Clase 17 - Inferencia Estadística

Vista previa del material en texto

Inferencia Estad́ıstica
Lućıa Babino
Universidad Torcuato Di Tella
1 / 35
Bibliograf́ıa para esta clase
Lock, cap. 4.5 y 5.2
Wasserman, cap 10 (sec. 10.1 y 10.2 sin power function)
2 / 35
Repaso
3 / 35
Test para µ bajo normalidad con σ desconocida
Sup. X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d.
Un test de nivel α para las hipótesis H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
→ ¿cómo se compara con el Pivote?
Región de rechazo (R):
a) {T > tn−1,α} b) {T < −tn−1,α} c) {|T | > tn−1,α/2}
p-valor: (si Tn−1 ∼ tn−1)
a) P(Tn−1 ≥ Tobs) b) P(Tn−1 ≤ Tobs) c) P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
4 / 35
Ejemplo: ¿Es la temperatura media actual distinta de
98.6°F?
¿Cuál es la temperatura corporal promedio para
los humanos sanos? La mayoŕıa de las personas
que usan una escala Fahrenheit dirán 98.6 °F
(37°C). Este “hecho” ha sido bien establecido
durante muchos años. Pero, ¿es posible que la
temperatura corporal promedio haya cambiado
con el tiempo? Para responder esta pregunta,
se realizó un estudio en el cual se midió
la temperatura corporal de 50 adultos sanos
observándose una media muestra de 98.26
°F y un desv́ıo estándar muestral de 0, 7653 °F.
¿Proporcionan estos datos evidencia significativa de que la
temperatura corporal promedio actual es realmente diferente de la
histórica de 98.6 °F? Suponga que la temperatura corporal actual
sigue una distribución normal.
Lock, et al. (2020) 5 / 35
Test - pasos
Parámetro:
µ = temperatura media poblacional actual (en °F)
Hipótesis:
H0 : µ = 98.6 vs. H1 : µ ̸= 98.6
Muestra aleatoria: X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con n = 50
donde
Xi = temp. (en °F) del i-ésimo individuo de la muestra, 1 ≤ i ≤ 50.
6 / 35
Test - pasos
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
T =
X50 − 98.6√
s2/50
∼ t49 bajo H0
Región de rechazo de nivel 0.05:
R = {|T | > tn−1,α/2} = {|T | > t49,0.025} = {|T | > 2.0096}
Decisión:
7 / 35
Test - pasos
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
T =
X50 − 98.6√
s2/50
∼ t49 bajo H0
Región de rechazo de nivel 0.05:
R = {|T | > tn−1,α/2} = {|T | > t49,0.025} = {|T | > 2.0096}
Decisión:
7 / 35
Clase de hoy
8 / 35
Test - pasos
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
T =
X50 − 98.6√
s2/50
∼ t49 bajo H0
Región de rechazo de nivel 0.05:
R = {|T | > tn−1,α/2} = {|T | > t49,0.025} = {|T | > 2.0096}
Decisión:
rechazamos H0 a nivel 5%.
Conclusión (en el contexto): los datos proporcionan evidencia
significativa a nivel 5% de que la temperatura corporal media
(poblacional) actual es distinta de 98.6 °F.
9 / 35
Test - pasos
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
T =
X50 − 98.6√
s2/50
∼ t49 bajo H0
Región de rechazo de nivel 0.05:
R = {|T | > tn−1,α/2} = {|T | > t49,0.025} = {|T | > 2.0096}
Decisión: rechazamos H0 a nivel 5%.
Conclusión (en el contexto): los datos proporcionan evidencia
significativa a nivel 5% de que la temperatura corporal media
(poblacional) actual es distinta de 98.6 °F.
9 / 35
Test - pasos
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
T =
X50 − 98.6√
s2/50
∼ t49 bajo H0
Región de rechazo de nivel 0.05:
R = {|T | > tn−1,α/2} = {|T | > t49,0.025} = {|T | > 2.0096}
Decisión: rechazamos H0 a nivel 5%.
Conclusión (en el contexto):
los datos proporcionan evidencia
significativa a nivel 5% de que la temperatura corporal media
(poblacional) actual es distinta de 98.6 °F.
