FRACCIONES Y DECIMALES

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lo largo de la historia muchos han 
sido los símbolos que se 
utilizaron para indicar la raíz 
cuadrada de un número. Hay 
evidencias de que los antiguos egipcios 
empleaban un jeroglífico similar a este: 
U· Los matemáticos europeos usaron 
diferentes símbolos en distintas épocas y países. 
Uno de los más conocidos es la letra R, que 
también se usó como una R tachada: "#.. Provenía 
de la palabra "radix", traducción al latín de la palabra 
"raíz", presente en el libro Elementos del 
matemático griego Euclides. En algunos escritos 
aparece la R en minúscula; en otros, la abreviación 
"ra." y también el símbolo v que se ha interpretado 
como una deformación de la R. 
Algunos investigadores creen que el actual símbolo 
✓- deriva de esta notación. En el siglo xvI el
El 'BARRIO SE 
UE VOS NO VAL 
ADA. ¿ES CJER 
matemático alemán Scheubel utilizó diversas notaoones
para indicar ra!z cuadrada en un mismo libro. e incluso en
un mismo cálculo. Para Jls + ✓17 = ✓32 + .J¡ .020
escribió: "ra.15 ad ra.17 ra.
col. 32 vl .020", donde
la abreviatura "col."
proviene de 
"collecti" y significa 
"agregado". Otros 
símbolos que se 
usaron tuvieron 
menor influencia y 
desaparecieron 
rápidamente. Por 
ejemplo, la letra "I", 
Y SÍ. PERO 
LAS MALAS 
LENGUAS 
TAMBIÉN 
DICEN QUE 
VOS NO 
E"'ISTÍS. 
utilizada para abreviar la 
palabra "latus", que s1grnfíca 
"lado", por el origen de la raíz cuadrada 
en el cálculo del lado de un cuadrado 
sabiendo su área. 
[tl.. LCuáles de las siguientes escrituras representan la misma cantidad? 
2,7 l7 2 + 0,7 
27 
10 
� Decidí si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa. 
Explicá por qué. 
b) □ lZ=01710 
d) o 2 5= 251 10 
íi)>, a) LEntre qué números naturales 
consecutivos está cada una de las 
siguientes fracciones? 
f) O 2 75= 2751 100 
/ 
)o _ 4
0
g 0, 4 -100
ll
10 
37 
10 
109 
10 
b) Para cada fracción del ítem a), indicá de cuál de los dos
números naturales está más cerca.
' LQué números están representados con una cruz en cada una de 
las siguientes rectas numéricas? 
• t )k 1 
7 8 
• 1 * 1 1 
34 3,5 
10 
.. 
.. 
270 
100 
174
100 
347 
100 
1.300 
1.000 
27 
100 
Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 
a) e Si se divide en l O partes iguales el segmento de recta [7; 8] se obtienen "décimos".
b) e Si se divide en 2 partes iguales el segmento de recta [7; 8] se obtienen "medios''.
e) Q Si se divide en l O partes iguales el segmento de recta [3,4; 3,5] se obtienen "décimos".
[O. lQué números representan A y B en esta recta? 
-0,4 B A 
1
f1> Encontrá la expresión decimal que se obtiene en cada caso. 
ªJ s+l_i__.2__ 
10 1 100 -
b) 37 + 11 + 1loo =
e) 543 , 1 + 7 , 3 _
T lQ 100 1 1 .000 -
el) 76_Jl_=10 100 
e) 324 + 215 + 2.002 =
10 100 1.000 
lt3> Ubicá los siguientes números entre los décimos más cercanos. 
a) l e) 
b) _l d) 
� Colocá <,>o= según corresponda. 
160 C 0, 1 
5 e 1lOx 100 10 
J_ 
4 
.... ............. 
_J_ 
4 
[n) Descomponé los siguientes números como suma de enteros y 
_1 
10
de fracciones con denominador 10, 100, 1 .000, etc., y numerador de 
una cifra. 
a' 4,46 
b) 23,509
'" 65,001 
d\ 1,9876 
e) 
f) 
•········•"•'""' ... 
301. 3 
100 . 
7 2 1
70 + 100 
5 
--ª 
5 
p Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y 
explicá por qué. 
i La escritura decimal de i tiene 1 O cifras después de la coma. 
t Todas las cifras decimales de j son iguales. 
� Al hacer la cuenta 2 : 3, el resultado no termina nunca. 
- Completá los lugares en blanco de manera que en cada fila
las expresiones representen el mismo número. 1En los casos
en que no sea posible explicá por qué. Podés usar la
calculadora.
l 
4 
27 
4 
l 
3 
11
5 
�
2 
27 
6 
Ll. 
8 
12 
7 
Fracdén :;:n1ente ce■deno adorlO 
No se puede porque ... 
