04-DESCARGAR-GRADOS-DE-UN-POLINOMIOS--ALGEBRA-TERCERO-DE-SECUNDARIA

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3 
AÑO 
Grado de polinomios 
 
 
 
 
 
 
 
Godofredo García 
 
Godofredo García (1888 - 1970) fue alumno predilecto del sabio matemático 
Federico Villarreal y, durante su decanato en la Facultad de Ciencias de esta 
universidad, gestionó e hizo posible la incorporación como catedrático del gran 
matemático polaco Alfred Rossemblatt. 
 
La calle Pobres del jirón Lampa, en Lima, fue testigo del nacimiento de Godofredo 
García Díaz, el ocho de noviembre de 1888. En los primeros años de este siglo ingresó 
a San Marcos, donde alcanzó los grados de Bachiller y Doctor en Ciencias Matemáticas. 
 
Su vínculo con San Marcos se inicia con la docencia, para dedicarse posteriormente 
a la investigación científica, actividad que profundizó hasta su fallecimiento ocurrido 
en julio de 1970. 
 
"Fue un magnífico profesor, tuve la suerte de ser su alumno en la Escuela de Ingeniería y en la Facultad de 
Ciencias de San Marcos; ahí pude apreciar sus condiciones de profesor y maestro. Contribuyó en la formación 
académica de un grupo de jóvenes que han destacado en la vida científica del país, como José Tola, Enrique 
Heredia, Rafael Dávila, entre otros", escribió sobre García en un diario local Mario Samamé Boggio, uno de sus 
discípulos. 
 
Su preocupación permanente por la educación lo llevó a trabajar al lado del presidente Augusto B. Leguía; 
producto de este acercamiento fue la redacción y puesta en ejecución del Estatuto Universitario de 1928, el cual dio 
ingreso a brillantes jóvenes profesores, a las facultades de Letras y Ciencias, como Jorge Basadre, Luis Alberto 
Sánchez, Raúl Porras Barrenechea y Jorge Guillermo Leguía. En 1947 obtuvo el Premio Nacional por las investigaciones 
científicas que realizó en el mundo de las ciencias matemáticas y por sus ecuaciones y soluciones exactas del 
movimiento y de las tensiones de los fluidos viscosos. Su amplia labor de investigación fue resaltada y publicada 
fundamentalmente en la Revista de Ciencias, órgano de la Facultad de Ciencias de San Marcos, la cual fundó 
Federico Villarreal. Si bien García dejó como herencia numerosos libros, "Lecciones de Mecánica Racional" es 
considerada como su obra principal. Su trabajo científico traspasó las fronteras del país. Varias academias y 
sociedades científicas de Sudamérica y del mundo lo incorporaron en su seno y publicaron sus trabajos, entre ellas 
la Real Academia de Ciencias de Madrid y The American Philosophical Society de Filadelphia. 
 
Vida y trayectoria: 
 
En San Marcos experimentó los años más fecundos de su actividad científica y académica; primero como Jefe 
de Práctica, luego Catedrático Adjunto, Catedrático Principal, Decano, Vicerrector y Rector Honorario de la Decana 
de América. Al final de su rectorado en San Marcos, el Gobierno lo designó Embajador Científico ante los gobiernos 
de Estados Unidos y varios países de Europa, y en esa condición realizó una extensa pero prolífica gira dictando 
conferencias sobre diversos tópicos o materias de incuestionable trascendencia científica. La labor académica y 
científica de Godofredo García ha sido reconocida reiteradamente. Las facultades de Ciencias y Química de San 
Marcos y las universidades de Arequipa y de La Libertad le otorgaron títulos honorificos. En la década del 30 fundó 
la Academia Nacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, que presidió hasta 1960, fecha en que se convirtió 
en su Presidente Honorario. El gobierno peruano siempre mantuvo interés por la vida de este sanmarquino ilustre 
y lo condecoró así como también lo hicieron Francia y Polonia. 
 
(x,y) 
 Teoría de grados 
 
1. Grado 
Característica de toda expresión algebraica que puede 
ser de dos clases: relativo, cuando se refiere a una sola 
 Problemas resueltos 
 
 
1. Sean "t
1
" y "t
2
" dos términos semejantes; calcular 
el valor de "m", si: 
variable y absoluto, cuando se refiere a todas sus 
variables. 
 
