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FUNCIONES 
(6 semanas) 
 
 
 
 
 
 
El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) 
introdujo la conocida notación f(x) para funciones. 
También dio una definición válida de función como 
expresión o fórmula que involucra ciertas variables 
y constantes 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS 3º ESO Académicas 
 Alfonso González 
 IES Fernando de Mena 
Dpto. de Matemáticas 
 
 
FUNCIONES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
I) CONCEPTO DE FUNCIÓN. DEFINICIONES 
«Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes numéricas x e y tal que a cada 
valor de x le corresponde un solo valor de y» 
Hay varias formas de expresar una función, es decir, una dependencia entre dos magnitudes: 
1º) Funciones dadas por una expresión algebraica: 
Ejemplo 1: Sea y=2x+3, o lo que es equivalente, f (x)=2x+3. Hacer una tabla que defina la función. 
Solución: 
 
 
 
Definiciones: x es la variable independiente 
 y es la variable dependiente (porque, obviamente, y depende de x). 
f(x) es la imagen de x ¬ la notación y=f(x) indica que y es función de x, es decir, y 
depende de x p.ej. “la imagen de 2 (bajo f) es 7”, etc. 
Ejercicio: 1 
2º) Funciones dadas por un enunciado: 
Ejemplo 2: Dada la función f que asocia cada número real con su cuadrado, escribir su expresión 
algebraica y construir la tabla de valores correspondiente. 
Solución: 
 
(NOTA: Más adelante veremos que esta función es una parábola…) 
 
Ejercicio: 2 
3º) Funciones dadas por una tabla: 
Ejemplo 3: Completar la siguiente tabla que expresa el sueldo de un vendedor. Hallar la expresión 
analítica que relaciona ambas variables. Describir la situación por medio de un enunciado: 
Solución: 
 
 
Ejercicio: 3 
x …. -3 -2 -1 0 1 2 3 …. 
f (x)=2x+3 …. -3 -1 1 3 5 7 9 …. 
x …. -3 -2 -1 0 1 2 3 …. 
f (x )= …. …. 
NÚMERO de PRODUCTOS VENDIDOS
x 0 1 2 3 4 5 …. 
SALARIO (€ ) 
y 1000 1100 1200 …. 
v.g. f ( -2 ) =2 ꞏ ( -2 )+ 3=-1 v.g. f ( 2 ) =2 ꞏ2 + 3=7 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
Observaciones: 
1º) Hay una cuarta forma de expresar una función: gráficamente. Lo veremos en el próximo apartado. 
 
 
 
 
 
 
2º) Completar la siguiente tabla: 
 EXPRESIÓN ALGEBRAICA ENUNCIADO TABLA GRÁFICA 
VENTAJAS 
 Es una forma 
sencilla y rápida de 
expresar una 
función. 
 Es muy fácil obtener 
valores de la función 
dando valores a x. 
 
 
 
  Nos da una idea 
intuitiva de la relación 
entre ambas 
magnitudes. 
INCONVENIENTES 
 Nos dice muy poco 
de cómo se 
comporta la función. 
 
 
 
 
 
 
 
3º) El SÍMIL de la "MÁQUINA”: Una función es cómo una máquina en la que un número x es introducido y 
devuelve otro valor y o f(x): 
 
Así, si 3 es introducido en la máquina, se 
obtiene f (3)=2 ꞏ3-1=5. 
 
Este "símil de la máquina" es bastante versátil 
y útil. Lo utilizaremos para explicar muchas 
propiedades y conceptos de las funciones. 
 
3º) TABLA 
2º) ENUNCIADO
GRÁFICA 
(Apdo. II)
1º) EXPRESIÓN 
 ALGEBRAICA 
Duplica 
Resta 1 
Entrada 
x 
Salida 
y=2x-1
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4º) Una función puede también ser definida de una forma más exhaustiva. En el caso del ejemplo 2: 
 f:  + 
 x f (x)=x2 
 
pero en la práctica esta notación se acorta y simplemenmte se dice f (x)=x2 . 
5º) Recordar: «A cada valor de x le corresponde uno y solo un valor de y». 
 
II) GRÁFICA de una FUNCIÓN 
Definiciones: 
En la práctica, para dibujar la 
gráfica de una función, 
normalmente construimos 
una tabla apropiada que 
relacione x e y, y después 
trasladamos esos puntos al 
plano cartesiano y los unimos 
por medio de una línea suave 
y continua. 
Sin embargo, en el apdo. III 
veremos que en ciertos casos 
(funciones discontinuas, 
escalonadas, etc.) ello no es 
posible. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Dibujar la gráfica de f (x)=x2 mediante tabla de valores: 
x …. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ….
f(x)=x2 …. ….
 
Definición: «La gráfica de una función y=f(x) está formada por los  puntos 
(x ,y) que verifican la expresión dada, es decir, que verifican 
y=f(x)». 
 
Observación: El hecho de que a cada valor de x no pueda corresponderle más de una imagen y implica 
EL TEST DE LA RECTA VERTICAL: «Una recta imaginaria vertical que se desplace por el 
plano de izquierda a derecha no puede cortar a la gráfica más de una vez1». 
 
 
1 Sin embargo, una recta horizontal que se desplace de abajo a arriba puede cortar a la gráfica varias veces, ya que un 
f(x) concreto puede tener varios x de los que proceda … (como en el ejemplo 2) 
2º CUADRANTE 
4
3 
A(4 ,3)
PLANO (CARTESIANO) 
3º CUADRANTE 
4º CUADRANTE 
eje vertical, o eje y, o eje de ordenadas 
coordenada y de A 
coordenada x de A
ORIGEN, (0 ,0) 
eje horizontal, o eje x, 
o eje de abscisas
ejes de coordenadas, o ejes de referencia 
por medio de una línea
de puntos (o flechas)
indicamos que la
gráfica continúa
indefinidamente (rama
infinita) 
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Ejercicios: 4, 5 y 6 
 
 
 
 
 
III) PROPIEDADES que se DEDUCEN de la GRÁFICA de una FUNCIÓN 
III.1) Dominio y Recorrido: 
«El dominio de definición de una función es el conjunto de todos los números reales x para los que 
existe imagen». 
Es decir, el dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de x. Se simboliza 
mediante Dom(f), o Domf(x), etc. En el ejemplo 2, es obvio que Dom(f)= . 
«El recorrido o (conjunto) imagen de una función es el conjunto de todos los posibles valores de y 
que toma la función». 
En otras palabras, es el conjunto formado por todos los valores que recorren las imágenes, y se denota 
como Im(f), o R(f), etc. En el ejemplo 2, Im( f )=+ , lógicamente. 
Ejemplo 2: Justificar, analíticamente (completar la tabla) y gráficamente, cuál es el Dom(f) e Im( f ) de 
2f(x) x . 
x ... -2 -1 0 1 /2 42 3 p ... 
y=x2 ... ... 
 
Por tanto, la notación exhaustiva para esta función sería: f:  + 
 x f(x)=x2 
 
Ejemplo 4: Ídem con f(x) x . 
x ... 
f (x )=x ... 
 