Fracd6n ellUlvale■te ron 
denomínador 110
�
100 
--� 
Usando el cuadro anterior, decidí, sin hacer la cuenta, si estas 
fracciones admiten una escritura decimal que termina o que no 
termina. 
]_ 
5 
ª 
3 
Fraul6a eqllivalente can 
dellOllllnadar 1.000
250 
1.000 
Escritura 
dechnal 
0,25 
Sabiendo que � = 0,4444 ... , encontrá una fracción que represente
a cada uno de los siguientes números.
0,2222 ... =
0,04444 ... =
2,4444 .. =
0,1111. .. =
2,354444 ... =
lEI número i admite una expresión finita? Si la admite, lcuántos
dígitos tendrá después de la coma? Usá estas equivalencias para
responder.
3 3 X 125 375
8 - 8 X 125 = 1.000
-: Sin hacer la cuenta de dividir, establecé cuántas cifras decimales
son suficientes para escribir la expresión decimal de cada una de
las siguientes fracciones.
7. 
e 
9 .
s· 12s·
5 . e .2_.
2· 50
.
;- Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) 
d) 
Toda fracción admite una fracción equivalente con
denominador potencia de l O.
Si el denominador de una fracción es 6, seguro que no
tiene una escritura decimal finita.
Si el denominador de una fracción contiene un 3 en su
descomposición en factores primos, entonces seguro que
no tiene una escritura decimal finita.
Todo número racional tiene una expresión decimal finita o
periódica.
lCuál de estos dos números es mayor 1,3333 ... o 1,33? lPor qué?
MQ.ck��e: 
Lo. �scra"l"<Á. CO"'- COMO.. e;\ 
""' \I\ÚM�ro ro.c:i.oho.l 
pu\:.d. St.:.r fi,�,tlo. 0 
pe.rtóc:li.co.. Es fLnHo. 
c:"o."'c::l..o lo. po..rte c:l�ctn<\o.l 
H��,e. U°l'\O. C:O.°l'\Hd.o.d. ft"'ª°'
ele. ci.fro.s � u peri.ód..tc:o. 
c"o.\.\d.o e�, le). po.rh! 
d.�ci.Mo..l lo.s ctfro.s se.
re.pi �e"' o. po.rHr c:le. ""'
cte.rlo l1t�C).r, Es�os
úlhn,,os se llo.MO."'­
"'ÚMeros pe.ri.ócl.tcos.
17. 
40
1 1
15· 
De un cuadrado de 1 m de lado se corta otro cuadrado, como se
muestra en la figura. A y B son puntos medios de los lados del 
cuadrado original. El segmento AO es paralelo al lado del cuadrado
y 80 también lo es. El cuadrado obtenido se vuelve a cortar
siguiendo el mismo criterio. Los dibujos muestran cómo se
obtienen los distintos cuadrados.
A o 
-¡_ _ 1."corte
_. 
•-L, 2.'cort, 
O B O B 
Cuadrado de 1 m de lado. 
Kuál es el área del cuadrado amarillo que se obtiene del primer corte?
�
L) lndicá cuál es el área del cuadrado de color verde que se
obtiene en el segundo corte.
.1 ¿cuáles serán las áreas de los cuadrados que se obtengan en el
tercero y el cuarto cortes? ¿y en el del décimo corte?
tf Escribí una expresión general que permita encontrar el área de
cualquier cuadrado generado por el corte número n.
Seleccioná, para cada cálculo, el resultado que consideres correcto.
a (�r -ª _§_ -ª- d) (-1tr ..1.7 21 343 10 
b) (-ir 2 _2 _..l._ � -� e) 2 ..1.5 5 25 25 25 -10 2 10
,-\ (-0,5)2 25 l
100 4 
Ü) En los casos en que sea posible, escribí como una única potencia.
_..1.
10 
_ _i_ 
10 
_.1_ _ _.1_ 
100 100 
_ _.1_ 
100 
Entre las expresiones siguientes, decidí cuáles permiten obtener el 
mismo número. 
(if x2�xt r ltf (tf (iJ
3 
x(tf (i)' x2�xi:�
MC1.cke.�e: 
Si. o. 'J b SOi,\ YI.Ú.r\l\eros 
ro.ctoko.le..s, 'J 11\. 'J M sok 
Y1.o.b.1.rCALe.s: 
[b �Es_ verdad qu�, si ,Ses un número racional y n, uno natural, (i;f= ��?l.Como lo explicanas?
:' En la tabla, a medida que los 3s y 33 32 31 3º 
exponentes disminuyen una unidad, las 
potencias correspondientes se dividen 243 81 27 9 
por 3. 
! 
I!!! 
) Completá la primera tabla. 
) Completá la segunda tabla con 
potencias sucesivas de 5. 