9 / 35
Test - pasos
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
∼ tn−1 bajo H0
T =
X50 − 98.6√
s2/50
∼ t49 bajo H0
Región de rechazo de nivel 0.05:
R = {|T | > tn−1,α/2} = {|T | > t49,0.025} = {|T | > 2.0096}
Decisión: rechazamos H0 a nivel 5%.
Conclusión (en el contexto): los datos proporcionan evidencia
significativa a nivel 5% de que la temperatura corporal media
(poblacional) actual es distinta de 98.6 °F.
9 / 35
Test - pasos
p-valor
= 0.0029 → justificar en parcial
¿Qué decisión habŕıamos tomado a nivel 0.01?
¿Cuál es el grado de evidencia que presentan los datos contra
H0?
p-valor H0 evidencia contra H0
< 0.01 muy alta/fuerte
[0.01, 0.05) alta/fuerte
[0.05, 0.10) baja/débil
[0.10, 0.50) muy baja/débil
> 0.50 ninguna
10 / 35
Test - pasos
p-valor = 0.0029 → justificar en parcial
¿Qué decisión habŕıamos tomado a nivel 0.01?
¿Cuál es el grado de evidencia que presentan los datos contra
H0?
p-valor H0 evidencia contra H0
< 0.01 muy alta/fuerte
[0.01, 0.05) alta/fuerte
[0.05, 0.10) baja/débil
[0.10, 0.50) muy baja/débil
> 0.50 ninguna
10 / 35
Test - pasos
p-valor = 0.0029 → justificar en parcial
¿Qué decisión habŕıamos tomado a nivel 0.01?
¿Cuál es el grado de evidencia que presentan los datos contra
H0?
p-valor H0 evidencia contra H0
< 0.01 muy alta/fuerte
[0.01, 0.05) alta/fuerte
[0.05, 0.10) baja/débil
[0.10, 0.50) muy baja/débil
> 0.50 ninguna
10 / 35
Test - pasos
p-valor = 0.0029 → justificar en parcial
¿Qué decisión habŕıamos tomado a nivel 0.01?
¿Cuál es el grado de evidencia que presentan los datos contra
H0?
p-valor H0 evidencia contra H0
< 0.01 muy alta/fuerte
[0.01, 0.05) alta/fuerte
[0.05, 0.10) baja/débil
[0.10, 0.50) muy baja/débil
> 0.50 ninguna
10 / 35
Test - pasos
p-valor = 0.0029 → justificar en parcial
¿Qué decisión habŕıamos tomado a nivel 0.01?
¿Cuál es el grado de evidencia que presentan los datos contra
H0?
p-valor H0 evidencia contra H0
< 0.01 muy alta/fuerte
[0.01, 0.05) alta/fuerte
[0.05, 0.10) baja/débil
[0.10, 0.50) muy baja/débil
> 0.50 ninguna
10 / 35
Implementación en R
1 # seteo el directorio de trabajo
2 setwd("C:/InferenciaEstadistica/datos")
3 # importo los datos a R
4 datos <- read.table("BodyTemp50.txt", header = TRUE)
1 # guardo BodyTemp en el vector temp
2 temp <- datos$BodyTemp
11 / 35
Implementación en R
1 # seteo el directorio de trabajo
2 setwd("C:/InferenciaEstadistica/datos")
3 # importo los datos a R
4 datos <- read.table("BodyTemp50.txt", header = TRUE)
1 # guardo BodyTemp en el vector temp
2 temp <- datos$BodyTemp
11 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos
→ xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu =98.6)
12 / 35
Implementación en R
¿Qué información necesitamos para calcular el p-valor?
p− valor = P(|Tn−1| ≥ |Tobs|)
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
Necesitamos...
datos → xn, sobs y n.
µ0
H1
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6)
12 / 35
Implementación en R
1 # corro el test
2 t.test(temp , alternative = "two.sided", mu = 98.6)
3
4 # One Sample t-test
5 #
6 # data: temp
7 # t = -3.1414, df = 49, p-value = 0.002851
8 # alternative hypothesis: true mean is not equal to 98.6
9 # 95 percent confidence interval:
10 # 98.0425 98.4775
11 # sample estimates:
12 # mean of x
13 # 98.26
El IC que informa es el IC de nivel 0.95 para µ cuando
X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d.,
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Si queremos un IC de nivel 0.01...
