Tema13

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TEMA 13. PRINCIPIOS DE LA MECANICA CUANTICA 
 
 
13.1.- INTRODUCCIÓN A LA MECANICA CUANTICA. POSTULADO DE 
PLANK. 
 
 En la última década del siglo XIX se pensaba que estaban resueltos la mayoría de 
los problemas físicos. Los datos astronómicos sobre el movimiento de los planetas, así 
como el comportamiento de los sistemas mecánicos ordinarios, podían explicarse usando 
las leyes del movimiento de Newton. Las leyes empíricas concernientes a los campos 
eléctrico y magnético habían sido fusionadas por Maxwell y su predicción de la existencia 
de las ondas electromagnéticas había sido experimentalmente verificada por Hertz. La 
naturaleza de la luz ya no era un misterio y las mismas leyes usadas para explicar el 
comportamiento de sistemas macroscópicos también podían explicar el comportamiento de 
los átomos y moléculas. 
 
 Existían dos problemas, uno era que el principio de relatividad, o sea, las leyes 
físicas son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales, que no se cumplía con las 
leyes de la electricidad y el magnetismo. Lo que llevo a Einstein a desarrollar la Teoría de 
la Relatividad Especial. 
 
 Y el otro problema era la naturaleza del espectro emitido por una clase de objetos 
llamados cuerpos negros. Se conoce que todo cuerpo emite radiación (ondas 
electromagnéticas) hacia su entorno y a su vez la absorbe de él, encontrándose en 
equilibrio térmico cuando la radiación emitida es igual a la absorbida. 
 
A finales del siglo XIX se realizaron una gran cantidad de experimentos 
conducentes al estudio de la radiación característica emitida por los átomos. Al observar 
los espectros la radiación aparece como una serie discreta de rayas, cada una de ellas con 
una longitud de onda particular, siendo las posiciones e intensidades de las rayas 
características del elemento a estudio. El espectro de radiación emitido resulta 
característico para cada cuerpo. Pero si cuerpos de distintos materiales se cubren de una 
capa mate de carbón negro, se observa que los espectros emitidos son similares. Este hecho 
indica que hay cuerpos que absorben toda la radiación incidente, son los cuerpos negros. 
 
 En 1899, Lummer y Pringsheim llegaron a representar la radiación espectral en 
función de la frecuencia emitida para distintas temperaturas, obteniendo unas curvas que 
no se podían explicar mediante los principios de la Física clásica. 
 
Como no se podían explicar los resultados obtenidos experimentalmente de la 
radiación de los cuerpos negros mediante los principios de la Física clásica, Max Planck 
(1858-1947) formulo una nueva teoría a la que denomino Teoría de los Cuantos que 
explicaba las discrepancias entre la teoría clásica y la experimentación con los cuerpos 
negros. Planck postulo la discontinuidad en la energía intercambiada entre el cuerpo y la 
onda electromagnética, enunciando el siguiente principio: 
 
 La radiación intercambiada entre la superficie caliente y su entorno es tal que su 
energía asociada es un múltiplo entero de la frecuencia de la radiación multiplicada 
por una constante 
 
1,2,...n nhfE == 
 
 A la cantidad de energía elemental hf se la denomina cuanto de energía y h es la 
constante de Planck sJ 10 63.6h -34 ⋅= . 
 
 El planteamiento de Planck puede resultar chocante con la teoría clásica, ya que se 
ha expresado que la energía toma valores continuos, por ejemplo, un péndulo que se 
abandona con cierta amplitud, su disipación de energía por el rozamiento con el aire se 
dice que es continua. En realidad lo que ocurre es que en aquellos fenómenos, como el 
citado, en que el cuanto de energía es muy pequeño del orden de 3410− J en comparación 
con la energía del péndulo 410mgh −= J no se puede saber si cumple o no el postulado de 
Planck. Por ello en todo sistema mecánico habitual se puede considerar h nula y la emisión 
de energía continua. 
 
 
13.2.- EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Y LA TEORÍA DE LOS FOTONES. 
 
 Se denomina efecto fotoeléctrico a la emisión de electrones (fotoelectrones) de la 
superficie de un metal sometido a radiaciones de longitud de onda corta. Un dispositivo 
experimental utilizado para estudiar el efecto fotoeléctrico se esquematiza en la figura. 
 