, . 3
4 3 X 3 X 3 X 3 . 3
4 
-5 Usa esta igualdad 9 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 para explicar por qué 9 = 3 .3 xxxxxxxx 3 
� En la tabla, a medida que los exponentes disminuyen una unidad, 
las potencias correspondientes se dividen por i. Completá
los lugares vacíos. 
(jf rnr (jf 
_lli_ _JL -1.. 
625 125 25 
� Sin hacer cálculos y sin usar
la calculadora, indicá cuáles de 
los siguientes números son 
iguales. 
(-ir (-�r 
(-i
rs (21r 
(ir 
2. 
5 
Mo.ckeJe: 
?o.ro. so.Pe.r e.l re.su.ll:o.d.o el.e. ui,,. cod.e.Yl.l:e. d.e. pol:e.kci.o.s 9ue. 
!:i.e.11\.e.YI. lo. mi.smo. !:>o.se., se. p1.1.e.d.e. kCAce.r Lo si.91.1.te.l-\.h:.: 
?or aje.r111plo, 
(l, _ _\1'l, X l, X l, � - 5 5 5 - 1 - 1 - 52 - ( §..)2 
(l.), - l. l. l. l. l. - (l.)2 - 22 - F - \2 •S 5 X. 5 X 5 'l<. 5 X 5 5 52 
?o, ol,• p•,<•, (tl: d.,b-,� m (½)"' P"'" 9"' '< v«tft9u=
Lo.s propi.e.d.o.d.e.s d.e. Lo. poh!.111.do. e.YI. d co�1.LY1.l:o d.e. los 
1-'\Ú.Me.ros lé:.�l:e.ros. L1.Le.90 se. ve.ri.fi.co. 9ue. (tr
2 
He.Yl.e. 9ue. se.r 
i..�u.o..l o. (f) . E:1-\ 9e.ke.ro.L, o.·"':;¡ ... col-\ o. d.i.sHYl.l:o d.e o,
1 
U En cada caso, colocá verdadero o falso.
a) L 1,6 · 10� > 0,16 • 105 
� Colocá <, = o> según corresponda.
0,6735 
e -0,254369 
0,6736 
-0,254368 
'\ 
� en parejas 
� La letra a representa un número entero. LQué valores puede tomar a para que (�) < l? 
Encuentren, si es posible, tres números racionales q de manera que 
se cumpla la condición indicada en cada caso. 
(q +1) X q < q2 +l 
(q + 1)2 < q2 + 2 
.- Si p es un número racional, 
lpara qué valores de p es p2 < p? 
lpara qué valores de p es p3 < p? 
� {J '"ú]íj�. Mi:ffl�·""®,;:::;· "1[rnt�. "11r:;:;rn;:;;:w:¡;;J�tmníM:.=n:;=::i: !"P.fffl;r, ffiF;:, :::;-i¡
Encuentren, si es posible, algún valor entero de a para que la 
siguiente expresión sea verdadera . 
En la siguiente tabla se relaciona el área de algunos cuadrados con
la medida del lado de cada uno de ellos. Completala.
Area det 
c:uadrado (en m2) 49 64 70
 81 100 
Medida del lado 
(enm) 7 __J 
,. Encontrá un número que multiplicado por sí mismo dé 2¡ . lHay
una única posibilidad?
�· Encontrá un número que elevado al cubo dé 1 �5 . lHay unaiinicaposibilidad? 
Ma.che�e: 
Cu.o.1-'1.d.o .se bu.seo. ul-\ 1-'1.Ú.l"fle.ro 9u.e. de.va.d.o a.l cuo.d.ro.d.o d.� 
como resull:a.d.o u.lt\. vo.lor d.e.�e.rMil-'l.o.d.o, se. e.s�Ó. bu.sco.l-\d.o 
lo. ro.1..?. cuo..d.ro.d.o. d.e e.se vo.l<>r. 
La. ra.Íz. cu.o.dr().d.Q.. d.e. ul-'I. 1-'1.ÚMero o. i:.S el l-\{uY1ero lo'\O
lt\e.9Cll:i.vo b, 9ue. ve.riftco. 9ue. o.• ::: b. 
Si. o. es ult\. ""Ú.Me.ro ro.ci.oV\o.l ';! o.. 2 o, � := b, st ';! solo st
b2 ::: a. 'J b ? o.
El-\ La.s co.Lculo.d.oro.s lo. te.clo. r pe.rM[Je. oUel-'\e.r La. ro.1z.
cu.a.d.ro.d.a.. 
Encontrá, si es posible, un número que elevado al cuadrado dé -9.
�... lntentá realizar con la calculadora �. lCómo explicás el
resultado obtenido? 
� Calculá la longitud de la hipotenusa de un triángulo que tiene
catetos de 12 cm y 16 cm. 
El número a repre5enta un racíonal posítivo. ¿Para qué valores 
se verifíca que a2 < a < Já ?
Realizá los siguientes cálculos mentalmente y después con 
calculadora. 
