Integración por Sustitución del Cálculo Diferencial

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Integración por Sustitución del Cálculo Diferencial 
 
La integración por sustitución, también conocida como regla de la cadena en el contexto de cálculo, es 
una técnica importante en el cálculo diferencial que se utiliza para simplificar la integración de funciones 
compuestas. Esta técnica es útil cuando se tiene una función complicada dentro de otra función más 
simple, y se busca evaluar la integral de la función compuesta. 
La idea básica detrás de la integración por sustitución es realizar un cambio de variable que simplifique 
la integral. El cambio de variable suele estar relacionado con la función más complicada en la 
composición. Los pasos típicos para realizar una integración por sustitución son los siguientes: 
1. Escoger un cambio de variable: Selecciona una variable nueva (usualmente denotada como u) 
de tal manera que la integral original se vuelva más manejable. 
2. Calcula la derivada del nuevo variable: Encuentra la derivada del nuevo variable con respecto a 
la variable original. Esto te permitirá relacionar la diferencial del nuevo variable (du) con la 
diferencial de la variable original (dx). 
3. Sustituye en la integral: Sustituye la función original y la diferencial en términos del nuevo 
variable y su derivada. Esto cambia la integral a una forma más simple. 
4. Integra y resuelve: Realiza la integral resultante, que generalmente será más fácil de evaluar. No 
olvides convertir tu respuesta final de vuelta a la variable original si es necesario. 
El teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivación e integración son operaciones inversas 
entre sí. Por lo tanto, si puedes encontrar una relación de derivación e integración para el cambio de 
variable que has realizado, puedes usarla para simplificar la integral original. 
La integración por sustitución es especialmente útil para integrar funciones trigonométricas, 
exponenciales, racionales y otras funciones complicadas. Es una de las técnicas más importantes en el 
cálculo integral y es ampliamente utilizada en una variedad de aplicaciones en matemáticas y física.