 Cuando la onda incide sobre una superficie metálica limpia A, se liberan electrones. 
Estos electrones son atraídos hacia la superficie 
metálica B por la diferencia de potencial aplicada 
y al chocar con esta se detecta una corriente 
eléctrica en el circuito externo por el amperímetro 
G. 
 
 A medida que aumenta V también lo hace 
la corriente, hasta que esta alcanza un valor limite 
(intensidad de saturación), en el que la intensidad 
de corriente eléctrica se hace independiente de la 
tensión. 
 
 Este valor límite refleja la situación de que 
todos los fotoelectrones emitidos por A llegan a 
B. Pero si disminuye el valor de la tensión hasta 
cero, se observa que la intensidad, aunque 
desciende, no es nula, de modo que para anularla 
se debe invertir el sentido de la tensión y llevarlo a un valor 
o
V denominado potencial de 
frenado. 
 
 Este hecho pone de manifiesto que los electrones liberados de A poseen una energía 
cinética que hace que algunos alcancen B. Sometiendo dichos electrones al potencial de 
frenado, ninguno de ellos alcanzaran a B. Por tanto 
 
omaxc
eVE = 
 
será la mayor energía cinética de los electrones emitidos. 
 
 Además experimentalmente se comprueba que la energía cinética máxima es 
independiente de la intensidad de la onda incidente y que por debajo de un valor de la 
frecuencia de la onda incidente, denominada frecuencia de corte, no se produce el efecto 
fotoeléctrico. 
 
 
Según la teoría clásica de las ondas, la energía cinética debería aumentar con el 
incremento de la intensidad de la onda y no debería existir una frecuencia de corte. Para 
explicar estos hechos Einstein, apoyándose en la teoría de Planck, propuso que la energía 
que transporta la onda estaba cuantizada en paquetes concentrados a los que llamo fotones. 
La energía de cada fotón esta relacionada con la frecuencia de la onda mediante 
 
hfE = 
 
 En el efecto fotoeléctrico, los electrones libres del cátodo absorben un fotón, 
adquiriendo toda su energía, de modo que la energía cinética de los electrones emitidos es 
 
φ−= hfEC 
 
donde φ es el trabajo necesario para extraer al electrón del metal, venciendo las fuerzas 
atractivas a las que está sometido el electrón. Evidentemente existirán electrones que están 
más ligados al metal que otros; en el caso en que el enlace con el metal sea el más débil, el 
fotoelectrón será emitido con la energía cinética máxima 
 
0C hfE max φ−= 
 
donde 
o
φ representa la energía mínima necesaria para arrancar al electrón. 
 
 Esta teoría explica satisfactoriamente los hechos observados en el efecto 
fotoeléctrico. En cuanto a la falta de dependencia de la energía cinética máxima con la 
intensidad de la onda, resulta explicada por la ecuación anterior, ya que al aumentar la 
intensidad de la onda crece el número de fotones, pero no su energía, que sólo depende de 
la fercuencia. 
 
 Por otra parte, es lógica la existencia de una frecuencia de corte, correspondiente a 
la frecuencia de los fotones con la mínima energía suficiente para arrancar un electrón. 
Haciendo 0E
maxC
= 
 
h
f 00
φ
= 
 
 Si 
o
ff < los fotones no podrán comunicar a los electrones la suficiente energía 
para abandonar el metal, independientemente de la intensidad de la onda. 
 
 Una unidad de uso corriente para expresar las energías de los electrones es el eV, 
siendo este 
J 10 6.1eV 1 -19= 
 
 
13.3.- EL MODELO ATOMICO DE BOHR. 
 
 Teniendo en cuenta los espectros de los átomos y considerando que se conocía que 
un átomo tenia un diámetro aproximado de 
o
1010 m 1A− = , contenía electrones y era 
eléctricamente neutro se diseñaron muchos modelos de los átomos, hasta que se llego al 
propuesto porNiels Bohr. 
 