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6,
conf.level = 0.99 )
13 / 35
Implementación en R
1 # corro el test
2 t.test(temp , alternative = "two.sided", mu = 98.6)
3
4 # One Sample t-test
5 #
6 # data: temp
7 # t = -3.1414, df = 49, p-value = 0.002851
8 # alternative hypothesis: true mean is not equal to 98.6
9 # 95 percent confidence interval:
10 # 98.0425 98.4775
11 # sample estimates:
12 # mean of x
13 # 98.26
El IC que informa es el IC de nivel 0.95 para µ cuando
X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d.,
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Si queremos un IC de nivel 0.01...
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6,
conf.level = 0.99 )
13 / 35
Implementación en R
1 # corro el test
2 t.test(temp , alternative = "two.sided", mu = 98.6)
3
4 # One Sample t-test
5 #
6 # data: temp
7 # t = -3.1414, df = 49, p-value = 0.002851
8 # alternative hypothesis: true mean is not equal to 98.6
9 # 95 percent confidence interval:
10 # 98.0425 98.4775
11 # sample estimates:
12 # mean of x
13 # 98.26
El IC que informa es el IC de nivel 0.95 para µ cuando
X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d.,
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Si queremos un IC de nivel 0.01...
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6,
conf.level = 0.99 )
13 / 35
Implementación en R
1 # corro el test
2 t.test(temp , alternative = "two.sided", mu = 98.6)
3
4 # One Sample t-test
5 #
6 # data: temp
7 # t = -3.1414, df = 49, p-value = 0.002851
8 # alternative hypothesis: true mean is not equal to 98.6
9 # 95 percent confidence interval:
10 # 98.0425 98.4775
11 # sample estimates:
12 # mean of x
13 # 98.26
El IC que informa es el IC de nivel 0.95 para µ cuando
X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d.,
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Si queremos un IC de nivel 0.01...
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6,
conf.level = 0.99 )
13 / 35
Implementación en R
1 # corro el test
2 t.test(temp , alternative = "two.sided", mu = 98.6)
3
4 # One Sample t-test
5 #
6 # data: temp
7 # t = -3.1414, df = 49, p-value = 0.002851
8 # alternative hypothesis: true mean is not equal to 98.6
9 # 95 percent confidence interval:
10 # 98.0425 98.4775
11 # sample estimates:
12 # mean of x
13 # 98.26
El IC que informa es el IC de nivel 0.95 para µ cuando
X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d.,
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Si queremos un IC de nivel 0.01...
t.test(temp, alternative = "two.sided", mu = 98.6,
conf.level = 0.99 ) 13 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
IC en t.test
La salida de t.test informa el ICobs(0.95) correspondiente a...
IC(0.95) =
(
Xn ± tn−1,0.025
√
s2/n
)
Para construir el IC usamos la misma información que para armar
el test.
Además,
µ0 = 98, 6 /∈ ICobs(0.95) = (98.0425, 98.4775) y
rechazamos H0 a nivel 5%.
¿Será casualidad u ocurrirá con cualquier muestra?
Veremos que...
Si 98.6 /∈ ICobs(0.95) ⇒ Rech.H0 con el test de nivel 0.05
Si 98.6 ∈ ICobs(0.95) ⇒ No rech.H0 con el test de nivel 0.05
14 / 35
Equivalencia entre IC y test bilateral
Supongamos que queremos decidir entre las hipótesis...
H0 : θ = θ0 vs. H1 : θ ̸= θ0
y tenemos IC(1− α) para θ.
Entonces, la regla de decisión que consiste en...
Rechazar H0 si θ0 /∈ ICobs(1− α) y
No rechazar H0 si θ0 ∈ ICobs(1− α)
es equivalente a un test de nivel α para esas hipótesis.
15 / 35
Equivalencia entre IC y test bilateral
Supongamosque queremos decidir entre las hipótesis...
H0 : θ = θ0 vs. H1 : θ ̸= θ0
y tenemos IC(1− α) para θ.
Entonces, la regla de decisión que consiste en...
Rechazar H0 si θ0 /∈ ICobs(1− α) y
No rechazar H0 si θ0 ∈ ICobs(1− α)
es equivalente a un test de nivel α para esas hipótesis.
