Matrices

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Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
- 1/20 - A.G.Onandía 
MATRICES 
 
1. Introducción. Definición de matriz 
 El concepto de matriz como una tabla ordenada de números escritos en filas y 
columnas es muy antiguo, pero fue en el siglo XIX cuando J.J. Sylverster (1814-1897) 
acuñó el término de matriz y Arthur Carley (1821-1895) sentó las bases del cálculo 
matricial. 
Definición. Se denomina matriz de dimensión mxn a todo conjunto de elementos 
colocados en m filas y n columnas de la siguiente forma: 















mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
....
....................
....
....
321
2232221
1131211
 
 De forma abreviada se escribe  
mxnij
aA  o simplemente  ijaA  . 
aij representa el elemento de la matriz situado en la i-ésima fila y j-ésima columna. 
Ejemplo. 
  




 

743
113
32xij
aA dimensión=2x3; a13=-1 
 Al conjunto formado por todas las matrices de m filas y n columnas se le denota 
por Mmxn. 
 
 
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2. Igualdad de matrices. Tipos de matrices 
2.1 Igualdad de matrices 
 Dos matrices   mxnij MaA  y   pxqij MbB  se dicen que son iguales si tienen 
la misma dimensión (m=p y n=q) y son iguales todos los elementos que ocupan igual 
posición 
2.2 Tipos de matrices 
2.2.1 Matriz fila. Matriz columna. 
 Una matriz fila es una matriz de dimensión 1xn  naaaA 11211 .... , también 
se denomina vector fila. 
Ejemplo: A=(1 3 4) 
 Una matriz columna es una matriz de dimensión nx1 













1
.....
21
11
na
a
a
A . 
2.2.2 Matriz escalonada 
 Una matriz se dice que es escalonada cuando el primer elemento no nulo de 
cada fila está “ más a la derecha “ que el primer elemento no nulo de la fila anterior. 
Ejemplo: 
















80000
12000
31120
71423
A 
2.2.3 Matriz cuadrada 
 Es una matriz que tiene igual número de filas que de columnas i.e. nxnMA . En 
este caso se dice que la matriz es de orden n. 
Ejemplo: 











401
131
002
33 AMA x 
 
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 Toda matriz que no es cuadrada se llama rectangular. 
 En una matriz cuadrada nxnMA se distinguen la diagonal principal que es la 
formada por los elementos 
nnaaa ....,,, 1211 y la diagonal secundaria que es la otra 
diagonal, 
1 1 2 1, ,....,n n na a a 
 
2.2.4 Matriz triangular 
 Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los 
elementos por debajo de la diagonal principal. 
 00superiortriangular  iiijnxn ajiaMA 
 Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los 
elementos por encima de la diagonal principal. 
 00inferiortriangular  iiijnxn ajiaMA 
Ejemplo:
superiorTriangular
900
840
312










A
 
inferiorTriangular
2383
043
001










B
 
 En particular una matriz triangular superior sin ceros en la diagonal principal es 
escalonada. 
 
2.2.5 Matriz diagonal 
 Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos salvo los de la 
diagonal principal. 
00diagonal  iiijnxn ajiaMA 
Ejemplo: 












900
050
001
A 
 
 
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 Cuando en una matriz diagonal todos los elementos no nulos son iguales, se 
denomina matriz escalar. 
 jianikaMA ijiinxn  0,..,1escalar 
 Ejemplo: 











500
050
005
B 
 Un caso particular de matriz escalar es la matriz identidad que es una matriz 
escalar con todo unos en la diagonal principal. Se denota por In (identidad de 
orden n) 
 jianiaMI ijiinxnn  0,..,11identidad 
 Ejemplo: 











100
010
001
3I 
 
2.2.6 Matriz nula 
Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se representa por O. 
njiaMO ijnxn ,..,1,0escalar  
Ejemplo: 






00
00
O 
 
2.2.7 Matriz opuesta de otra matriz 
 Dada una matriz mxnMA se llama matriz opuesta de A y se denota por –A, a la 
matriz formada por los elementos opuestos de A respetando sus correspondientes 
lugares. 
Ejemplo: 












 