 Este aplico la teoría de los cuantos de Plank en el mundo microscópico de los 
átomos, así como se baso en los trabajos de Einstein y Rutherford para suponer que el 
electrón del átomo de hidrogeno se movía bajo la influencia coulombiana del núcleo 
positivo de acuerdo con la mecánica clásica que predice órbitas circulares o elípticas, pero 
postulando: 
 
1) El electrón puede moverse sólo en ciertas órbitas sin emitir radiación 
electromagnética y sin perder energía. A estas órbitas estables las denomino 
estados estacionarios. 
2) La transición de un estado estacionario, caracterizado por un nivel de energía 
Ei, a otro estado estacionario, de energía Ef esta acompañado por emisión o 
absorción de energía en forma de radiación electromagnética, en que la 
frecuencia no es la del movimiento en una de las órbitas sino que está 
relacionada por 
fi
EEhf −= 
3) Como la fuerza electrostática que mantiene ligado el electrón al núcleo es 
central, el momento cinético del electrón será constante en cada estado 
estacionario, por lo que el momento cinético no podrá tomar cualquier valor, 
sino determinados valores discretos, por lo que, los estados estacionarios 
corresponden a órbitas para las cuales el momento cinético del electrón es un 
múltiplo entero de h/2π, es decir, 
e
nh
m vr n
2π
= = h 
donde n es el número cuántico principal. 
 
 Y hace una última correspondencia expresando que para n grandes los cálculos 
cuánticos y clásicos conducirían al mismo resultado. 
 
 Como el electrón esta sometido a la fuerza de atracción del núcleo y describe un 
movimiento circular uniforme con aceleración centrípeta, aplicando la segunda ley de 
Newton 
2 2
e2
e v
KZ m
r r
= 
 
se obtiene que el radio de los estados estacionarios viene dado por 
2 2
2
e
n
r
m KZe
=
h
 
 
por ejemplo para el hidrogeno Z = 1 el radio de la órbita más estable n = 1 vale 
 
( )
2
-34
2
o
-11
2
-31 9 -19
6.63 10
1
2π
r 5.29 10 m 0.529 A
9.1 10 9 10 1 1.602 10
 
 
 = = = 
 
 Igualmente se pueden calcular las energías asociadas a cada uno de los estados 
estacionarios, sin más que considerar que para un estado cualquiera su energía potencial 
vale 
 
2
P
Z e
E K
r
= − 
 
y la energía cinética 
 
2
2
C e
1 KZe
E m v
2 2r
= = 
 
 
por tanto, la energía total del electrón es 
2KZe
E
2r
= − 
 
 Introduciendo en esta expresión el valor del radio, tenemos 
 
22
4
e
22
n
n 2
emZK
E
h
−= 
 
y sustituyendo el valor de las constantes 
 
2 2
19
n 2 2
Z Z
E 21.76 10 J 13.6 eV
n n
−= − ⋅ = − 
 
y así se pueden obtener los distintos niveles energéticos de los electrones en los átomos 
(E1, E2, E3,......). A nE se la denomina energía de ionización o de enlace, y es la energía 
necesaria para arrancar un electrón del estado estacionario en que se encuentre. Al estado 
estacionario para el que se obtiene la mayor energía de ionización 1E , o sea, n = 1 se le 
denomina estado fundamental. 
 
 La absorción de radiación electromagnética, o de cualquier otra energía, da lugar a 
una transición de un electrón de un estado estacionario a otro de mayor energía; la emisión 
de radiación electromagnética da lugar al proceso inverso. 
 
 Cuando un átomo a absorbido energía, se dice que esta excitado (no confundir con 
ionizado, que es perdida de electrones) y 
resulta muy inestable, por lo que, después 
suele emitir un fotón y estabilizarse. La 
frecuencia de emisión de la radiación 
viene expresada por el segundo postulado, 
o también 
 
Hz 
n
1
n
1
 Z10 29.3
h
EE
f
2
i
2
f
215fi






−=
−
= 
 El experimento realizado por 
Franck-Hertz permitio comprobar 
directamente la existencia de niveles de 
energía discretos en los átomos. 
 
 
 
13.4.- HIPOTESIS DE DE BROGLIE. 
 
 La teoría de Bohr había proporcionado resultados aceptables pero tenia fallos, como 
la mecánica cuántica primitiva, que eran principalmente de omisión. Ya que al aplicar la 
teoría a los espectros de átomos más complejos el éxito era escaso. Existía otro problema y 
era la carencia de fundamentos de sus hipótesis. No había ninguna razón a priori para 
esperar que la ley de Coulomb siguiese sirviendo pero no sirviesen las leyes de la 
radiación, o para que pudiesen utilizarse las leyes de Newton aunque sólo estuviesen 
permitidos ciertos valores del momento cinético. 
 
