MATEMATICA-FINANCIERA-3

Vista previa del material en texto

M a t e m á t i c a f i n a n c i e r a 
y a c t u a r i a l
W a l t e r C é s p e d e s R a m í r e z
Matemática 
financiera y actuarial
Walter Céspedes ramírez
FICHA TÉCNICA
Título: Matemática financiera y actuarial
Autores: Walter Céspedes Ramírez
Categoría: Cuadernos / Ciencias Administrativas y
 Ciencias Económicas
Código: CU/ 274-2011
Edición: Fondo Editorial de la UIGV
Formato: 170 mm X 245 mm 382 pp.
Impresión: Offsett y encuadernación en rústica
Soporte: Cubierta: folcote calibre 12.
Interiores: Bond alisado de 80 g
Publicado: Lima, Perú. Marzo de 2011
Universidad Inca Garcilaso de la Vega
Rector: Luis Cervantes Liñán
Estos textos de educación a distancia están en proceso de revisión y adecuación a los estándares internacionales de 
notación y referencia. El contenido del libro es responsabilidad de la Facultad de origen. 
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2011-03999
© Universidad Inca Garcilaso de la Vega
 Av. Arequipa 1841 - Lince
 Teléf.: 471-1919
 Página web: www.uigv.edu.pe
 Fondo Editorial
 Correo electrónico: fondoeditorial@uigv.edu.pe
 Jr. Luis N. Sáenz 557 - Jesús María
 Teléf.: 461-2745 Anexo: 3712
 Correo electrónico: fondo_editorial@uigv.edu.pe
 Blog: fondouigv.blogspot.com
 