15 / 35
Equivalencia entre IC y test bilateral
Supongamos que queremos decidir entre las hipótesis...
H0 : θ = θ0 vs. H1 : θ ̸= θ0
y tenemos IC(1− α) para θ.
Entonces, la regla de decisión que consiste en...
Rechazar H0 si θ0 /∈ ICobs(1− α) y
No rechazar H0 si θ0 ∈ ICobs(1− α)
es equivalente a un test de nivel α para esas hipótesis.
15 / 35
Equivalencia entre IC y test bilateral
Supongamos que queremos decidir entre las hipótesis...
H0 : θ = θ0 vs. H1 : θ ̸= θ0
y tenemos IC(1− α) para θ.
Entonces, la regla de decisión que consiste en...
Rechazar H0 si θ0 /∈ ICobs(1− α) y
No rechazar H0 si θ0 ∈ ICobs(1− α)
es equivalente a un test de nivel α para esas hipótesis.
15 / 35
Equivalencia entre IC y test bilateral
Supongamos que queremos decidir entre las hipótesis...
H0 : θ = θ0 vs. H1 : θ ̸= θ0
y tenemos IC(1− α) para θ.
Entonces, la regla de decisión que consiste en...
Rechazar H0 si θ0 /∈ ICobs(1− α) y
No rechazar H0 si θ0 ∈ ICobs(1− α)
es equivalente a un test de nivel α para esas hipótesis.
15 / 35
Equivalencia entre IC y test bilateral
Supongamos que queremos decidir entre las hipótesis...
H0 : θ = θ0 vs. H1 : θ ̸= θ0
y tenemos IC(1− α) para θ.
Entonces, la regla de decisión que consiste en...
Rechazar H0 si θ0 /∈ ICobs(1− α) y
No rechazar H0 si θ0 ∈ ICobs(1− α)
es equivalente a un test de nivel α para esas hipótesis.
15 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta: ¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta: ¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta: ¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta:
¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta: ¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta: ¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Ejemplo Test AB
Queremos tomar la decisión de cambiar o no la página en base al
tiempo de permanencia, suponiendo...
µ0 = tiempo de permanencia medio con la versión actual
= 60 seg −→ conocido
Entonces...
Parámetro:
µ = tiempo de permanencia medio con la versión nueva
Pregunta: ¿µ > µ0?
Para responderla, calculábamos un IC p/ µ y nos fijábamos si
µ0 = 60 ∈ ICobs
¡Estábamos haciendo un test para
H0 : µ = 60 vs. H1 : µ ̸= 60!
16 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01
→ evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26
→ muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa.
¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn)es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48)
→ el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Relación entre IC y test
En el ejemplo de la temperatura...
p-valor = 0.0029 < 0.01 → evidencia muy fuerte a favor de
que µ ̸= 98.6
xn = 98.26 → muy cerca de 98.6
La diferencia entre la media muestral de la temperatura corporal
(98.26) y la media poblacional histórica (98.6) es estad́ısticamente
significativa pero no prácticamente significativa. ¿Por qué?
Tobs =
xn − µ0√
s2obs/n
=
98.26− 98.6√
0.76592/50
=
0.34
0.11
= 3.14 → grande p/ la T49
El ŜE(Xn) es suficientemente chico para detectar un leve
apartamiento de µ0. En particular, esto ocurre cuando n es grande.
Además, ICobs = (98.04, 98.48) → el máximo valor “posible” para
µ es 98.48
17 / 35
Moralejas
Un resultado puede ser estad́ısticamente significativo pero no
prácticamente significativo.
Test e IC dan información complementaria.
18 / 35
Moralejas
Un resultado puede ser estad́ısticamente significativo pero no
prácticamente significativo.
Test e IC dan información complementaria.