 En 1924, Luis De Broglie sugirió que puesto que la luz tenía propiedades, tanto de 
onda como de partícula, quizás la materia y en particular los electrones pudiesen también 
tener características de onda y de partícula. Igual que hizo Einstein con la frecuencia y 
longitud de onda de los fotones, De Broglie tomo como frecuencia y longitud de onda de 
las ondas de electrones 
p
h
 
h
E
f =λ= 
 
donde E y p son respectivamente la energía y cantidad de movimiento de los electrones. 
 
 El principio de dualidad onda-partícula, aplicado al electrón, permite justificar de 
una forma lógica el postulado de Bohr relativo a la cuantización del momento cinético del 
electrón. 
 
 En efecto, si se supone que las orbitas estables son aquellas para las cuales la onda 
asociada es estacionaria, esto es, si la longitud de la órbita es múltiplo entero de la longitud 
de onda se obtiene 
vm
nh
nr2
e
=λ=π 
 
o también 
π
=
2
nh
vrm
e
 
 
ecuación idéntica a la de la relación de Bohr. 
 
 En la figura se ven las ondas 
estacionarias asociadas a las órbitas de Bohr. 
 
 La confirmación experimental de las 
hipótesis de De Broglie, las proporcionaron 
por un lado Davisson y Germer, que hicieron 
incidir, sobre una muestra de níquel, electrones acelerados, y de otro lado G. P. Thomson 
que demostró la difracción de electrones utilizando una lámina delgada policristalina. 
 
Pero la hipótesis ondulatoria encontraría una limitación de la precisión con que se 
puede conocer la posición y velocidad del electrón. Porque, una onda como la de la figura 
(a), que se repite de forma periódica en el espacio, no ofrece ninguna información acerca 
de la posición de la partícula a la que representa. Más razonable parece la representación 
mediante un tren de ondas, como en la figura (b), localizado en una pequeña región del 
espacio, que se desplaza con una velocidad de grupo igual a la de la partícula. Pero un 
paquete de ondas se obtiene a partir de la superposición de infinitas ondas sinusoidales con 
frecuencias próximas a una frecuencia fundamental fo. Por ello no se puede definir de una 
forma exacta la longitud de onda del paquete y por 
h
p
λ = tampoco la de su cantidad de 
movimiento. 
 
 En definitiva, la hipótesis ondulatoria implica que no se puede conocer, de forma 
simultanea, la posición y la cantidad de movimiento de la partícula. Esta limitación queda 
cuantificada por la relación de incertidumbre de Heisenberg 
 
x
h
x v
2 m
∆ ∆ ≥
π
 
 
donde xx y v∆ ∆ representan los errores cuadráticos medios de la posición y la velocidad 
respectivamente. 
 
 En la Mecánica Cuántica se debe abandonar la idea de las partículas materiales 
como puntos geométricos que describen trayectorias perfectamente determinadas. En su 
lugar es preciso introducir una noción estadística que representa la probabilidad de hallar a 
la partícula en cada punto del espacio. 
 
Con estas hipótesis y la teoría de Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Pauli, Dirac y 
otros formularon una teoría sistemática, que como se ha expresado anteriormente se 
denomina Mecánica Cuántica, en donde se tiene en cuenta el principio de 
complementariedad de Bohr que dice: “Los aspectos de partícula y onda se complementan 
entre sí, se necesitan ambos pero no pueden observarse los dos al mismo tiempo”. El que 
se observe el aspecto ondulatorio o corpuscular depende del dispositivo experimental. 
 
 
13.5.- LA ECUACION DE SCHRÖDINGER.Hacia 1925 Erwin Schrödinger publico la ecuación de ondas que gobierna las ondas 
de electrones. La ecuación de una onda que describe un movimiento unidimensional 
independiente del tiempo viene dada por 
 
0k
dx
d 2
2
2
=ψ+
ψ
 
 
en donde 
λ
π
=
2
k y por la hipótesis de De Broglie 
p
h
=λ , luego 
 
2 2 p p
k
h
π π
= = =
λ h
 
 
 Como por otro lado 
 
p
2
pc
E
m2
p
EEE +=+= 
con lo cual 
 
( )
p
2 EEm2p −= 
sustituyendo en la ecuación de onda 
 
( )
0
EEm2
dx
d
2
p
2
2
=ψ
−
+
ψ
h
 
o bien 
ψ=ψ+
ψ
− EE
dx
d
m2
p2
22
h
 
 
que es la ecuación de Schrödinger para este caso particular. Si se generaliza para todo el 
espacio ( )z,y,xψ 
 
( ) ψ=ψ+





∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
− Ez,y,xE
zyxm2
p2
2
2
2
2
22
h
 
 
que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en donde se usan derivadas 
parciales debido a que x, y, z son variables independientes. 
 