 Secretaría Técnica del Consejo Ejecutivo de Educación a Distancia 
 Av. Petit Thouars 421 - Lima
 Teléf.: 433-5755 / 433-0111 Anexos: 1330, 1331 y 1337
z5z
Í N D I C E
Presentación .................................................................................... 11
Introducción .................................................................................... 13
Orientaciones metodológicas ...................................................................... 15
PRIMERA UNIDAD
Tasas .................................................................................... 23
 Lección 1
 1.1 Uso de las tasas........................................................................ 25
 1.1.1 Tasa individual ............................................................... 25
 1.1.2 Tasa individual agregada ................................................. 27
 1.1.3 Tasa individual reducida................................................... 28
 Lección 2
 1.2 Tasas consecutivas .................................................................... 31
 1.2.1 Tasas consecutivas incrementales ..................................... 31
 1.2.2 Tasas consecutivas decrecientes o reductivas ..................... 35
 1.2.3 Tasas sobre tasas ........................................................... 39
 Lección 3
 1.3 Otros elementos relacionados con las tasas .................................. 43
 1.3.1 Interpolación ................................................................. 43
 1.3.2 Fechas .......................................................................... 46
z6z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
Autoevaluación Nº 1 ................................................................................. 49
Exploración on line ................................................................................... 53
Bibliografía básica .................................................................................... 53
Bibliografía complementaria ....................................................................... 53
SEGUNDA UNIDAD
Operaciones financieras de tipo simple ..................................................... 55
 Lección 1
 2.1 Operación de tipo simple ............................................................ 57
 2.1.1 Definición del interés simple ............................................. 57
 2.1.2 Definición del descuento simple ........................................ 59
 Lección 2
 2.2 Fórmulas para el interés simple .................................................. 61
 2.2.1 Cálculo del interés simple comercial u ordinario .................. 62
 2.2.2 Cálculo del interés simple exacto ...................................... 64
 2.2.3 Cálculo de las otras variables del interés simple .................. 65
 Lección 3
 2.3 Fórmulas para el descuento simple .............................................. 69
 2.3.1 Cálculo del descuento simple comercial ............................. 70
 2.3.2 Cálculo del descuento simple racional o matemático ............ 71
 2.3.3 Cálculo de las otras variables del descuento simple ............. 72
 Lección 4
 2.4 Pagos parciales con interés simple ............................................... 77
 2.4.1 Regla de saldos insolutos o de Estados Unidos con interés simple 77
 2.4.2 Regla Comercial o de la ecuación con interés simple ............ 79
 2.4.3 Consolidación de deudas con interés simple ....................... 82
 Lección 5
 2.5 Ahorros con interés simple ......................................................... 85
Autoevaluación Nº 2 ................................................................................. 89
Exploración on line ................................................................................... 93
Bibliografía básica .................................................................................... 93
Bibliografía complementaria ....................................................................... 93
TERCERA UNIDAD
Operaciones financieras de tipo compuesto ............................................... 95
 Lección 1
 3.1 Operación de tipo compuesto ...................................................... 97
 3.1.1 Definición del interés compuesto ...................................... 97
 3.1.2 Definición del descuento compuesto .................................. 99
z7z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
 Lección 2
 3.2 Fórmulas para el interés compuesto ............................................ 103
 3.2.1 Cálculo del interés compuesto .......................................... 104
 3.2.2 Cálculo de las otras variables del interés compuesto ............ 107
 3.2.3 Cálculo de la tasa efectiva del interés compuesto ................ 110
 Lección 3
 3.3 Fórmulas para el descuento compuesto ........................................ 113
 3.3.1 Cálculo del descuento compuesto...................................... 114
 3.3.2 Cálculo de las otras variables del descuento compuesto ....... 116
 3.3.3 Cálculo de la tasa efectiva del descuento compuesto ........... 119
 Lección 4
 3.4 Pagos y ahorros a interés compuesto ........................................... 123
 3.4.1 Regla de saldos insolutos o de Estados Unidos 
 con interés compuesto .................................................... 123
 3.4.2 Regla comercial o de la ecuación con interés compuesto ...... 131
 Lección 5
 3.5 Uso de tablas en operaciones de tipo compuesto ........................... 135 
 3.5.1 Uso de tabla de factores de interés compuesto ................... 135
 3.5.2 Uso de tabla de factores de descuento compuesto ............... 135
Autoevaluación Nº 3 ................................................................................. 145
Exploración on line ................................................................................... 149
Bibliografía básica .................................................................................... 149
Bibliografía complementaria ....................................................................... 149
CUARTA UNIDAD
Anualidades ordinarias ........................................................................... 151
 Lección 1
 4.1 Anualidad ordinaria inmediata .................................................... 153
 4.1.1 Valor futuro de la anualidad ordinaria inmediata ................. 154
 4.1.2 Valor actual de la anualidad ordinaria inmediata ................. 164
 Lección 2
 4.2 Abualidad diferida ordinaria ........................................................ 173
 4.2.1 Valor futuro de la anualidaddiferida .................................. 174
 4.2.2 Valor actual de la anualidad diferida .................................. 184
Autoevaluación Nº 4 ................................................................................. 188
Exploración on line ................................................................................... 192
Bibliografía básica .................................................................................... 192
Bibliografía complementaria ....................................................................... 192
z8z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
QUINTA UNIDAD
Anualidades anticipadas ......................................................................... 193
 Lección 1
 5.1 Anualidad anticipada inmediata ................................................... 195
 5.1.1 Valor futuro de la anualidad anticipada inmediata ............... 196
 5.1.2 Valor actual de la anualidad anticipada inmediata ................ 203
 Lección 2
 5.2 Anualidad anticipada diferida ...................................................... 211 
 5.2.1 Valor futuro de la anualidad anticipada diferida ................... 212
 5.2.2 Valor actual de la anualidad anticipada diferida ................... 218
Autoevaluación Nº 5 ................................................................................. 225
Exploración on line ................................................................................... 228
Bibliografía básica .................................................................................... 228
Bibliografía complementaria ....................................................................... 228
SEXTA UNIDAD
Actuarial .................................................................................... 229
 Lección 1
 6.1 Depreciaciones ......................................................................... 231
 6.1.1 Objeto de la depreciación ................................................ 231
 6.1.2 Métodos para la depreciación ........................................... 232
 Lección 2
 6.2 Bonos .................................................................................... 243
 6.2.1 Características de los bonos ............................................. 243
 6.2.2 Tipos de bonos ............................................................... 245
 6.2.3 Valor actual de un bono ................................................... 248
 Lección 3
 6.3 Seguros de vida ........................................................................ 257
 6.3.1 Seguros de vida total ...................................................... 258
 6.3.2 Seguros de vida temporal ................................................ 259
 6.3.3 Seguros de vida dotal ..................................................... 261
 Lección 4
 6.4 Rentas .................................................................................... 265
 6.4.1 Clasificación de las rentas ................................................ 265
 6.4.2 Rentas perpetuas ........................................................... 266
 Lección 5
 6.5 Indicadores actuales para proyectos ............................................ 271
 6.5.1 Serie de flujo de caja (FC) ............................................... 271
 6.5.2 Valor actual neto (VAN) ................................................... 272
 6.5.3 Tasa interna de retorno (TIR) ........................................... 278
z9z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
Texto seleccionado .................................................................................... 281
Autoevaluación Nº 6 ................................................................................. 286
Exploración on line ................................................................................... 289
Bibliografía básica .................................................................................... 289
Bibliografía complementaria ....................................................................... 289 
Tablas
 Tabla 1 Número de días ...................................................................... 293
 Tabla 2 Cálculo del monto con interés compuesto ................................... 294
 Tabla 3 Cálculo del valor actual con descuento compuesto ....................... 302
 Tabla 4 Cálculo del valor futuro de la anualidad ordinaria ......................... 310
 Tabla 5 Cálculo del valor actual de la anualidad ordinaria ......................... 346
 Tabla 6 Tabla de mortalidad con columnas de conmutación al 2.5% .......... 382
z11z
P R E S E N TA C I Ó N
Esta serie, Cuadernos, reúne los trabajos que los docentes han 
elaborado como parte de un proyecto mayor. Son textos breves con 
orientaciones y contenidos precisos para el desarrollo de una materia, 
que, a manera de apuntes de clase, están dirigidos al programa de 
educación a distancia.
El diseño, elaboración y edición de textos para educación a 
distancia son tareas apasionantes. Son labores que comprometen 
a profesionales de diversas áreas empeñados en buscar medios y 
procedimientos para que la transmisión de contenidos sea eficiente. 
En esta perspectiva se plantea la utilización de estos materiales con 
un sentido práctico, no solo para atender los requerimientos inme-
diatos de la educación a distancia, sino para iniciar un proceso de 
seguimiento y control que permita, luego de una rigurosa revisión 
y actualización, convertirlos en libros concluidos y abiertos a todos 
los lectores.
La educación a distancia es una experiencia, en la galaxia 
Internet, de un proyecto universitario globalizado cada vez más 
competitivo. La universidad que enfrente esta tarea con visión mul-
tidisciplinar y con enfoque sistémico tendrá éxito. En este sentido 
va esta propuesta: interacción permanente e investigación para la 
docencia y el aprendizaje en un complejo mundo de cambios verti-
ginosos y retos permanentes.
 Jefe del Fondo Editorial
z13z
I N T R O D U C C I Ó N
El objetivo principal de este libro, es el de brindar a todos los 
estudiantes de Administración y a los de Economía, los conocimientos 
necesarios para comprender el uso de las matemáticas financieras 
y actuarial, de tal manera que pueda resolver casos con rapidez y 
precisión mediante el uso de herramientas o fórmulas financieras.
Para lograr tal objetivo; es conveniente enseñar a los alumnos 
de esta asignatura que la base de las operaciones financieras se rela-
cionan estrictamente con las tasas, por ello se ha propuesto dentro 
de este manual, una serie de aplicaciones referentes a las tasas, para 
que el alumno pueda comprenderlas. Cuando a la tasa se le suma 
una unidad, el valor principal se incrementa en la misma proporción 
que la tasa, y cuando se resta de uno, el valor principal se reduce en 
la misma proporción que la tasa; ello significa que el uno (1) que 
acompaña a la tasa representa al valor principal.
Una vez conocida la utilidad que tienen las tasas, estos mis-
mos argumentos de incremento y de reducción se utilizan en las 
operaciones financieras; por que cuando un capital o principal se 
incrementa en el tiempo, todo el incremento se llama interés, y 
cuando se reduce, la cantidad reducida se llama descuentos; se dice 
que tales incrementos o descuentos son de tipo simple por que el 
valor principal que sirve para generar el interés o el descuento, per-
z14z
manece constante todo el tiempo que dure la operación, en caso 
contrario, se dice que es de tipo compuesta y necesitan de periodos 
de capitalización, en donde el valor principal o capital cambia de 
valor, periodo tras periodo.
Las operaciones financieras además de las funciones mencio-
nadas, tienen otras funciones que también se verán en este manual, 
tales como: anualidades inmediatas tanto ordinarias como anticipa-
das, y las anualidades diferidas vencidas y anticipadas.También se 
verá el cálculo del valor futuro y del valor actual o presenta de todos 
los tipos de anualidades. 
Finalmente, además se consideran algunos valores actuales, 
entre los que destacan: Las depreciaciones de bienes productivos 
que sirven para generar los fondos de reposición del bien, Los se-
guros que sirven para proteger la existencia de recursos materiales 
y humanos en una organización, las rentas que permiten el acceso 
al crédito y los bonos como valores de negociación. 
Al término del estudio de este Manual Auto Instructivo, el alum-
no debe entender que los conocimientos que ha adquirido a través 
del mismo no es la culminación de todos los elementos financieros y 
que ya está en condiciones de tomar decisiones de índole empresarial 
en cualquier nivel de la misma, sino que ha empezado a entender 
la actividad empresarial en términos cuantitativos y además debe 
comprender que las matemáticas financieras y actuarial, son solo 
parte de esta compleja actividad.
El autor
z15z
METODOLÓGICAS
o r i e n t a c i o n e s
El Manual Auto-Instructivo, que está al alcance de usted, está 
compuesto de 6 unidades temáticas, y se ha elaborado con la in-
tención de que al haberse matriculado en esta asignatura pueda 
auto instruirse.
1. Estructura
Se está incluyendo en el MAI de Matemática Financiera y Ac-
tuarial, todas las unidades temáticas del sílabo que esta facultad ha 
considerado como de necesidad para la enseñanza de esta asigna-
tura en todas las modalidades de estudio incluyendo la modalidad 
a distancia; tales unidades temáticas son:
Primera Unidad : Tasas 
Segunda Unidad : Operaciones Financieras de Tipo Simple
Tercera Unidad : Operaciones Financieras de Tipo Compuesto
Cuarta Unidad : Anualidades Ordinarias 
Quinta Unidad : Anualidades Anticipadas
Sexta Unidad : Actuarial
2. Sumilla
Primera Unidad
Se ha creído conveniente empezar este manual de Matemática 
Financiera y Actuarial, con las tasas que son unos factores que ne-
z16z
cesariamente se utilizarán en todas las lecciones a desarrollarse en 
