Administración clase 24

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Administració
n clase 24 
 
Temas 
Avanzados 
 
Funciones de 
demanda 
compensada y 
gasto mínimo 
 
En esta sección 
vamos a 
analizar otra 
forma de 
pensar el 
problema del 
consumidor. 
Supong- amos 
que por alguna 
razón 
queremos 
lograr cierto 
nivel de utilidad 
”u”. El objetivo 
ahora es 
encontrar la 
canasta que 
minimiza el 
gasto necesario 
para ese nivel 
de utilidad. Una 
vez que 
encontremos 
esa canasta, se 
podrá calcular 
cuál es el 
mínimo gasto 
que el 
consumidor 
tiene que hacer 
para alcanzar 
ese nivel 
de 
utilidad. 
Analítica
mente 
queremos 
resolver el 
siguiente 
problema: 
 
p1x1 + p2x2 sujeto a 
u(x1, x2) ≥ u x1 ≥ 
0 . 
, 
x2 ≥ 0 
La interpretacion gráfica de este problema es directa: 
 
 
● Fije una curva de indiferencia sobre la cual desea pararse, es decir, combinaciones de x 
tal que u(x1, x2) = u. 
● Elija sobre todas las curvas de isocosto: p1x1 + p2x2 = C la que menor costo le propor- 
cione. 
 
 
A la solución de este problema de minimización se la denomina xC(p, u) y se la define como la 
función de demanda compensada o hicksiana. Para resolver este problema, se procede con la 
misma metodología que con el problema de maximización. 
Primero, si suponemos que las preferencias son monótonas y como la función objetivo es 
creciente la restricción se debe cumplir con igualdad. Como antes, se supone que la solución 
satisface las restricciones de no negatividad y son verificadas al final. Es decir, vamos a resolver 
 
min 
(x1,x2) 
p1x1 + p2x2 sujeto a u(x1, x2) = u. 
Si la función de utilidad es diferenciable, se puede aplicar el método de Lagrange: 
 
G(x1, x2, µ) = p1x1 + p2x2 — µ(u(x1, x2) — u). 
Las condiciones de primer orden que caracterizan la solución del problema son: 
 
6G 
 
 
6x1 
6u 
= p1 — µ 
6x
 (x1, x2) = 0 
 
6G 
 
 
6x2 
6u 
= p2 — µ 
6x
 (x1, x2) = 0 
6G 
6µ 
= u(x1, x2) — u = 0 
De las dos primeras condiciones se obtiene que 
 
6u (xC, xC) p 
6x1 1 2 = 
 1 
. 6u (xC, xC) p2 
6x2 1 2 
1 
2 
2 
,
,< x1x ≥ u 
2 
1 
Como en el problema de maximización, la canasta que minimiza el gasto tiene la propiedad de 
lograr la igualdad entre tasa marginal de sustitución y su precio relativo. 
Con esta condición y la restricción se obtienen dos ecuaciones. De ahí podremos despejar 
nuestras dos incógnitas, las demandas compensadas, xC(p, u) y xC(p, u). Es importante notar 
1 2 
la diferencia con las demandas marshallianas que analizamos anteriormente: en este nuevo 
problema estamos buscando la canasta de consumo tomando como dados los precios y el nivel de 
utilidad que se quiere alcanzar. Las demandas marshallianas surgían de la maximización de la 
utilidad dada la restricción presupuestaria correspondiente y permitía obtener la mayor utilidad 
posible dados los precios y el ingreso disponible (función de utilidad indirecta). 
 
 
Ejemplo Cobb-Douglas Suponga que la función de utilidad es u(x1, x2) = x1x2. El prob- 
lema de maximización está dado por: 
 
 
min (p1x1 + p2x2) sujeto a 
 
 
 
2 
2 
x1 ≥ 0 . 
(x1,x2) 
 
De las condiciones de primer orden se obtiene que: 
x2 ≥ 0 
 
x1 
2x2 
= 
p1 
p2 
 
 
 
Resolviendo se obtiene 
x1x2 = u 
 
 
 
C 1 p2 2 
x1 (p, u) = u 3 ( 2p 
) 3 
C 1 2p1 1 
x2 (p, u) = u 3 ( 
2 
) 3 . 
Como las preferencias son convexas se puede verificar que la solución a las condiciones de 
primer orden es efectivamente la canasta de consumo que minimiza el gasto, es decir, las 
condiciones de segundo orden se cumplen. Solo resta controlar que controlar que las cantidades 
obtenidas no sean negativas y en nuestro caso bastará con pedirle que obtenga utilidad u 
positiva. 
,, 
p 
2 
 6x 
1 2 
= x1 (p, u) + µ(p, u) (x 
1 (p, u) + 
6p1 
(x 
2 (p, u) 
6p1 
1.1.1 Función de gasto mínimo 
 