 Una vez que se conoce la expresión de la energía potencial se puede resolver la 
ecuación y obtener ψ tras aplicar las condiciones de contorno adecuadas. Cada solución 
ψ de la ecuación de Schrödinger es un estado estacionario (con energía constante) de la 
partícula, ya que la función de onda determina todo lo que en mecánica cuántica podemos 
saber sobre su movimiento en ese estado. 
 
 El cuadrado absoluto de la función de onda 
2
ψ es la densidad de probabilidad, 
esto es, la probabilidad por unidad de volumen de que la partícula se encuentre en el punto 
(x, y, z). 
 
 
13.6 .- POZO INFINITO DE POTENCIAL. 
 
 Vamos a resolver uno de los problemas más sencillos utilizando la ecuación de 
Schrödinger independiente del tiempo y es el de una partícula (como un electrón) 
moviendose a lo largo del eje OX en la región comprendida entre x = 0 y x = a; es el 
denominado problema de la partícula en un pozo o caja, y comprobaremos como aparecen 
los niveles de energía discretos. 
 
 Un problema de este tipo puede representarse físicamente mediante una 
distribución de energías potenciales como muestra la 
figura 
 
( )
( ) a xó 0 xxE
ax0 0xE
P
P
≥≤∞=
<<=
 
 
 Como la energía potencial es infinita fuera del 
pozo, la función de onda será cero allí; la partícula debe 
estar dentro del pozo. Entonces necesitamos solo 
resolver la ecuación de Schrödinger para la región 
interior del pozo 0 < x < a, sometida a la condición de ( ) 0x =ψ para x = 0 y x = a. Es el 
mismo caso que una cuerda fija por sus dos extremos en donde y(x,t) es nula en los 
extremos, lo que conduce a que solo vibre la cuerda con frecuencias permitidas. 
 
 Como ( ) 0xE
P
= la ecuación de Schrödinger resulta para una energía E 
 
ψ=
ψ−
E
dx
d
m2 2
22
h
 
 
o bien 
 
0
mE2
dx
d
22
2
=ψ+
ψ
h
 
 
 La solución de esta ecuación es del tipo 
 
 x
2mE
cos y x
2mE
sen 
2o2o 







ψ=ψ







ψ=ψ
hh
 
 
 La condición ( ) 0x =ψ para x = 0 eliminará la solución coseno debido a que el 
coseno de 0º es uno. La otra condición ( ) 0x =ψ para x = a, da 
 
2
2mE
 sen a 0 
 
=  
 h
 
 
esta condición se satisface si 
 
...... 3, 2, 1,n 
a
n
 
2mE
 na 
2mE
 
22
=
π
=⇒π=
hh
 
 
es decir, que 
n
 sen x 
a
o
π 
ψ = ψ  
 
 
 
 y despejando de la ecuación que satisface la condición el valor de la energía para cualquier 
valor de n 
 
2 2
2
n 12
e
n h
E n E
8m a
= = 
 
es decir, para que la ecuación de onda tenga 
soluciones aceptables, es preciso que la energía de la 
partícula tome determinados valores discretos que 
vienen dados por la ecuación anterior. En definitiva, la 
energía de la partícula confinada en un pozo de potencial infinito está cuantizada. 
 
La densidad de probabilidad por unidad de longitud de encontrar a la partícula en el 
punto x es 
 
 x 
a
n
sen 
22
o
2





 π
ψ=ψ 
 
que indica que en algunos puntos de la caja 
2
ψ es cero, por lo que la partícula no puede 
encontrarse en esos puntos. En el estado n = 1 ( )
1
E , la densidad de probabilidad es 
máxima en el centro de la caja. Estas características mecánico-cuánticas contrastan con la 
distribución de probabilidad de una partícula clásica, ya que en este caso la distribución de 
probabilidad es la misma en todos los puntos de la caja. 
 
 
13.7.- CONFIGURACIONES ELECTRONICAS. 
 