adelante y que es conveniente que el estudiante las tenga presente 
para aprovecharlas mejor.
Pese a que siempre se expresan las tasas en términos por-
centuales que representan las fracciones de cada 100 unidades, 
normalmente se utilizan estos factores en tanto por uno; es decir, 
el porcentaje dividido entre 100 que representan las fracciones de 
cada unidad.
El estudiante aprenderá también a utilizar varias tasas en forma 
consecutiva, sin la necesidad de darle tratamiento individualizado 
para que luego tenga que ser agregado o disminuido según el caso.
Finalmente se ha incluir en esta unidad temática otros elementos 
complementarios en las operaciones comerciales y en las financieras, 
a manera de introducción a las Matemáticas Financieras y Actuariales; 
es el caso de la interpolación en donde se puede despejar el valor 
de una variable conociendo algunos valores de ella, esto es muy im-
portante para el estudiante por que muchas veces no puede contar 
con toda la información que precisa conocer. También se enseña a 
utilizar la tabla de número de días para conocer la cantidad de días 
que hay entre dos fechas cualesquiera que forman parte de una 
operación financiera de interés o de descuentos.
Segunda Unidad
Cuando financieramente es invertida o deducida una cantidad 
de dinero o principal, durante un periodo determinado, con una 
tasa definida; se está entrando a las primeras operaciones de las 
finanzas que son el interés y el descuento. Dicho interés y descuento 
son denominados simples si el dinero ganado o deducido no forman 
parte del principal para el siguiente periodo.
En el cálculo tanto de interés como en el descuento simple, 
intervienen además del elemento principal que es el capital o el 
valor nominal, el tiempo que dura la operación que puede ser dado 
en: días, meses, trimestres, años, fechas, etc. y la tasa. Por esta 
razón es conveniente del uso de fórmulas definidas para cada tipo 
de operación que incluye todos los pasos desde el inicio hasta el 
término de la misma.
Cuando se adquieren deudas a interés simple, es muy común 
que en los contratos se incluyan pagos parciales, a fin de cancelar 
parte de lo adeudado y reducir la deuda misma. En cuanto al tiem-
po, los pagos parciales se pueden realizar sin ninguna restricción o 
condición, ya que las aportaciones pueden efectuarse en el momento 
z17z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
que el cliente lo disponga y en cuanto al aporte, puede ser variado 
según el efectivo que disponga; según los métodos dispuestos que 
pueden ser: La regla de saldos insolutos o de EE.UU., la regla co-
mercial o de la ecuación o también en los casos de varias deudas, 
estas pueden ser consolidadas en una sola.
Aunque en nuestro medio no se utiliza las operaciones finan-
cieras en forma simple, ello no exime al estudiante a que aprenda 
como funciona sobre todo en las operaciones de ahorro, las que son 
explicadas en esta unidad con ejemplos.
Tercera Unidad
Financieramente las inversiones o deducciones de una cantidad 
de dinero o principal, durante un periodo determinado, con una tasa 
definida; como se mencionó en el capítulo anterior son operaciones 
de interés y de descuento. Dicho interés y descuento son denomina-
dos compuestos si el dinero ganado o deducido, forman parte del 
principal para el siguiente periodo. El reunir el interés con el principal 
o deducir el descuento del mismo, se denomina capitalización que 
se hace efectiva en cada periodo de tiempo previamente acordado 
entre ambas partes o aceptado por el cliente
En el cálculo tanto de interés como en el descuento compuesto, 
intervienen además del elemento principal que es el capital o el valor 
nominal, el tiempo que dura la operación que puede ser dado en: 
días, meses, trimestres, años, fechas, etc. y la tasa. Por esta razón es 
conveniente del uso de fórmulas definidas para cada tipo de opera-
ción con la obligación de que el tiempo y la tasa ahora se trabajarán 
únicamente en periodos homogéneos según la capitalización.
Cuando se adquieren deudas a interés compuesto, es muy 
común que en los contratos se incluyan pagos parciales, a fin de 
cancelar parte de lo adeudado y reducir la deuda misma. En cuanto 
al tiempo, los pagos parciales se pueden realizar sin ninguna res-
tricción o condición, ya que las aportaciones pueden efectuarse en 
el momento que el cliente lo disponga y en cuanto al aporte, puede 
ser variado según el efectivo que disponga; en cuanto a los métodos 
para deducir lo abonado o pagado, en las operaciones compuestas 
puede utilizarse cualquiera de las reglas por que el resultado siempre 
es el mismo, ya sea con: la regla de saldos insolutos o de EE.UU., 
la regla comercial o de la ecuación y también en los casos de varias 
deudas, éstas pueden ser consolidadas en una sola con una misma 
tasa y con una misma capitalización.
z18z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
Cuarta Unidad
Matemáticamente el término anualidad, se conoce como la 
expresión que indica un sistema de pago de cantidades fijas en 
periodos de tiempos iguales para cada pago. Representa los pagos 
parciales consecutivos a interés compuesto que debe realizar un 
deudor, hasta cancelar el préstamo adquirido. Anteriormente con 
el interés compuesto, se vio cuanto se podía generar con una in-
versión durante un tiempo definido con una tasa determinada; en 
una anualidad, este concepto se aplica de la misma manera, con un 
ingrediente adicional que es el aporte o pago en cuotas y periodos 
iguales; además no se trabajará en días, sino en periodos de tiempo 
como: quincenas, meses, bimestres, trimestres, etc., por que una 
anualidad solo trabaja con periodos de tiempo.
En finanzas, la anualidad no significa pagos anuales, sino pagos 
en intervalos de tiempo iguales; por ejemplo, son anualidades los 
dividendos sobre las acciones, los fondos de amortización, los pagos 
de las compañías de seguros,sueldos, etc., en general todo tipo de 
renta, es una anualidad.
En este manual se tratarán únicamente los casos de las anuali-
dades como una sucesión de pagos periódicos iguales; no se verán 
los casos de aporte variables de una anualidad, ni otro tipo de pa-
gos. Entre la sucesión de pagos periódicos iguales en tiempo y en 
cantidad, se verán los tipos de: anualidades ordinarias inmediatas y 
anualidades ordinarias diferidas.
Con cada uno de los tipos de anualidades, el alumno aprende-
rá a utilizar las fórmulas definidas apropiadamente para encontrar 
cualquiera de sus variables, así como también podrá hacer uso de 
las tablas sobre este tipo de operación; 
Cuando se adquieren deudas, es muy común que en los contra-
tos se incluyan pagos homogéneos parciales a fin de cancelar parte 
de lo adeudado y reducir la deuda misma. En cuanto a estos pagos 
en una anualidad los periodos a pagar pueden ser: iguales, menores 
o mayores al periodo de capitalización; al término de esta unidad 
temática, el alumno estará capacitado para resolver cualquiera de 
estos casos.
Quinta Unidad
Las anualidades anticipadas tiene el mismo tratamiento que 
se da a las anualidades ordinarias, con la única diferencia que este 
tipo de anualidad el pago o aporte se realiza al inicio del periodo 
señalado por la entidad financiera.
z19z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
 En finanzas, la anualidad anticipada no significa pagos por 
años anticipados, sino pagos o aportes al inicio en intervalos de 
tiempo iguales que pueden ser meses bimestres, quincenas, etc. ; 
por ejemplo, son anualidades: los fondos de amortización, los pagos 
de las compañías de seguros, etc., en general todo tipo de renta 
anticipada, es una anualidad adelantada.
En este manual se tratarán únicamente los casos de las anuali-
dades anticipadas como una sucesión de pagos periódicos iguales; 
no se verán los casos de aporte variables de una anualidad, ni otro 
tipo de pagos.
Con cada uno de los tipos de anualidades anticipadas, el alum-
no aprenderá a utilizar las fórmulas definidas apropiadamente para 
encontrar cualquiera de sus variables, así como también podrá hacer 
uso de las tablas sobre este tipo de operación. 
Cuando se adquieren deudas, es muy común que en los contra-
tos se incluyan pagos homogéneos parciales a fin de cancelar parte 
de lo adeudado en forma anticipadas y reducir la deuda misma. En 
cuanto a estos pagos en una anualidad los periodos a pagar pue-
den ser: iguales, menores o mayores al periodo de capitalización; al 
término de esta unidad temática, el alumno estará capacitado para 
resolver cualquiera de estos casos.
Sexta Unidad
Tiene gran importancia el conocer los valores actuales de 
nuestras tenencias o propiedades, y la actividad financiera te da las 
herramientas necesarias para que puedas determinar cuanto vale lo 
que posees. En esta unidad se conocerán los valores actuales que 
te permitirá: conocer de cuanto dinero dispones hoy para reponer 
las maquinarias y equipos de tu empresa, ingresar al mundo de los 
negocios de los bonos, tener acceso a los préstamos con la tenencia 
de rentas, hasta podrás determinar el costo de un seguro de vida 
para ti y si tienes una empresa, para tus trabajadores.
Uno de los valores actuales en la actividad empresarial que no 
debe pasar desapercibido, es la depreciación de un bien productivo 
que sirve para generar empresa. El cálculo de la depreciación o des-
gaste, enseña al alumno a entender que capital invertido en bienes, 
no se va perdiendo de a pocos y que de sus ahorros o utilidades va 
a sacar el dinero de recuperación, sino te enseña como el gobierno 
te exige que de la propia empresa hagas las reservas respectivas ya 
que tal depreciación o valor de desgaste, forma parte de tus costos 
de producción. 
z20z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
El que el Bono es una obligación crediticia emitida con un plazo 
determinado que devenga intereses pagaderos en periodos regulares 
de tiempo por un gobierno o por instituciones privadas, el alumno 
comprenderá que conocer su valor actual, y además el saber que 
estos documentos están regulados por ley del país de la entidad 
emisora, que la actividad financiera no es solo interés y descuentos, 
es negociar documentos de créditos en un mercado de valores. 
El tema del seguro de vida no es moderno, sin embargo en la 
actualidad se sigue utilizando, aunque de manera diferente a la forma 
del pasado, lo cierto es que la vida de una persona es importante 
principalmente para su familia y quien conoce de las bondades de 
un seguro de vida, tiene la necesidad de contar con él sobretodo 
para dejar protegida su familia en caso de accidente.
El saber que las rentas son pagos periódicos que se realizan a 
favor de una persona o de una institución por diferentes razones, 
además conocer el valor actual de una renta, le permite al tenedor 
de la misma, tener acceso al crédito financiero.
Finalmente en la evaluación de proyectos intervienen algunos 
indicadores que utilizan valores actuales, que son El VAN y la TIR, 
con el primero utilizando una tasa de oportunidad de capital (COK), 
establece la diferencia entre el Valor actual de la Inversión (VAI) con 
el Valor actual de egresos o costo (VAC), y si la diferencia es positiva 
se conoce que puede hacer la inversión en dicho proyecto; con la TIR 
un proyecto es rentable si es mayor o igual a la COK.
3. Estrategias de aprendizaje
1° Para facilitar el entendimiento de esta asignatura, se recomienda 
tener claro lo aprendido en las asignaturas de Matemáticas.
2° Debe tener siempre a la mano: cuaderno lápiz o lapicero, 
borrador y una calculadora que tenga más funciones de aquellas 
que solo manejan las 4 operaciones aritméticas.
3° Leer con detenimiento cada ítem de una unidad temática 
y una vez entendido lo que se dice allí, resolver los ejercicios 
propuestos, por cada ítems.
4° Culminada la primera unidad, resolver la prueba auto 
evaluativa que está al final de la misma, luego comparar las 
respuestas obtenidas con las claves de respuestas que se dan.
z21z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
5° Si ha respondido correctamente al menos 9 de los 15 
ejercicios, usted está en condiciones de seguir con la siguiente 
unidad, en caso contrario, se recomienda hacer un repaso. 
Nota importante:
Si por alguna razón no logra entender con facilidad cualquier 
tema de los mencionados, probablemente por haber olvidado 
algunos conceptos básicos matemáticos que son necesarios tener 
presente; se recomienda revisar los conceptos olvidados o solicitar 
asesoría que le sirva de orientación en el aprendizaje de Matemática 
Financiera y Actuarial.
4. Evaluación
Para aprobar la asignatura habrán 2 exámenes obligatorios y 
uno opcional que son: 
1.Examen parcial, que incluye las tres primeras unidades 
temáticas. 
2.Examen final, que incluye las tres últimas unidades temáticas. 
3. Examen sustitutorio, es opcional e incluye todas las 
unidades del curso; este examen solo lo pueden rendir los alumnos 
desaprobados en promedio de los exámenes: parcial y final.
Se desea a usted mucha suerte y se le felicita por cada unidad 
aprendida.
p r i m e r a
UNIDAD
Tasas
Sumario
Uso de las tasas: tasas individuales, tasa individual agregada, tasa individual reducidad. 
Tasas consecutivas: incrementales, reductivas; tasas sobre tasas.
Otras operaciones relacionadas con tasas: interpolación, fechas.
z24z
OBJETIVO(S)
GENERAL: 
•	 Al término de esta unidad, el alumno ha encontrado la manera 
más práctica de determinar los valores actuales sobre: rentas, 
seguros, bonos y depreciaciones; porque conocer los valores 
actuales es muy importante ya que sirve para: poder negociar 
bonos, solicitar préstamos con el respaldo de una renta, conocer 
el costo de una póliza de seguros, si se debe o no invertir en un 
proyecto y también para saber cuanto valen hoy un elemento 
productivo después de haberlo utilizado un tiempo determinado 
generandosu valor de reposición.
ESPECÍFICOS: 
•	 Mediante el uso de las tasas, el estudiante a aprendido como 
generar un aumento o una disminución de un precio o capital, y 
también cómo obtener dicho aumento o disminución incluidos 
en el precio o capital.
•	 Saber como se utilizan las tasas en forma consecutiva dentro 
de escalas que a medida que crecen, las tasas aumentan o 
disminuyen según su aplicación. También cuando estas se aplican 
consecutivamente a un mismo precio.
•	 Conocer para las siguientes unidades, el uso o aplicación que 
tiene la interpolación cuando la información no es suficiente o 
completa. También para aprender a determinar el número de 
días que hay entre una fecha inicial y otra final de una operación 
financiera.
z25z
L e c c i ó n 1
1.1 Uso de las tasas
Una tasa es un factor que generalmente se expresa en tanto por ciento, por que de 
esta manera su interpretación es más sencilla; sin embargo, cuando usted desee apli-
carla a una cifra numérica o valor principal requiere dividir el porcentaje entre 100, de 
esta manera la tasa en tanto por ciento se habrá convertido en tasa en tanto por uno.
El factor en tanto por uno se multiplica por la cifra numérica o valor principal y el 
resultado puede ser un incremento o una reducción, dependiendo de lo que usted desee 
encontrar. En el ambiente financiero y en el comercial, al incremento se le denomina 
interés y a la reducción se le denomina descuento
1.1.1 Tasa individual
Es el factor o tasa convertida en tanto por uno, que se aplica una sola vez al valor 
principal y cuyo resultado es el incremento o la reducción según el caso.
En las siguientes unidades se tratará nuevamente este tipo de tasa individual o única, 
que al aplicarlas en el tiempo, producirá financieramente tanto interés como descuento 
en operaciones financieras de tipo simple y de tipo compuesto. 
z26z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
Ejercicios resueltos:
1) ¿Cuántas unidades adicionales se deben producir, si se desea incrementar en 
20,5% la producción actual de 7 400 unidades?
Solución:
Se tiene una tasa del 20,5% de incremento que al dividirla entre 100, es igual 
0,205.
Unidades adicionales = 7 400 x 0,205 = 1 517 unidades.
2) ¿Cuántos trabajadores tendrá que cesar una empresa, si de los 2 600 que tiene 
piensa reducir el número en 15%?
Solución:
Tasa = 15 / 100 = 0,15 
Cese = 2 600 x 0,15 = 390 trabajadores.
Resolver los siguientes ejercicios sobre tasa individual:
1) ¿Cuál será la utilidad que obtendría un comerciante, si vende su mercancía que le 
costó 4 240 nuevos soles, ganando el 19,5%? 
 Resp.: 826,80.
 
