S04 s1-Variacion de parametros

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 02Ecuaciones diferenciales de orden superior: 
Solución Particular
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS
Semana 04 Sesión 01
TEMA: Solución Particular: Método de Variación de 
Parámetros
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve las 
ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden 
superior con coeficientes constantes usando el método de 
Variación de parámetros.
Logro de la Sesión
Contenido general
Ecuación diferencial lineal no homogénea de orden superior
Con coeficientes variables 
Método de variación de parámetros
Ejercicios resueltos y propuestos
Datos/Observaciones
Una aplicación del método de variación de parámetros
es el problema de Disolución
.
Tenemos un tanque inicialmente con 800 
litros de agua pura al cual le ingresa un flujo
De solución salina con concentración de 75
gramos por litro, a un ritmo de 5 litros por 
minuto y salen 3 litros por minuto. Deseamos 
conocer la ecuación de concentración del
tanque en función del tiempo.
Tiene por ecuación diferencial de la forma
x˙(t)+ p(t)x(t) = q(t).
UTULIDAD : 
http://www.soloentendidos.com/wp-content/uploads/2017/02/ecuaciones-diferenciales-problema-solucion-tanque-disolucion.jpg
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Datos/Observaciones
VARIACION DE PARAMETROS
Sea la Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes 
variables:
Con soluciones homogéneas : 𝑦1 𝑥 𝑒 , 𝑦2(𝑥) ; en donde
El wronskyano de : 𝑦1 𝑥 y 𝑦2 𝑥 , 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜
Lo cual quiere decir: W 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 = det (
𝑦1 𝑦2
𝑦1
, 𝑦2
, ) ≠ 0
𝑦 ,, + 𝑝 𝑥 𝑦 , + 𝑞(x)y = f(x)
Datos/Observaciones
VARIACION DE PARAMETROS
𝑦 ,,+𝑝 𝑥 𝑦 , + 𝑞(x)y = f(x)
Es de la forma : 
Entonces la solución particular de dicha ecuación diferencial
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑢2 𝑥 𝑦2 𝑥
En donde 𝑦1 𝑥 y 𝑦2 𝑥 son las soluciones homogéneas
de dicha ecuación diferencial 
Datos/Observaciones
VARIACION DE PARAMETROS
Además : 𝑢1 𝑥 y 𝑢2 𝑥 se calculan como:
𝑢1 𝑥 ׬=
−𝑦2 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑊 𝑦1 𝑥 ;𝑦2 𝑥
𝑢2 𝑥 ׬=
𝑦1 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑊 𝑦1 𝑥 ;𝑦2 𝑥
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver : 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
RESOLUCION: 
Solución Homogénea: 
Ec.característica:𝑚2 + 1 = 0 , entonces las raíces son:
𝑚1 = 𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑚2 = −𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Como:
W 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡
cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
= 1 ≠ 0 ,entonces:
𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)
EJERCICIOS RESUELTOS
Solución Particular :
𝑦𝑝=cos(x).𝑢1(𝑥) + sen(x).𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶
𝑢1 𝑥 = න
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 . sec 𝑥
1
𝑑𝑥 = −නtan 𝑥 𝑑𝑥
= -ln sec(𝑥) , luego también :
𝑢2 𝑥 = ׬
𝑐𝑜𝑠 𝑥 .sec 𝑥
1
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥׬ = 𝑥
Entonces: 𝒚𝒑=- cos(x) ln 𝒔𝒆𝒄(𝒙) + xsen(x)
EJERCICIOS RESUELTOS
2.- Resolver : 𝑦 ,, + 4𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(2𝑥)
RESOLUCION: 
Solución Homogénea: 
Ec.característica:𝑚2 + 4 = 0 , entonces las raíces son:
𝑚1 = 2𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ;𝑚2 = −2𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥
Como:
W 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡
cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2cos(2𝑥)
= 2 ≠ 0 ,entonces:
𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
EJERCICIOS RESUELTOS
Solución Particular :
𝑦𝑝=cos(2x).𝑢1(𝑥) + sen(2x).𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶
𝑢1 𝑥 = න
−𝑠𝑒𝑛 2𝑥 . csc 2𝑥
