Tema 15 - Movimiento armónico simple

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46UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 15
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE
FÍSICA
I. IMPORTANCIA
El estudio del oscilador armónico constituye en Física
un capítulo muy importante, ya que son muchos los
sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza
y que han sido producidos por el hombre.
II. OBJETIVOS
• Analizar el M.A.S. como un movimiento periódico y oscilatorio.
• Analizar los valores de la energía cinética, potencial
y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando
la partícula pasa por el origen y por las posiciones
de máximo desplazamiento.
• Definir e identificar las principales magnitudes físicas
que intervienen en un M.A.S.
III. HISTORIA
Sabemos que una de las propiedades más importantes de la
materia es el "movimiento" y en la naturaleza, este se pre-
senta en distintas formas; en algunos casos, bastante senci-
llas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un auto
o en otros casos más complejos de analizar como por ejem-
plo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias.
Con respecto a este último caso, el movimiento de las molé-
culas de una sustancia sólida es un caso de mucha compleji-
dad, pero esa complejidad disminuye considerablemente
cuando hacemos uso de un modelo que se asemeje mucho
a lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido el
movimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad.
Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las mo-
léculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos a
los resultados que se obtienen en forma experimental.
Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, está
en función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre y
eso lo determinan los resultados. Con esto podemos compren-
der la gran importancia del estudio de este movimiento.
Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunos
movimientos microscópicos sino también algu-nos macroscópicos,
como los movimientos sísmicos y en general los movimientos
ondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como el
sonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, son
estudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también las
ondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisión
son descritos mediante este modelo.
Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya que
permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios
más complejos que se presentan en la naturaleza.
IV. DEFINICIÓN
A. Movimiento oscilatorio
Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve
hacia uno y otro lado respecto a una posición de
equilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.
B. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y perió-
dico donde su aceleración siempre señala hacia la
posición de equilibrio.
x(-)
V=0 a Vmáx a V=0
X(+)
(-)A A(+)
Q P
P.E. 
P, Q: Extremos
P. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ.
1. Oscilación simple
Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir de
una posición extrema hasta la otra (ABCD).
2. Oscilación doble o completa
Es el movimiento que realiza un cuerpo en ir de
una posición extrema a la otra y luego regresar
a la primera (ABCDCBA).
3. Período (T)
Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizar
una oscilación completa.
4. Frecuencia (f)
Es el número de oscilaciones completas que realiza
un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).
DESARROLLO DEL TEMA
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
5. Elogación (x)
Es la distancia existente entre la posición de equi-
librio y el cuerpo en un instante cualquiera.
6. Amplitud (A)
Es la distancia existente entre la posición de equi-
librio y cualquiera de las posiciones extremas.
Propiedad
T: periodo
w = 22 f
T
 
w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante.
V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNA
PARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X
A. Posición (x)
x(+) = xmáxSen (wt + )
xmáx = A
B. Velocidad (v)
v(+) = vmáxCos (wt + )
vmáx = wA
C. Aceleración (a)
a(+) = amáxSen (wt + )
amáx = w
2A
Donde:
• (wt + ): fase, es el argumento de la función
armónica (en radianes).
• : fase inicial, es un ángulo que nos indica el
punto (x) donde se empieza a medir el tiempo
(t0 = 0).
Propiedades
1. x2 + 
2
2v A
w
    
2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0)
Vmin = 0 (en los externos, x =  4)
3. amáx = w
2A (en los externos)
amin = 0 (En la P.E., x = 0)
Problema 1
Una partícula tiene un movimiento
armónico simple. Si su rapidez máxima es
de 10 cm/s y su aceleración máxima es
de 25 cm/s2, calcule aproximadamente
el producto de su amplitud por el período
del movimiento en (cm. s).
UNI 2012 - II
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Resolución:
Sabemos que en el M.A.S. la velocidad
máxima y aceleración máxima se dan
en d iferentes posiciones del
movimiento oscilatorio.
•     MÁXV .A 10 A
•     2 2MÁXa .A 25 .A
Tomando las ecuaciones anteriores y
dividiendolas:


10 1
25
   rad2.5 A 4 cm....
s 
Pero: 
  2
T
 
  

2 2T ...................
2.5 
Nos piden el producto de el periodo
con la amplitud, entonces las ecuaciones
 y serán multiplicadas:
 2A.T 4.
2,5  A.T. 10,048
Respuesta: E) 10
Problema 2
Un péndulo simple tiene un período de 1,5 s
sobre la superficie de la Tierra. Cuando se le
pone a oscilar en la superficie de otro planeta,
el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa de
este planeta es 100 veces la masa de la Tierra,
el cociente entre el radio del planeta y el
radio de la Tierra, (Rp/RT), es:
A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
UNI 2011 - I
Resolución:
RP/RT
Análisis de los datos o gráficos
En la Tierra: En el planeta P:
TT = 1,5s Tp = 0,75
Usando:   LT 2 R
GM
...(I)
Siendo: R: Radio del planeta
G: Constante universal
M: Masa del planeta
L: Longitud del péndulo
T: Período
Nos piden:



Pp
T
T
T
L2 RT GMp
T L2 R
GM
 



P
T
T
T
L2 R
G(100M )0, 75
1,5 L2 R
GM
 P
T
R
5
R
Respuesta: C) 5
Problema 3
Un sistema masa-recorte oscila de manera
que la posición de la masa está dada por
 x 0,5 sen(2 t), donde t se expresa en
segundos y x en metros. Halle la rapidez,
en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m.
A) 0, 2 B) 0, 4 C) 0, 6
D) 0, 8 E) 
UNI 2010 - I
Resolución:
Ecuación de la posición: x = ASen (wt)
 x = 0,5 Sen(2  t)
Sabemos:
  2 2V A x    2 2V 2 0,5 (0,3)
 V 2 0, 4  V = 0,8  m/s
Respuesta: D) 0,8  m/s
problemas resueltos