2) ¿Cuál será la rebaja que obtendría un comerciante, si compra mercancía que vale 
850 nuevos soles rebajada en 10,5%? 
 Resp.: 89,25.
 
3) ¿Cuánto ganará durante un mes un vendedor a comisión, si vendió mercancía por 
un valor de 18 580 ganando por comisión el 16% de las ventas? 
 Resp.: 2 960,00.
 
4) ¿Cuál será la utilidad que obtendría un inversionista, si le ofrecen el 5% por invertir 
21 000 nuevos soles? 
 Resp.: 1 050,00.
 
5) ¿Cuál será la pérdida que obtendría un comerciante, si vende su mercancía que le 
costó 14 580 nuevos soles, rebajada en 2,5%? 
 Resp.: 364,50.
 
6) ¿Cuántos estudiantes dejarán de estudiar en el presente ciclo si hay una reducción 
del 7,2% con relación a la última matrícula de 6 500 estudiantes? 
 Resp.: 468.
z27z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
1.1.2 Tasa individual agregada
Muchas veces es necesario reunir el valor principal o cifra inicial con el incremento; 
en este caso, no es necesario sumar el resultado después de haber aplicado la tasa o 
efectuada la multiplicación. Cuando usted desee conocer el incremento más el valor 
principal en forma directa, sume uno a la tasa ya convertida en tanto por uno antes de 
realizar la multiplicación.
Ejercicios resueltos:
 
1) ¿A Cuánto debe ascender una inversión de 18 945 000 nuevos soles, si debe ser 
incrementada en 37,4%?
Solución:
Tasa = 37,4 / 100 = 0,374 1 + 0,374 = 1,374.
 Nueva inversión = 18 945 000 x 1,374 = 26 030 430 nuevos soles.
2) ¿A Cuánto debe ascender una inversión de 1 295 000 nuevos soles, si debe ser 
incrementada en 6,3%?
Solución:
Tasa = 6,3 / 100 = 0,063 1 + 0,063 = 1,063.
Nueva inversión = 1 295 000 x 1,063 = 1 376 585 nuevos soles.
Resolver los siguientes ejercicios sobre tasa individual agregada:
1) ¿Cuánto recibirá un comerciante, si vende su mercancía que le costó 4 240 nuevos 
soles, ganando el 19,5%? 
 Resp.: 5 066,80.
2) ¿Cuánto le costará a un inquilino el arrendamiento de un inmueble por el que pagaba 
1 500 nuevos soles, si se lo han incrementado en 15,2%? 
 Resp.: 1 728,00.
3) Un estudiante pagaba por sus estudios 3 230 nuevos soles por ciclo. ¿Cuál será el 
costo por ciclo, si se ha incrementado en 12,6%? 
 Resp.: 3 636,98.
 
4) ¿Cuánto se recibirá por la venta de un inmueble que costó 85 000 U.S. dólares, si 
en la venta se gana el 8,54%? 
 Resp.: 92 259,00.
5) ¿A Cuánto debe ascender una inversión de 17 500 nuevos soles, si debe ser 
incrementada en 26,3%? 
 Resp.: 22 102,50.
z28z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
6) ¿Cuál es el precio de venta de un mercancía que costó 2 250 nuevos soles, si se 
incrementa en 31,25% al costo? 
 Resp.: 2 953,13.
 
7) ¿A cuánto ascenderá el arrendamiento de un inmueble por el que se pagaba 1 100 
nuevos soles, si éste se ha incrementado en 16,8%? 
 Resp.: 1 284,80.
8) ¿Cuál será el costo por ciclo para un estudiante que pagaba por sus estudios 2 750 
nuevos soles, si se ha incrementado en 8,5%? 
 Resp.: 2 983,75.
 
9) ¿Cuánto se recibirá por la venta de un inmueble que costó 135 000 nuevos soles, si 
en la venta se gana el 12%? 
 Resp.: 151 200,00.
1.1.3 Tasa Individual Reducida
Otra veces es necesario deducir del valor principal una reducción; en este caso, no 
es necesario restar el resultado después de haber aplicado la tasa o efectuada la mul-
tiplicación. Cuando usted desee conocer el estado del valor principal después de la 
reducción en forma directa, reste la tasa en tanto por uno de uno antes de realizar la 
multiplicación.
Ejercicios resueltos:
 
1) ¿Cuál será la producción de una empresa, si la actual de 15 000 unidades mensuales 
se debe reducir en 17,6%?
Solución:
Tasa = 17,6 / 100 = 0,176 1 – 0,176 = 0,824.
Nueva producción = 15 000 x 0,824 = 12 360 unidades.
 
2) ¿Cuántos trabajadores quedarán en una empresa, si actualmente cuenta con 6 000 
trabajadores, reducir en 7,5%?
Solución:
Tasa = 7,5 / 100 = 0,075 1 – 0,075 = 0,925.
Quedarán = 6 000 x 0,925 = 5 550 trabajadores.
Resolver los siguientes ejercicios sobre tasa individual reducida:
 
1) ¿Cuánto recibirá un comerciante, si vende su mercancía que le costó 14 580 nuevos 
soles, rebajada en 2,5%? 
 Resp.: 14 215,50.
 
z29z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
2) ¿Cuánto se pagará por la compra de un artículo personal cuyo precio es 4 840 
nuevos soles, rebajado en 15%?
 Resp.: 4 114,00.
 
3) ¿Cuánto recibirá un comerciante, si vende su mercancía que le costó 1 260 nuevos 
soles, rebajada en 23,2%? 
 Resp.: 967,68.
 
4) ¿Cuánto se pagará por la compra de un televisor LCD cuyo precio es 3 040 nuevos 
soles, rebajado en 10,5%? 
 Resp.: 2 720,80.
 
5) ¿Cuánto se pagará por una oferta comercial que rebaja el 8% del precio de 1580 
nuevos soles? Resp.: 1 453,60.
z31z
L e c c i ó n 2
1.2Tasas consecutivas
Son aquellas tasas que atendiendo a una estructura o escala, se aplican de manera 
variable. Las tasas consecutivas pueden aumentar o disminuir a medida que se incre-
mentan las escalas, por consiguiente llamaremos tasas incrementales a las que au-
mentan y tasas reductivas a las que disminuyen en la medida que se incrementan las 
escalas. 
1.2.1 Tasas consecutivas incrementales
Son aquellas tasas que aumentan a medida de que las escalas o estructuras aumen-
tan. La característica de este tipo de tasas es que el valor que produce una tasa dentro 
de la estructura, se respeta; es decir que si una determinada cantidad pasa de una 
escala a otra, se calcula el máximo de la primera escala con su respectiva tasa, luego 
se resta la cantidad inicial menos el máximo de la primera escala y a la diferencia se le 
aplica la nueva escala; si la operación incluye varios niveles de la estructura, el proceso 
descrito con anterioridad se debe repetir hasta llegar al nivel requerido.
z32z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
Ejercicios resueltos:
1) El costo por consumo de energía eléctrica es de 1,48 nuevos soles por kilo watt hora 
(kwh), a este costo unitario será incrementado según el consumo de acuerdo con la 
siguiente escala:
 