2
𝑑𝑥 = −
1
2
න𝑑𝑥 = −
𝑥
2
𝑢2 𝑥 = න
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 . csc 2𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
නcot(2𝑥)𝑑𝑥 =
=
1
4
𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝒚𝒑=-
𝒙
𝟐
cos(2x)+
𝟏
𝟒
𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) sen(2x)
EJERCICIOS RESUELTOS
3.- Resolver : 𝑦 ,, - 4𝑦 , + 4𝑦 = 𝑒2𝑥
RESOLUCION :
Solución Homogénea:
Ec.Característica: 𝑚2 −4𝑚 + 4 = 0, entonces: (m -2)(m-2) = 0
𝑚1 = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑦1 = 𝑒
2𝑥 ; 𝑚2 = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑦2 = 𝑥𝑒
2𝑥
Como: W 𝑦1; 𝑦2 = det
𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥
2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥
= 𝑒4𝑥
Entonces: 𝒚𝒉= 𝒄𝟏𝒆
𝟐𝒙 +𝒄𝟐𝒙𝒆
𝟐𝒙
EJERCICIOS RESUELTOS
Solución Particular :
𝑦𝑝=𝑒
2𝑥.𝑢1(𝑥) + 𝑥𝑒
2𝑥.𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶
𝑢1 𝑥 = −න
𝑥𝑒2𝑥. 𝑒2𝑥
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 = −න 𝑥𝑑𝑥 = −
𝑥2
2
𝑢2 𝑥 = න
𝑒2𝑥. 𝑒2𝑥
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 = න𝑑𝑥 = 𝑥
ent𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝒚𝒑=-
𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙
𝟐
+ 𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙 =
𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙
𝟐
EJERCICIOS RESUELTOS
4.- Resolver : 𝑦 ,, - 3𝑦 , + 2𝑦 = 𝑥𝑒3𝑥
RESOLUCION :
Solución Homogénea : 
𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: (𝑚 − 1)(𝑚 − 2)=0 , 
luego: 𝑚1 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑦1= 𝑒
𝑥
𝑚2 = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑦2 = 𝑒
2𝑥
Como: W 𝑦1; 𝑦2 =
𝑒𝑥 𝑒2𝑥
𝑒𝑥 2𝑒2𝑥
= 𝑒3𝑥 ≠ 0 ,Entonces:
𝒚𝒉= 𝒄𝟏𝒆
𝒙 + 𝒄𝟐𝒆
𝟐𝒙
EJERCICIOS RESUELTOS
Solución Particular:
𝑦𝑝=𝑒
𝑥.𝑢1(𝑥) + 𝑒
2𝑥.𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶
𝑢1 𝑥 = −න
𝑒2𝑥 . 𝑥𝑒3𝑥
𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = −න𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −(
𝑥
2
−
1
4
)𝑒2𝑥
𝑢2 𝑥 = න
𝑒𝑥 . 𝑥𝑒3𝑥
𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = න𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = x − 1 𝑒𝑥
ent𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝒚𝒑=- (
𝒙
𝟐
−
𝟏
𝟒
)𝒆𝟑𝒙 + 𝐱 − 𝟏 𝒆𝟑𝒙
EJERCICIOS RESUELTOS
5.- Resolver: 𝑥𝑦 ,, - (x + 1)𝑦 , + 𝑦 = 𝑥2𝑒3𝑥 ,
Si sus soluciones homogéneas son:𝑦1 =x +1 ; 𝑦2=𝑒
𝑥
RESOLUCION: 
Solución Homogenea:
Como : W 𝑦1; 𝑦2 =
𝑥 + 1 𝑒𝑥
1 𝑒𝑥
=x𝑒𝑥 ≠ 0 ,Entonces:
𝒚𝒉= 𝒄𝟏(x +1) +𝒄𝟐𝒆
𝒙 , Luego:
Solución Particular:
𝑦𝑝= (𝑥 + 1)𝑢1(𝑥) + 𝑒
𝑥𝑢2(𝑥)
EJERCICIOS RESUELTOS
En donde:
𝑢1 𝑥 = −න
𝑒𝑥 . 𝑥𝑒3𝑥
𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥 = −න𝑒3𝑥𝑑𝑥 =
−1
3
𝑒3𝑥
𝑢2 𝑥 = න
𝑥 + 1 . 𝑥𝑒3𝑥
𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥 = න 𝑥 + 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥
=
(2𝑥+1)
4
𝑒2𝑥
ent𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝒚𝒑=-(x +1)
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 +
(𝟐𝒙+𝟏)
𝟒
𝒆𝟑𝒙
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver las ecuaciones:
1.- 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑐sc(𝑥)
2.- 𝑦 ,, + 16𝑦 =sec(4x)
3.- 𝑦 ,, −9𝑦 , + 8𝑦 = 𝑒𝑥
4.- 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
5.- 𝑦 ,, − 5𝑦 , − 6𝑦 = 𝑥𝑒5𝑥
Datos/Observaciones
EJERCICIO RETO
Resolver la Ecuación diferencial :
𝑦′′ − 6𝑦′ + 8𝑦 = 𝑥4𝑒6𝑥
CONCLUSIONES:
1.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes 
variables ,tiene una aplicación en los problemas de disolución.
2.- La solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden 
superior y de coeficientes constantes no homogéneo, su solución particular 
es resuelto por el método de Variación de parámetros. 
3.- El método de la solución particular es valido para cualquier función en su 
segundo miembro de la ecuación diferencial y sus coeficientes pueden ser 
constantes o variables.
Ecuación diferencial de orden superior