800 s su desplazamiento es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud b) el periodo c) la frecuencia d) frecuencia angular e) la ecuación de posición FASE Y ÁNGULO DE FASE Sea la ecuación de movimiento: A , ω y δ son constantes A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio. El argumento de la función coseno, (ωt +δ) se denomina fase y la constante δ es el ángulo de fase. x( t ) Acos( t ) = + x( t ) Acos( t ) = + v( t ) A sen( t ) =− + 2a( t ) A cos( t ) = − + POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EJEMPLO DE APLICACIÓN N°02 En la figura se muestra la gráfica de desplazamiento versus tiempo de una pequeña masa m en el extremo de un resorte. En t = 0, x = 0,43 cm. a) Si m = 9,5 g, calcule la constante de resorte k. b) Escriba la ecuación para el desplazamiento x en función del tiempo. EJEMPLO DE APLICACIÓN N°03 Una partícula vibra con un MAS obedeciendo a la ecuación horaria dada en el SI: donde x de mide en metros y t en segundos. a) Realice la representación gráfica x = x (t). b) Calcule el tiempo que tarda la partícula en pasar por tercera vez por la posición de equilibrio. c) Calcule el espacio recorrido por la partícula en ese tiempo. 2( ) 10 cos(8 / 6)x t t −= + EJEMPLO DE APLICACIÓN N°04 Una masa de 2 kg está suspendida en un plano vertical por tres resortes, según se indica en la figura. Si se desplaza 5 mm hacia abajo a partir de su posición de equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de 250 mm/s cuando t=0, determinar a) La ecuación diferencial que rige el movimiento. b) El periodo y la amplitud de la vibración resultante. c) La posición de la masa en función del tiempo. d) El menor tiempo t1>0 de paso de la masa por su posición de equilibrio. EL PÉNDULO SIMPLE Objeto cuya masa se considera concentrada en un punto a una distancia L (longitud del péndulo inextensible y masa despreciable) del punto de suspensión o centro de rotación. La fuerza sobre la masa pendular: – mg.sen = ma Pero, 2 2 d a R L dt = = = Ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple es Pero, se sabe que para ángulos pequeños (≈15°) Se concluye que la ecuación finalmente tiene la siguiente forma: Donde la frecuencia natural y el periodo de oscilación están dadas: La solución del desplazamiento angular es: ECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLE 2 2 d g sen 0 dt L + = sen 2 2 d g 0 dt L + = 0 g L ; T=2 L g = 𝜃(t)=𝜃0cos(𝜔𝑡+𝛼) EJEMPLO DE APLICACIÓN N°05 Calcule la longitud de un péndulo simple, si el periodo del péndulo es 5,00 s en un lugar en que la aceleración de la gravedad es 9,81 m/s2 PÉNDULO DE TORSIÓN La rueda de balance de un reloj mecánico tiene un momento de inercia I alrededor de su eje. El resorte ejerce un momento de torsión proporcional al desplazamiento angular respecto a la posición de equilibrio. La segunda ley de Newton para el cuerpo rígido es: z k = − k I − = 2 2 d k 0 dt I + = 𝜏𝑧 = 𝐼𝛼 En el MAS angular la frecuencia angular y la frecuencia están dadas por las siguientes ecuaciones: La ecuación de desplazamiento angular para el péndulo de torsión es: donde 𝜃0 se conoce como amplitud angular. Henri Cavendish en 1798 construyó una balanza de torsión que ayudó a determinar el valor de la constante universal de gravitación (G). ECUACIONES DEL PÉNDULO DE TORSIÓN k ω = I 𝜃 𝑡 = 𝜃0cos(𝜔𝑡 + 𝛼) 𝑇 = 2𝜋 𝐼 𝐾 TABLA 1: MOMENTOS DE INERCIA DE SÓLIDOS PROBLEMA DE APLICACIÓN N°06 Una esfera maciza de 10 kg de masa y 15 cm de radio está suspendida de un alambre metálico delgado formando un péndulo de torsión. Determinar el periodo de oscilación si para hacer girar la esfera un ángulo de 15° el momento requerido es 1,8 Nm. Un péndulo físico es cualquier péndulo real, que usa un cuerpo de tamaño finito en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple. De acuerdo con la figura, se observa que existe un torque restaurador, cuya expresión está dada por: Por otro lado, la ecuación del torque es: Un péndulo físico es cualquier péndulo real, que usa un cuerpo de tamaño finito en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple. I = De acuerdo con la figura, se observa que existe un torque restaurador, cuya expresión está dada por: Por otro lado, la ecuación del torque es: PÉNDULO FÍSICOZ (mg)(dsen ) = − Z (mgd) = − Escribiendo la expresión del torque en la ecuación del torque y la aceleración angular. Definiendo la frecuencia angular. De donde se obtiene el periodo de oscilación del péndulo físico. ECUACIONES DEL PÉNDULO FÍSICO 2 2 d θ -(mgd)θ = I dt 2 2 d θ mgd = - θ dt I mgd ω = I I T = 2π mgd PROBLEMA DE APLICACIÓN N°07 Un disco delgado de 5,00 kg de masa y con un radio de 20,0 cm se suspende mediante un eje horizontal perpendicular al disco y que pasa por su borde. El disco se desplaza ligeramente del equilibrio y se suelta. Calcule el periodo de oscilación del disco si aproximamos este movimiento al de un m.a.s. PROBLEMA DE APLICACIÓN N°08 Un péndulo está hecho de una varilla de longitud 1,50 m y de masa 0,90 kg a la que se fija un disco de 0,60 kg de masa y de 20,0 cm de diámetro como se indica en la figura. Si la distancia entre el punto de suspensión (pivote) y el centro del disco es 1,20 m. Calcule el periodo de las oscilaciones del péndulo. ACTIVIDAD GRUPAL DE CLASE: Considere una barra delgada con masa M= 4,00 kg y de longitud L = 1,20 m pivotada en un eje horizontal libre de fricción en el punto L/4 desde un extremo, como se muestra en la figura. a) Calcule el momento de inercia de la varilla respecto del pivote. b) Obtenga una ecuación que relacione la aceleración angular α de la barra como función de θ. c) Calcule el periodo para pequeñas amplitudes de oscilación respecto de la vertical. METACOGNICIÓN • ¿Dónde podemos aplicar los conceptos de movimiento oscilatorio en la ingeniería? • ¿Qué similitud tiene un movimiento armónico simple con cualquier tipo de péndulo visto en el material? REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA • Young – Fredman / Sears – Zemansky. Física Universitaria con Física Moderna. Vol 1. Décimo tercera edición. México. Editorial Pearson; 2009. • Douglas C. Giancoli. FÍSICA para Ciencias e Ingeniería. Vol1. sexta Edición. México. Editorial Pearson; 2010. Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de Física, semestre 2019 – 1. Universidad Privada del Norte.
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