 Estructura o escala Incremento porcentual
- De 0 kwh hasta 50 kwh 0%
- De 51 kwh hasta 100 kwh 5%
- De 101 kwh hasta 200 kwh 10%
- De 201 kwh hasta 300 kwh 18%
- Más de 300 kwh 25%
Hallar el costo de los siguientes consumos de energía eléctrica:
a) 36 kwh, 
b) 76 kwh, 
c) 122 kwh, 
d) 266 kwh, 
e) 368 kwh y
f) 100 kwh.
Solución:
Primero se corrigen las tasas en tanto por ciento convirtiéndolas en tanto por uno y 
como se tratan de incrementos, se le suma 1 a cada tasa, quedando la escala de la 
siguiente manera:
 Estructura o escala Incremento proporcional
- De 0 kwh hasta 50 kwh 1,00
- De 51 kwh hasta 100 kwh 1,05
- De 101 kwh hasta 200 kwh 1,10
- De 201 kwh hasta 300 kwh 1,18
- más de 300 kwh 1,25
Luego se calculan los nuevos consumos máximos tomando el valor hasta de cada 
escala.
 Estructura o escala Costo máximo por escala incluyendo la anterior
z33z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los kwh consu-
midos el máximo kwh de la escala anterior, para luego sumarle el costo máximo de la 
escala anterior, de la siguiente manera:
2) El costo por consumo de agua es de 2,76 nuevos soles por metro cúbico (m3), este 
costo será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala:
 Estructura o escala Incremento porcentual
 Hallar el costo de los siguientes consumos de agua:
a) 16 m3, 
b) 22 m3, 
c) 45 m3, 
d) 76 m3, 
e) 53 m3, 
f) 89 m3 y 
g) 60 m3.
Solución:
Primero se corrigen las tasas en tanto por ciento convirtiéndolas en tanto por uno y 
como se tratan de incrementos, se le suma 1 a cada tasa, quedando la escala de la 
siguiente manera:
 Estructura o escala Incremento proporcional
Luego se calculan los nuevos consumos máximos con el valor hasta, de cada 
escala.
z34z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
 Estructura o escala Costo máximo por escala incluyendo la anterior
Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los m3 
consumidos el máximo m3 de la escala anterior, para luego sumarle el costo máximo 
de la escala anterior, de la siguiente manera:
Resolver los siguientes ejercicios sobre tasas consecutivas incrementales:
1) El costo por consumo de gas es de 1,26 nuevos soles por litro, este costo unitario 
será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala:
 
 Estructura o escala Incremento porcentual
Hallar el costo de los siguientes consumos de gas:
a) 82 lt. Resp.: 103,32
b) 176 lt Resp.: 225,59
c) 272 lt. Resp.: 358,65
d) 426 lt. Resp.: 579,25 
e) 836 lt. Resp.: 1 248,16 
f) 205 lt. Resp.: 264,10
 
z35z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
2) El impuesto a la renta por categorías de ingreso anual obedece a la siguiente 
escala:
 
 Estructura o escala impuesto porcentual
 
 
Hallar el impuesto de los siguientes ingresos familiares:
a) 6 820 nuevos soles. Resp.: 0,00.
b) 15 760 nuevos soles. Resp.: 736,00.
c) 25 200 nuevos soles. Resp.: 1 680,00. 
d) 43 260 nuevos soles. Resp.: 4 772,00.
e) 80 340 nuevos soles. Resp.: 16 649,00. 
1.2.2 Tasas consecutivas decrecientes o reductivas
 Son aquellas tasas que disminuyen a medida de que las escalas o estructuras aumen-
tan. Las características de este tipo de tasas son dos:
La primera es que el valor que produce una tasa dentro de una estructura inferior, 
puede generar mayor incremento en la escala siguiente por tener menor tasa, por ello 
se hace necesario corregir las tasas siguientes de manera que este problema no se pro-
duzca en la otra escala
La segunda que el valor que produce una tasa ya corregida dentro de la estructura, 
se respeta; es decir que si una determinada cantidad pasa de una escala a otra, se cal-
cula el máximo de la primera escala con su respectiva tasa corregida, luego se resta la 
cantidad inicial menos el máximo de la primera escala y a la diferencia se le aplica la 
nueva escala; si la operación incluye varios niveles de la estructura, el proceso descrito 
con anterioridad se debe repetir hasta llegar al nivel requerido.
Ejercicios resueltos:
1) La estructura de sueldos actuales de una empresa y el incremento para las nuevas 
remuneraciones, se dan a continuación:
 Estructura o escala Incremento porcentual
- De 800 hasta 1 200 nuevos soles 15%
- De 1 200 hasta 2 200 nuevos soles 10%
- De 2 200 hasta 3 500 nuevos soles 7%
- De 3 500 hasta 5 000 nuevos soles 5%
- De 5 000 hasta 8 000 nuevos soles 4%
z36z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
 Hallar los nuevos sueldos de los trabajadores cuyos sueldos actuales son: 
a) 985 nuevos soles, 
b) 1 648 nuevos soles,
c) 3 200 nuevos soles, 
d) 2 500 nuevos soles, 
e) 4 809 nuevos soles, y 
f) 7 416 nuevos soles.
Solución:
 Primero se corrigen las tasas en tanto por ciento convirtiéndolas en tanto por uno y 
como se tratan de incrementos, se le suma 1 a cada tasa, quedando la escala de la 
siguiente manera:
 Estructura o escala Incremento proporcional
- De 800 hasta 1 200 nuevos soles 1,15
- De 1 200 hasta 2 200 nuevos soles 1,10
- De 2 200 hasta 3 500 nuevos soles 1,07
- De 3 500 hasta 5 000 nuevos soles 1,05
- De 5 000 hasta 8 000 nuevos soles 1,04
 Luego se calculan los nuevos sueldos máximos tomando el valor hasta de cada 
escala.
 Estructura o escala Nuevos sueldos máximos
- De 800 hasta 1 200 nuevos soles 1 200 x 1,15 = 1 380
- De 1 200 hasta 2 200 nuevos soles 2 200 x 1,10 = 2 420
- De 2 200 hasta 3 500 nuevos soles 3 500 x 1,07 = 3 745
- De 3 500 hasta 5 000 nuevos soles 5 000 x 1,05 = 5 250
- De 5 000 hasta 8 000 nuevos soles 8 000 x 1,04 = 8 320
 A continuación se calculan las nuevas tasas o tasas corregidas con el objeto de 
evitar que el sueldo de un trabajador de una escala inferior supere al sueldode un 
trabajador de una escala superior, tomando la diferencia entre los máximos sueldos 
propuestos con los actuales de cada escala, de la siguiente manera.
 Estructura o escala Nuevas tasas o tasas corregidas
 Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los sueldos 
actuales el sueldo actual máximo de la escala anterior, para luego sumarle el nuevo 
sueldo máximo de la escala anterior, de la siguiente manera:
z37z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
a) (985 – 0) (1,15) + 0 = 1 132,75 nuevos soles, 
b) (1 648 – 1 200) (1,04) + 1 380 = 1 845,92 nuevos soles,
c) (3 200 – 2 200) (1,01923) + 2 420 = 3 439,23 nuevos soles, 
d) (2 500 – 2 200) (1,01923) + 2 420 = 2 725,77 nuevos soles, 
e) (4 809 – 3 500) (1,00333) + 3 745 = 5 058,36 nuevos soles y 
f) (7 416 – 5 000) (1,02333) + 5 250 = 7 722,37 nuevos soles.
2) La estructura salarial actual de una empresa y el incremento para los nuevos jornales 
diarios, se dan a continuación:
 Estructura o escala Incremento porcentual
- De 20 hasta 30 nuevos soles 20%
- De 30 hasta 50 nuevos soles 15%
- De 50 hasta 80 nuevos soles 10%
- De 80 hasta 150 nuevos soles 6%
- De 150 hasta 300 nuevos soles 3%
 Hallar los nuevos jornales de los obreros cuyos salarios diarios actuales son: 
a) 25 nuevos soles, 
b) 48 nuevos soles,
c) 72 nuevos soles, 
d) 105 nuevos soles y 
e) 182 nuevos soles. 
Solución:
 Primero se convierten las tasas que están en porcentaje a tanto por uno, luego se 
suma uno a cada tasa porque son de incremento, quedando la escala de la siguiente 
manera:
 Estructura o escala Incremento proporcional
 Luego se calculan los nuevos jornales máximos tomando el valor hasta de cada 
escala.
 Estructura o escala Nuevos sueldos máximos
 
z38z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
 A continuación se calculan las nuevas tasas o tasas corregidas con el objeto de 
evitar que el salario de un trabajador de una escala inferior supere al salario de un 
trabajador de una escala superior, tomando la diferencia entre los máximos salarios 
propuestos con los actuales de cada escala, de la siguiente manera.
 Estructura o escala Nuevas tasas o tasas corregidas
Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los salarios 
actuales el salario actual máximo de la escala anterior, para luego sumarle el nuevo 
salario máximo de la escala anterior, de la siguiente manera:
Resolver los siguientes ejercicios sobre tasas consecutivas decrecientes:
 