18 / 35
Test no paramétrico para µ (sin
asumir normalidad)
19 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (si n es grande)
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
20 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (si n es grande)
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
20 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (si n es grande)
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
20 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (si n es grande)
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
20 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (si n es grande)
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
20 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2)i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Estructura del estad́ıstico en test para µ
Sea µ̂n = Xn
1 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ20) i.i.d. con σ0 conocida
T =
Xn − µ0√
σ20/n
=
µ̂n − µ0
SE(µ̂n)
∼ N (0, 1) bajo H0
2 Si X1, . . . , Xn ∼ N (µ, σ2) i.i.d. con σ desconocida
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
∼ tn−1 bajo H0
3 Si X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ y n grande
T =
Xn − µ0√
s2/n
=
µ̂n − µ0
ŜE(µ̂n)
≈ N (0, 1) bajo H0
21 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ con n grande.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (x TLC pues n es grande)
Región de rechazo:
22 / 35
Test no paramétrico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ con n grande.
Queremos un test para las hipótesis
H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (x TLC pues n es grande)
Región de rechazo:
22 / 35
Definición
Diremos que un test tiene nivel asintótico α si
P(EI) = P(Rechazar H0 cuando H0 es V) −→
n→∞
α
Es decir, si P(EI) ≃ α para n grande.
23 / 35
Test asintótico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ con n grande.
Queremos un test para las hipótesis H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (x TLC pues n es grande)
Región de rechazo (de nivel asintótico α):
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
24 / 35
Test asintótico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ con n grande.
Queremos un test para las hipótesis H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (x TLC pues n es grande)
Región de rechazo (de nivel asintótico α):
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
24 / 35
Test asintótico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ con n grande.
Queremos un test para las hipótesis H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (x TLC pues n es grande)
Región de rechazo (de nivel asintótico α):
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
24 / 35
p-valor en test asintóticos
Definición
Dado un test asintótico y una muestra, definimos al p-valor de la
muestra como la probabilidad (aproximada por TCL) de observar
un estad́ıstico T como el observado (Tobs) o más extremo aún (en
la dirección de H1) bajo H0.
Más precisamente,
p−valor = lim
n→∞
PH0(observar un T como Tobs o más extremo aún)
25 / 35
p-valor en test asintóticos
Definición
Dado un test asintótico y una muestra, definimos al p-valor de la
muestra como la probabilidad (aproximada por TCL) de observar
un estad́ıstico T como el observado (Tobs) o más extremo aún (en
la dirección de H1) bajo H0.
Más precisamente,
p−valor = lim
n→∞
PH0(observar un T como Tobs o más extremo aún)
25 / 35
Test asintótico para µ
Sean X1, . . . , Xn i.i.d. con E(X1) = µ con n grande.
Queremos un test de nivel α para las hipótesis H0 : µ = µ0 vs.
a) H1 : µ > µ0 b) H1 : µ < µ0 c) H1 : µ ̸= µ0
Estad́ıstico:
T =
Xn − µ0√
s2/n
≈ N (0, 1) bajo H0 (si n es grande)
Región de rechazo:
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
a) P(Z ≥ Tobs) b) P(Z ≤ Tobs) c) P(|Z| ≥ |Tobs|)
26 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos, alternative =, mu = mu0, conf.level
= 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 comoen el caso normal con varianza desconocida (por eso se llama
t.test)
27 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos, alternative =, mu = mu0, conf.level
= 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 como
en el caso normal con varianza desconocida (por eso se llama
t.test)
27 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos, alternative =, mu = mu0, conf.level
= 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 como
en el caso normal con varianza desconocida (por eso se llama
t.test)
27 / 35
Ejercicios de la práctica que pueden hacer
Práctica 4: hasta ej. 12.
28 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
29 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta:
¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1?
↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida:
¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Ejemplo Test AB: tiempo de permanencia
Queremos decidir si cambiar la versión de la página en base al
tiempo de permanencia.
Parámetro/s de interés:
µ1 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión actual
µ2 = tiempo de permanencia medio (poblacional) con la
versión nueva
Pregunta: ¿µ2 > µ1? ↔ ¿µ1 − µ2 < 0?
Verdadero parámetro de interés: δ = µ1 − µ2
Pregunta traducida: ¿δ < 0?
Hipótesis:
H0 : δ = 0 (δ ≥ 0) vs. H1 : δ ≤ 0
30 / 35
Datos en el ejemplo
muestra 1: X1, . . . , Xn1 i.i.d., E(X1) = µ1, n1 grande
En el ejemplo...
Xi = tiempo de permanencia (con la versión actual) del i-ésimo ind. de
la muestra A, 1 ≤ i ≤ n1
muestra 2: Y1, . . . , Yn2 i.i.d., E(Y1) = µ2, n2 grande
En el ejemplo...
