S07 s2- Series de potencias

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 04
Soluciones en serie de ecuaciones lineales 
Semana 07 Sesión 02
TEMA: Serie de Taylor. Serie de potencias. Intervalo y radio 
de convergencia
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante determina la 
convergencia de una serie de potencias y calcula el desarrollo 
en serie de Taylor de una función.
Logro de la Sesión
Contenido general
Serie de potencias.
Convergencia de series de potencias
Intervalo y radio de convergencia
Criterio del cociente
Series de Taylor.
Series de Maclaurin .
Función analítica.
Datos/Observaciones
Una pelota cae de una altura de 1m y rebota hasta 
una tercera parte de la altura alcanzada en el rebote 
anterior. Calcula el espacio total recorrido d por la 
pelota cuando esta en caída hasta que teóricamente 
quede en reposo.
𝑑 = 1 +
1
3
+ (
1
3
)2+(
1
3
)3+⋯+
1
3
𝑛
+⋯ = ෍
𝑛=0
∞
1
3
𝑛
=
3
2
UTILIDAD
Serie de Taylor centrada en 0
𝑠𝑒𝑛 x = ෍
𝑛=0
∞
(−1)𝑛
(2𝑛 + 1)!
𝑥2𝑛+1 .
Las desarrollos en series de potencias nos permiten:
Calcular series numéricas.
Aproximar funciones mediante polinomios. 
Calcular valores aproximados de integrales definidas.
Serie de potencias 
La suma infinita σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)
2+⋯
es llamada Serie de Potencias centrada en “a”. Por ejemplo :
La serie de potencias converge si el límite de la secuencia 
de sumas parciales, 𝑆𝑁 𝑥 = σ𝑘=0
𝑁 𝑐𝑘(𝑥 − 𝑎)
𝑘 existe. 
Intervalo de convergencia: Es el conjunto de números
reales donde la serie converge.
El radio de convergencia de la serie es:
𝑅 > 0 si la serie Converge para |x – a| < R y diverge para |x – a|> R. 
𝑅 =0 si la serie converge solo para x = a. 
𝑅 = ∞ si La serie converge para todo numero real x. 
La serie converge absolutamente si σ𝑛=0
∞ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
converge.
Datos/Observaciones
Suponga cn  0 ∀ n, y 
Si 𝜌 < 1, la serie converge absolutamente; 
Si 𝜌 > 1, la serie diverge; y 
Si 𝜌 = 1, el criterio no es concluyente
Si 𝜌 = lim
𝑛→∞
𝐶𝑛+1
𝐶𝑛
entonces 𝑅 =
1
𝜌
Criterio de la Razón 
L
c
c
ax
axc
axc
n
n
n
n
n
n
n
n


 




1
1
1 lim||
)(
)(
lim
Datos/Observaciones
Ejercicio explicativo1: Halle el radio e 
intervalo de convergencia:
a) σ𝑛=0
∞ 𝑛
3
4𝑛
(𝑥 − 2)𝑛
b) σ𝑛=1
∞ (𝑥−3)
𝑛
2𝑛 𝑛
c) σ𝑛=1
∞ 2
𝑛𝑥𝑛
𝑛
d) σ𝑛=0
∞ 𝑥
𝑛
3𝑛+1
Datos/Observaciones
Sea 𝑓(𝑥) infinitamente diferenciable en 𝐼, 
entonces la serie de Taylor de f(x) es:
SERIE DE TAYLOR
Cuando 𝑎 = 0, tenemos la 
serie de Maclaurin para 𝑓(𝑥):
f x = ෍
𝑛=0
∞
𝑓 𝑛 (0)
𝑛!
𝑥𝑛 .
Ejercicio explicativo 2:
Desarrollar en serie de Maclaurin
la función : 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥
f x = σ𝑛=0
∞ 𝑓
𝑛 (𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛; 𝑎 ∈ 𝐼.
Ejercicio explicativo 3:
Desarrollar en serie de Maclaurin
la función : 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥
Desarrollar en serie de Maclaurin
la función : 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥
Resolver 𝑦′ − 2𝑥𝑦 = 0; 𝑦 0 = 3, mediante la serie de 
Taylor alrededor de a=0 .
n 𝒇 𝒏 (𝒙) 𝒇 𝒏 (𝟎)
0 𝑓 0 𝑥 = 𝑦 𝑓 0 = 3
1 𝑓 1 𝑥 = 𝑦′ = 2𝑥𝑦 Y’(0)=0
2 𝑓 2 𝑥 = 𝑦′′ = 2𝑦 + 2𝑥𝑦′ Y’’(0)=2(3)
3 𝑓 3 𝑥 = 𝑦′′′ = 4𝑦′ + 2𝑥𝑦′′ Y’’’(0)=0
4 𝑓 4 𝑥 = 𝑦(4) = 6𝑦′′ + 2𝑥𝑦′′′ Y’’’’(0)=12(3)
5 𝑓 5 𝑥 = 𝑦(5) = 8𝑦′′′ + 2𝑥𝑦′′′′ Y’’’’’(0)=0
6 𝑓 6 𝑥 = 𝑦(6) = 10𝑦′′′′ + 2𝑥𝑦′′′′′ Y’’’’’’(0)=120(3)
y x = ෍
𝑛=0
∞
𝑓 𝑛 (0)
𝑛!
𝑥𝑛 .
y x =
3
0!
+ 0𝑥1 +
6
2!
𝑥2 + 0𝑥3 +
36
4!
𝑥4 + 0𝑥5 +
360
6!
𝑥6 +⋯ solución aproximada 
hasta el séptimo termino 
Ejercicio explicativo 4:
Resolver 𝑦′ − 𝑦 = 𝑒𝑥; 𝑦 0 = 1, mediante la serie de 
Taylor alrededor de a=0 .
n 𝒇 𝒏 (𝒙) 𝒇 𝒏 (𝟎)
0 𝑓 0 𝑥 = 𝑦 𝑓 0 = 1
1
2
3
4
5
6
y x = ෍
𝑛=0
∞
𝑓 𝑛 (0)
𝑛!
𝑥𝑛 .
Ejercicio Reto 
CONCLUSIONES:
1.- La aplicación del desarrollo en series de potencias es muy útil en el calculo 
de series numéricas y en la aproximación de funciones. 
2.- Hemos definido el intervalo y radio de convergencia así como el criterio del 
cociente para analizar la convergencia de una serie
3.- Hemos definido series de Taylor y Maclaurin y su aplicación a las ecuaciones 
diferenciales.
Series de potencias