1) La estructura de sueldos actuales de una empresa y el incremento para las nuevas 
remuneraciones, se dan a continuación:
 Estructura o escala Incremento porcentual
Hallar los nuevos sueldos de los trabajadores cuyos sueldos actuales son: 
a) 790 nuevos soles, Resp.: 948,00 
b) 1 480 nuevos soles, Resp.: 1 728,00
c) 3 000 nuevos soles, Resp.: 3 333,33
d) 5 080 nuevos soles, Resp.: 5 474,24
e) 6 160 nuevos soles. Resp.: 6 580,80
f) 610 nuevos soles, Resp.: 732,00
g) 1 080 nuevos soles, Resp.: 1 288,00
h) 2 350 nuevos soles, Resp.: 2 661,66 
i) 1 120 nuevos soles, Resp.: 1 332,00
j) 3 850 nuevos soles, Resp.: 4 209,80
z39z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
2) La estructura salarial actual de una empresa y el incremento para los nuevos jornales 
diarios, se dan a continuación:
 Estructura o escala Incremento porcentual
- De 30 hasta 50 nuevos soles 18,0%
- De 50 hasta 70 nuevos soles 14,0%
- De 70 hasta 100 nuevos soles 10,5%
- De 100 hasta 150 nuevos soles 7,0%
- De 150 hasta 300 nuevos soles 3,5%
Hallar los nuevos jornales de los obreros cuyos salarios diarios actuales son: 
a) 38nuevos soles, Resp.: 44,84 
b) 62 nuevos soles, Resp.: 71,48 
c) 95 nuevos soles, Resp.: 105,38 
d) 120 nuevos soles, Resp.: 130,50 
e) 200 nuevos soles, Resp.: 210,50 
f) 56 nuevos soles, Resp.: 65,24 
g) 89 nuevos soles, Resp.: 99,24 
h) 105 nuevos soles, Resp.: 115,50 
i) 42 nuevos soles, Resp.: 49,56 
j) 240 nuevos soles, Resp.: 250,50 
k) 312 nuevos soles, y Resp.: 322,50 
l) 135 nuevos soles. Resp.: 145,50 
 Recuerde que para resolver los ejercicios sobre tasas reductivas, es necesario hacer 
las correcciones de las tasas dadas a partir de la segunda escala, para evitar que el 
sueldo o jornal de una escala superior tenga menor sueldo o jornal que un trabajador 
de una escala inferior. 
1.2.3 Tasas sobre tasas
Son aquellas tasas que se aplican a una misma cifra o cantidad y generalmente son 
utilizadas comercialmente para efectuar descuentos consecutivos a una misma mercan-
cía.
Con este tipo de tasas, al final de la operación se puede determinar:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta y la tasa descontada?
b) ¿Cuál fue el monto descontado y cuál fue el precio de venta?
Ejercicios resueltos:
1) Un artículo electrodoméstico que vale 3 000 nuevos soles fue vendido con el 12%, 
16% y 5% de descuento. Con la información determine:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta y la de descuento?
b) ¿Cuál fue el precio de venta y el monto descontado?
z40z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
Solución:
a) Tasa de venta = (1 – 0,12)(1 – 0,16)(1 – 0,05) = 0,88 (0,84) (0,95) = 0,70224 
 0,70224 (100) = 70,22%.
 Tasa de descuento = 1 – 0,70224 = 0,29776 (100) = 29,78%. 
b) Precio de venta = 3 000 (0,70224) = 2 106,72 nuevos soles
 Monto descontado = 3 000 (0,29776) = 893,28 nuevos soles. 
2) Un artículo electrodoméstico que vale 4 800 nuevos soles fue vendido con el 10%, 
25% y 8% de descuento. Con la información determine:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta y la de descuento?
b) ¿Cuál fue el precio de venta y el monto descontado?
Solución:
a) Tasa de venta = (1 – 0,10)(1 – 0,25)(1 – 0,08) = 0,90 (0,75) (0,92) = 0,621 
 0,621 (100) = 62,10%.
 Tasa de descuento = 1 – 0,621 = 0,379 (100) = 37,90%. 
b) Precio de venta = 4 800 (0,621) = 2 980,80 nuevos soles
 Monto descontado = 4 800 (0,379) = 1 819,20 nuevos soles. 
Resolver los siguientes ejercicios relacionados con tasas sobre tasas:
1) Un artículo electrodoméstico que vale 1 250 nuevos soles fue vendido con el 10%, 
7% y 2% de descuento. Con la información determine:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta? Resp.: 0,82026 
b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? Resp.: 0,17974 
c) ¿Cuál fue el precio de venta? Resp.: 1 025,32
d) ¿Cuánto fue lo descontado? Resp.: 224,68
2) Una canasta familiar de oferta en un supermercado que vale 250 nuevos soles, es 
descontada con el 20% más 20% de descuento. Con la información determine:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta? Resp.: 0,64
b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? Resp.: 0,36
c) ¿Cuál fue el precio de venta? Resp.: 160
d) ¿Cuánto fue lo descontado? Resp.: 90
3) Una lavadora automática que vale 1 050 nuevos soles fue vendida con el 10% más 
15% de descuento. Con la información determine:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta? Resp.: 0,765
b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? Resp.: 0,235
c) ¿Cuál fue el precio de venta? Resp.: 803,25d) ¿Cuánto fue lo descontado? Resp.: 246,75
z41z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
4) Una canasta navideña de oferta en un supermercado que vale 300 nuevos soles, 
es descontada con el 10% más 10% y más 10% de descuento. Con la información 
determine:
a) ¿Cuál fue la tasa de venta? Resp.: 0,729
b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? Resp.: 0,271 
c) ¿Cuál fue el precio de venta? Resp.: 218,70
d) ¿Cuánto fue lo descontado? Resp.: 81,30
z43z
L e c c i ó n 3
1.3 Otros elementos relacionados con las tasas
Las tasas mayormente son aplicadas como ya se ha dicho, tanto en las operaciones 
financieras como en las comerciales a un valor principal; sin embargo, en algunas oca-
siones, es posible que nos falte información y que esté relacionada ésta con alguna que 
ya se conoce, en esos caso un proceso interpolatorio nos puede ayudar.
En otras ocasiones las operaciones se pueden concretar con una determinada tasa en 
una fecha y tener una duración que finaliza en otra fecha, esto nos crea la necesidad de 
buscar un método apropiado para determinar la cantidad de días utilizado en la opera-
ción. En este acápite, el estudiante conocerá los métodos para interpolar y también para 
calcular los días conociendo las fechas.
1.3.1 Interpolación
Son procedimientos matemáticos por el cual dentro de un margen de datos relacio-
nados en parejas, se puede encontrar la pareja de otro dato intermedio. Este procedi-
miento no es nuevo porque se aplica en forma similar a las razones y proporciones ma-
temáticas. En el presente manual, se utilizará la interpolación para estimar tasas, pero 
el proceso de interpolación no es exclusivo de este tipo de datos, puede ser utilizado con 
cualquier otro tipo de datos.
z44z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
 Ejercicios resueltos:
1) En una tabla de factores, al factor 23,5234 le corresponde una tasa del 18% y al factor 
20,1597 le corresponde una tasa del 19%. Determine ¿a qué tasa le corresponde 22 
como factor?
Solución:
 Lo primero que se realiza en todo proceso de interpolación, es ordenar la información 
que se tiene, de la siguiente manera:
Factor Tasa
23,5234 18%
22,0000 X%
20,1597 19%
 Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las 
diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:
23,5234 – 20,1597 = 3,3637 (1) 18% – 19% = –1% (2)
23,5234 – 22,0000 = 1,5234 (3) 18% – X% = X’% (4)
 Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples 
comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera:
Factor Tasa
3,3637 –1%
1,5234 X’%
 De donde: X’% = 1,5234 (–1) / 3,3637 = – 0,4529%
 Reemplazando X’% (– 0,4529) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.
18% – X% = X’% 
18% – X% = – 0,4529% 
X% = 18% + 0,4529% = 18,4529%
2) En una tabla de factores, al factor 5,2034 le corresponde una tasa del 24% y al factor 
6,1976 le corresponde una tasa del 26%. Determine ¿a qué factor le corresponde la 
tasa 25,35%?
Solución:
Lo primero que se realiza en todo proceso de interpolación, es ordenar la información 
que se tiene, de la siguiente manera:
Factor Tasa
5,2034 24,00%
 X 25,35%
6,1976 26,00%
z45z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
 Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las 
diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:
5,2034 – 6,1976 = – 0,9942 (1) 24,00% – 26,00% = –2,00% (2)
5,2034 – X = X’ (3) 24,00% – 25,35% = – 1,35% (4)
 Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples 
comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera:
 Factor Tasa
– 0,9942 – 2,00%
 X’ – 1,35%
 De donde: X’ = – 0,9942 (– 1,35) / – 2,00 = – 0,6711
 Reemplazando X’ (– 0,6711) en la ecuación (3), se determina el factor buscado 
“X”.
5,2034 – X = X’ 
5,2034 – X = – 0,6711 
X = 5,2034 + 0,6711 = 5,8745
Resolver los siguientes ejercicios sobre interpolación:
1) En una tabla de factores, al factor 13,2534 le corresponde una tasa del 8% y al 
factor 10,1975 le corresponde una tasa del 9%. ¿A qué tasa le corresponde 12 2042 
como factor? 
 Resp.: 8,34%
2) En una tabla de factores, al factor 1,2308 le corresponde una tasa del 35% y al factor 
1,9375 le corresponde una tasa del 40%. Determine ¿a qué factor le corresponde la 
tasa 38%?
 Resp.: 1,6548 
3) En una tabla de factores, al factor 5,2752 le corresponde una tasa del 24% y al 
factor 6,1112 le corresponde una tasa del 20%. ¿A qué tasa le corresponde 5 1246 
como factor? 
 Resp.: 23,28%
4) En una tabla de factores, al factor 21,2708 le corresponde una tasa del 22% y 
al factor 20,5371 le corresponde una tasa del 21%. Determine ¿a qué factor le 
corresponde la tasa 21,75%?
 Resp.: 21,0874 
5) En una tabla de factores, al factor 3,7592 le corresponde una tasa del 12% y al 
factor 4,0012 le corresponde una tasa del 14%. ¿A qué tasa le corresponde 3 9246 
como factor? 
 Resp.: 13,37%
z46z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
6) En una tabla de factores, al factor 1,7708 le corresponde una tasa del 5% y al factor 
2,6375 le corresponde una tasa del 6%. Determine ¿a qué factor le corresponde la 
tasa 5,58%?
 Resp.: 2,2735 
7) En una tabla de factores, al factor 3,5234 le corresponde una tasa del 10% y al factor 
3,1926 le corresponde una tasa del 12%. ¿A qué tasa le corresponde 3 2746 como 
factor?
 Resp.: 11,50%
8) En una tabla de factores, al factor 2,5618 le corresponde una tasa del 16% y al factor 
2,0531 le corresponde una tasa del 18%. Determine ¿a qué factor le corresponde la 
tasa 17,5%?
 Resp.: 2,1803 
1.3.2 Fechas
Para calcular las fechas, es preciso utilizar la Tabla 1 (Número de Días) que se da en 
anexos. El procedimiento para utilizar los datos de la tabla es sencillo, sin embargo es 
necesario precisar las siguientes situaciones:
a) Cuando dos fechas están dentro del mismo año:
 Días = el número de días de la fecha mayor – el número de días de la fecha menor
b) Cuando dos fechas están entre dos años consecutivos:
 Días = 365 – el número de la fecha Inicial + el número de la fecha final
c) Cuando dos fechas están entre dos años que no son consecutivos:
 Días = núm. de años por (365) – el núm. de la fecha Inicial + el núm. de la fecha 
final
Nota importante: En los casos de operaciones de descuentos, fecha inicial es la 
fecha de negociación del documento y la fecha final es la fecha de vencimiento del do-
cumento a negociar.
Ejercicios resueltos:
1) Hallar el número de días que hay entre el 25 de mayo y el 14 de septiembre del 
mismo año.
Solución:
 Se busca primero en la tabla los días transcurridos en las fechas dadas y como el 
ejemplo se refiere al caso a), luego se utiliza la fórmula para dicho caso:
 14 de septiembre = 257 días; 25 de mayo = 145 días
 Días = 257 – 145 = 112 días.
z47z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
2) Hallar el número de días que hay entre el 25 de mayo y el 14 de septiembre del año 
siguiente.
Solución:
Como las fechas son las mismas que el caso anterior, ya no es necesario recurrir a la 
tabla, pero el ejemplo esta vez se refiere al caso b), por ello se utilizará la fórmula 
para dicho caso tomando el número de días del 25 de mayo como fecha inicial y el 
14 de septiembre como fecha final:
Días = 365 – 145 + 257 = 477 días.
3) Hallar el número de días que hay entre el 14 de septiembre y el 25 de mayo del año 
siguiente.
Solución:
Como las fechas siguen siendolas mismas que el caso anterior, no se utilizará la 
tabla, pero al estar las fechas invertidas, se usará la misma fórmula considerando al 
14 de septiembre como fecha inicial y al 25 de mayo como fecha final:
Días = 365 – 257 + 145 = 253 días.
4) Hallar el número de días que hay entre el 21 de agosto y el 9 de marzo del tercer 
año siguiente.
Solución:
 Se busca primero en la tabla los días transcurridos en las fechas dadas y como el 
ejemplo se refiere al caso c), luego se utiliza la fórmula para dicho caso:
21 de agosto = 233 días; 9 de marzo = 68 días
Días = 3 (365) – 233 + 68 = 930 días.
 Recuerde usted que cuando se afirma que en una operación financiera han pasado el 
tercer año, se asume que al año de la fecha inicial le debe sumar 3 anos. Por ejemplo 
si la operación se inició en el 2010, la operación tiene que terminar en el 2013; no 
sume 3 años a la fecha inicial, por que entonces la fecha final sería otra.
Resolver los siguientes ejercicios sobre fechas:
1) Hallar el número de días que hay entre el 17 de marzo y el 24 de agosto del mismo 
año.
 Resp.: 160 días.
2) Hallar el número de días que hay entre el 13 de junio y el 18 de julio al segundo año 
siguiente del año inicial.
 Resp.: 765 días.
z48z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
3) Hallar el número de días que hay entre el 2 de noviembre y el 29 de abril al tercer 
año siguiente del año inicial.
 Resp.: 908 días. 
4) 633 días a partir del 22 de enero corresponde al ……………….. del año siguiente. 
 Resp.: 17 de octubre.
 