710
231
710
231
AA 
 
 
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3. Operaciones con matrices 
3.1 Suma de matrices 
3.1.1 Definición: 
Dadas las matrices  ijaA  y  ijbB  de la misma dimensión mxn, la suma de A 
y B es otra matriz de dimensión mxn cuyos elementos se obtienen sumando los 
elementos que ocupan el mismo lugar 
njmibasyMSSBAMByMASean ijijijmxnmxnmxn ,...,1,...,1  
3.1.2 Propiedades 
 Sean las matrices mxnMA , mxnMB y mxnMC 
1) Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C 
2) Elemento neutro A+O=A O=matriz nula 
3) Elemento opuesto A+(-A)=O -A=matriz opuesta 
4) Conmutativa A+B=B+A 
 
Ejercicio: 
Determinar el valor de a, b, c, d, e y f en la siguiente operación 






















012
83
83
41
15
32
f
e
d
c
b
a
 
 Una vez determinados los valores de las letras hallar la diferencia de las dos 
primeras matrices. 
 
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3.2 Producto de un escalar por una matriz 
3.2.1 Definición 
El producto de un escalar Rk  por una matriz 
mxnMA es otra matriz kA de 
igual dimensión que A  mxnMkA y cuyos elementos se obtienen de multiplicar k por 
cada uno de los elementos de la matriz A.     njmikaak ijij ,...,1,....,1  
Ejemplo: 
Sea 












122421
1596
3
487
532
AA 
3.2.2 Propiedades 
1) Distributiva respecto a la suma de matrices k(A+B)=kA+kB 
2) Distributiva respecto a la suma de números reales (k+t)A=kA+tA 
3) Asociativa mixta (k.t)A=k(tA) 
4) Elemento neutro 1.A=A 
 
Ejercicios: 
1.- Dadas las matrices 











24
97
32
A 













27
50
53
B calcular A+B; A-B; 2A+·3B 
2.- Hallar la matriz A que satisface: A












372
401
482
651
3 






9178
14152
ASol 
3.- Determinar las matrices X e Y si cumplen: 
 2X+Y= 





724
7125
 
 3X+2Y= 





351020
02511
 
 Sol: 




 









491428
21147
21612
1411
YX 
 
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3.3 Multiplicación de matrices 
El producto de dos matrices  ijaA  de dimensión mxn y  ijbB  de dimensión 
nxp es otra matriz  jicC , de dimensión mxp cuyo elemento cij resulta de multiplicar 
escalarmente el vector fila i-ésimo de A por el vector columna j-ésimo de B 



m
q
qjiqmjimjijijiij bababababac
1
332211 ... 
 Obsérvese que en general dos matrices A yB cualesquiera no se pueden 
multiplicar. Es condición indispensable para poder hacerlo que el número de columnas 
de A coincida con el número de filas de B. 
 Ejemplo: 
4 2 3
1 0 1 2 3 1 0 0 8 7
0 1 1 2 6 2 0 11 3 4
1 2 2
2 4 4 3 2 3x x x
 
 
            
 
 
 
3.3.1 Propiedades 
1) No es conmutativo ABBA  





 











 







82
11
71
42
20
11
41
32
ABBABA 
Dado que el producto no es conmutativo hay que indicar el orden en que se van a 
multiplicar, por ejemplo, A.B indica que A multiplica a B por la izquierda. 
En el caso que existan dos matrices A y B tal que A.B=B.A se dicen que A y B 
conmutan. 
2) Si A.B=0 esto no implica necesariamente que A=0 ó B=0. 
Ejemplo: 





















00
00
.
21
63
93
31
BAyBA 
 
 
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3) Si BACA ..  no implica C=B. 
Ejemplo: 
CByCABALuego
CABACBA









































..
1610
85
.
1610
85
.
63
52
41
21
64
32
 
4) Asociativa A(BC)=(AB)C 
5) Elemento neutro A.I=I.A=A 
6) Distributiva A(B+C)=AB+AC 
 
Ejercicios: 
1.- Sean 























120
011
210
112
110
021
BA calcular A.B, A2, B2, (A+B)2 
2.- Calcular los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades: 
 a) 

















00
00
432
1 yx
y
x
 sol. x=0; y=0 
 b) 



















00
00
5
2
2
5
y
x
y
x
 sol. x:=10/t; y=t tЄR 
3.- Calcular todas las matrices que conmutan con la matriz 