 
 
 
 
 
Notas: 1º) Para obtener Dom(f) gráficamente, podemos recorrer imaginariamente el eje x de 
izquierda a derecha y ver dónde hay gráfica. 
 Función de 1er grado  recta 
 Función de 2o grado  parábolaResumen: 
 Dom(f )= 
 R( f )= 
y
Im(f )=
x
Dom(f)=
 Dom(f )= 
 Im( f )= 
y 
x 
R(f)= 
Dom(f)=
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2º) Similarmente, para obtener R(f) gráficamente, podemos recorrer imaginariamente el eje 
y de abajo a arriba y ver dónde hay gráfica. 
3º) De acuerdo con el "Símil de la máquina”: 
 El dominio es simplemente el conjunto de todos los valores posibles de x que 
pueden ser introducidos en la máquina sin producir error. 
 El conjunto imagen o recorrido es el conjunto de todos los valores o posibles 
resultados y que pueden salir de la máquina. 
 
 
III.2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: (también llamados "Intervalos de monotonía") 
Idea intuitiva: 
 
 
 
 
 
Notas: 1º) Se suele indicar que una función es creciente mediante el símbolo , y  si es 
decreciente. 
2º) Los intervalos de crecimiento siempre se indican con respecto al eje x. 
3º) En el caso particular de la función constante, la definición es 1 2 1 2x x f(x ) f(x )   
 
III.3) Máximos y mínimos (relativos o locales): 
En general, las funciones tienen intervalos de crecimiento () y decrecimiento (), separados por 
máximos (M) y mínimos (m): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN CRECIENTE 
x1 x2 
f(x1) 
f(x2) 
x1 x2 
f(x2)
f(x1) 
FUNCIÓN DECRECIENTE 
f(x) 
A
B 
A
B 
f(x) 
M 
  
m 

x0 
x0 
y= f (x ) 
«Una función es creciente () si a medida 
que aumentan las x aumentan también las
imágenes y correspondientes»: 
1 2 1 2x x f(x ) f(x )   
«Una función es decreciente () si a
medida que aumentan las x disminuyen
las imágenes y correspondientes»: 
1 2 1 2x x f(x ) f(x )   
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 «Un máximo (relativo o local) es un punto donde 
la función cambia de creciente () a decreciente 
()». 
 Su símbolo es M. 
 Un máximo es como un "pico" en la gráfica. 
 En otras palabras, «una función tiene un 
máximo (relativo o local) en x=x0 si en las 
proximidades de dicho punto los valores de la 
función son todos < f (x0)». 
 «Un mínimo (relativo o local) es un punto donde 
la función cambia de decreciente () a creciente 
()». 
 Su símbolo es m. 
 Un mínimo es como un "valle" en la gráfica. 
 En otras palabras, «una función tiene un mínimo 
(relativo o local) en x=x0 si en las proximidades 
de dicho punto los valores de la función son 
todos > f (x0)». 
 
Observaciones: 
1º) Los intervalos de monotonía se expresan siempre con respecto al eje x. 
2º) Estos M y m así definidos se llaman propiamente extremos relativos o locales2. 
3º) Una función puede tener uno o varios M o m, o no tener ni M ni m. 
4º) Es obvio que si f(x) es continua, siempre habrá un m entre dos M, y viceversa. 
 
III.4) Simetría: 
Algo que es simétrico siempre va a tener dos mitades iguales; en otras palabras, un lado es idéntico al 
otro. Existen muchos tipos de simetría de una función, pero en este curso solo vamos a ver dos tipos: 
a) f(x) FUNCIÓN PAR (o simetría PAR): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) FUNCIÓN IMPAR (o simetría IMPAR): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Existen también extremos absolutos, como veremos en Bachillerato. 
x …. -3 -2 -1 0 1 2 3 ….
f(x)=x2 …. 9 4 1 0 1 4 9 ….
x …. -3 -2 -1 0 1 2 3 ….
f(x)=x3 …. -27 -8 -1 0 1 8 27 ….
-x x 
f (x )=x 2 
f (-x )= f (x ) 
-x 
x 
f (x ) 
f (-x) 
f (x )=x 3 
        FUNCIÓN PARf x f x f x simétrica con respecto al eje f x      y
        FUNCIÓN IMPARf x f x f x simétrica con respecto al origen f x      
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Notas: 
1º) «Una función se dice que es PAR si su gráfica es simétrica respecto al eje y». Análogamente, 
«una función es IMPAR si en cierto modo es simétrica respecto al origen». 
2º) Naturalmente, hay muchos más tipos de simetrías. Sin embargo, en este curso solo vamos a ver 
estos dos. 
3º) Obviamente, la mayoría de las funciones no son necesariamente simétricas. Una función puede 
ser par, impar, o nada (esto último, lo más habitual). 
4º) Por ejemplo, si una función par tiene un máximo en M(2,5) , necesariamente tendrá otro en 
M(-2,5) . Sin embargo, si es impar, tendría un mínimo en m(-2,-5) . 
5º) Usamos el adjetivo "par" porque las funciones pares más típicas son y=x2, es decir, con un 
exponente par (Nótese que y=x4, y=x2-2x6, etc. también serán pares). Del mismo modo, la 
función impar más típica es y=x3. 
 
III.5) Continuidad y discontinuidad: 
Intuitivamente, «una función es CONTINUA si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel». 
Evidentemente, esta definición no es precisa, pero veremos una definición más formal en Bachillerato, 
que nos permitirá conocer la continuidad de una función sin necesidad de representarla previamente. 
Pero por el momento, nos conformaremos con deducir la continuidad a partir de la gráfica. 
En caso contrario, la función se dice DISCONTINUA. En este caso, su gráfica muestra "saltos" 
denominados "puntos de discontinuidad": 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la práctica, normalmente estudiaremos si una función es continua en un 
intervalo. «La continuidad siempre se expresa con respecto al eje x». 
 
III.6) Puntos de corte con los ejes: 
Considerar el ejemplo 5 del gráfico anexo. Es fácil de entender cómo 
tenemos que obtener analíticamente –esto es, sin dibujar la gráfica- los 
puntos de corte con los ejes: 
cortes(s) eje x: hay que imponer y=0, es decir, resolver una ecuación. 
corte eje y: hay que sustituir x=0. 
 