2. Grados en un Monomio 
 
t1  3 
 
Solución: 
 
2 xm 3n2 
 
t2  7 
 
5 x 83n 
 
a. Grado relativo 
Respecto a una variable es el exponente de dicha 
variable. 
 
b. Grado absoluto 
Esta dado por la suma de los grados relativos de las 
variables. 
 
Ejemplo : 
• Igualamos los exponentes de "x" 
 m + 3n - 2 = 8 + 3n 
 
• Resolviendo la ecuación cuya incógnita es "m": 
 m = 10 
 
 
2. Si: P(x) = 7(x
2 - 1) + 9(x3 - x2 + 1) + 3x2 - (3x)2x 
Calcular: P 
 
 
 
 
GR (x) 
 
Sea: M = 5x6y8 
 
 
 6 
 
 
Solución: 
( 3 ) 

Grado 
Re lativo a "x" 
 
 
GR (y) 
Grado 
Re lativo a"y" 
 
 
GA (M) 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 6  8  14 
Tenemos que reemplazar "x" por ( 3 ) , pero antes de 
reemplazar podemos simplificar el polinomio dado, ya 
que hay términos semejantes. 
 
Aplicando la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA en el polinomio 
P(x) = 7x
2 - 7 + 9x3 - 9x2 + 9 + 3x2 - 9x3 
 
• Reduciendo términos semejantes: P(x) = x
2 + 2 
 • Nos piden calcular P entonces reemplazamos 
Grado Absoluto 
del monomio 
 
"x" por 3 : 
( 3 ) 
 
3. Grados en un Polinomio 
 
P 
( 3 ) 
2 
3  2 
a. Grado relativo 
Respecto a una variable, esta dado por el mayor 
exponente de dicha variable en el polinomio. 
P 
( 3 ) 
 3  2  5 
 
 
 
 
mn
 
 
 
 
 
mn
 
b. Grado absoluto 
Se calcula mediante el término de mayor grado 
absoluto. 
3. Calcular el grado de 6 2 x y 
GR
x 
= 6 y GR
y 
= 4 
 
Solución: 
si se sabe que 
 
Ejemplo: 
 
P
 
 
 
 x5 y12  x 8 y10  x10 y 4
 
En un monomio el grado se da por la suma de 
exponentes y los grados relativos son los exponentes 
(x;y)    respectivos. 
Grados: 17 18 14 
• En un monomio de variables "x" e "y": 
GR
(x) 
= 10 
GR
(y) 
= 12 
GA = GR
x
 + GR
y
 por las definiciones de Grados: 
GA
(P) 
= 18 (el mayor grado) GA = GRx + GRy 
GA = 6 + 4 = 10 
 
a) 18 b) 9 c) 10 
d) 11 e) 12 
 
P = 2x 
f = x 
4 
y z 
4. Calcular "a" si el GR
x 
= 4; en: 
P(x; y) = 5x
a+3y5 + 6xay8 
 
Solución: 
 
 
Bloque I 
Problemas para la clase 
 
Planteamos el grado relativo a "x" de acuerdo a la 
definición y luego lo igualamos a 4 que es el dato del 
problema. 
 
• Identificando el Grado Relativo a "x" en el polinomio 
que es el mayor exponente de "x" en dicho polinomio: 
 
 GR
x 
= a + 3 ......... 1 
1. Sea el monomio: 
 
P(x;y; z) = 5x
4 y7z6 
 
Hallar: "GR(x) + GR(y) + GR(z) + GA" 
 
a) 24 b) 34 c) 44 
d) 54 e) 64 
 
2. Dado el polinomio: 
 
• Por dato: Grado Relativo a "x" es:  GRx = 4 .... 2 
 
P
(x)
= (n  1) 
 
xn1 
 
; x > 0 
 
• 1 y 2 expresan lo mismo, luego:  a + 3 = 4 
 
• Resolviendo  a = 1 
 
 
5. Calcular el valor de "m" si el polinomio P(x, y) es 
homogéneo 
Calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de segundo 
grado. 
 
a) 9 b) 8 c) 10 
d) 6 e) 7 
 
3. Si el polinomio: 
 
P(x,y)  7 
 
 
Solución: 
 
2 xm y 2  5xy 7  6y 8 
 
 
P(x)  (a
2
 
 
 3)
3
 
 
 
x 2a3 ; 
 
Si los grados de cada término son iguales, entonces el 
polinomio es Homogéneo. Puedes notar que el 2° y 3° 
término tienen grado 8 cada uno, entonces el primer 
término también debe ser de grado 8. 
 