 Para resolver la ecuación de Schrödinger es más 
conveniente su transformación en coordenadas 
esféricas ( ), , r θ φ y escribir la función de onda ψ 
como producto de funciones de cada una de las 
variables 
 
( ) ( ) ( ) ( )r, , R r f gΨ θ Φ = θ Φ 
 
El requisito de que la función de onda sea 
continua y pueda normalizarse, exige la introducción de 
tres números cuánticos, cada uno de ellos asociado con una variable. 
 
 El número cuántico principal (n) esta asociado con r y como la energía potencial 
solo depende de r este número cuántico esta relacionado con la energía, como en la 
expresión de Bohr. 
 
 El número cuántico secundario (l) esta asociado con θ y relacionado con el modulo 
del momento cinético. 
 
 El número cuántico magnético (ml) esta asociado φ y relacionado con la 
componente z del momento cinético. O sea 
 
( )
ll-....... ,l- l,
l
l ,1,......,1 ,0 ,11 m
1n,.....,2 ,1 ,0
,... 3, 2 ,1n
−+−=
−=
=
 
 
Para definir un estado cuántico de un electrón del átomo de hidrógeno necesitamos 
conocer sus tres números cuánticos n, l, ml, por ejemplo, el estado 1m ,2 ,3n −=== ll y 
su función de onda será 
1- 2 3Ψ . Normalmente el término usado para referirnos a la función 
de onda es el orbital o estado estacionario. 
 
La densidad de probabilidad 
2
Ψ de un electrón en un estado puede visualizarse 
como una nube electrónica. La densidad de la nube en un punto representa la probabilidad 
de que el electrón se encuentre en dicho punto. 
 
Pero en los experimentos aparece un grado de libertad mas de los tres que dan lugar 
a los tres números cuánticos. Fueron Uhlenbeck y Grudsmit quienes propusieron que un 
electrón ligado a su átomo gira sobre si mismo, lo podemos asemejar al movimiento de la 
Tierra sobre si misma cuando se mueve alrededor del Sol, aunque el electrón no es una 
partícula esférica, pero este número cuántico que introdujeron denominado espín (mS) 
permite confirmar los datos obtenidos experimentalmente, donde mS solo puede tomar los 
valores 21y 21 +− . 
 
Una vez que se han obtenido los números cuánticos que nos muestran los posibles 
estados estacionarios de los electrones en los átomos, se introducirá cierta nomenclatura 
para describir los estados estacionarios. 
 
Los estados con el mismo número cuántico principal n, se dice que pertenecen a la 
misma capa 
 
 n 1 , 2 , 3 , 4 ........ 
 Capa K , L , M , N ....... 
 
Los estados pertenecientes a una capa se dividen en subcapas de acuerdo con el 
número cuántico secundario l. 
 
 l 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ........ 
 Subcapa s , p , d , f , g ....... 
 
La energía de un electrón está determinada principalmente pos estos dos números 
cuánticos y su especificación para cada electrón de un átomo se denomina configuración 
electrónica del mismo. 
 
Como el estado mas estable de un átomo es el de menor energía, los electrones 
están en los estados estacionarios que hacen mínima 
la energía atómica. El estado de menor energía es 
aquel que n+l es mas bajo. Además se debe tener en 
cuenta en los átomos multielectrónicos el principio de 
exclusión de Pauli 
 
“Dos electrones de un átomo no pueden estar en el 
mismo estado cuántico; es decir, no pueden poseer la 
misma serie de valores de los números cuánticos, n, l, 
ml y mS” 
 
que limita el número de electronesen cada capa y subcapa. 
 
Hay que resaltar que la ecuación de Schrödinger no se puede resolver directamente 
en los átomos multielectrónicos, ya que, en la expresión de la energía potencial se debe 
tener en cuenta la energía potencial de interacción entre los electrones que forman el 
átomo. 
 
Para soslayar este problema, es necesario hacer varias aproximaciones. El primer 
paso de la aproximación es suponer que cada electrón interaciona solo con el núcleo y no 
con los demás electrones. El segundo paso consiste en usar los resultados de la hipótesis 
anterior y modificarlos teniendo en cuenta una estimación global de los efectos de la 
interacción electrón-electrón. 
 
Finalmente hay que señalar la importancia que tiene la última capa de un átomo, 
también denominada capa de valencia, ya que es la responsable de muchas propiedades de 
los elementos.