Cilaalos 
237 X 100.000.000 
35 X 1.000.000.000 
3.200 X J0.000.000 
Meatalaeate 
� lCuáles de las siguientes escrituras son equivalentes a 125 x 1.000.000?
125 X 106 125.000 X 103 1,25 X 108 0,1�5 X 109 
Mo.cke.�e: 
?o.ro. \t.Scrtbtr 11\Úme.ros d.e. MÓ.s ctf ro..s 91.u! los d.19t�os 91.1.e. 
�te.11\e. e.l vtsor, mu.cko.s co.lc1.4Lo.d.oro.s uso." 11\o�o.cto"es 
d.tfe.re."'�e.s. ?or aje.Mplo po.ro. 270,000.000 14SCA."' 2.,7 °7 o
2., ?, e. � o¡, o 2,? 10º", Cu.CA.11\d.o u"' "'1.ÚMe.ro se. e.scrtbe. d.e. lo.
forMo. o. x 10", d.01;1.d.e. o. e.s 1.1,1-\ \f\ÚMe.ro ro.ctoll'lo.L
coy,,,,pre.1-ld.i.d.o e.11\tre. 1 � 10, � "" e.s u.1-\ 1-\ÚMe.ro e.Y1.l:e.ro, se.
d..tce. 914e. e.se. 11\Úme.ro ul:Ó.. e.x.pre.so.d.o e.Y\ i-\otCA.cLÓk 
ci.e."'Hftco.. 
� lCuáles de las siguientes escrituras corresponden al número
2.342.000.000?
0,2342 X 101º 2.342 X 106 23.420 X 107 
� Expresá cada número en notación científica. 
' 234,56 = e 3.459.000.000 = 
1 345.123 = u 0,000004 =
iSerá verdad que si se representan en una recta numérica 10-1. 
10-2, 10-:3, 10-4 y 10-5 todos los puntos quedan ubicados a la 
derecha del O? 
2,342 X 109 
r. 0,000045 =
1,25 08 
� Escribí el resultado de cada suma con una 
expresión decimal. 
a) l + 1 � + l 60 =
1.. 7 8 r,, lS+io+ l.000 =
·) 43 ...1.. 2 + 1 + 5 _
' 10 100 1.000 -
96 + 34 = 
1 O 100 
1 23 ...1.. 3 15 + 1.001 =
10 100 l.000 
► Descomponé los siguientes números como
suma de enteros, fracciones con denominador 
10, 100, 1.000, etc., y numerador de una cifra.
:,) 0,93 =
b) 1,302 =
t!) 15,005 =
d) 23,6235 =
� Anticipá la cantidad de cifras decimales 
suficientes después de la coma para escribir la 
expresión decimal de cada fracción. 
11 l
2 
) 2
4 
e) .]_10 
el) _l 
25
e) í.16
) J8 
tJ io · ··· ·· · · -- · ·· ... · · . .. ... ..
h) 2
32
► Anticipá, para cada una de las siguientes
fracciones, si su correspondiente expresión 
, decimal es finita o periódica. 
) .§. 7 
1) l4 
e) 1i
) 1 �5
9 E 35
�) z5 
\ 
� Sabiendo que � = O, l l l ... , encontrá una fracción 
para cada uno de estos números. 
) 0,00111 . . . 
b' 1, 111... 
e) 2,39111...
u) 2,111. ..
e) 0,777 . ..
� La letra a representa un número entero. lQué 
valores puede tomar a para que (ir> l? 
� Encontrá, si es posible, algún valor entero de b 
para que esta expresión sea verdadera. 
½x(½t>l 
Transformá cada cálculo en otro equivalente
que sea más sencillo de resolver.
a {½f x½xl2 
� Encontrá un número que elevado a la quinta
potencia dé como resultado 243.
� lPara qué valores de m se cumple que m2 < m,
siendo m un número racional?
lt'- A partir de un cuadrado inicial
se construye otra figura cuyos 
vértices son los puntos medios
del cuadrado inicial. A partir de
esta nueva figura se construye
una tercera, nuevamente a 
partir de los puntos medios.
Este proceso puede seguir
indefinidamente.
Escribí el exponente que falta en cada caso
para que la igualdad se cumpla.
- 987 = 9,87 X 10
2,01X10 2 =201 X 10
2,45 X lQ- = 245 X JO
Escribí en notación científica.
123 X l.000 X l.000 X l.000 = 
715 X 0,1 X 0,1 X 0,] X Ü,l X Ü,1 = 
� Encontrá, si es posible, tres números racionales
b, de manera que: (b + 1)2 < b2 + l.
e lQué parte del área del cuadrado inicial es la segunda figura? ¿y la tercera?
Si se reitera esta construcción, Lqué parte del área del cuadrado inicial serán los cuadrados obtenidos?