Definimos la función de gasto mínimo como el minimo nivel de gasto que permite obtener 
cierto nivel de utilidad deseado u tomando como dados los precios. Como
 
xC(p, u), xC(p, u)
 
es 
la canasta que minimiza el gasto en consumo, el mínimo nivel de gasto se obtiene reemplazando 
dichas cantidades en la función de gasto: 
 
e(p, u) = p1xC(p, u) + p2xC(p, u). 
1 2 
Esta ecuación nos permite calcular cuál es el mínimo gasto que el consumidor tiene que hacer 
dada la utilidad que quiere obtener (establecida anteriormente) y los precios del mercado. 
Para el ejemplo de la función de utilidad Cobb Douglas que usamos antes y usando las 
demandas compensadas que obtuvimos, si las reemplazamos en la ecuación del gasto mínimo, 
obtendremos 
3 1 2 1 
e(p, u) = (2p1) 3 p 
3 u 3 
2 
 
 
 
1.1.2 Lema de Sheppard 
 
Al igual que vimos para la Teoría de la Firma, podemos utilizar el lema para recuperar la función de 
demanda compensada a partir de la de Gasto Mínimo utilizando el Lema de Shephard. Para todo 
(p, u)y para todo i, 
6e 
(p, u) = xC(p, u). 
6pi i 
La intuición de esta ecuación es idéntica a la obtenida para la teoría de la firma y por eso la 
omitimos. 
Proof. Usando la definición de la función de gasto mínimo obtenemos que 
6e C 6x
C 6xC 
(p, u) = x1 (p, u) + p1 1 (p, u) + p2 2 (p, u) 
6p1 6p1 6p1 
C 6u C 6x
C 
 
6u C 
 
6xC 
= x1 (p, u) + µ(p, u) (x 6x1 
(p, u)) 1 (p, u) + µ(p, u) 
6p1 
(x 
6x2 
(p, u)) 2 (p, u) 
6p1 
C 
 
6u C 
 
 
6xC 
 
 
6u C 
 
 
6xC 
 
 
Diferenciando completamente la restricción de utilidad en el óptimo obtenemos que 
6u 
0 = 
6x1 
(xC 
C 
(p, 
u))
 
1 (p, u) + 
6p1 
6x1 6x2 
(p, u)) 
(p, u)) 
 6x 6u 6x2 
(xC 
C 
(
p
, 
u
)
)
2 
(
p
, 
u
) 
6
p
1 
Y asi queda demostrado. 
tp 
x1 ≥ 0 
min (p1x1 + p2x2) sujeto a x1 ≥ 0 
p 
1.1.3 Propiedades 
Proposition 35 Gas funciones de demanda compensada son homogéneas de grado 0 en pre− 
cios: 
 
 
C C 
6t > 0, 6i xi (tp, u) = xi (p, u). 
Para capturar la intuición de lo anterior es importante remarcar que el objetivo primario del 
individuo es llegar al nivel de utilidad que se le pide intentando gastar lo menos posible. Para 
esto elige la canasta que logra la igualdad entre la TMS y los precios relativos. Un cambio 
proporcional en ambos precios no altera la relación de precios. Por lo tanto, la elección óptima 
seguirá siendo la misma, aunque se termine gastando más por consumir. Si por el contrario 
cambia el precio relativo de los bienes, el individuo "reacomodará" lo que demanda de forma tal 
de gastar lo menos posible para alcanzar el nivel de utilidad pretendido. 
Proof. La canasta de consumo óptima es la que satisface: 
6u (xC, xC) p 
6x1 1 2 = 
 1 
6u (xC, xC) p2 
6x2 1 2 
y 
u(x1, x2) = u 
Si aumentamos los precios en la misma proporcion ”t” : tp1 
2 
 
p1 los precios relativos 
2 
no cambian y las ecuaciones anteriores no se alteran. Por lo tanto, la solución permanece 
inalterada. 
Proposition 36 Ga función de gasto mínimo es homogénea de grado 1 en precios: 6t > 0 
 
 
e(tp, u) = te(p, u). 
Proof. Si todos los precios se multiplican por t > 0 el problema que resolvemos es 
,
,< u(x1, x2) ≥ u 
 
 
(x1,x2) 
 
 
,, 
x2 ≥ 0 
Como t > 0, la solución de este problema es la misma que la solución de 
,
,< u(x1, x2) ≥ u 
 
(x1,x2) 
 
 
,, 
x2 ≥ 0 
min . 
. 
= 
t(p1x1 + p2x2) sujeto a 
Por lo tanto 
 
xC(tp, u) = xC(p, u). 
i i 
Además 
 
 
e(tp, u) = tp1xC(tp, u) + tp2xC(tp, u) 
1 2 
= tp1xC(p, u) + tp2xC(p, u) 
1 2 
= te(p, u). 
 
La idea es la misma que explicamos antes, para minimizar el gasto el individuo se fija en los 
precios relativos de los bienes (que son los que aparecen en la condición de primer orden) y no en 
los precios absolutos. Si el precio relativo no cambia, la elección óptima será la misma y, una vez 
que calculemos el gasto mínimo, al estarse consumiendo la misma cantidad de bienes que antes 
de la suba de precios, verémos que este sube en la misma proporción. 
Proposition 37 Ga función de gasto mínimo es no decreciente en los precios 
 
6e(p, u) 
0 
6pi 
Proof. Supongamos p < pJ, con xC y xCJ canastas asociadasa estos precios. Dado que xC minimiza 
el gasto para p, entonces pxC ≤ pxCJ. Además, como pJ > p, pxCJ ≤ pJxCJ. Uniendo las dos, pxC ≤ 
pJxCJ, lo que implica que si aumentan los precios el gasto mínimo no puede bajar. 
 
1.1.4 Dualidad 
Si bien los problemas de maximización y minimización son distintos, los dos se encuentran 
intimamente relacionados. 
Tomemos un problema de un consumidor que busca maximizar su utilidad tomando los precios 
y su ingreso. En este problema el agente enfrenta una restricción presupuestaria y elige la canasta 
de consumo que le permite obtener la mayor curva de indiferencia. El valor de la utilidad que 
el agente obtiene se encuentra dada por u = v(p, m). Ahora supongamos que el mismo agente 
decide obtener el nivel de utilidad dado por u = v(p, m) y desea encontrar la forma más 
económica de conseguirlo. Las soluciones de dicho problema coincidirán y el mínimo gasto al cual 
el agente se verá expuesto es exactamente m. 
≥ 
 
 
 
Podemos concluir entonces que, 
 
Proposition 38 Si el nivel de utilidad que elijo para el problema de minimización es el máximo 
del problema de maximización (nivel de utilidad indirecta): u = v(p, m) entonces las soluciones de 
los dos problemas coinciden: 
xC(p, v(p, m)) = xM (p, m) y e(p, v(p, u)) = m. 
 
 
De la misma manera pensemos el problema de manera inversa. Un agente busca alcanzar cierto 
nivel de utilidad ”u” de la manera más económica, tomando los precios como dados. En este 
caso el agente enfrenta una isocuanta en la cuál debe pararse y elige una canasta de consumo 
que minimiza el gasto, es decir, la curva de isocosto menor. El gasto al que el agente debe incurrir 
se encuentra dado por e(p, u). Ahora supongamos que el mismo agente cuenta con un ingreso dado 
por e(p, u) y decide maximizar su utilidad. Las soluciones de dicho problema coincidirán y el 
nivel de utilidad que obtendrá será u. 
Proposition 39 Si el ingreso que elijo para el problema de maximización es el mínimo del 
problema de minimización (función de gasto mínimo): m = e(p, u) entonces las soluciones de los 
dos problemas coinciden: 
xC(p, u) = xM (p, e(p, u)) y v(p, e(p, u)) = u. 
2 
2 
27 p p2 
/ 
9 p p2 
Ejemplo: Función de utilidad Cobb-Douglas 
Con la función de gasto mínimo que encontramos más arriba podemos recuperar la función de 
utilidad indirecta usando la identidad 
 
e(p, v(p, m)) = m. 
Reemplazando tenemos 
 
3 1 2 1 
 
Despejando v(p, m)obtenemos 
(2p1) 3 p 3 v(p, m) 3 = m. 
2 
 
4 m3 
v(p, m) = 
27 p p2
 
1 2 
Ahora podemos obtener las funciones de demanda marshallianas. Tenemos dos caminos para 
hacerlo: 
1. A partir de la función de utilidad indirecta, usando la identidad de Roy. 
2. A partir de las funciones de demanda compensada. 
Calculamos la demanda del bien 1 usando el primer método: 
 
xM (p, m) = — 
6v 
/ 
6v
 
1 6p1 6m 
 
4 m3
 
4 m2
 
1 2 1 2 
m 
= 
3p1 
Ahora calculamos la demanda del bien 2 usando el segundo método: 
 
 
xM (p, m) = xC(p, v(p, m)) 
2 2 
4 m3 1/3 1/3 
= ( 
27 p p2 
)
 (2p1p2) 
1 2 
2 m 
= 
3 p2 
Estas son las demandas marshallianas que surgen de maxmizar u(x1, x2) = x1x2 sujeto a 
la restricción presupuestaria. 
=