• Como el grado del 1er término es igual a la SUMA 
DE LOS EXPONENTES de sus variables y además esta 
suma debe ser igual a 8: 
 m + 2 = 8 
• Resolviendo la ecuación: 
 m = 6 
es de séptimo grado, calcular su coeficiente. 
 
a) 12 b) 144 c) 147 
d) 141 e) 140 
 
4. Indicar el G.A. del polinomio. 
 
 
P(x; y)  3x 2 y 7  
1 
x 4 y 3  8x 6 y 4 
2 
 
 
5. Calcular el grado absoluto del polinomio: 
 
8 4 2 
(x,y,z) 
- (xy)4 z2 + x4 y8 - x9 y4 z2 
 
a) 14 b) 12 c) 15 
d) 13 e) 16 
 
6. Sea el polinomio: 
 
m+9 
(x;y) 
ym-5 + xm+7 ym + x 2m+1 y3 
 
cuyo grado absoluto es 27. 
Calcular "GR
(x) 
- GR
(y)
" 
 
a) 21 b) 10 c) 11 
d) 31 e) 41 
 
(x;y) 
(x) 
(x) 
P = 4 
a 
P = x 
(x) 
b 
7. Hallar el coeficiente del monomio: 
 
M(x; y) = (2a + 3b)x
2a + 1.y3b - 5 
 
Sabiendo que: 
GR(x) = 7 
GR(y) = 13 
Hallar " a + b " 
 
a) 12 b)13 c) 14 
d) 15 e) 16 
 
13.Hallar la suma de los coeficientes del polinomio: 
 
a) 21 b) 22 c) 23 
P = (4a - b)xa+3 y3b - (5a - 2b)xa+1 y2b + (a - 3b)xa y 5b+3 
d) 24 e) 25 
 
8. Señale verdadero(V) o falso(F): 
si el grado relativo a "x" es 7 y su grado absoluto es 12. 
 
a) 0 b) -1 c) -2 
d) 2 e) 1 
P = 2x12 - 5x19 - 7x + 18 
14.Halle el coeficiente de: 
I. Su término independiente es 18.......... ( ) 
II. Uno de los coeficientes es 18.............. ( ) 
III. La suma de coeficientes es 32............. ( ) 
IV. El coeficiente del término lineal es 7..... ( ) 
 
 
R ( x )  (n  3) 
 
n1 n
n
 
 
x n
3n 
 
nn (nn ) 
4 
. x 
 
 
; x > 0  n  IN ; n > 2 
V. Su grado es 19.................................. ( ) si su grado es 32. 
 
a) VVFFV b) FFVVV c) VVFVV a) 2 b) 1 c) 9 
d) FFFVV e) FFVVF d) 12 e) 5 
 
 
9. En el monomio 
 
Hallar: GR(x) 
7 
x a 2 y 2a 3 se tiene que GA=11. 
9 
 
15.Sea el monomio: P
(x;y)
 
 
Hallar su grado. 
2 5m2 105m 
= x y 
5 
 
a) 2 b) 4 c) 7 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 9 e) 11 d) 12 e) 10 
 
10.Sea: P = axa+2 
 
+ 2axa+9 
 
+ xa+5 
 
16.Si el monomio: 
 
M( y )  7 
 
3y 7  a 
 
es de grado 12, hallar "a" 
un polinomio de grado 13. Señale la suma de 
coeficientes. 
 
a) 3a b) 4a c) a + 3 
d) 12 e) 13 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
17. Hallar el grado del siguiente polinomio: 
 
 
Bloque II 
3 
(x;y) 
x16 y - 24x1 y15 
 
11.Halle el coeficiente del monomio: 
a) 16 b) 17 c) 20 
d) 22 e) 23 
 
3ab1 (x 3 y 4 ) 
M  ; xy  0
 
 
18.Si el polinomio P
(x) 
 
es de cuarto grado, hallar "m". 
(x;y) 
(x 1 y) 
 
 
P( x ) 
 
 
7 x1m 
 
 
6 x 2m 
 
 
5x 3m 
Si: GR
(x) 
= 10 ; GR
(y)
= 4 
 
a) 9 b) 27 c) 81 
d) 243 e) 37 
 
12.Dado el polinomio: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
19.El grado de P
(x) 
es 18. 
Hallar "m" 
 
a-2 
(x;y) 
 
yb+5 
 
+ 2xa-3 yb 
 
+ 7xa-1 y 
 
b+6 
 
P = ( xm 
 
+ 2 ) (xm 
 
- 4) 
 
de donde: GA
(P)
= 17 ; GR
(x) 
= 4 
 
a) 1 b) 6 c) 9 
d) 10 e) 18 
 
P = 7x y 
P = x y 
P = 7x 
20.Dado el monomio: 25.Del polinomio: 
 
b 2a+3b
 
5b -a
 
5 7 9 8
 
10 3
 
13 2
 
M
(x;y) 
= 4a x y P(x;y;z) = 4x y - 6x z + 9x y z - 5x y 
 
Si: GA
(M) 
= 10  GR(x) = 7 
 
Señalar su coeficiente. 
 
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 16 e) 64 
Calcular "GR
(x) 
+ GR
(y) 
+ GR
(z) 
+ GA
[P]
" 
 
a) 38 b) 42 c) 45 
d) 35 e) 40 
 
26.Dado el polinomio P
(x;y) 
 
Bloque III 
 
2 m+3 
(x,y) 
 
+ 4x5ym-4 
 
+ 3x4ym+5 
 
+ x6ym-2 
 
21.En la siguiente adición de monomios: 
 
 
c 
x b2  
c 
x 6b  ax a3 
Hallar "GR
(x) 
+ GR
(y) 
+ GA
(P)
" 
 
a) 2m+6 b) 2m+2 c) 2m+20 
d) 2m+16 e) 2m+14 
6 4 
 
Calcular "a+ b + c" 
 
27. Sea el polinomio: 
 
a + 5
 
 
 
 
a-1
 
 
 
 
a-2
 
 
 
 
a+9
 
 
 
 
a+7 a-2
 
 
a) 33 b) 23 c) 21 
P
(x;y) 
= 2x y + 3x y + 4x y 
d) 18 e) 14 
 
22.Dado el monomio: 
 
 
 
 
 
2a-2 3b
 
de grado absoluto 33. Calcular el valor de "a". 
 
a) 11 b) 13 c) 14 
d) 15 e) 17 
M
(x;y) 
= (a + b)x y 
 
Donde: Coef
(M) 
= GR
(x) 
 
28.Sea el monomio: M
(x;y) 
= 3a 
 
b-1 
 
x3a+b y 
 
4a-b 
 
GA
(M) 
= 27 
 
Hallar "ab" 
 
a) 5 b) 7 c) 12 
d) 35 e) 42 
Hallar su coeficiente, si: GR
(x) 
= 10 y GR
(y) 
= 4 
 
a) 18 b) 24 c) 216 
d) 48 e) 72 
 
29.Si el grado de la expresión: 
 
23.En el siguiente polinomio: nn 
M(x) 
nn
2 
x 
 
es 729. 
a 
(x;y) 
b-1 + xa+1yb - xa-2 yb+2 + xa+3 yb+1 
Hallar "n" 
En donde: GR
(x) 
= 10  GA(P) = 13 
 
Hallar: GR
(y)
 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 6 e) 9 
 
30.Sea el polinomio P(x;y) 
2a - 6 5
 
a+2
 
a-4
 
3 2a-7
 
a-5 a-9
 
 
24.En el siguiente polinomio: 
P
(x;y) 
=2x y - 3x y + x y - x y 
 
a+3 
(x,y) 
 
yb-2 
 
z6-a 
 
+ 5xa+2 
 
yb-3 
 
za+b 
Calcule el grado absoluto. 
 
a) 2a - 1 b) 2a - 2 c) 2a - 4 
En donde: GR
(x) 
- GR
(y)
= 3  GA(P) = 13 
 
Calcular "a + b" 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 11 e) 12 
d) 2a - 14 e) 2a 
 
a) 125 b) 100 c) 85 
d) 68 e) 104 
 
P = a x 
2 
Autoevaluación 
 
1. Del polinomio: 
 
3 9
 
 
 
2 7 5 9 5 2
 
4. Sea el polinomio: 
a+7 
(x;y;z) 
 
ya+6 
 
za-3 
 
+ axa-3 y 
 
a+10 
 
za + 5 
P
(x;y;z) 
= 4x y z + 8x y - 6x y z + 3yz 
Hallar el valor de "a", si su grado absoluto es 30. 
Calcular "GR
(x) 
+ GR
(y) 
+ GR
(z) 
+ GA
(P)
" 
 
a) 36 b) 37 c) 38 
d) 26 e) 39 
 
a) 6 b) 13 c) 17 
d) 15 e) 19 
 
 
2. Dado el polinomio: P
(x) 
=(a 
Hallar su coeficiente. 
 
+ 4) 
 
5 
x 3a7 
 
; de grado 8. 
5. Hallar "", si la expresión es de segundo grado. 
 
1 
 x  2 . 
7 
x 3  
3 
M = 
(x) 


 
4 
x  1 
 ; x  IR+ 


 
3. Sea el monomio: 
 
n 
P
(x;y;z) 
= 5 7 
 
Hallar su grado. 
 
 
x4a+5+3b 
 
 
y 6+2a-b 
 
 
z2-6a-2b 
a) 1 b) 2 c) 6 
d) 5 e) 7 
 
 
Claves 
1. c 2. a 3. b 4. a 5. e 
 
a) 11 b) 13 c) 15 
d) 17 e) 19 
 
 
La justicia 
 
La justicia consiste en conocer, respetar y hacer valer los derechos de las personas. Honrar a los que han sido buenos 
con nosotros, dar el debido salario a un trabajador, reconocer los méritos de un buen estudiante o un abnegado colaborador 
son, entre otros, actos de justicia, porque dan a cada cual lo que se merece y lo que necesita para desarrollarse plenamente 
y vivir con dignidad. Así como ser justos implica reconocer, aplaudir y fomentar las buenas acciones y las buenas causas, 
también implica condenar todos aquellos comportamientos que hacen daño a los individuos o a la sociedad y velar por 
que los responsables sean debidamente castigados por las autoridades judiciales correspondientes. 
 
Para ser justos 
 
• Desarrollemos nuestro sentido de lo que está bien y lo que está mal. 
• Seamos honestos, rectos y, sobre todo, compasivos y humanos. 
• No permitamos que se cometan atropellos contra nosotros mismos ni contra los demás. 
• Protestemos con energía y denunciemos los abusos y los crímenes, vengan de donde vengan. 
 
La injusticia 
 
La injusticia tiene lugar cuando se desconocen o no son respetados los derechos fundamentales de las personas. Una 
persona es injusta con otra, por ejemplo, cuando es desagradecida, cuando le niega un reconocimiento al que tiene 
derecho, cuando le paga un salario inferior al que se merece o la abandona a su suerte luego de beneficiarse de ella 
durante años enteros. La injusticia no solo se manifiesta en el plano individual, sino también en el social. Un sistema 
social es injusto cuando la riqueza está mal repartida y solo unos pocos pueden disfrutar de ella, en tanto que el resto de 
la población pasa grandes trabajos para vivir dignamente o sobrevive en la miseria; cuando el gobierno se olvida de los 
ciudadanos más trabajadores o los más pobres y no los protege debidamente de la voracidad de los que solo buscan 
explotarlos, o cuando su aparato judicial es ineficiente y permite que se cometa toda clase de atropellos contra personas 
inocentes. 
 
Obstáculos para la justicia... 
 
• La arbitrariedad con que suelen obrar quienes tienen el poder. 
• La impunidad que premia a los pícaros, a los ladrones, a quienes traicionan la confianza pública y a quienes anteponen 
su propio beneficio al cumplimiento de la ley. 
• La ausencia de autoridades legítimas que tengan la fortaleza necesaria para garantizar que cada quien tenga acceso 
a lo que le corresponde.