Yi = tiempo de permanencia (con la versión nueva) del i-ésimo ind. de la
muestra B, 1 ≤ i ≤ n2
las muestras 1 y 2 son independientes entre śı.
31 / 35
Datos en el ejemplo
muestra 1: X1, . . . , Xn1 i.i.d., E(X1) = µ1, n1 grande
En el ejemplo...
Xi = tiempo de permanencia (con la versión actual) del i-ésimo ind. de
la muestra A, 1 ≤ i ≤ n1
muestra 2: Y1, . . . , Yn2 i.i.d., E(Y1) = µ2, n2 grande
En el ejemplo...
Yi = tiempo de permanencia (con la versión nueva) del i-ésimo ind. de la
muestra B, 1 ≤ i ≤ n2
las muestras 1 y 2 son independientes entre śı.
31 / 35
Datos en el ejemplo
muestra 1: X1, . . . , Xn1 i.i.d., E(X1) = µ1, n1 grande
En el ejemplo...
Xi = tiempo de permanencia (con la versión actual) del i-ésimo ind. de
la muestra A, 1 ≤ i ≤ n1
muestra 2: Y1, . . . , Yn2 i.i.d., E(Y1) = µ2, n2 grande
En el ejemplo...
Yi = tiempo de permanencia (con la versión nueva) del i-ésimo ind. de la
muestra B, 1 ≤ i ≤ n2
las muestras 1 y 2 son independientes entre śı.
31 / 35
Datos en el ejemplo
muestra 1: X1, . . . , Xn1 i.i.d., E(X1) = µ1, n1 grande
En el ejemplo...
Xi = tiempo de permanencia (con la versión actual) del i-ésimo ind. de
la muestra A, 1 ≤ i ≤ n1
muestra 2: Y1, . . . , Yn2 i.i.d., E(Y1) = µ2, n2 grande
En el ejemplo...
Yi = tiempo de permanencia (con la versión nueva) del i-ésimo ind. de la
muestra B, 1 ≤ i ≤ n2
las muestras 1 y 2 son independientes entre śı.
31 / 35
Datos en el ejemplo
muestra 1: X1, . . . , Xn1 i.i.d., E(X1) = µ1, n1 grande
En el ejemplo...
Xi = tiempo de permanencia (con la versión actual) del i-ésimo ind. de
la muestra A, 1 ≤ i ≤ n1
muestra 2: Y1, . . . , Yn2 i.i.d., E(Y1) = µ2, n2 grande
En el ejemplo...
Yi = tiempo de permanencia (con la versión nueva) del i-ésimo ind. de la
muestra B, 1 ≤ i ≤ n2las muestras 1 y 2 son independientes entre śı.
31 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para las hipótesis
H0 : δ = 0 (µ1 = µ2) vs.
a) H1 : δ > 0 (µ1 > µ2) b) δ < 0 (µ1 < µ2) c) H1 : δ ̸= 0 (µ1 ̸= µ2)
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
32 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para las hipótesis
H0 : δ = 0 (µ1 = µ2) vs.
a) H1 : δ > 0 (µ1 > µ2) b) δ < 0 (µ1 < µ2) c) H1 : δ ̸= 0 (µ1 ̸= µ2)
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
32 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para las hipótesis
H0 : δ = 0 (µ1 = µ2) vs.
a) H1 : δ > 0 (µ1 > µ2) b) δ < 0 (µ1 < µ2) c) H1 : δ ̸= 0 (µ1 ̸= µ2)
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
32 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para las hipótesis
H0 : δ = 0 (µ1 = µ2) vs.
a) H1 : δ > 0 (µ1 > µ2) b) δ < 0 (µ1 < µ2) c) H1 : δ ̸= 0 (µ1 ̸= µ2)
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
32 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para las hipótesis
H0 : δ = 0 (µ1 = µ2) vs.
a) H1 : δ > 0 (µ1 > µ2) b) δ < 0 (µ1 < µ2) c) H1 : δ ̸= 0 (µ1 ̸= µ2)
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
32 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para las hipótesis
H0 : δ = 0 (µ1 = µ2) vs.
a) H1 : δ > 0 (µ1 > µ2) b) δ < 0 (µ1 < µ2) c) H1 : δ ̸= 0 (µ1 ̸= µ2)
tendrá...
Estad́ıstico:
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
↑
¿cómo se compara con el Pivote?
32 / 35
Estructura del estad́ıstico
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
=
δ̂ − δ0
ŜE(δ̂)
donde
δ̂ = Xn1 − Y n2
y
δ0 = 0
33 / 35
Estructura del estad́ıstico
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
=
δ̂ − δ0
ŜE(δ̂)
donde
δ̂ =
Xn1 − Y n2
y
δ0 = 0
33 / 35
Estructura del estad́ıstico
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
=
δ̂ − δ0
ŜE(δ̂)
donde
δ̂ = Xn1 − Y n2
y
δ0 = 0
33 / 35
Estructura del estad́ıstico
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
=
δ̂ − δ0
ŜE(δ̂)
donde
δ̂ = Xn1 − Y n2
y
δ0 =
0
33 / 35
Estructura del estad́ıstico
T =
Xn1 − Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
=
δ̂ − δ0
ŜE(δ̂)
donde
δ̂ = Xn1 − Y n2
y
δ0 = 0
33 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para H0 : δ = 0 vs.
a) H1 : δ > 0 b) δ < 0 c) H1 : δ ̸= 0
tendrá...
Estad́ıstico: T =
Xn1−Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
Región de rechazo de nivel asintótico α:
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
a) P(Z ≥ Tobs) b) P(Z ≤ Tobs) c) P(|Z| ≥ |Tobs|)
34 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para H0 : δ = 0 vs.
a) H1 : δ > 0 b) δ < 0 c) H1 : δ ̸= 0
tendrá...
Estad́ıstico: T =
Xn1−Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
Región de rechazo de nivel asintótico α:
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
a) P(Z ≥ Tobs) b) P(Z ≤ Tobs) c) P(|Z| ≥ |Tobs|)
34 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para H0 : δ = 0 vs.
a) H1 : δ > 0 b) δ < 0 c) H1 : δ ̸= 0
tendrá...
Estad́ıstico: T =
Xn1−Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
Región de rechazo de nivel asintótico α:
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
a) P(Z ≥ Tobs) b) P(Z ≤ Tobs) c) P(|Z| ≥ |Tobs|)
34 / 35
Test asintótico para µ1 − µ2
Sean
X1, . . . , Xn1 i.i.d. con E(X1) = µ1, n1 grande
Y1, . . . , Yn2 i.i.d. con E(Y1) = µ2, n2 grande
{Xi}1≤i≤n1 e {Yi}1≤i≤n2 independientes
δ = µ1 − µ2.
Un test para H0 : δ = 0 vs.
a) H1 : δ > 0 b) δ < 0 c) H1 : δ ̸= 0
tendrá...
Estad́ıstico: T =
Xn1−Y n2√
s21
n1
+
s22
n2
≈ N (0, 1) bajo H0
Región de rechazo de nivel asintótico α:
a) R = {T > zα} b) R = {T < −zα} c) R = {|T | > zα/2}
p-valor:
a) P(Z ≥ Tobs) b) P(Z ≤ Tobs) c) P(|Z| ≥ |Tobs|) 34 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos1, y = datos2, alternative =,
conf.level = 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
¿porqué no ponemos nada en el argumento “mu”? ¿cuál será
su valor por default?
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 en vez
de la N (0, 1)
35 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos1, y = datos2, alternative =,
conf.level = 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
¿porqué no ponemos nada en el argumento “mu”? ¿cuál será
su valor por default?
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 en vez
de la N (0, 1)
35 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos1, y = datos2, alternative =,
conf.level = 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
¿porqué no ponemos nada en el argumento “mu”? ¿cuál será
su valor por default?
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 en vez
de la N (0, 1)
35 / 35
Implementación en R
t.test(x = datos1, y = datos2, alternative =,
conf.level = 1-alfa)
en alternative ponemos “two.sided”, “greater” o “less”
¿porqué no ponemos nada en el argumento “mu”? ¿cuál será
su valor por default?
para calcular el p-valor y el IC usa la distribución tn−1 en vez
de la N (0, 1)
35 / 35