z49z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
AUTOEVALUACIÓN Nº 1
1) ¿Cuál será la utilidad que obtendría un inversionista, si le ofrecen el 7,35% por 
invertir 32 000 nuevos soles? 
A) 2 532
B) 2 352
C) 2 053
D) 2 235
E) 2 325
2) ¿Cuál será la pérdida que obtendría un comerciante, si vende su mercancía que 
le costó 8 530 nuevos soles, rebajada en 4,25%? 
A) 326,35
B) 235,63
C) 253,62
D) 362,53
E) 332,56.
 
3) ¿A cuánto ascenderá el arrendamiento de un inmueble por el que se pagaba 3 
400 nuevos soles, si este se ha incrementado en 10,4%? 
A) 3 235,20
B) 2 953,60
C) 3 253,20
D) 3 753,60
E) 3 392,60
 
4) ¿Cuánto se pagará por una oferta comercial que rebaja el 4,2% del precio de 
860 nuevos soles? 
A) 823,88
B) 761,60
C) 854,25
D) 329,50
E) 882,58
5) El costo por consumo de gas es de 1,64 nuevos soles por litro, a este costo uni-
tario será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala. 
¿Cuál es el costo por 350 lt de gas? 
z50z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
 Estructura o escala Incremento porcentual
- De 0 lt. hasta 100 lt. 0%
- De 101 lt. hasta 200 lt. 8%
- De 201 lt. hasta 400 lt. 15%
- más de 400 lt. 30%
 
A) 605,05
B) 635,03
C) 660,10
D) 652,30
E) 624,02
6) ¿Cuál es el costo por 135 lt. de gas, considerando los datos del ejercicio 5? 
A) 225,99
B) 135,64
C) 260,33
D) 239,11
E) 214,56
7) La estructura salarial actual de una empresa y el incremento para los nuevos 
jornales diarios, se dan a continuación. ¿Cuál será el nuevo jornal de un obrero 
que ganaba 83 nuevos soles? 
 Estructura o escala Incremento porcentual
- De 30 hasta 50 nuevos soles 18,0%
- De 50 hasta 70 nuevos soles 14,0%
- De 70 hasta 100 nuevos soles 10,5%
- De 100 hasta 150 nuevos soles 7,0%
A) 91,71
B) 93,10
C) 96,10
D) 92,33
E) 90,15
8) ¿Cuál será el nuevo jornal de un obrero que ganaba 128 nuevos soles, 
considerando los datos del ejercicio 7? 
A) 129,15
B) 135,40
C) 138,50
D) 113,10
E) 114,50
z51z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
9) Un horno microondas que vale 340 nuevos soles fue vendido con el 10% más 
5% de descuento. ¿Por cuánto se vendió?
A) 300,90
B) 235,60
C) 289,00
D) 299,10
E) 290,70
10) Un artículo que vale 810 nuevos soles fue vendido con el 8% más 9% más 2% 
de descuento. ¿Cuál fue el monto descontado?
A) 163,14
B) 145,43
C) 133,33
D) 153,90
E) 128,70
11) ¿Cuál fue la tasa de descuento de un artículo par el hogar descontado en 15% 
más 18% de descuento? 
A) 33,00%
B) 32,60%
C) 30,30%
D) 29,91%
E) 31,73%
12) En una tabla de factores, al factor 1,8257 le corresponde una tasa del 5% y 
al factor 1,9775 le corresponde una tasa del 6%. Determine ¿a qué factor le 
corresponde la tasa 5,45%?
A) 1,8940
B) 1,9014
C) 1,8888
D) 1,8549
E) 1,9084
13) En una tabla de factores, al factor 0,7582 le corresponde una tasa del 9% y al 
factor 0,6112 le corresponde una tasa del 10%. ¿A qué tasa le corresponde 
0,7012 como factor? 
A) 9,28%
B) 9,65%
C) 9,39%
D) 9,91%
E) 9,73%
z52z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
14) Hallar el número de días que hay entre el 23 de julio y el 4 de agosto del año 
siguiente.
A) 358
B) 377
C) 385
D) 391
E) 373
15) Una operación financiera comienza el 13 de septiembre y concluye después de 
389 días. Hallar la fecha en que termina la operación habiendo pasado al año 
siguiente.
A) 30 de septiembre
B) 26 de octubre
C) 13 de octubre
D) 25 de septiembre
E) 7 de octubre
R e s p u e s t a s d e c o n t r o l
1. B, 2. D, 3. D, 4. A, 5. E, 6. A 7. B, 8. C, 9. E, 10. B, 11. C, 12. A, 13. C, 14. B, 15. E
z53z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
EXPLORACIÓN ON LINE
http://www.monografias.com/trabajos29/matematicas-financieras-intro/matematicas-financieras-intro.shtml
http://www.matematicasfinancierascag.com/
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
De La Fuente Sánchez, Damián y otros (2006) Valoración de operaciones financieras. Madrid, Cera.
Martínez, José Luis (2004) Matemáticas financieras. México D. F., SUAFE-UNAM.
Motoyuki Yasakawa, Alberto (2000) Matemáticas financieras, Córdova, Editora Despeignes. 
Ayres, Frank (1997) Matemáticas financieras. Bogotá, Serie Schaun, Mc Graw Hill.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
Achong, E. (1985) Matemáticas financieras. Bogotá, Consejo de Publicaciones. Universi-
dad de Los Andes, Mérida.
Álvarez, A. (1995) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.
De la Cueva, B. (1999) Matemáticas financieras. Bogotá, Porrúa S. A.
Díaz Mata, A. (1998) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.
s e g u n d a
UNIDAD
Operaciones financieras de tipo simple
Sumario
Operaciones de tipo simple: definición del interés simple y del descuento simple.
Fórmulas para el interés simple: cálculo del interés simple comercial, del interés simple exacto, cálculo de otras variables del 
interés simple.
Fórmulas para el descuento simple: cálculo del descuento simple comercial, del descuento simple racional, cálculo de otras 
variables del descuento simple.
Pagos parciales con interés simple: regla de saldos insolutos o de EE.UU., regla comercial o de la ecuación, consolidación de 
deudas.
Ahorros con interés simple
z56z
OBJETIVO(S)
GENERAL: 
•	 Al término de esta unidad, el alumno ya puede utilizar las fórmulas 
para realizar operaciones de tipo simple, tanto de interés como 
de descuentos y además puede realizar operaciones combinadas 
para pagos parciales, así como para consolidar varias deudas en 
una sola. También está en condiciones de realizar las operaciones 
de ahorros de tipo simple.
ESPECÍFICOS: 
•	 Conocer qué es una operación de tipo simple y cómo funciona, 
tanto para lograr un interés o para realizar un descuento.
•	 Saber cómo se efectúan los cálculos correspondientes de interés 
simple, incluyendo todas sus variables además de los tipos de 
interés simple en el ambiente comercial y en el exacto.
•	 Conocer cómo se efectúan los cálculos correspondientes de 
descuento simple, incluyendo todassus variables además de 
los tipos de descuentos simples en el ambiente comercial y el 
matemático.
•	 Saber utilizar distintos métodos de cálculo para determinar 
los saldos deudores, cuando se realizan pagos parciales y así 
determinar cuál es el más conveniente según los casos.
•	 Saber el manejo de ahorros a interés simple y cómo es su 
procesamiento.
z57z
L e c c i ó n 1
2.1 Operación de tipo simple
Cuando una cantidad de dinero ganado o deducido en un periodo determinado, no 
forma parte del capital o principal para el siguiente periodo, se está haciendo referencia 
al Interés y al Descuento de tipo simple.
Por esta razón la característica principal de este tipo de operación financiera, es que 
la tasa utilizada en cada uno de los periodos de tiempo en que dura la operación, genera 
siempre el mismo interés o el mismo descuento; esto significa que la tasa efectiva o 
tasa resultante única para toda la operación, es igual a la tasa nominal o tasa inicial 
multiplicada por todos los periodos de tiempo en años que dura la operación.
2.1.1 Definición del interés simple
Se llama así, cuando financieramente es invertida una cantidad de dinero o capital 
durante un periodo determinado, con una tasa definida antes del inicio de la operación 
para generar más dinero. El interés simple se caracteriza por que el dinero ganado, no 
forma parte del capital o principal para el siguiente periodo, por lo que el interés será 
siempre el mismo en cada uno los periodos que dure la operación. 
z58z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
Ejercicio resuelto:
1) Hallar el interés y el monto de un capital de 1 000 nuevos soles sujeto a Interés 
Simple al 10% durante 5 años.
Solución:
Para que el estudiante observe como se desarrolla el interés simple, se trabajará 
periodo tras periodo (año por año) previa conversión de la tasa en tanto por uno:
Años Capital Interés Monto
1 1 000 100 1 100
2 1 000 100 1 200
3 1 000 100 1 300
4 1 000 100 1 400
5 1 000 100 1 500
 