01
21
A 
   d c 2csol : B c d 
4.- Dadas las siguientes matrices, calcular cuando sea posible las operaciones 
indicadas: 
 
















































121
202
431
65
1
1
1
20
41
32
211
301
10
12
GFDCBA
 a) 2A b) B+Ct c) A+Bt d) A+BC 
 e) G+BC f) G+CB g) FB+5Dt h) 3C+2Bt 
 
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5.- Dada la matriz 







12
52
A hallar a y b para que se verifique la ecuación matricial 
A2+aA+bI=0. sol: a=-1; b=-12 
6.- Hallar x,y,u,v para que A.B=0 con 






















vu
yx
BA 21
110
132
021
 
sol: x=-2; y=-4; u=-1; v=-2 
7.- Sea 












c
ba
BA
1
;
01
11
 hallar a,b,c para que B conmute con A. 
sol: a=t; b=1; c=t-1 tЄR 
8.- Hallar las matrices que conmutan con 




 

32
11
A 
Rt
ts
sst
sol 








2
2
: 
9.- Sea A una matriz cuadrada tal que A2=A, si B=2A-I demostrar que B2=I 
 
4. Trasposición de matrices. Mátriz simétrica y ortogonal 
Sea mxnMA se llama matriz traspuesta de A, y se designa por A
t a la matriz cuyas 
columnas son las filas de A (se obtiene permutando las filas por columnas en A). 
 Ejemplo: 
 

















473
121
41
72
31
tAA 
 Si nxm
t
mxn MAMA  
 Propiedades de la matriz traspuesta: 
1) mxnMBA  ,   AA
tt  
2) mxnMBA  ,  
ttt BABA  
3)   ttmxn kAAkRkMA  . 
4) nxmmxn MBMA   
ttt ABBA ..  
 
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La trasposición de matrices permiten definir tres nuevos tipos de matrices: 
simétricas, antisimétricas y ortogonal. 
 
 nxnMA A es simétrica A=A
t
 (simétrica respecto a la diagonal principal) 
Ejemplo: 











703
041
312
A 
 
 nxnMA A es antisimétrica  A=-A
t 
Por su forma se reconocen por que tienen opuestos los elementos simétricos 
respecto de la diagonal principal y nulos los elementos de esta. 
Ejemplo: 














043
401
310
A 
 
nxnMA A es ortogonal  A.A
t
=I (At=A-1) 
 
Ejercicios 
1.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es un matriz ortogonal. 
2.- Si A es antisimétrica demostrar que A3 y A5 son antisimétricas. 
3.- Si A es antisimetrica demostrar que A2 y A4 son simétricas 
 
 
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5. Matriz inversa 
Dada una matriz nxnMA (cuadrada) diremos que A
-1 es su inversa si se verifica que 
A.A-1=A-1A=I. 
 
 No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Cuando una matriz tiene inversa 
la denominamos regular o inversible; en caso contrario decimos que es singular. 
5.1 Propiedades 
1) El producto de matrices regulares es regular y además   111   ABAB 
2) La matriz inversa si existe es única. 
3)   AA  11 
4)     11   tt AA 
5.2 Cálculo de la matriz inversa 
Existen tres posibilidades: por la definición, por el método de Gauss-Jordan y por 
adjuntos. 
5.2.1 Por la definición 
Vamos a verlo mediante un ejemplo. 
Sea 
















 











 
 
10
01
11
12
11
12
1
tz
yx
tz
yx
AA 





















 
3/23/1
3/13/1
3/23/1
3/13/1
1
02
0
12
1A
tz
yx
ty
ty
zx
zx
 
 
 Este proceso es ya engorroso para matrices de dimensión 2x2, y se complica 
mucho más si aumentamos la dimensión. 
 
 Veamos otra forma de calcular la inversa. 
 
 
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5.2.2 Método de Gauss-Jordan 
La inversa de una matriz regular A se calcula transformando la matriz (A/I) 
mediante operaciones elementales de las filas en la matriz (I/A-1). 
Se denominan operaciones elementales por filas en una matriz a las siguientes: 
I. Intercambiar filas. Lo designaremos por ji FF  
II. Multiplicar una fila por un número 0k . Lo designaremos por ii kFF  
III. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número 0k . Lo designaremos por 
jii kFFF  . 
Vamos a ejemplarizar este proceso calculando la matriz inversa de 
Ejemplo 1: 
1 2 1
0 1 0
2 0 3
A
 
 

 
 
 
 
Al elemento 11a se le denomina pivote y es recomendable que sea 1. 
i) Planteados la matriz (A/I)   
1 2 1 1 0 0
/ 01 0 0 1 0
2 0 3 0 0 1
A I
 
 
  
 
 
 
ii) Con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros elementos del resto de las filas: 
3 12
1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
2 0 3 0 0 1 0 4 1 2 0 1
F F
   
   
   
       
 
iii) Con la segunda fila hacemos ceros a los segundos elementos de las filas 
siguientes: 
Ahora el pivote es 22a 
3 14F F

1 2 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 2 4 1
 
 
 
  
 
En el caso de que existiesen más filas, se procede así hasta tener todo ceros por 
debajo de la diagonal principal. 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
- 13/20 - A.G.Onandía 
iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por 
encima de la diagonal principal 
 
1 3 1 22
1
1 2 0 3 4 1 1 0 0 3 6 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 /
0 0 1 2 4 1 0 0 1 2 4 1
F F F F
I A
 

       
   
      
       
1
3 6 1
0 1 0
2 4 1
A
  
 
  
  
 
Ejemplo 2: 













102
114
123
A 
En este caso el pivote es 3, haremos que sea 1. 
i) Planteados la matriz (A/I)   













100
010
001
102
114
123
/ IA 
ii) Hacemos que el pivote sea 1 y con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros 
elementos del resto de las filas: 
1 3
2 1
3 1
4
2
3 2 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1
4 1 1 0 1 0 4 1 1 0 1 0
2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1
F F
F F
F F



       
   
        
   
   
1 2 2 1 0 1
0 7 9 4 1 4
0 4 5 2 0 3
   
 
   
  
 
iii) Ahora el pivote es el -7, como no es fácil convertirlo en 1, sin utilizar fracciones, 
hacemos lo siguiente para hacer ceros a los segundos elementos de las filas 
siguientes: 
37F

3 2 34
1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1
0 7 9 4 1 4 0 7 9 4 1 4 0 7 9 4 1 4
0 28 35 14 0 21 0 0 1 2 4 5 0 0 1 2 4 5
F F F 
             
     
               
              
 
se procede así hasta tener todo ceros por debajo de la diagonal principal. 
iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por 
encima de la diagonal principal 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
- 14/20 - A.G.Onandía 
2 3 2
1 3
9 /( 7)
2
1 2 0 3 8 11 1 2 0 3 8 11
0 7 0 14 35 49 0 1 0 2 5 7
0 0 1 2 4 5 0 0 1 2 4 5
F F F
F F
 

          
   
        
           
1 22
1 0 0 1 2 3
0 1 0 2 5 7
0 0 1 2 4 5
F F
 
 
  
    
 1
1 2 3
2 5 7
2 4 5
A
 
 
 
 
    
 
Ejemplo 3: Calcular la inversa de 
3 1
2 1
A
 
  
  
 
  1 2
3 1 1 0 1 0 1 1
/
2 1 0 1 2 1 0 1
F FA I 
   
    
      
 
2 1 22
1 0 1 1 1 0 1 1
0 1 2 3 0 1 2 3
F F F 
   
    
     
 
1
1 1
2 3
A
 
   
  
 
5.2.3 Adjuntos. 
Este apartado lo veremos cuando estudiemos los determinantes. 
Ejercicios: 
Hallar la matriz inversa de las matrices: 











302
111
101
A 









 

013
101
111
B 
 
Sol. 














302
011
103
1A 














121
233
111
1B 
 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
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6. Rango de una matriz 
Nota: conociendo solamente el método de Gauss-Jordan. 
 
 
Conocimientos previos: Combinación lineal de vectores 
Considerando que las filas y columnas de una matriz son a todos los efectos vectores, 
hacemos la siguiente definición: “ un vector v

es combinación lineal de los vectores nvvv ....,,, 21 si se 
puede expresar como nn vvvv   ...2211 con Rn  ,...,, 21 alguno no nulo. Entonces 
se dice que el conjunto formado por los vectores nvvv ....,,, 21 son linealmente independiente (L.D.) 
(sistema ligado). 
En caso contrario se llaman linealmente independientes (L.I.) 
Aplicando esto a la notación de matrices. 
Un conjunto de filas nFFFF ,...,,, 21 es L.D. si existen Rn  ,...,, 21 no todos nulos tal 
que 
nnFFFF   ...2211 i.e. si una de ellas se puede poner como combinación lineal de las 
demás. 
La definición es similar utilizando columnas. 
A partir de ahora cuando vayamos a definir o aplicar un concepto que es equivalente para filas 
y columnas, utilizaremos el término línea para referirnos indistintamente a fila o columna. 
Ejemplos: 











554
112
321
A en esta matriz F3=2F1+F2, por tanto F1, F2, F3 son L.D. i.e. F3 
Es combinación lineal de F1 y F2. 











241
643
221
B C3=2C1 => C3 es proporcional a C1 i.e. C3 es combinación lineal de C1. 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
- 16/20 - A.G.Onandía 
6.1 Rango de una matriz 
Definición: El rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas 
(líneas) linealmente independientes. 
   , 1 1( ) ,..., ,...,m n m nSea A M ran A ran F F ran C C    
Existe un teorema que nos dice que en una matriz el número de filas L.I. es igual 
al número de columnas L.I., esto nos permite fijarnos únicamente en uno de los dos. 
Existe una relación directa entre el rango de una matriz y la existencia de su inversa: 
“ Una matriz cuadrada de orden n ,n nA M tiene inversa siempre y cuando su rango sea n” 
1
, , ( )n nA M A ran A n
    
Ejemplo. 
Sea la matriz 









 

301
120
221
C calcular su rango. 
Primero observamos si existe alguna relación entre sus líneas. A simple vista no 
se ve ninguna. 
Entonces procedemos a comprobarlo por la definición: 
     301120221   
leincompatibsistema
anterioresydevaloresloscon









131232
122
11



 
=> no existe ningún valor de λ, β no nulo que verifique igualdad 
=> son L.I. y por tanto ran(B)=3. 
(Nota: 3,3B M y ran(B)=3 quiere decir que B es regular i.e. 
1B ) 
Este método es un tanto laborioso. 
Veamos otro método para calcular el rango de una matriz 
 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
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6.2 Método de Gauss-Jordan para el cálculo del rango 
Este método ya se ha utilizado para el cálculo de la matriz inversa, ahora lo 
utilizaremos para calcular el rango de una matriz. 
Para los siguientes resultados consideramos una “línea” tanto a una fila como a una 
columna. 
Tengamos en cuenta que a la hora de calcular el rango de una matriz, éste no varía 
si: 
1) Se realizan transformaciones elementales con las “líneas”. Recordemos las 
transformaciones elementales: 
a) Intercambiar “líneas”. 
b) Multiplicar una “línea” por un número no nulo. 
c) Sumar a una “línea” otra multiplicada por un número no nulo. 
2) Se suprime una “línea” nula. 
3) Se suprime una “línea” proporcionala otra. 
4) Se suprime una “línea” que es combinación lineal de otras. 
5) Se traspone la matriz. 
El método de Gauss-Jordan, consiste en reducir una matriz a su forma escalonada 
realizando trasformaciones elementales que sabemos no modifican el rango. 
Un método general consiste en hacer ceros por debajo de la hipotética “diagonal 
principal”. Obteniendo así una matriz escalonada. Si en esta matriz escalonada 
eliminamos las “líneas” no nulas “es evidente” que el número de “líneas” no nulas que 
quedan son L.I. Por tanto en una matriz escalonada su rango coincide con el menor 
número de “líneas” no nulas que tiene. 
 
 
Importante: El rango de un matriz es igual al menor número de “líneas” no nulas que 
quedan al reducirla a una matriz escalonada 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
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Ejemplos : 
1.-  
3 22 1
3 1
22
1 1 0 1 1 0 1 1 0
2 1 1 0 1 1 0 1 1 2
1 1 2 0 2 2 0 0 0
F FF F
F F
A ran A


     
     
         
            
  
Si nos hubiésemos fijado F3=3F1-2F2 o C3=C1-C2. 
2.- 
















14
42
32
21
B dado que  4 2 2xB M ran B   
 
3 22 1
3 1
4 1
2
2
4
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 0 7
0 7 0 7 2
2 4 0 0
0 7 0 0
4 1 0 7
F FF F
F F
F F
B ran B



   
      
                
          
   
  
3.-  3 4
1 2 3 4
2 4 6 9 3
3 6 9 1
xC C M ran C
 
 
    
    
 
 
3 22 1
3 1
132
3
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 6 9 0 0 0 1 0 0 0 1 2
3 6 9 1 0 0 0 13 0 0 0 0
F FF F
F F
C ran C


     
     
       
            
  
(C2=2C1; C3=3C1) 
El método a seguir es similar al utilizado para el cálculo de la matriz inversa, pero en 
el caso de la matriz inversa solo se pueden realizar transformaciones elementales con 
las filas y, para calcular el rango se pueden utilizar también las columnas (pues 
mantienen invariantes el rango). 
4.- Calcular el rango de 













k
D
15
311
121
 según los valores de “k”. 
 
 
3 22 1
3 1
3
5
1 2 1 1 2 1 1 2 1
11 2
1 1 3 0 3 2 0 3 2
11 3
5 1 0 9 5 0 0 11
F FF F
F F
si k ran D
D
si k ran D
k k k


       
       
                     
  
Nota: siempre que tengamos parámetros lo mejor, si es posible, es colocarlos lo 
más a la derecha y bajo de la matriz. 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
- 19/20 - A.G.Onandía 
5.- Estudiar para que valore de “m” la matriz 
1 2 1
2 4
2 1
E m
m
 
 

 
  
 tiene inversa. 
1 2 1
2 4
2 1
E m
m
 
 

 
  
2 1 2 1
1 3 1
2
/2
1 1 1 1 1 1
2 2 0 2 0
1 1 0 0 1
 

    
   
     
       
C C F F
C F F
m m
m m
 
1
2 ( ) 2
1 ( ) 2
2 1 ( ) 3
si m ran E
si m ran E
si m m ran E n E
   
 
        
 
 
6.- Calcular el rango de 
1 1 1 2
1 1 1
1 1 3 3
4 2 0
a
F
a
 
 
 
  
 
 
 según los valores de “a”. 
 
2 1
3 1 2 31 2
4 12
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 0 1 2 1
1 1 3 3 1 1 3 3 0 2 2 1
4 2 0 2 4 0 0 2 2 4
F F
F F C CC C
F F
a a a
F
a a a

 

       
     
 
     
         
     
     
   
 



























































3000
3300
1120
1211
3300
0300
1120
2111
4220
1220
1120
2111
43
43
23
24
a
aa
a
aa
a
a
a
a CC
FF
FF
FF
 
Llegados a este punto los valores críticos son aquellos que evitan que la matriz 
sea escalonada con “líneas” no nulas i.e. 
303
303


aa
aa
 
Entonces: 
 Si a≠3 => ran(F)=4 
 Si a=3 =>  
1 1 2 1
F* 2
0 2 1 2
ran F
  
   
 
 
 
 
Matrices Matemáticas 2º Bachillerato 
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Ejercicios: 
1.- Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices: 





 

201
211
A 











312
613
211
B 











514
312
121
C
 











0130
0106
0121
D 

















1121
0000
0013
2101
2513
E 

















0514
3321
1213
2114
F 
 















123
100
541
321
G 















01012
10111
01012
01351
H 
Sol: ran(A)=2, ran(B)=3, ran(C)=2, ran(D)=3, ran(E)=4, ran(F)=3, ran(G)=3, ran(G)=3 
 
2.- Determinar, en función del parámetro , el rango de cada una de las siguientes 
matrices: 













104
210
13


A 














061
142
13
B 
 













012
01
311


C 











11
11
111

D 
   
   
   
   
) 1 2 1 3
b) 19 / 7 2 19 / 7 3
c) 3 1/ 2 2 3 1/ 2 3
d) 1 2 1 3
a si ran A si ran A
si ran B si ran B
si ran C si ran C
si ran D si ran D
 
 
   
 
       
       
           
     
 
3.- Discutir según los valores de “a” el rango de A con 


















1163
3121
042
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