 
y=x 3-2x 2-5x+6 
(0,6) 
(-2,0) 
(1,0) 
(3,0) 
DISCONTINUA 
DISCONTINUA 
(Función escalonada)CONTINUA 
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Compruébese este hecho a continuación por medio del ejemplo 5, es decir, y=x3-2x2-5x+6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Además, nótese que una función no tiene por qué cortar necesariamente al eje x ni al y. 
Adviértase también que solo se puede cortar al eje y como máximo una vez. Recíprocamente, puede 
haber uno, o varios, o incluso infinitos cortes con el eje x, o no haber. 
Todas estas cuestiones se resumen en la siguiente tabla: 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.7) Tendencia de una función. Asíntotas: 
 Considerar la gráfica adjunta. A medida 
que aumenta la x, la y tiende al valor 
"a". 
 En este caso se dice que y=a es una 
asíntota horizontal. «Una asíntota es 
una recta a la que la gráfica se acerca 
cada vez más, pero sin llegar jamás a 
tocarla». 
 También existen asíntotas verticales, 
como veremos en algunos ejemplos (o 
incluso oblicuas, como veremos en 
Bachillerato). 
Ejercicios: 7 a 9 (Estudio completo de una función) 
10 a 13 (Interpretación de gráficas de la vida real) 
IV) RECTAS (Función lineal) y=mx+n 
Recuérdese que, como una consecuencia del ejercicio 4 (apdo. II), vimos que una expresión del estilo de 
y=mx+n, es decir, de 1er grado, era una recta. Por tanto, dos valores son suficientes para obtener su gráfica, 
usualmente x=0 e y=0, esto es, los cortes con los ejes:CORTE: ¿CÓMO SE CALCULA?: ¿CUÁNTOS CORTES PUEDE HABER?
eje X 
imponer y=0 
(es decir, resolver una ecuación) 
varios, 1 o 0 (o incluso ¥) 
eje y sustituir x=0 0 o 1 
y=a
f (x ) 
0 
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x 
y 
n 
A 
B
y=mx+n 
incremento vertical y
m (1)
incremento horizontal x

 

 
Ejemplo 6: Representar gráficamente las siguientes rectas. ¿Qué podemos deducir? (Recordar: ¡Para 
dibujar una recta basta con 2 puntos!) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consecuencias: 1º) m (el coeficiente de x) = pendiente: «Mide la inclinación de la recta» (Cuanto mayor 
es m, mayor es la inclinación). 
 En general: 
 
 
 Por tanto: 
 
m>0  recta CRECIENTE 
m<0  recta DECRECIENTE 
Ejemplo 6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 2x 3
y 2x 5
y 2x
 
 

y 2x 5
y 3x 5
y x 5
 
 
 
y=2x+3 
Por cada unidad que se incrementa x, 
la y aumenta 2 unidades  m=2 
y 2 4
m ... 2
x 1 2
    


Dy=2 
Dx=1
Dy=4 
Dx=2 
n=3 
Por cada unidad que se incrementa x, 
la y disminuye 3 unidades  m=-3 
y 3 6
m ... 3
x 1 2
 
     


y=-3x-5 
Dx=2 
Dy=-6 
Dx=1 
n=-5 
Dy=-3 
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En el primer caso, ambos incrementos son positivos, de modo que m>0  la recta es 
creciente. En el segundo caso, Dy<0, de modo que m<0  la recta es decreciente 
 
2º) n (el término independiente) = ordenada en el origen: «Es el punto donde la recta 
atraviesa al eje y». 
Por tanto, hay 4 casos dependiendo del signo de m y n: 
 
 
 
 
3º) «Las rectas que tienen la misma pendiente son paralelas, y viceversa» (ver 
ejemplo 6a). 
 Si tienen diferente pendiente, son secantes (como en el ejemplo 6b) 
Ejemplo 6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º) Tres casos particulares: 
 4.1) FUNCIÓN de PROPORCIONALIDAD DIRECTA (y=mx): 
n=0  y=mx  la recta pasa por el origen  FUNCIÓN de 
PROPORCIONALIDAD DIRECTA. m es la constante de proporcionalidad: “cuanto 
mayor es m, más empinada es la recta”. 
 
Por consiguiente, dependiendo del signo de m, hay dos posibilidades: 
n m<0 
n<0 
n 
m<0 
n>0 
n 
m>0 
n<0 
n 
m>0 
n>0 
y=2x+3 
PARALELAS
Dy=2 
Dx=1
n=3 
Dx=2
y=2x-5 
n=-5 
Dy=4 
SECANTES 
y=2x-5 
y=-3x-5 
n=-5 
Dy=-6 
Dx=2 
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Ejercicios: 14 a 22 (Función de proporcionalidad directa) 
 
 4.2) FUNCIÓN CONSTANTE (y=n): 
m=0  y=n  FUNCIÓN CONSTANTE  su gráfica es paralela al eje x, 
cortando al eje y a la altura de n unidades (es decir, una RECTA HORIZONTAL): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4.3) RECTA VERTICAL (x=k): 
x=k  RECTA VERTICAL  su gráfica no es una función porque a un único valor 
de x (esto es, x=k) corresponden ¥ valores de y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por cada unidad que se incrementa x, 
la y disminuye 3 unidades  m=-3 
y 3 6
m ... 3
x 1 2
 
     


y=-3x 
Dx=2 
Dy=-6 
Dx=1
Dy=-3 
y=2x 
y 2 4
m ... 2
x 1 2
    


Dy=2 
Dx=1
Dy=4 
Dx=2 
Por cada unidad que se incrementa x, 
la y aumenta 2 unidades  m=2
y=2 
y=-3 
y=0 
esta es la
ecuación del eje
de abscisas en cualquier punto de esta recta
horizontal, independientemente
del valor de la coordenada x, la
coordenada y siempre es y =2 
(0 ,2)(-3 ,2) (2 ,2)
x=1
x=0
para todos los puntos de esta
recta, independientemente del
valor de la y, la x siempre es
x =-4 
ecuación del eje
de ordenadas 
(-4 ,0)
(-4 ,3)
(-4 ,-2)
x=-4
y
y
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5º) Podemos ver si un punto dado pertenece a una recta comprobando si sus 
coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta (como en el ejercicio 24). 
Ejemplo 6: Comprobar analítica y gráficamente si los siguientes puntos pertenecen a 
la recta y=2x+3: 
 
 
 
A(1,5)  
 
 
B(-1,4)  
 
 
C(-3/2,0)  
 
 
D(-2,-1)  
 
 
E(-4,-4)  
 
 
 
Ejercicios: 23 a 38, y 44 a 48 
 
 
 
Otras formas de expresar una recta: Ecuación general y Ecuación punto-pendiente 
Además de la ecuación explícita, y=mx+n, estudiada antes, existen otras dos formas de expresar una 
recta: Ecuación general o implícita, y Ecuación punto-pendiente. El siguiente diagrama resume cómo 
pasar de una a otra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas: 
1º) Al igual que la forma explícita, la forma general o implícita es única (excepto en caso de no 
simplificación de los coeficientes A, B y C…), lo cual es una ventaja. 
2º) Sin embargo, una misma recta puede tener infinitas formas punto-pendiente. ¿Por qué? 
3º) Podemos resolver gráficamente sistemas de ecuaciones de 1er grado de una forma sencilla 
utilizando rectas (ver Anexo 1 del tema anterior, o ejercicio 46 de este tema). 
despejar y 
FORMA PUNTO-PENDIENTE 
FORMA EXPLÍCITA 
y m x n 
FORMA GENERAL 
o IMPLÍCITA 
Ax By C 0  
despejar y 
pasar todos los 
términos a un miembro 
 
pasar todos los términos a un miembro
pendiente 
punto (a,b) 
y=2x+3 
FUNCIONES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
Ejercicios: 39 a 43 (Las tres formas de expresar una recta) 
49 a 54 (Problemas de la vida real sobre rectas) 
 
 
 
 
V) PARÁBOLA (Función cuadrática) y=ax2+bx+c 
V.1) Caso particular: Parábola y=ax2 
 
Ejemplo 7: Representar 
2
2
y 2 x
y 5x

 
 sobre los mismos ejes, y extraer conclusiones. 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusiones: 1o) La gráfica de y=ax2 es una parábola cuyo vértice es el 
origen (0,0) , el cual separa dos brazos o ramas simétricas. 
2o) El eje y es el eje de simetría. 
3o) a>0  È (parábola en forma de U) la parábola apunta hacia arriba 
 a<0  Ç (parábola invertida) la parábola apunta hacia abajo 
4o) El grado de separación de ambas ramas depende del coeficiente cuadrático a: 
«Cuanto mayor es |a|, más juntas están las ramas». 
 
Todas estas conclusiones (excepto la 2a y el vértice en el origen) se aplican también 
al caso general, como veremos en el siguiente subapartado. 
 
Ejercicio: 55 
 
V.2) Caso general: y=ax2+bx+c 
Ejemplo 8: Representar y=x2-4x+3, y comprobar que la abscisa del vértice viene 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método práctico para dibujar una parábola: 
La gráfica de una función de 2º grado es siempre una parábola (y viceversa). El método más sencillo 
para representarlagráficamente (en vez de mediante tabla de valores) es obteniendo los siguientes 
elementos principales: 
b
xv 2a
(2) 
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1º) Vértice: Su abscisa viene dada por la fórmula (2), es decir . La ordenada yv se obtiene 
sustituyendo esta xv en la ecuación y=ax2+bx+c de la parábola. 
 
2º) Cortes con los ejes: Los cortes con el eje x se obtienen imponiendo y=0 , es decir, resolviendo 
la ecuación de 2º grado ax2+bx+c=0. Nótese que una parábola no tiene 
que cortar obligatoriamente al eje x. 
El corte con el eje y se obtiene fácilmente sustituyendo x=0 en la ecuación 
y=ax2+bx+c de la parábola. Por tanto, el corte con el eje y siempre va a 
ser el término independiente, esto es, y=c. A diferencia del caso anterior, 
una parábola siempre tiene que cortar al eje y. 
3º) En algunos casos, también se requieren algunos puntos extra para completar la gráfica, que 
pueden ser obtenidos sustituyendo convenientemente valores de x en la parábola. 
Notas:  Recordar: El signo del coeficiente cuadrático, a, indica la forma de la parábola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ramas hacia arriba ramas hacia abajo 
(parábola en forma de U) (parábola invertida) 
 
 Ambas ramas son simétricas respecto a una recta vertical que pasa por el vértice, 
llamada eje de simetría (la recta de trazo discontinuo de la gráfica superior). 
 Si la parábola tiene dos cortes con el eje x, entonces el eje de simetría estará en medio 
 
Ejemplo 8: Representar de nuevo la parábola y=x2-4x+3, pero empleando esta vez el método 
práctico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 56 a 71 
a<0 
a>0 
b
xv 2a
 
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VI) HIPÉRBOLA. Función de proporcionalidad inversa 
Una hipérbola es una curva cuya expresión algebraica es 
ax b
y
cx d



 , donde c0. (3) 
Ejercicio: 72 
 
De acuerdo con el ejercicio anterior, vemos que se trata de una curva simétrica formada por dos ramas 
separadas por dos asíntotas perpendiculares. 
Caso particular: Función de proporcionalidad inversa 
k
y =
x
 (4) 
Si hacemos a=d=0 y c=1 en 
ax+k
y =
cx+d
, obtenemos 
k
y =
x
, esto es, la «Función de proporcionalidad 
inversa» de 2º de ESO. Estudiemos su gráfica, en función del signo de la constante de proporcionalidad, k: 
Ejemplo 9: Comprobar las siguientes gráficas de sendas funciones de proporcionalidad inversa por medio de 
tabla de valores, y extraer conclusiones sobre el papael que juega el signo de k: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k>0  CRECIENTE k<0  DECRECIENTE 
 
Ejercicios: 73 a 78 
2
y =
x

3
y =
x
k>0 k<0 
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ANEXO: Reseña histórica sobre funciones 
El término "función" fue introducido por el matemático y filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), en 1673, 
para describir una cantidad relacionada con puntos de una curva. Por su parte, el matemático suizo Johann 
Bernoulli (1667-1748) comenzó a llamar a las expresiones de una sola variable "funciones". En 1698 coincidió con 
Leibniz en que cualquier cantidad expresada "de una manera algebraica y trascendente" puede ser llamada una función 
de x. Hacia 1718 vino a considerar una función como "cualquier expresión hecha de una variable y varias constantes". 
Alrededor de 1734 el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) introdujo la notación típica f(x). En el primer 
volumen de su texto fundamental Introductio in Analysin Infinitorum, publicado en 1748, Euler dio esencialmente la misma 
definición de función que su profesor Bernoulli, como una expresión o fórmula que relaciona variables y constantes. Su 
propia definición dice: 
«Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de alguna manera por cualesquiera 
cantidades variables y números o cantidades constantes». 
Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a formalizar todas las diferentes ramas de las matemáticas. Uno 
de los primeros fue el francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); sus de alguna manera imprecisos resultados fueron 
más tarde formalizados rigurosamente por el alemán Karl Weierstrass (1815-1897), quien abogó por construir el Cálculo 
sobre la aritmética y no sobre la geometría, lo cual favoreció la definición de Euler en vez de la de Leibniz. 
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 78 EJERCICIOS de FUNCIONES 
 
 
 
Funciones y gráficas 
1. Construir una tabla de valores (mínimo 7 valores, en general >0 y <0) para cada una de las siguientes 
funciones: 
 a) y=3x+2 b) f(x)=2x c) y=x2-4 d) xf(x)  
 
2. Completar la siguiente tabla en este cuaderno (obsérvese el primer ejemplo): 
 
 Función expresada mediante un 
ENUNCIADO 
Función expresada mediante 
EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
1 
La función que a cada número le asocia 
su doble 
y=2x 
2 
La función que a cada número le asocia 
su triple más 5 
 
3 y=2x+1 
4 
La función que a cada número le asocia 
su mitad 
 
5 
La función que a cada número le asocia 
su opuesto 
 
6 y=-x+2 
7 
La función que expresa la distancia 
recorrida cada hora por un automóvil que 
circula a 60 km/h 
 
8 y=x2 
9 
La función que relaciona el radio de una 
circunferencia y su perímetro 
 
10 
La función que relaciona el radio de una 
circunferencia y su área 
 
 
3. Una compañía de telefonía móvil cobra a sus clientes una cantidad fija al mes de 10 € más 0,1 € por cada 
minuto de llamada. a) Construir una tabla que relacione el tiempo consumido y el coste de la factura. 
¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? b) Expresar algebraicamente la función 
correspondiente. c) ¿Cuánto costará hablar en un cierto mes un total de diez horas y media? d) Si nos 
cobran un determinado mes 41,50 €, ¿cuántas horas hemos hablado? (Sol: 73 €; 5 h y 1/4) 
 
4. Para cada una de las siguientes funciones, construir una tabla de valores apropiada y dibujar, a 
continuación, su gráfica: 
a) 2xy  
b) f(x) 2x 3  
c) 2y x 
d) 2y x 4  
e) f(x) 3x 1   
f) 2y x 6x 5   
g) xy  
h) f(x) = 4x 4 
i) xy  
j) 34xxy 2  
k) 2y  
l) y x 
m) 2y x + x 3   
n) f(x) x 3  
o) 65xxy 2  
p) xf(x) 3
2
  
q) 3xy  
r) 
x
1
y  
s) 6x3y  
t) f(x) 2x  
u) 1xy  
v) 2y x 2x 3   
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a) b) c) d)
5. ¿Cuálesde estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta): 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Representar gráficamente la función del ejercicio 3 
 
7. Para cada una de las siguientes funciones, se pide: i) construir una tabla de valores apropiada y obtener 
su gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) iii) Intervalos de crecimiento. iv) M y m relativos. v) Posible simetría. 
vi) Posibles asíntotas. 
a) f (x )=2x3-3x2 
b) f (x )=x3-3x 
c) x 2y
x 1



 
d) y=x4-2x2 
e) 
1x
2x
y 2 +
= 
f) f (x )=x3-3x2 
g) y=2x3-9x2 
h) 
2x
y
x 1


 
i) f (x )=x3-6x2+9x 
j) 2f(x) x 4  
k) 
4x
4x
y
2 
 
l) 
x + 4
y
x 2


 
m) y=x3-12x 
n) 2y x 4  
o) 
1x
x
y
2
2

 
p) 
2
2
x
1x
)x(f

 
q) 3y x 
r) 3 2y x 
s) 4f(x) x 
t) 3 2y x 6x   
u) 4 2y x 2 x 1   
v) 4 2y x 8 x 7   
w) 3 2y 2 x 6 x   
x) 
2
1
y
x 1


 
 
8. Considerar la función f(x) de la figura y responder a las cuestiones que figuran a continuación: 
 
 
2
1
y
x 1


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a) Dom(f) e Im(f ) b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Posibles M y m relativos d) ¿Es 
simétrica par o impar? Razonar la respuesta. e) Posibles asíntotas (indicar su ecuación). 
 
9. Dibujar una posible función f(x) continua y simétrica respecto al origen con las siguientes propiedades: 
1º) f(x)  " x Î (-¥,-2) È (2,¥) 2º) Únicos extremos relativos: M(-2,6) y m(2,-6) 
 f(x)  " x Î (-2,2) 
10. Un estudio de un ginecólogo muestra cómo crece un bebé antes de nacer según el mes de gestación en 
que se encuentre su madre, de acuerdo con la siguiente tabla: 
Edad (meses) 2 3 4 5 6 7 8 9 
Longitud (cm) 4 8 15 24 29 34 38 42
Representar la función "longitud" en función de la edad del bebé. Comentar dicha gráfica. 
 
11. Tres alumnos, que nombraremos A, B y C, participan en una carrera de 1000 m. La presente gráfica 
muestra de forma aproximada su comportamiento en la prueba. ¿Cómo describirías dicha carrera? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. El siguiente gráfico describe la evolución de la temperatura corporal de una persona durante varias horas. 
Teniendo en cuenta que se considera fiebre por encima de 37,5º, describir dicha evolución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AC B 
tiempo (s) 
distancia (m) 
14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h 22 h 
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13. Considerar la función representada en la figura, que indica la evolución de la temperatura a lo largo de las 
24 h de un día en una determinada localidad: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hallar: a) Intervalos de crecimiento. b) M y m. c) Continuidad. d) Dom(f) e Im(f). 
 
Función lineal o de proporcionalidad directa (y=mx) 
14. a) Hallar la ecuación de una función lineal sabiendo que pasa por el punto P(1,7) 
b) Ídem para P(-1,3) 
c) Ídem para P(2,5) 
 
15. Si se sabe que una función lineal pasa por el punto P(1,2), calcular su ecuación, y, a partir de ésta, hallar 
el valor de dicha función para x=3, x=5 y x=-8 
 
16. Calcular la pendiente y la ecuación de las funciones de proporcionalidad directa que aparecen en el 
siguiente gráfico: 
 
 
17. Un kg de patatas cuesta 55 céntimos. Obtener y a continuación representar la función que define el coste 
de las patatas (y) en función de los kg comprados (x). ¿Cuál es su Dom(f)? ¿Cuánto costarán 3,5 kg? 
¿Qué cantidad podremos comprar si sólo disponemos de un billete de 5 €? (Soluc: 1,93 €; 9,09 kg) 
r 
s 
t 
u 
v 
T (ºC) 
t (h) 
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18. Un grifo vierte agua a un depósito dejando caer cada minuto 25 litros. Formar una tabla de valores 
apropiada para representar la función "capacidad" en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tardará en 
llenar una piscina de 50 m3? (Soluc: 33 h 20 min) 
 
19. Los paquetes de folios que compra un determinado instituto constan de 500 folios y cuestan 3 €. 
a) Formar una tabla que nos indique el precio de 1, 2, ..., 10 folios. 
b) Dibujar la gráfica correspondiente ¿Qué tipo de función se obtiene? ¿Cuál es la ecuación? 
 
20. Pasada la Navidad, unos grandes almacenes hacen en todos los artículos un 20% de descuento. 
a) ¿Cuál será el precio rebajado de unas zapatillas de deporte que costaban 45 €? ¿Y de un chándal que 
costaba 60 €? 
b) Si llamamos x al antiguo precio del artículo e y al precio rebajado, ¿qué función se obtiene? 
(Soluc: y=0,8x) 
 
21. El IVA es un impuesto que en muchos productos supone un recargo del 16%. Si un fontanero hace una 
reparación de 240 €, ¿a cuánto ascenderá con el IVA? ¿Y si la reparación costara 50 €? Obtener la 
expresión algebraica general correspondiente al precio del trabajo del fontanero y la cantidad que se 
paga. (Soluc: 278,4 €; 58 €; y=1,16x) 
 
22. Se quiere abrir un pozo de forma cilíndrica de diámetro 2 m. Expresar el volumen de agua que cabe en él 
en función de la profundidad h. ¿Qué tipo de función se obtiene? 
 
Función afín (y=mx+n) 
23. Representar las siguientes rectas (mismos ejes de coordenadas en cada apartado) obteniendo 
únicamente 2 puntos (preferentemente los de corte con los ejes). Comprobar gráficamente, además, su 
pendiente y su ordenada en el origen: 
a) 
y = 3x + 4
y = 3x 2
 
b) 
y = 2x + 5
y = 2x 3

 
 
c) 
y = x + 6
y = 4x 6


 
d) y = 3x 
e) y = 5x 
f) 1+
2
x
=y 
g) y = x 
h) 
2
1
+
3
x
=y 
i) y = x 
j) 3xy = 1
2
 
k) 2x y 3 0   
l) x y 3 0   
m) x 2y 3 0   
n) 
x
y
2
 
o) 2y = x
3
 
 
24. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,3) y B(3,7). Comprobar la ecuación obtenida. 
Representarla gráficamente. Comprobar gráficamente su pendiente y ordenada en el origen. (Soluc: 
y=2x+1) 
 
25. Dada la recta y=3x-5, indicar razonadamente si los siguientes puntos pertenecen a ella: a) (2,-1) b) (1,-2) 
c) (0,0) d) (3,4) e) Hallar m para que la recta anterior pase por el punto (m,10). 
 
26. Obtener razonadamente cuatro puntos cualesquiera de la recta y=-x+2, y cuatro puntos que no 
pertenezcan a ella. 
 
27. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-3) y (3,1). ¿El punto (7,9) pertenece a dicha 
recta? (Soluc: y=2x-5; Sí) 
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28. Hallar, en cada apartado, la ecuación de la recta que pasa por los puntos que se indican. Comprobar la 
ecuación obtenida. Representarla gráficamente. Comprobar gráficamente su pendiente y ordenada en el 
origen.
a) A(1,-1) y B(4,8) (Soluc: y=3x-4) 
b) A(-2,4) y B(1,1) (Soluc: y=-x+2) 
c) A(-4,-1) y B(2,-4)(Soluc: y=-x/2-3) 
d) P(-1,-1) y Q(2,-7) (Soluc: -2x-3) 
e) A(3,1) y B(-6,-2) (Soluc: y=x/3) 
f) A(1,1) y B(3,7) (Soluc: y=3x-2) 
 
29. Hallar analíticamente (no gráficamente) la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto 
P(-1,-2). Comprobar la solución. (Soluc: y=5x+3) 
 
30. Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es 3 y que pasa por (1,5). 
 
31. Hallar analíticamente la ecuación de la recta paralela a y=2x+5 que pasa por el punto P(2,1). ¿Cuál es su 
pendiente? (Soluc: y=2x-3) 
 
32. a) Hallar analíticamente la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-2) y (3,4). b) Hallar también 
una recta paralela a la anterior y que pase por el punto (-2,3) (Soluc: y=3x-5; y=3x+9) 
 
33. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (1,5). Comprobar la solución. 
 
34. a) Hallar razonadamente la ecuación de la recta de pendiente 3 que pasa por el punto (4,2). (Sol: y=3x-10) 
b) Comprobar, razonadamente, la solución obtenida en el apartado anterior. 
c) Dibujar la recta en los ejes cartesianos y comprobar gráficamente su pendiente y ordenada en el 
origen. 
35. En cada apartado, representar las rectas indicadas sobre los mismos ejes: 
a) y=3x 
y=3x+2 
y=3x-7 
 
 
b) y=-3x 
y=-3x+2 
y=-3x-7 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) y=0 
 y=x 
 y=-x 
 
 
 
36. Hallar, razonadamente, la ecuación de las siguientes rectas: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
3
1
3
1
3
y x
y x 2
y x 7

 
 
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c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Soluc: a) y=2x+4; b) y=-2x+3; c) y=3x-1; d) y=-3x+7) 
 
37. 
 
 
 
 
 
38. a) Hallar razonadamente la ecuación de la recta que pasa por los puntos 
A(1,-7) y B(4,2) . (Sol: y=3x-10) 
b) Comprobar numéricamente la ecuación obtenida, indicando los cálculos. 
c) Representarla en los ejes adjuntos (no vale prolongarlos) y comprobar 
gráficamente su pendiente. 
d) Sin necesidad de prolongar la recta, ¿dónde cortará al eje de ordenadas? 
Razonar la respuesta. 
 
 
Distintas formas de expresar una recta: ec. explícita, punto-pendiente y general 
39. Para cada una de las rectas del ejercicio 27, hallar una ecuación punto-pendiente y la ecuación general. 
 
40. a) Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por A(-1,-7) y B(3,1) (Sol: y=2x-5) 
b) Pasar a la forma general o implícita. (Sol: 2x-y-5=0) 
c) Hallar una posible ecuación punto-pendiente. 
 
41. Pasar cada recta a las otras dos formas, y comprobar: 
 
a) y 2x 3  
b) 3x 2y 4 0   
c)  y 4 2 x 1   
d) 
x
y 4
3
  
e) x 5 y 0  
f) y 7 5x  
g) y x  
h) x y 1 0   
i) 
1 1
y 4 x
3 2
 
   
 
 
j) 
x 4
y
5 3
   
k) x 2y 2 0   
l) y 1 0  
Dada la recta de la figura, se pide: 
a) Hallar su expresión analítica. (Soluc: y=-2x+7) 
b) Comprobar gráficamente el valor de la pendiente 
obtenido en el apartado anterior. 
c) Deducir, analíticamente, dónde corta a los ejes. 
FUNCIONES. RECTAS y PARÁBOLAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
42. Dada la recta cuya forma general o implícita es 3x+y-1=0, se pide: 
a) Pasarla a forma explícita. (Sol: y=-3x+1) 
b) Hallar su pendiente y un punto cualquiera de ella, y plantear una posible ecuación punto-pendiente. 
 
43. a) Hallar una ecuación punto-pendiente de la recta // a y=4x-3 y que pasa por P(1,3) 
b) Hallar la ecuación explícita y la ecuación general de la recta obtenida anteriormente. (Sol: y=4x-1; 4x-y-1=0) 
 
44. TEORÍA: Sin necesidad de representarlas, indicar si cada una de las siguientes rectas es creciente o 
decreciente, indicando el porqué: 
a) y=5x-2 
b) y=-2x+7 
c) y=-2x-7 
d) y=8x 
e) x+y-1=0 
f) xy 5
2
 
 
45. TEORÍA: Dibujar en unos ejes de coordenadas e indicar la ecuación de un ejemplo de: 
a) Una función afín de pendiente positiva y ordenada en el origen positiva. 
b) Una función afín de pendiente positiva y ordenada en el origen negativa. 
c) Una función afín de pendiente negativa y ordenada en el origen positiva. 
d) Una función afín de pendiente negativa y ordenada en el origen negativa. 
e) Una función de proporcionalidad directa de pendiente positiva. 
f) Una función de proporcionalidad directa de pendiente negativa. 
 
46. TEORÍA: Razonar, sin necesidad de representarlas, cuáles de las siguientes rectas son paralelas: 
r: y=2x-3 s: y=x+7 t: y=-2x-3 u: y=2x v: y=x-3 w: y=2x+1 y=-x+7 
 
47. Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones de 1er grado; resolverlos a continuación 
analíticamente (por el método deseado), y comprobar que se obtiene idéntico resultado: 
a) 
x y 12
x y 2
  
  
 (Soluc: x=7, y=5) 
b) x 3y 6
2x y 2
  
   
 (Soluc: x=0, y=2) 
c) x 3y 4
2x y 1
  
  
 (Soluc: x=1, y=1) 
d) x 2y 0
2x y 5
  
  
 (Soluc: x=2, y=-1) 
e) x 2y 5
2x y 7
  
   
(Soluc: x=3, y=1) 
f) x 3y 1
2x y 2
  
   
(Soluc: x=1, y=0) 
 
48. Comprobar analíticamente si los siguientes puntos están alineados (¡no vale gráficamente!): 
a) A(-1,-5), B(2,1) y C(6,9) b) A(-1,2), B(4,-3) y C(10,-8) 
 
49. Sujeto al techo tenemos un muelle de 5 cm de largo; en él hemos colgado diferentes pesos y hemos 
medido la longitud que alcanza el muelle en cada caso, obteniendo los siguientes resultados: 
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Pesos (kg) 0 1 2 3 4 
Longitud (cm) 5 7 9 11 13
 
Obtener la gráfica y contestar: a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? 
 b) ¿Se trata de una función afín? ¿Por qué? 
 c) Hallar su pendiente. ¿Cuál es su expresión algebraica? (Sol: y=2x+5) 
 d) ¿Qué significa en este caso la ordenada en el origen? 
50. La siguiente tabla corresponde a una función afín: 
x 0 10 20 30 40 50
f(x) -3 97
Completar la tabla y obtener f(x) algebraicamente. (Soluc: f(x)=2x-3) 
 
51. Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de la tabla: 
Altura (m) 0 360 720 990
Temperatura (ºC) 10 8 6 4,5
a) Representar la temperatura en función de la altura. 
b) Obtener su expresión algebraica. (Soluc: y=-x/180+10) 
c) ¿A partir de qué altura la temperatura será menor de 0ºC? (Soluc: x=1800 m) 
 
52. La tarifa de una empresa de mensajería con entrega domiciliaria es de 12 € por tasa fija más 5 € por 
cada kg. 
a) Hallar la expresión analítica de la función "Precio del envío" en función de su peso en kg. (Sol: y=5x+12) 
b) Representarla gráficamente. 
c) ¿Cuánto costará enviar un paquete de 750 g? (Sol: 15,75 €) 
d) Si disponemos sólo de un billete de 50 €, ¿cuál es el peso máximo que podremos enviar? (Sol: 7,6 kg) 
 
53. Los beneficios de una empresa desde el momento de su creación son los que figuran en la siguiente tabla: 
MESES TRANSCURRIDOS 0 3 6 9 
BENEFICIOS (millones de €) 4 3 1 
 a) Representar el beneficio en función del tiempo transcurrido. ¿Qué tipo de función se obtiene? 
 b) Obtener gráficamente la pendiente y la ordenada enel origen, e indicar a continuación su expresión 
algebraica. (Soluc: y=-x/3+4) 
 c) Hallar analíticamente el dato que falta en la tabla. (Soluc: 2) 
 d) Hallar analíticamente a partir de qué mes la empresa no tendrá beneficios. (Soluc: x=12) 
 
54. Una empresa de fotografía cobra, por el revelado de un carrete, un precio fijo de 1,5 €, y por cada foto, 
50 céntimos. 
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a) Representar la función "Coste del revelado" en función del nº de fotos. Indicar su expresión algebraica. 
b) ¿Cuánto costará revelar un carrete de 36 fotografías? 
c) ¿Cuántas fotos podremos revelar con 100 €? 
 
 
 
Ejercicios de parábolas 
55. Representar sobre los mismos ejes las siguientes parábolas. ¿Qué conclusiones podemos extraer?: 
a) y=x2 b) y=2x2 c) y=x2/2 d) y=-x2 e) y=-4x2 
 
56. Dadas las siguientes parábolas, hallar: i) Vértice. 
ii) Posibles puntos de corte con los ejes. 
iii) Representación gráfica. 
 
a) y=x2-6x+8 
b) y=x2-2x-3 
c) y=-x2-4x-3 
d) y=x2-4x+7 
e) y=x2-6x 
f) y=x2+x+1 
g) y=3x2+15x+18 
h) y=-x2-2x-2 
i) y=x2+2x-1 
j) y=x2-4 
k) y=x2+4 
l) y=x2+4x+5 
m) y=x2+4x+3 
n) y=-x2-8x-4 
o) y=2x2+4x+6 
p) y=-x2-1 
q) y=(x+5)2-8 
r) y=2(x-1)2-8 
s) y=(x-5)2+8 
t) y=-2(x-1)2+8 
u) 21y (x 2) 5
2
   
v) y=x2-2x+1 
w) y=x2-4x+2 
x) y=2x2-8x+6 
y) y=-3x2-6x+12 
z) y=x2-2x+3 
α) 2y x 6 x 5   
β) 21y= x +x 2
4
 
γ) y=2x2-10x+8 
δ) 21 3y x x
2 2
   
ε) y=x2-8x+7
(Soluc: a) V(3,-1); (2,0) y (4,0); (0,8) b) V(1,-4); (-1,0) y (3,0); (0,-3) c) V(-2,1); (-3,0) y (-1,0); (0,-3) 
d) V(2,3);  corte eje x; (0,7) e) V(3,-9); (0,0) y (6,0) f) V(-1/2,3/4);  corte eje x; (0,1) 
g) V(-5/2,-3/4); (-3,0) y (-2,0); (0,18) h) V(-1,-1);  corte eje x; (0,-2) i) V(-1,-2); (-1+√2,0) y (-1-√2,0); (0,-1) 
j) V(0,-4); (-2,0) y (2,0); (0,-4) k) V(0,4);  corte eje x; (0,4) l) V(-2,1);  corte eje x; (0,5) 
m) V(-2,-1); (-3,0) y (-1,0); (0,3) n) V(-4;12); (-4+2√3,0) y (-4-2√3,0); (0,-4) o) V(-1,4);  corte eje x; (0,6) 
p) V(0,-1);  corte eje x; (0,-1) q) V(-5,-8); (0,16) s) V(5,8);  corte eje x; (0,33) x) V(2,-2); (1,0) y (3,0); (0,6) 
a) V(3,-4); (1,0) y (5,0); (0,5) ) V(4,-9); (1,0) y (7,0); (0,7) ) 
 
57. Sin cálculo previo, relacionar (en este cuaderno) cada parábola con su gráfica: 
 
f1(x)=x
2-3x-4 
f2(x)= -x
2-x+2 
f3(x)=x
2-x 
f4(x)= -x
2 
f5(x)=x
2+2x+7 
 
 
58. a) Se sabe que la función y=ax2+bx+c pasa por los puntos (1,1), (0,0) y (-1,1). Calcular a, b y c. 
 (Soluc: y=x2) 
 b) Ídem para los puntos (1,4), (0,-1) y (2,15) (Soluc: y=3x2+2x-1) 
 
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59. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y=ax2+ax+a y pasa por el punto P(1,9). Calcular 
el valor de a. ¿Cuál sería su vértice? 
 
60. Calcular b para que la parábola y=x2+bx+3 pase por el punto P(2,-1). ¿Cuál sería su vértice? 
 
61. Calcular m para que la parábola y=x2+mx+10 tenga el vértice en el punto V(3,1). ¿Cuáles son los puntos 
de corte con los ejes? 
 
62. ¿Cuánto debe valer k para que la parábola y=4x2-20x+k tenga un solo punto de corte con el eje de 
abscisas? ¿Para qué valores de k no cortará al eje x? 
 
63. La parábola y=ax2+bx+c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c? Si además sabemos que 
pasa por los puntos (1,3) y (4,6), ¿cómo calcularíamos a y b? Hallar a y b y representar la parábola. 
 
64. Una parábola corta al eje de abscisas en los puntos x=1 y x=5. La ordenada del vértice es y=-2. ¿Cuál 
es su ecuación? 
 
65. Calcular la expresión de una función cuadrática cuya intersección con el eje x son los puntos (2,0) y (3,0) 
 
66. a) Una parábola tiene su vértice en el punto V(1,1) y pasa por P(0,2). Hallar su ecuación. (Sol: y=x2-2x+2) 
 b) Ídem para la parábola de vértice V(-2,3) que pasa por P(1,-3) (   2
2 8 1
Sol : y = x x
3 3 3
) 
 
67. En cada apartado, representar las parábolas sobre los mismos ejes: 
a) y=x2 b) y=x2 c) A la vista de lo anterior, ¿cómo sería la parábola 
y=(x-4)2 y=x2+4 y=(x-4)2+5? ¿Cuál es su vértice? 
 y=(x+5)2 y=x2-5 
 
68. La longitud de la circunferencia y el área del círculo se expresan en función del radio. ¿Qué tipo de 
funciones son? Dibujar las gráficas sobre unos mismos ejes cartesianos. ¿Para qué valor del radio 
coinciden numéricamente la longitud y el área? 
 
69. Con un listón de madera de 4 m de largo queremos fabricar un marco para un cuadro. 
a) Indicar la expresión analítica de la función "Superficie" en función de la longitud x de la base. 
b) Representar gráficamente la función anterior. 
c) A la vista de la gráfica, ¿para qué valor de la base se obtiene la superficie máxima? ¿Cuánto vale 
dicha superficie? Interpretar el resultado. 
 
70. 
 
 
 
 
a) Llamando x a uno de los lados contiguos al muro (ver fig.), expresar los otros dos lados en función de x. 
b) Obtener la función que expresa el área del recinto en función de x. 
x 
Con 100 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular 
aprovechando una pared de 60 metros de largo, como indica la 
figura. 
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c) Representar la función anterior. 
d) ¿Cuándo se hace máxima el área del recinto? ¿Cuánto vale dicha área? 
 
71. Un labrador tiene 72 m de valla para hacer un corral de gallinas de forma rectangular. ¿Cómo cambiará 
el área del corral al variar la longitud x de uno de los lados? Representar gráficamente la función anterior. 
 
 
 
Hipérbolas. Función de proporcionalidad inversa 
72. Representar las siguientes hipérbolas: 
a) 2x 4y
x 2



 b) 3x 3y
x 1



 c) xy
x 1


 d) 1y
x 1


 e) x 1y
x

 
 
73. Supongamos que un pintor tarda 120 minutos en pintar él solo un muro. Es evidente que, por tanto, dos 
obreros trabajando a la vez tardarían 60 minutos, y así sucesivamente. Con estos datos, se pide: 
a) Completar la siguiente tabla: 
nº de pintores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
tiempo empleado 
en pintar el muro 
(en minutos 
120 60 
 
 
b) ¿Cuál es la expresión algebraica de la función correspondiente? 
c) Representarla gráficamente. ¿Qué pasa a medida que el número de pintores aumenta? ¿Cómo se 
llama, por tanto, una función así? 
d) Indica otros tres ejemplos de situaciones de la vida real en las que se da una función de 
proporcionalidad inversa. 
 
74. a) Hallar la ecuación de la función de proporcionalidad inversa que pasa por el punto (1,5). b) Ídem para 
(3,4) c) Ídem para (-5,1) d) Ídem para (2,-1) (Soluc: a) y=5/x; b) y=12/x; c) y=-5/x; d) y=-2/x) 
 
75. En la realización de un experimento se han obtenido los valores de la tabla adjunta. 
a) Construir una gráfica. 
b) ¿Se trata de una función de proporcionalidad 
inversa? 
c) En caso de ser así, hallar su fórmula (Sol: y=28/x) 
 
76.En una empresa constructora han realizado un estudio correspondiente a los días de trabajo necesarios 
para hacer una obra en función del número de 
obreros contratados, según muestra la tabla adjunta. 
a) ¿Se puede ajustar la tabla a una función de 
proporcionalidad inversa? ¿Por qué? 
b) En caso afirmativo, hallar su expresión algebraica y su gráfica. (Sol: y=800/x) 
c) ¿Cuántos obreros tendrán que contratar para hacer una obra en un plazo de dos semanas? (Sol: 58 
obreros) 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
y 28 14 9,3 7 5,6 4,6 4 3,5
Nº de 
obreros 
10 16 20 25 40 
Días de 
trabajo 
80 50 40 32 20 
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77. Un depósito de 1000 l se puede llenar con un sólo grifo en 10 horas ¿En cuánto tiempo se llenarán dos 
grifos del mismo caudal? ¿Y 4? ¿Y 10? Construir una tabla y dibujar la gráfica correspondiente ¿Cuál es 
su fórmula? (Sol: t=10/nº grifos) 
 
78. Queremos encontrar todos los rectángulos que tengan por área 20 cm2. Si llamamos b a la base y h a la 
altura del rectángulo, se pide: 
a) Obtener una relación entre b y h. 
b) Dibujar la gráfica de la función obtenida. 
 
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RESUMEN de RECTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m>0 
n>0 
n 
6 
m>0 
n<0 
n 
7 
m<0 
n>0 
n 
8 
m<0 
n<0 
n 
9 
2 CASOS PARTICULARES y 
x 
m > 0
y = m x 
y = m x 
m < 0 
1 
2 
3 
4 
x
y 
n 
y
m
x



y 
x 
x = k
y = k 
5 
Despejar y 
FORMA PUNTO-PENDIENTE 
FORMA EXPLÍCITA 
y m x n 
FORMA GRAL. o 
IMPLÍCITA 
Ax By C 0  
Despejar y 
pasar y a la dcha. 
pasar todos los términos a un miembro
pendiente 
punto (a,b) 
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RESUMEN de PARÁBOLAS 
 
Parábola y=a x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parábola y=a x2 + b x + c 
1o) Vértice: 
b
2a
 xv  yv se obtiene sustituyendo xv en la ecuación de la parábola 
2o) Cortes eje x: y=0  resolver la ecuación a x2 + b x + c = 0 (Puede haber 2, 1 o ninguno) 
 
3o) Corte eje y: x=0  y=c 
 
 
 
 
a>0 
10 
a<0 
11 
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GRÁFICAS MÁS REPRESENTATIVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general, las curvas y=xn, siendo n 
positivo par, tienen esta forma. 
(cuanto mayor es n, más acusada es 
la curvatura) 
En general, las curvas y=xn, siendo n 
positivo impar (1), tienen esta forma. 
(cuanto mayor es n, más acusada es 
la curvatura) 
En general, la gráfica de y=|f(x)| se 
obtiene reflejando la de f(x) respecto 
al eje OX en el semiplano superior. 
En general, 
dcx
bax
y


 
donde c0, es una hipérbola. 
y=x2 y=x4 
y=x3 y=x5 
y=x 
y=|x| 
y=1/x 1x
1x
y



xy 
3 xy 
3 2xy 
PARÁBOLA 
CÚBICA 
VALOR ABSOLUTO 
BISECTRIZ DEL 1er CUADRANTE 
HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA DESPLAZADA 
SEMIPARÁBOLA GIRADA 90º 
CÚBICA GIRADA 90º 
1 2 
3 4 
5 6 
7 8 
9 10 11