Interés total 500
Respuestas: Interés = 500 y Monto = 1 500.
Como el estudiante habrá observado, en todos los periodos de tiempo el capital es el 
mismo y el interés ganado es el mismo; por consiguiente si la tasa nominal del 10%, se 
multiplica por los 5 años que dura la operación, la tasa efectiva o resultante para toda la 
operación es 50% (10 x 5 = 50).
Ahora bien al multiplicar el capital (1 000) por la tasa efectiva del 50% en tanto por 
uno, se obtiene el interés total de la operación:
1 000 x 0,5 = 500.
Finalmente si se incrementa en uno a la tasa efectiva y se multiplica por el capital, se 
obtiene el monto; es decir, el capital más el interés: 
1 000 x 1,5 = 1 500
Para facilitar el cálculo del interés simple, se identifican cada una de las variables que 
intervienen en este tipo de operación financiera de la siguiente manera:
C = Capital I = Interés S = Monto i = Tasa de interés t = Tiempo
En líneas arriba se dijo que al multiplicar la tasa por el tiempo se obtenía la tasa efec-
tiva y ésta al multiplicarla por el capital se obtenía el interés; entonces:
I = C t i
z59z
W A L T E R C É S P E D E S R A M Í R E Z
Si a la tasa efectiva se le suma 1, para luego multiplicarlo por el capital, se obtenía el 
monto; por consiguiente S = (t i + 1) C; o también: 
S = C (1 + t i)
También se dijo que el monto era igual al interés más el capital, o también que el 
interés es igual al monto menos el capital:
I = S – C 
2.1.2 Definición del descuento simple
Se denomina así, cuando financieramente se descuenta una cantidad de dinero de 
un principal o valor nominal de algún documento negociable durante un periodo deter-
minado, con una tasa definida antes del inicio de la operación. El descuento simple se 
caracteriza por que el dinero descontado, no forma parte del principal o valor nominal 
para el siguiente periodo, es decir que siempre se descontará la misma cantidad. 
Ejercicio resuelto:
1) Hallar el descuento y lo pagado o efectivo recibido por una letra de 3 000 nuevos 
soles sujeta a Descuento Simple al 10% durante 5 años.
Solución:
 Para que el estudiante observe como se desarrolla el descuento simple, se trabajará 
periodo tras periodo (año por año) previa conversión de la tasa en tanto por uno, de 
la siguiente manera: 
 Años Valor Nominal Descuento Saldo o Efectivo
1 3 000 300 2 700
2 3 000 300 2 400
3 3 000 300 2 100
4 3 000 300 1 800
5 3 000 300 1 500
 
Descuento total
 
1 500
 Respuestas: Descuento = 1 500 y Efectivo pagado = 1 500.
 Como el estudiante habrá observado, en todos los periodos de tiempo el valor 
nominal de la letra es el mismo y el descuento es el mismo; por consiguiente si la 
tasa nominal del 10%, se multiplica por los 5 años que dura la operación, la tasa 
efectiva o resultante para toda la operación de descuento es 50% (10 x 5 = 50).
z60z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
 Ahora bien al multiplicar el valor nominal (3 000) por la tasa efectiva del 50% en 
tanto por uno, se obtiene el descuento total de la operación: 
3 000 x 0,5 = 1 500.
 Finalmente si de uno se resta la tasa efectiva y se multiplica por el valor nominal, se 
obtiene el efectivo; es decir, el valor nominal menos el descuento: 
3 000 x (1 – 0,5) = 1 500
 Para facilitar el cálculo del descuento simple, se identifican cada una de las variables 
que intervienen en este tipo de operación financiera de la siguiente manera:
 S = Valor Nominal D = Descuento C = Valor Actual d = Tasa t = 
Tiempo.
 En líneas arriba se dijo que al multiplicar la tasa por el tiempo se obtenía la tasa 
efectiva y ésta al multiplicarla por el valor nominal se obtenía el descuento; 
entonces:
D = S t d
 Si a la tasa efectiva se resta de 1, para luego multiplicarlo por el valor nominal, se 
obtenía el efectivo o valor actual; por consiguiente: 
C = S (1 – d t)
 También se dijo que el valor actual era igual al valor nominal menos el descuento, por 
lo que se puede concluir que el descuento es el valor nominal menos el efectivo:
 
D = S – C.
z61z
L e c c i ó n 2
 
2.2 Fórmulas para el interés simple
Las fórmulas para el cálculo del interés simple, se definieron anteriormente como:
I = C t i (1)
S = C (1 + t i) (2)
I = S – C (3)
Donde:
C = Capital I = Interés S = Monto i = Tasa de interés t = Tiempo
Con estas fórmulas se puede calcular cualquier variable que interviene en el interés 
simple, con la única obligación es que la tasa (i) y cada periodo que genera interés (t), 
estén en la misma unidad de tiempo; es decir, que si la operación a interés se realiza 
cada mes, el tiempo y la tasa deben ser mensuales; si la operación a interés se realiza 
cada año, el tiempo y la tasa deben ser anuales, y así sucesivamente.
Si usted trabajara cualquier fórmula de interés simple en años, meses o en días, el 
resultado siempre será el mismo; por lo tanto en adelante, la operación de cálculo se 
realizará únicamente en años. 
z62z
M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L
2.2.1 Cálculo del interés simple comercial u ordinario 
Es aquel interés simple por el cual al convertir en años el tiempo que está en días, lo 
divide entre 360 días. 
Ejercicios resueltos:
1) Hallar el interés simple de un capital de 7 600 nuevos soles al 14% durante 225 
días.
Solución:
 Fórmula a utilizar: I = C t i 
 I = ? C = 7 600 i = 0,14 anual t = 225 días 
 I = 7 600 (225 / 360) 0,14 = 665 nuevos soles
 Obsérvese que no se ha especificado ni el tipo de interés simple ni el tiempo de la 
tasa; en estos casos, siempre se asume que el interés es comercial u ordinario y la 
tasa es anual.
2) Hallar el interés simple de un capital de 4 200 nuevos soles al 8% del 27 de febrero 
al 22 de octubre del año siguiente.
Solución:
 Fórmula a utilizar: