CB-0525675

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ANÁLISIS HISTÓRICO DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA, 
ALGUNAS PAUTAS EN LA ENSEÑANZA DE UNA LEY. 
 
 
 
 
 
 
JHON DALVIS BOLAÑOS REALPE 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DEL VALLE 
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA 
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA 
SANTIAGO DE CALI 
2017 
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ANÁLISIS HISTÓRICO DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA, 
ALGUNAS PAUTAS EN LA ENSEÑANZA DE UNA LEY. 
 
 
 
JHON DALVIS BOLAÑOS REALPE 
 
 
 
Tesis presentada como requisito 
Para optar por el título de Licenciado en Matemáticas y Física. 
 
 
 
Director de tesis: 
CARLOS JULIO URIBE GARTNER. Dr. 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DEL VALLE 
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA 
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA 
SANTIAGO DE CALI 
2017 
http://fisica.univalle.edu.co/index.php/profesores/carlos-julio-uribe-gartner
iii 
 
 
iv 
 
 
Índice 
 
Introducción. .................................................................................................................. 1 
Justificación. .................................................................................................................. 3 
Planteamiento del problema. ......................................................................................... 5 
Objetivos. ....................................................................................................................... 9 
Antecedentes. ............................................................................................................... 10 
Marco metodológico. ................................................................................................... 12 
Marco teórico. .............................................................................................................. 12 
Resumen histórico del principio de conservación de la energía. ................................. 17 
El principio de conservación en la física antigua. ......................................................................... 17 
El principio de conservación en la física clásica. .......................................................................... 25 
El calor. ......................................................................................................................................... 53 
Pautas para analizar el problema en la enseñanza de un principio físico, el 
Principio sobre flotación. ............................................................................................. 69 
Bibliografía. ................................................................................................................. 84 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
Análisis histórico del principio de conservación de la energía, algunas pautas en la 
enseñanza de una ley. 
 
Resumen. 
Este proyecto plantea un análisis del principio de conservación de la energía 
caracterizado por un enfoque histórico que muestra la relevancia de esta ley Física en cada 
ciclo de su formulación. El trabajo también considera algunas pautas como propuesta en la 
enseñanza de una ley, opiniones que son abordadas desde la sospecha de ciertas dificultades 
que los estudiantes tienen en la comprensión de un principio, en particular se ejemplificarán 
con el principio de Arquímedes. Las dificultades que se adjudican de acuerdo al aprendizaje 
de esta ley, así como las pautas para abordarlas se concluyen de las investigaciones que en 
los antecedentes bibliográficos se consideran. Así, la situación problema, los objetivos, el 
marco teórico y el metodológico se detallan a fin de argumentar tal propósito. 
 
 
 
 
 
 
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Introducción. 
Desde que la humanidad posee razón para discernir respecto a su entorno circundante, 
preguntas como: ¿a fin de qué?, ¿por qué?, ¿para qué? y otras que hacen referencia al 
funcionamiento del universo, han hecho de sus explicaciones méritos de creatividad, 
imaginación y desarrollo. Sin embargo, la historia es testigo que a medida que se responde 
una pregunta, aparecerán más. Pero es este también el motor que impulsa la curiosidad de los 
hombres y alimenta el afán por seguir aprendiendo. 
Con los griegos, por ejemplo, se tiene evidencia de teorías que explican los hechos 
naturales a partir del entorno adyacente y de un lenguaje desplegado por el pensamiento de 
los hombres, el lenguaje matemático. Aportes de grandes pensadores han hecho del mundo 
etéreo un marco mejor comprendido, desarrollando y estructurando saberes que les 
consolidan hoy día como una ciencia teórico-experimental. Este proyecto se presenta con el 
fin de exponer parte de ese relato histórico, resumen basado en el desarrollo del principio de 
conservación de la energía. 
Entender el principio de conservación de la energía, hace referencia a comprender 
una idea que postula la existencia de una cantidad física que en el contexto de la naturaleza 
permanece indiferente a cualquier perturbación del cosmos. Pero, ¿qué significa que tal 
cantidad se conserve?, y ¿por qué es importante comprender que la energía se transforma?, 
son interrogantes, que, al no abordarlas apropiadamente producen que los estudiantes 
construyan una idea sesgada de esta ley incurriendo en el riesgo de perder en su generalidad. 
Es por esto, que se concibe la necesidad de un dominio epistemológico sobre el principio 
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para lograr formar conexiones que relacionen la teoría con los contextos donde la ley se hace 
perceptible. Para ese objetivo, se realizó un análisis histórico que muestra el desarrollo del 
concepto desde una idea previa, hasta el planteamiento de un patrón medible. 
Adicionalmente, se adjunta una descripción sobre unas posibles dificultades que se 
infieren del aprendizaje de una ley física, explicando algunas pautas que pueden ser útiles en 
la enseñanza de un principio físico. Como ejemplo se usó el principio de Arquímedes. Es 
decir, se pretenden ciertas conclusiones desde la didáctica e historia, para esbozar una idea 
como propuesta en la enseñanza de una ley física. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Justificación. 
Esta monografía desarrolla un resumen de algo que llegó a convertirse en una de las 
leyes más relevantes de la Física, exponiendo la importancia de un enfoque histórico. Lo 
anterior, según el texto Historia de la Energía, es corroborado cuando el autor expresa que: 
“entender el concepto de energía con el que trabajan las ciencias modernas, es comprender 
el principio de su conservación, y para ello se requiere conocer su desarrollo histórico: desde 
las primeras ideas griegas sobre la conservación de algo hasta la ley de leyes, la ley más 
general que hoy conocemos” (Alinovi, 2007). 
En la carrera de Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad del Valle, se 
trabaja una formación en el área de Física basándose en los tres primeros cursos de Física 
fundamental y sus concernientes laboratorios, además de pasar por tres cursos de formación 
profesional. En ellos se hace una descripción del principio de conservación de la energía 
desde: Mecánica, Electromagnetismo, Termodinámica, y sistemas ondulatorios, además de 
variados experimentos cuyo objetivo se orienta en evidenciar la consistencia de este principio 
con los resultados de medición. Este análisis histórico se piensa adicionalmente como un 
apoyo para los primeros cursos de Física. En él se explora una idea que describe 
gradualmente la evolución del principio desde la noción de la conservación de “algo”, hasta 
su consolidación como ley Física. Se espera también con lo anterior, que el estudiante de 
iniciación en Física, en primera instancia sea capaz de identificar y analizar en los campos 
básicos el fenómeno de la conservación y el carácter de una ley Física. 
El proyecto también considera unas pautas para la enseñanza del principio de 
Arquímedes, estas ideas se orientan al contexto educativo. según Neumann (2012) las 
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categorías de aprendizajeque se suponen deben desarrollarse, se alinean al grado o nivel de 
comprensión que un estudiante posee sobre un principio Físico. Estos niveles se presentan 
con una guía didáctica para el principio de Arquímedes, propuesta en tres etapas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Planteamiento del problema. 
 Un objetivo de las ciencias es proporcionar a quienes la estudien la posibilidad de 
interactuar con los modelos y las técnicas experimentales que describen los fenómenos 
naturales, de modo que ellos puedan interpretar y reproducir el lenguaje en que se cuentan 
estas ideas. Lo anterior implica un conocimiento de elementos previos por parte de los 
docentes de ciencias tales como: dominio de las matemáticas, manejo en técnicas e 
instrumentos de medición, modelos didácticos acordes al campo de estudio, entre otros, que 
permitan estructurar las conexiones entre diferentes variables de algún fenómeno y la teoría. 
En la enseñanza de la Física se debe considerar que para estructurar un desarrollo en 
el aprendizaje del concepto o modelo teórico a tratar “la enseñanza de un elemento del 
conocimiento científico debe ser un proceso que va evolucionando de acuerdo al grado de 
comprensión, profundizando en el estudio y contextualización del fenómeno” (Neumann, 
2012). Además, la actividad científica se fundamenta en la ejecución del método científico, 
que de acuerdo al Oxford English Dictionary es: “un método o procedimiento que ha 
caracterizado a la ciencia natural desde el siglo XVII, que consiste en la observación 
sistemática, medición, experimentación, la formulación, análisis y modificación de las 
hipótesis”, por lo cual, el aprendizaje en este campo científico debe entrañar una metodología 
de enseñanza que en principio vincule la práctica en el proceso experimental y el estudio 
teórico a manera de obtener un desarrollo por niveles de aprendizaje. 
 
En Amor a la Física de Walter Lewin, se muestra que uno de los objetivos de la 
enseñanza de la Física es no olvidar el carácter de verdad en la comprensión de fenómenos, 
http://es.wikipedia.org/wiki/Oxford_English_Dictionary
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tal como lo expresa “ayudo a mis estudiantes a ver la belleza, semblanza y la mística de lo 
no revelado entendiendo que la física permea nuestras vidas” (Lewin, p. 10, 2012). Lewin 
describe también la pasión y admiración por el mundo de la Física y enseña un camino para 
acceder a ésta. En sus palabras dice que el secreto del entusiasmo que despliega y hace que 
contagie a su estudiantado consiste en: 
 “Le muestro a la gente su propio mundo —dice—, el mundo en el que viven y que 
conocen, pero que no miran como físicos… aún. Si hablo de ondas en el agua, les pido que 
hagan experimentos en sus bañeras; eso saben lo que es. Como también saben qué son los 
arcos iris. Es algo que me encanta de la física: puedes llegar a explicar cualquier cosa. 
¡Consigo que les encante la física! A veces, cuando mis alumnos se implican de verdad, las 
clases casi parecen todo un acontecimiento” (p. 4). 
En el presente se escucha discutir sobre: crisis energética, tipos de energía, 
transformación de la energía, calidad de la energía, y otras expresiones que muestran en 
definitiva el grado de familiaridad que poseemos con la idea de energía, pero, aunque tal vez 
algo precipitada la aserción, también es evidencia que pese al hecho de abordar este concepto 
en un marco cotidiano aún no son claras las implicaciones de este principio. 
De acuerdo a los Lineamientos Curriculares en Ciencias Naturales y Medio Ambiente 
del Ministerio de Educación (1998), que definen: “la Física es la ciencia natural que estudia 
las relaciones entre espacio, tiempo, materia y energía. Un sistema caracterizado 
completamente por estos elementos se denomina un sistema físico” (p. 69), se interpreta que 
la energía por tanto es un objeto de estudio fundamental para la comprensión del 
conocimiento científico, de modo que se tenga en cuenta en el campo escolar el papel 
estructural que tiene el concepto de energía en el edificio teórico de la física. 
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El artículo Towards a Learning Progression of Energy, menciona que la forma de 
abordar un tema científico debe ser gradual, en el caso del concepto de energía explica que 
la comprensión de los estudiantes debe estar jerarquizada por niveles de conceptualización, 
donde las categorías de aprendizaje que deben desarrollarse, se alinean al grado o nivel de 
discernimiento que un estudiante posee sobre el principio físico. Los siguientes son las etapas 
que propone: 
i. Percibir a la energía como la capacidad de un sistema físico para realizar 
trabajo. 
ii. Identificación de las diferentes fuentes y formas de energía en la naturaleza. 
iii. Reconocer los procesos de transformación de la energía. 
iv. El reconocimiento de la degradación de la energía. 
v. Estructurar el principio de conservación de la energía. 
Afirmando que una manera de evaluar el progreso en el aprendizaje de un concepto 
científico se puede hacer observando el grado de complejidad que se maneje del tema, en 
este caso, de la etapa en la que se encuentre. 
De este modo, de acuerdo a Matías Alinovi (2007), la energía es un concepto que ha 
evolucionado y para entenderla, el proceso de aprendizaje debe relacionarse con el hecho de 
conocer el desarrollo histórico del mismo, argumentando: “por eso a la pregunta ¿qué es la 
energía? Podemos responder sin ironía: una cantidad que de acuerdo a un famoso principio 
se conserva”. Y si bien esta eventual respuesta deja más inquietud, se comprende por ende el 
interés de realizar un análisis histórico. 
 
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De acuerdo a lo anterior se plantea la siguiente pregunta problema: 
 
 ¿Cuál puede ser una posible propuesta que de acuerdo al principio de conservación de 
la energía articule un estudio histórico y unas pautas para la enseñanza de una Ley 
Física? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Objetivos. 
 
 Objetivo general. 
Articular un estudio histórico sobre el principio de conservación de la energía 
y una propuesta que presenta algunas pautas para la enseñanza de una ley física. 
 
Objetivos específicos. 
Exhibir algunas conexiones históricas del principio de conservación de la 
energía con ciertos campos de la Física. 
 
Ajustar algunas pautas, como propuesta para la enseñanza de una ley física, 
diseñando una guía didáctica sobre el principio de Arquímedes. 
 
 
 
 
 
 
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Antecedentes. 
A continuación, se muestran algunos trabajos que están relacionados con los 
propósitos de esta monografía. La intención es describir respecto al tema de interés, ¿qué se 
ha estudiado hasta el momento como proyecto de grado en la Universidad del Valle para 
tener un precedente de partida según lo que se desea hacer? Estos son los antecedentes que 
se utilizarán como referencia: 
 
Título: El concepto de energía en la educación media 
Autor(es): Carabalí Ibarguen, César Augusto (Autor) 
Publicación: Colombia: Universidad del Valle, 2010 
 
Descripción: Este trabajo presenta una investigación sobre el grado de comprensión 
que poseen algunos estudiantes de la ciudad de Santiago de Cali sobre la energía, en ese 
sentido, se usará tal prueba diagnóstica como punto de partida para formular una posible 
propuesta como secuencia histórica del principio de conservación de la energía. 
 
Título: Cómo presentan los textos escolares el tema de trabajo y 
Energía 
Autor(es): González, Claudia Cecilia (Autor) 
Publicación: Colombia, MAR 1994 
 
http://opac.univalle.edu.co:8000/cgi-olib?infile=authsecsearch.glu&style=authk&nh=20&calling_page=details.glu&key=244359
http://opac.univalle.edu.co:8000/cgi-olib?infile=authsecsearch.glu&style=authk&nh=20&calling_page=details.glu&key=102458
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Descripción: Este trabajo ofrece la posibilidad de revisar cual es la propuesta que 
ofrecen algunos de los textosescolares que se implementan en ciertos colegios de la ciudad 
de Cali y que, por ende, evidencian su popularidad entre los profesores y estudiantes en 
ciencias de secundaria. De acuerdo a esto, se pretende contrastar las implicaciones que se 
piensan claves en la descripción histórica sobre el principio de conservación de la energía 
con el análisis de textos de esta investigación. En ese orden de ideas, los capítulos de interés 
de este trabajo son el capítulo dos, llamado: La energía en la literatura didáctica, y el capítulo 
tres que se denomina preconceptos y conceptos acerca del calor, el trabajo y la energía. 
 
Título: Teorema fundamental de trabajo y energía 
Autor(es): Bocanegra, Liliana (Autor) 
Publicación: Colombia, 1993 
Descripción: Este trabajo ofrece la oportunidad de revisar cual es el nivel de 
asimilación de los estudiantes de grado diez y once de algunos colegios de la ciudad de Cali, 
sobre el teorema fundamental de trabajo y energía, examinando que entiende un estudiante 
de estos grados sobre el concepto de energía. Con ello, se analizará el grado en que los 
estudiantes razonan y determinan la influencia del desarrollo histórico en ese proceso. 
 
 
http://opac.univalle.edu.co:8000/cgi-olib?infile=authsecsearch.glu&style=authk&nh=20&calling_page=details.glu&key=49954
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Marco metodológico. 
 Este proyecto ofrece una propuesta como introducción de un estudio histórico 
encaminado a la comprensión del principio de la conservación de energía, donde se 
identifican algunos de los momentos más relevantes en su instauración como ley física. La 
pretensión es que este análisis pueda implementarse como una posible herramienta en la 
enseñanza de esta ley física apoyando al proceso en el aprendizaje y mostrando cual es la 
característica de esta ley que se proyecta entender. 
En este orden de ideas la presente monografía, se divide en dos fases, la primera 
muestra en forma progresiva las características cualitativas que desarrollan el principio de la 
conservación de energía, atribuciones que toman como referente el legado científico y 
filosófico de la Grecia clásica. Además, expresa cómo sus participantes en diversas 
situaciones del ámbito de la Física influyeron mostrando el carácter de la ley física en cuanto 
al principio de conservación se refiere. En la segunda parte, se consideran algunas pautas 
como propuesta para la enseñanza de una ley, abordando ciertos pasos que los estudiantes 
pueden seguir en la implementación de una guía didáctica del principio de Arquímedes. 
En resumen, se plantea una metodología de trabajo dividida en dos capítulos. El 
primero, hace un resumen histórico sobre el principio de conservación de la energía, 
postulando una descripción teórica del concepto y buscando expresar las características de 
esta ley. El segundo, plantea algunas pautas como propuesta de enseñanza de un principio 
con relación a la didáctica en Física, específicamente, en lo que respecta a los fundamentos 
del principio de Arquímedes. 
Marco teórico. 
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Al considerar que “entender cabalmente el concepto de energía con que operan las 
ciencias modernas es conocer el desarrollo histórico del principio de su conservación, en 
otros términos, la conservación es anterior a la energía” (Alinovi, 2007). Estas y otras fuentes 
que servirán como referente para la construcción de este trabajo, denotan la influencia de un 
enfoque histórico a la didáctica de la ciencia, pues tal como lo afirma María Ayala M., “la 
actividad científica que practica una sociedad reside en la forma como sea apropiada la 
ciencia por la cultura de base, puesto que nada puede ser transferido a una cultura sin que sea 
transformado por ella” (Ayala, p. 6, 1992) esto indica que para favorecer la comprensión del 
principio de conservación de la energía, es prudente conocer parte del contexto histórico en 
el cual se desenvolvió. 
Para alcanzar los objetivos, se aborda una bibliografía que detalla las herramientas 
implementadas para su desarrollo. Específicamente se clasifican tres enfoques, el primero 
concerniente a los textos que permitirán realizar la descripción histórica del principio de 
conservación de la energía, en el cual se puntualizan: Historia de la Energía y Evolución de 
los conceptos físicos. En el segundo enfoque, lo respectivo a la modelación matemática del 
principio de conservación en términos de la primera Ley de la termodinámica y el teorema 
fundamental de la Energía, recurriendo a varios libros de Física Universitaria, en especial, 
Física: fundamentos y aplicaciones (referencia bibliográfica). El tercer énfasis abordará lo 
correspondiente a la didáctica de la Física respectivamente a la energía, este análisis se 
soportará en el texto: Prevalencia de preconceptos y conceptos acerca del calor, el trabajo y 
la energía. 
 
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El carácter de la Ley Física. 
Richard Feynman, (1986). 
Este es un texto que recoge las conferencias del Físico y profesor Richard Feynman dadas 
en la Universidad de Cornell University, Estados Unidos en 1964. Siendo esta la primera 
edición en español de la novena que publicó el M.I.T. Press, específicamente se tendrá en 
cuenta los capítulos referentes a: los grandes principios de conservación y Simetría y Ley 
Física. 
 
Towards a Learning Progression of Energy 
Knut Neumann, Tobias Viering, William J. Boone, and Hans E. Fischer, (2012). 
Este artículo, presenta una propuesta para el diseño de materiales didácticos como una 
secuencia o guía didáctica pensada para el proceso de aprendizaje de los estudiantes en el 
principio de conservación de la energía. Específicamente se tendrá en cuenta de este 
material los niveles de conceptualización que se requiere para un proceso progresivo en el 
aprendizaje de esta Ley. 
 
Prevalencia de preconceptos y conceptos acerca del calor, el trabajo y la energía. 
Álvaro Perea, Universidad del Valle (1995) 
Para realizar la comparación entre la descripción histórica del principio de 
conservación de la energía y algunos recursos en la enseñanza de este Ley, se resalta el 
interés por lo descrito en los capítulos tres, cinco y seis. En este trabajo se describen: la 
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primera ley de la termodinámica, donde plantea “que hay una cierta cantidad que 
llamaremos energía, que no cambia en los múltiples cambios que ocurren en la naturaleza” 
(Perea, 1995). Convenientemente se resaltará de esta sección el principio de conservación 
de la energía. El capítulo dos hace una descripción del estado del arte referente a calor, 
trabajo y energía, creando un recorrido sobre la literatura en didáctica de la Física de este 
tema. El capítulo tres enfatiza la investigación realizada con algunos estudiantes de 
educación media de la ciudad de Cali para conocer el grado de asimilación relativo a estos 
términos de acuerdo a la encuesta o guía diseñada con este fin. El capítulo 5 presenta el 
modelo constructivista para el desarrollo del currículo de la profesora R. Driver. Y una 
propuesta de metodología en la enseñanza de la Física, finalmente el capítulo 6 presenta las 
conclusiones de este trabajo investigativo. 
 
Historia de la energía. 
Matías Alinovi, (2007). 
En esta obra se hace una descripción histórica en el desarrollo del principio de conservación 
de la energía, desde las ideas de los griegos hasta la primera ley de la termodinámica. 
Específicamente este texto guiará el recorrido que de forma general se pretende presentar 
en los diferentes escenarios de tiempo. 
Historia de la Energía, es un libro que describe desde un principio, que entender el 
concepto de energía, tal como Feynman lo expresó, dependerá de cuanto se comprenda el 
principio de su conservación. Por ello, el texto que se divide en tres partes, hace una 
descripción histórica del principio de conservación desde la idea que tenían los griegos 
sobre algo que se conserva, hasta como AlbertEinstein vincula la energía y la masa de un 
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cuerpo en una ecuación. Narra así, cómo fue abriéndose camino a través de la historia el 
principio de conservación en los diferentes campos de la Física y describe las distintas 
formas de energía o mecanismos de transferir energía. 
En esencia, este será el camino histórico que se pretende seguir según los diferentes 
momentos representativos que el texto explicita fueron de mayor importancia en el 
desarrollo de este principio. En específico se analizará el papel del principio de 
conservación de la energía en periodos como: la idea de la conservación en los griegos, la 
edad media, la conservación en Descartes y en Huygens, Leibniz su “fuerza viva” y 
Newton, los aportes en termodinámica y la equivalencia entre calor y trabajo. De este modo 
se recorre por un camino que conduce hasta lo que el autor denomina la ley de leyes, la ley 
de la conservación de la energía. 
 
El maravilloso mundo de la Energía. 
Lancelot Hogben (1972). 
En el texto, Hogben describe cómo ha sido la evolución de la energía en lo que 
respecta a los procesos de experimentación y aplicación práctica. Pasando por diferentes 
periodos de la historia, habla sobre la fuerza muscular, el descubrimiento de la gravedad, la 
utilización de la energía térmica, eléctrica y atómica. 
 
 
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Resumen histórico del principio de conservación de la energía. 
 
El principio de conservación en la física antigua. 
Este capítulo, inicia con uno de los muchos misterios que inspiraron a hombres y 
precisan interrogantes que nos han permitido desarrollar nuestro conocimiento del mundo, 
en particular se discutirá el principio de conservación. Se comienza aproximadamente en el 
siglo VI a.C. con un estudio sobre el cosmos desarrollado simultáneamente en las escuelas 
Milesia y Jónica. Tal análisis instauró una filosofía que postula algunas respuestas a la 
pregunta: ¿cuál de los elementos agua, tierra, fuego, o aire, constituye el universo? Forma 
de pensar que se conoció como la filosofía de la naturaleza. Tales de Mileto, quien fue 
precedente en algunas de estas ideas, introduce unos lineamientos que determinarían los 
principios que antecedieron a los filósofos naturalistas de la época. Entre las nociones 
fundamentales que él suponía debían constituir la filosofía de la naturaleza se tienen: 
i. La existencia de un orden de leyes naturales inmutables que descarte la 
intervención de entes divinos. 
ii. Explicar la presencia de una forma primitiva de la naturaleza que es origen 
de los demás elementos perceptibles para los sentidos. 
iii. Aceptar que existe una cantidad constante del elemento primitivo. 
La consigna de Tales de Mileto fue: “Todo es agua”. Basado en sus postulados, él 
explicaba algunas ideas de la siguiente forma: 
 Si los dioses existen, entonces ellos también tendrían un límite en sus 
audacias de voluntad. La existencia de un orden en el universo, así lo 
demandaría. 
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 Los otros elementos primordiales son transformaciones del elemento 
primitivo agua. 
 Lo perceptible por los sentidos es una realidad que obedece a leyes 
naturales que el hombre trata de comprender mediante la razón. 
La transformación del elemento primitivo conlleva a un ciclo infinito de ida y 
vuelta, proceso del cual se concluye que tal característica exige la existencia de una 
cantidad constante de este elemento. Para ejemplificar este proceso, Tales aboga a una 
metáfora que al parecer ya había sido conocida en Egipto y Babilonia, mencionando el 
hecho de: “si las plantas y los animales, por ejemplo, se nutren del agua, los cuales, a su 
vez, son alimento para otros animales, que los restos de los animales sirven de abono a las 
plantas, donde, tanto la planta como el animal que mueren vuelven a la tierra, tierra la cual 
solo es una pequeña isla en el vasto océano que es el universo” (Alinovi, 2007, p.18), 
entonces este proceso valida el postulado de un ciclo perpetuo. Posterior a Tales, aparecen 
otros filósofos, algunos, discípulos de él, quienes, en su intento de describir el universo, les 
dieron supremacía a los demás elementos primordiales. Anaxímenes y Diógenes de 
Apolonia, por ejemplo, apoderaban al aire como materia primordial, Heráclito de Éfeso al 
fuego, la tierra por su parte estuvo representada por Jenófane. Otros filósofos de la época, 
como Empédocles y Anaximandro, pensaban que la sustancia primitiva no era ninguno de 
los elementos primordiales, en su caso, argumentaban que tal confrontación por mostrar 
alguno de los elementos como el generador, prueba el hecho de que cierta jerarquía no 
existe y por tanto la sustancia primordial debe ser una materia independiente, que, por 
algunos procesos, generaban los elementos de la naturaleza. Estas sustancias fueron: 
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 En el caso de Empédocles el elemento primitivo no era uno, para él los cuatro 
elementos primordiales poseían la misma jerarquía, y todos existían en sí mismos 
como materia. 
 Anaximandro por otra parte, no aceptaba a ninguno de los cuatro elementos 
primordiales como el primitivo. Él concebía como el fundamento a un elemento 
indefinido y absoluto, el apeiron. Una sustancia de la cual se diferencian los 
opuestos primordiales, como, por ejemplo: caliente y frío, húmedo y seco, que se 
caracterizan porque su devenir está animado por la unilateralidad de cada parte, de 
igual manera, es en el apeiron, donde está el principio de todas las cosas como 
individuales. Ahora bien, allí mismo donde hay generación para las cosas, allí se 
produce también la degradación de unilateralidad, proceso que es infinito. 
En todo caso, parece que independiente de la sustancia generadora, los filósofos que se 
apoyaron en los elementos naturales para explicar el universo, respetaron las tres consignas 
de Tales, tal como lo afirma Alinovi (2007), al decir que en la antigüedad en cuanto al 
principio de conservación respecta: “se perfeccionó la concepción de una ilimitada 
transformación de las sustancias unas en otras” (pag.20) 
En Elea, sin embargo, algunos filósofos como Parménides y Milissus de Samos, no 
muy conformes con las ideas de la sustancia primordial y el cambio perpetuo, postularon 
que la realidad en sí, es una mera fachada, que el universo es algo que ha existido y de esa 
forma continuará, sin alteración ni transformaciones, algo infinito en existencia. Un 
universo en el que simplemente no se puede descifrar el componente, pues la razón, no lo 
permite, y toda percepción captada por los sentidos es solo una ilusión, un aparente 
espejismo del hecho de “ser”. Por otra parte, los atomistas como: Leucipo de Mileto y 
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Demócrito de Abdera, quienes de una forma menos escéptica que los eléatas, tampoco 
adoptaban la idea de la sustancia primitiva, concluían que el universo está conformado por 
átomos y vacío, que los átomos son partículas que suponían eran el límite de la división 
más allá del límite de percepción, y que el vacío, “la nada”, existía debido al continuo 
movimiento de los átomos, pues de no ser así, sería imposible dividir, por ejemplo, con la 
hoja de un herramienta cortante algún tipo de material. Para argumentar los distintos tipos 
de materia, concluyeron que, de esa misma forma, existían diferentes tipos de átomos y que 
la transformación de la materia correspondía únicamente a una reorganización de tales 
partículas, idea que se traduce en una cantidad fija de átomos. 
Aristóteles un Estagirita, que en relativa mesura consideraba algunas ideas de los 
Jónicos, no concebía posible la teoría de los atomistas. Él pensaba contradictorio el hecho 
que si un átomo tuviera materia y dimensión entonces no pueda ser dividido, bajo el 
principio de negación y contradicción, juzgó la existencia del vacío de Leucipo, dado que 
no asentía la presencia de la nada, y asumía la teoría atómica como un argumento abstracto 
que no se adecuabaal contexto real, una explicación de carácter más geométrico. Se 
preguntaba además a modo de crítica, por el hecho de: si los átomos se reordenan, ¿quién y 
cómo genera ese movimiento? En su opinión, existía una quinta esencia entre los elementos 
primordiales, una que era incomparable con las demás por el hecho de no ser corruptible, 
esencia de estrellas y astros, una materia animada. Por ejemplo, creía que la causa del 
movimiento era la misma materia, las cosas cambian simplemente por el hecho de estar 
vivas. Esta concepción tuvo en su posterioridad mayor aceptación, aprobación que también 
era suscitada por factores políticos y religiosos, prolongando su doctrina hasta el periodo 
que se conoce como la edad media. 
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Gráfica que representa la idea del elemento primario. “Arjé significa principio u origen es un 
concepto fundamental en la filosofía de la antigua Grecia que significaba el comienzo del universo 
o el primer elemento de todas las cosas. El filósofo griego Aristóteles destacó el significado de Arjé 
como aquello que no necesita de ninguna otra cosa para existir, solo de sí mismo, es decir, como el 
elemento o principio de una cosa que, a pesar de ser indemostrable e intangible en sí misma, ofrece 
las condiciones de posibilidad de esa cosa” tomado de: 
https://es.pinterest.com/pin/563090759638260726/ 
 
Aproximadamente en el siglo III a.C., Arquímedes, en su estudio sobre el esfuerzo 
establece la siguiente ley, dos masas, A y B, se equilibran cuando el peso de A multiplicado 
por su distancia a un punto de apoyo (fulcro) es igual al producto del peso de B por su 
respectiva distancia. Según Hogben (1972), para el caso del aparato mencionado, se puede 
plantear una semejanza entre trabajo y la ley de la palanca usando como medida del trabajo 
el producto del peso por la altura, en sus palabras dice: “Con este concepto de trabajo 
descubrimos un nuevo significado del principio de la palanca de Arquímedes; la palanca 
está en equilibrio cuando el brazo humano desarrolla en uno de los extremos de la misma, 
una cantidad de trabajo equivalente al que realiza la carga en el otro extremo” (Hogben, 
1972, p. 9). Pero: ¿qué demandaba tal esfuerzo? Para ello se debe detallar qué entendía 
Arquímedes por peso. 
De acuerdo a los experimentos del principio de Arquímedes, él observó que los 
objetos con diferentes pesos, se hunden en el agua con distinta velocidad y que en algunos 
22 
 
 
casos estos flotaban. Tal hecho, lo llevó a concluir que un objeto sumergido en agua 
experimentaría una disminución de su peso, y que la causa de la disminución se debía a un 
empuje que era generado por el fluido, además encontró que tal disminución, era 
equivalente al peso del agua que el cuerpo desalojaba, a la nueva medida del peso le 
reconoce como el peso aparente del objeto sumergido en agua. 
 
 
 
 
 
Grafica 1. Imagen de la izquierda: Al sumergir en agua una de las dos masas según la balanza, ésta se desequilibra. 
Imagen de la Derecha: En esta grafica se muestra la balanza de Arquímedes. Foto/Scan - digitalmente renovado: 
(W.Griem, 2014); De: Friedrich Schoedler (1863) tomado de: 
http://www.geovirtual2.cl/geoliteratur/Schoedler/Schoedler-1-094-balanza-arquimedes-1863.htm 
 
Así, afirma Hogben (1972) que Arquímedes concluyó que: “el peso de una masa 
cuya densidad es cinco veces mayor que la del agua, disminuye en un quinto; el de otra de 
densidad tres veces mayor, disminuye en un tercio, y, finalmente la esfera cuya densidad 
coincide con la del agua pierde la totalidad de su peso (pág. 16)” Con esto, se entiende que, 
si bien Arquímedes concibe a la densidad como la cantidad de materia por unidad de 
volumen, la masa no es entonces, la que experimenta cambios al sumergir los objetos en 
agua, y por ende, masa y peso son dos cantidades de diferente significado. Siendo el peso 
una cantidad medible, eso sí, relacionada al valor de la masa. 
Ahora, usando la definición de potencia, una relación entre el trabajo necesario para 
vencer un respectivo peso y elevarlo una altura, y el tiempo en que la masa se mueve, se 
puede decir para la ley de la palanca de Arquímedes, que: el sistema de palanca se 
http://www.geovirtual2.cl/geoliteratur/Schoedler/Schoedler-libro-naturaleza-tapa-1-01.htm
23 
 
 
Gráfica 1. El esquema de la izquierda muestra una palanca en equilibrio rotacional. A la derecha de la imagen, se muestra una palanca en 
la cual el torque causado por la resistencia es mayor. Tomado de: 
https://www.google.com.co/search?biw=1093&bih=530&tbm=isch&q=ley+de+la+palanca+de+arquimedes&sa=X&ved=0ahUKEwiR55Kq5
ODRAhVEHJAKHezUChcQhyYIGQ#imgrc=DMjkoKvnVTkXtM%3A 
 
encuentra en equilibrio rotacional, si la potencia por un brazo de la palanca es igual a la 
resistencia por el otro, tal como muestra la gráfica 2. Por lo tanto, se cuenta con un 
principio de conservación, una ley que además dará fundamentos a la consideración de la 
conservación del movimiento. 
 
 
 
 
Grafica 2. 
 
 
Matemáticamente si la potencia P y la resistencia R están relacionadas, entonces tal 
relación posee el siguiente modelo: 
𝑃 𝑅⁄ = 𝐾 1 
Ahora, se puede probar que tal relación es directamente proporcional para el caso 
del equilibrio, en cuanto se conserven las variables del medio. Por lo tanto, la ecuación 1, 
nos muestra la relación que postula la ley de la palanca, en términos de una cantidad K que 
es constante en estas condiciones. 
En ese lapso de tiempo, hasta el siglo XV D.C. aproximadamente, gran parte del 
quehacer filosófico y científico se dejó en manos de los alquimistas, quienes, adoptando la 
https://www.google.com.co/search?biw=1093&bih=530&tbm=isch&q=ley+de+la+palanca+de+arquimedes&sa=X&ved=0ahUKEwiR55Kq5ODRAhVEHJAKHezUChcQhyYIGQ#imgrc=DMjkoKvnVTkXtM%3A
https://www.google.com.co/search?biw=1093&bih=530&tbm=isch&q=ley+de+la+palanca+de+arquimedes&sa=X&ved=0ahUKEwiR55Kq5ODRAhVEHJAKHezUChcQhyYIGQ#imgrc=DMjkoKvnVTkXtM%3A
24 
 
 
idea de la materia viva, suponían el hecho de la evolución y buscaban de este modo, la 
posibilidad de acelerar tal proceso en los metales, experimentando para poder llevarlos a su 
estado más perfecto, el oro, causa que de forma natural demoraría demasiado. En ese 
progreso, desarrollaron técnicas de ensayo y error, y registraron sus resultados con avances 
en el ámbito: textil, metalúrgico, fabricación de cerámicas, entre otros. Esto era aceptado 
entre los alquimistas, porque, de acuerdo a las concepciones de los filósofos de la materia 
animada, todo proceso de transformación de la materia suponía la conservación de algo. 
Al final de este periodo, algunas vertientes de la filosofía nuevamente tienden a 
adoptar el pensamiento de los filósofos naturales. Con la aceptación de los átomos se hace 
cada vez menor el prestigio de los alquimistas, hecho que reitera de igual manera, la 
fundamentación en la idea griega de la conservación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
El principio de conservación en la física clásica. 
Mecánica. 
Hasta el siglo XVI d.C., durante la edad media, el hombre occidental había 
perfeccionado técnicas en el uso de fuentes naturales como: los ríos, los vientos, 
combustibles naturales, el calor del sol, el campo magnético, etc., todo esto sin que se 
explotara ninguno de ellos totalmente. Con la construcción de mejores herramientas se 
optimizaron las formas de realizar trabajo, por ejemplo: con la implementación de la rueda 
hidráulica en sistemas de riego y de molinos móviles, la magnetización de hierro dulce para 
el uso de la brújula, engranajes, palancas, el trineo, el plano inclinado, el arco, las poleas, el 
cabrestante, la catapulta, entre otros, herramientas que además eran construidas de metales 
cada vez más finos eran, por lo tanto, muestra del conocimiento empírico desarrollado a 
causa de la necesidad de realizar esfuerzos más y más grandes. Algunas de estas 
herramientasson evidencia también que el medio para subsistir que predominó fue la 
fuerza muscular, y en donde el desarrollo de cada una de éstas se direccionaba hacia el 
objetivo de mejorar lo que actualmente se define como potencia, idea que buscaba 
optimizar el proceso de realizar un trabajo a partir de la posición o ubicación de un cuerpo 
respecto al sistema, en la unidad de tiempo. Se puede inferir, que parte de este refinamiento 
de artefactos es consecuencia también de los sucesos de este periodo, por ejemplo: 
espectáculos como el de los gladiadores desaparecieron, la esclavitud entró en declive, 
surgieron algunas epidemias, eventos que condicionaron que la mano de obra del esclavo 
ya no fuera barata y, por tanto, el hombre buscó hacer mejor uso de lo que le brindaba su 
hábitat. Estas máquinas usaron principalmente el principio de la palanca. 
 
26 
 
 
Las ciencias de esta época abordaban teorías de pensadores tales como: Copérnico, 
Johannes Kepler, Giordano Bruno, Galileo Galilei, René Descartes, entre otros, quienes 
fueron epígonos o refutadores del legado griego. La búsqueda del conocimiento muestra 
que una de las estrategias para plantear algunos de los saberes, consistió en visualizar 
patrones en los fenómenos de estudio, sucesos que permanecían constantes o se repetían en 
el continuo cambio. Un ejemplo de esto es la victoria ante los tabúes que acarreaban la 
aparición de los cometas. Newton, por ejemplo, fue uno de los que ayudaron a separar los 
mitos del movimiento de los astros, fenómenos atados a la llegada de enfermedades y 
calamidades. En el Año de 1634 llegó el cometa Halley precedido de una plaga que azotó a 
Europa y del gran incendio de Londres, hechos que le reiteraban el apelativo al cometa de 
estrella maligna, que, en su raíz del griego antiguo, traduce: desastre. Para esta época, la 
influencia del trabajo de Newton, la investigación de algunos patrones en el movimiento de 
los astros y las observación y registros en tablas astronómicas de Nicéforo Grégoras, 
llevaron a Edmond Halley a describir el movimiento de los cometas y a predecir la 
aparición cada76 años del cometa de 1634 llamado en su honor, cometa Halley. Esta forma 
o tendencia de validar el conocimiento y construir ciencia vislumbraba la aparición del 
método científico, un esquema de procedimientos para observar la extensión de un modelo 
científico, que, aunque asediada por la inquisición de la época, conquistó el miedo y les dio 
a los hombres un mecanismo que permitía explorar tales apreciaciones de manera 
científica, usando: la teoría, el rigor y la técnica de la experimentación. 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
27 
 
 
Es Galileo Galilei (Pisa 15 de febrero de 1564 -Arcetri, 8 de enero de 1642), a 
quien se le adjudica un aporte significativo en el desarrollo de la Física. Entre algunos de 
estos, se puede resaltar el uso del método científico, el estudio del movimiento de los 
cuerpos con velocidad constante y acelerado, el estudio del péndulo, el mejoramiento del 
telescopio, el descubrimiento de cuatro satélites de Júpiter, de las montañas de la luna, de 
las manchas solares, entre otros. Descubrimientos y estudios que llevaron a Galileo Galilei 
a ser un reconocido científico del siglo XVII. Galileo defendió el sistema del universo 
Copernicano, hecho que sumado según se cuenta, a su egocentrismo y sed de conocimiento, 
le llevaron a tener problemas políticos. Pasó sus últimos ocho años de vida bajo arresto 
domiciliario, tiempo en el que se dedica a escribir varias de sus ideas y estudios que había 
trabajado sobre el movimiento. En particular, en el libro: “Discursos y demostraciones 
matemáticas en torno a dos nuevas ciencias”, Galileo deja de manifiesto que había leído a 
Arquímedes, y que entendía varios principios, por ejemplo, él sospechaba que el aire poseía 
peso, pues al tener peso ejerce un empuje hacia arriba y por lo tanto esto explicaría porque 
una piedra y una pluma no caerían al mismo tiempo, -un año después de la muerte de 
Galileo, Torricelli (Faenza, Italia, 15 de octubre 1608 - Florencia, Italia, 25 de octubre 
1647) probó que el aire pesa-. Construyó un modelo para calcular el ritmo de cambio en la 
velocidad que un cuerpo gana al caer, cantidad a la que se llama: aceleración “a”. Variable 
que sería utilizada más adelante para calcular el peso “w” de un cuerpo, una medida que es 
igual al producto de dos factores: la magnitud que mide una balanza llamada masa “m” y la 
aceleración. Por lo tanto: 
𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑎 2 
https://es.wikipedia.org/wiki/Pisa
https://es.wikipedia.org/wiki/15_de_febrero
https://es.wikipedia.org/wiki/1564
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Arcetri&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/8_de_enero
https://es.wikipedia.org/wiki/1642
28 
 
 
También entendía que era el peso la causa por la que los cuerpos caían a la tierra y 
no como lo planteaban por aquel entonces los Aristotélicos. 
Para probar esto usó su modelo del movimiento acelerado aplicado a la caída de los 
cuerpos e implementó los planos inclinados, un instrumento que le permitía demorar más 
los movimientos para tomar registro de estos. 
 
Galileo, con el estudio de los planos inclinados logró encontrar las características de 
los movimientos con aceleración uniforme, y es que, se podría decir que sin el uso del 
cálculo que se formuló una generación más tarde, es muy complejo el lograr encontrar tales 
características; y sin embargo, Galileo al igual que Nicole Oresme (Fleury-sur-
Orne 1323 - 11 de julio de 1382) establecieron las ecuaciones matemáticas del movimiento 
uniforme acelerado. Galileo, encontró experimentalmente que cuando los cuerpos se 
aceleran de forma constante cumplen la sucesión de los números impares, relación que se 
obtiene entre el desplazamiento “s” realizado por cada unidad de tiempo “t”, tal como 
muestra la gráfica 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
gráfica 3. Modelo del plano inclinado de Galileo, con la relación de espacio y tiempo para un movimiento 
uniformemente acelerado. 
https://es.wikipedia.org/wiki/1323
https://es.wikipedia.org/wiki/11_de_julio
https://es.wikipedia.org/wiki/1382
29 
 
 
Así, en una unidad de tiempo un móvil bajo aceleración uniforme recorre una 
unidad de distancia, para la siguiente unidad de tiempo el móvil recorrería tres unidades de 
distancia, y se repite sucesivamente para cada instante de tiempo, recorriendo en unidades 
de distancia un número de la sucesión: 
1, 3, 5, 7, 9 , . . . , (2n– 1), … 
 Además, comprendió que tal desplazamiento también se puede obtener sumando las 
unidades de tiempo, es decir, para una unidad de tiempo se tiene una unidad de distancia, 
para dos unidades de tiempo se tienen cuatro unidades de distancia, y así respectivamente, 
notando que el desplazamiento “s” en un movimiento acelerado uniforme es directamente 
proporcional al cuadrado del tiempo “t”, de modo que se puede establecer la siguiente 
expresión: 
𝑆(𝑡) = 𝑐 ∗ 𝑡2 3 
Donde “c” corresponde a la constante de proporcionalidad y numéricamente quiere 
decir que es la distancia que recorrería el cuerpo durante un segundo. Con respecto a la 
caída de los cuerpos, Galileo encontró que la aceleración “a” sería igual a “2c”, llamemos a 
esta cantidad g, por tanto, g = 2c. De este modo, las expresiones para el desplazamiento 
𝑆(𝑡), la aceleración 𝑎(𝑡) y la velocidad 𝑣(𝑡), con el lenguaje matemático actual, quedarían: 
𝑆(𝑡) =
𝑔
2
∗ 𝑡2 4 
𝑉(𝑡) = 𝑔 ∗ 𝑡 5 
𝑎(𝑡) = 𝑔 6 
𝑣2 = 2𝑔𝑠 7 
30 
 
 
 Galileo al igual que Oresme, llegaron a estos resultados utilizando similares 
elementos matemáticos, con razones y proporciones entre cantidades y figuras geométricas 
-Ellos expresaron estos modelos en un Álgebra sincopada, pues era el simbolismo usado en 
la época para el lenguaje matemático, una mezcla de un lenguaje en parte geométrico, en 
parte cuantitativoy también de una parte del lenguaje natural-. 
 
Los experimentos también le condujeron a una aguda idea, suponga la figura 4. En 
cada caso hay dos planos inclinados, a derecha e izquierda respectivamente. Él comprendió 
que el movimiento que adquiría la esfera para el caso A, B, C o D de la figura, era a causa 
de la altura en la que soltaba la esfera, además, si unimos otro plano inclinado en la base tal 
como muestran los literales A, B y C de la gráfica, sin importar el recorrido ideal -Lo que 
se podría observar cuando se pulen las superficies más y más, y en la situación límite, de 
unas superficies sin fricción. Hecho que demanda la visualización de una situación ideal, un 
experimento mental- la esfera alcanzaría un punto en el actual plano que coincide con la 
altura desde donde fue soltada. 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4. 
 
Grafica 4. En ésta, se representa cuatro modelos, tres de ellos: A, B y C, poseen dos planos unidos en la base 
respectivamente. En cada caso, varía el ángulo de inclinación de cada plano. En el modelo D, solo aparece un plano. 
Tomado de: http://impresionesmiguel.blogspot.com.co/2011_07_01_archive.html 
32 
 
 
Haciendo una comparación con el principio de palanca, podríamos pensar que cada 
plano funciona como un brazo de la palanca, y que la capacidad de moverse que adquiere la 
esfera a partir de su altura se traduce en la potencia que esta puede desarrollar en el 
descenso, y que la resistencia corresponde entonces, a la potencia que se necesitaría para 
hacer subir la bola en el plano opuesto en contra de su peso, equiparando ese trabajo 
realizado. Tal vez, Galileo usó este principio para confiar en los resultados de sus 
experimentos, pues hay que recordar que tal experiencia solo podría darse si las 
condiciones de la prueba son ideales, experimentos que omiten toda clase de intervención 
externa, como por ejemplo el rozamiento. Tal seguridad también pudo deberse al uso que 
hizo de las matemáticas, en todo caso, concluyó que, si la esfera pudiera rodar idealmente 
sin tener que equilibrar el potencial que le permitía moverse, tal como se muestra en el 
literal D de la figura 4, entonces, ésta seguiría hacia el infinito, siempre con la misma 
velocidad, sin perturbaciones de rozamiento la esfera entonces se movería perenemente 
alrededor de la tierra, es decir, describiendo trayectorias circulares. A esto lo definió como 
un principio del movimiento. Y es una ley, que se traduce en un principio de conservación, 
y aunque Galileo Galilei no lo expuso, contribuyó significativamente al surgimiento de 
nuevos fundamentos. 
Galileo Galilei se opuso a muchos principios Aristotélicos, su ley de la inercia -
aunque él no le llamase así- es un ejemplo de ello. Al final, la iglesia católica, reconoció 
que no manejó adecuadamente el caso de Galileo, el papa Juan Pablo Segundo, repaso las 
palabras que Galileo escribió algún día en una de sus cartas, y dijo: que las sagradas 
escrituras no se equivocaban, que la cuestión dependía de sus intérpretes y que la ciencia y 
la religión no debieran de entrar en conflicto. Cuentan las anécdotas, que Galileo cuando 
33 
 
 
fue llevado a su confinamiento domiciliario, dijo: “y sin embargo se mueve”. Actualmente 
su cuerpo yace en la catedral de Santa Cruz de Florencia. 
En el siglo XVII, el filósofo René Descartes (Turena, 31 de marzo de1596-
Estocolmo, 11 de febrero de 1650), escribe el material sobre algunas leyes del movimiento. 
René Descartes, fue un hombre apasionado por las matemáticas, la metafísica, la filosofía, 
el arte, por los viajes y la guerra, pero en estas últimas, su interés al parecer se centraba más 
por la idea de conocer las sociedades. Así mismo como viajó, paso largos tiempos en 
solitario, tiempo en el que plasma su pensamiento creciendo entre los Jesuitas. Basado en la 
idea de su geometría analítica, no cree en la teoría del átomo y el vacío, pues para 
Descartes, la causa del movimiento era Dios, y si el átomo fuera una partícula indivisible, 
entonces sería además un elemento que retaría el accionar divino. Entre las ecuaciones para 
el movimiento de Rene Descartes se tienen siete principios, los cuales en palabras de 
Alinovi (2007) se enumeran así: 
 El origen del movimiento lo otorga a Dios, él es la esencia de todo. Según 
Descartes, este hecho no discrimina al movimiento. 
 Las ecuaciones del movimiento, son las reglas que Dios creó para dar un 
orden al caos que fue el inicio de la creación. 
 Las matemáticas son el lenguaje que pueden descifrar el problema del 
movimiento -Descartes, conocía sobre curvas y algebra, y logró en sus obras 
unificar estas ramas con el ideal de asociar un único número a un punto del 
espacio- porque estaba convencido que era este lenguaje el que usó Dios 
para crear el universo. 
https://es.wikipedia.org/wiki/31_de_marzo
https://es.wikipedia.org/wiki/1596
https://es.wikipedia.org/wiki/Estocolmo
https://es.wikipedia.org/wiki/11_de_febrero
https://es.wikipedia.org/wiki/1650
34 
 
 
 La ley del movimiento constante es otro de sus principios, en este afinaba el 
postulado de Galileo sobre la idea de inercia, en cuanto a que, para 
Descartes, esta ley se desarrolla en línea recta, en Galileo, sin embargo, era 
un movimiento que seguía una trayectoria circular. 
Los otros principios que postuló para el movimiento se enfocan en la pregunta ¿qué 
y cómo se puede sacar a un objeto de su estado de reposo? Para Descartes, fue coherente el 
argumento de Galileo que dice que un cuerpo mantendría su velocidad constante a menos 
de que algo le alterase, y tal situación solo era posible al interactuar con otros cuerpos, por 
lo tanto, estudiar las variaciones en la velocidad eran cuestión de observar las colisiones de 
los cuerpos. Entre los principios que describen este tipo de fenómeno, están: 
 Una masa de menor valor, no podrá mover en lo absoluto otro cuerpo 
masivo al momento de chocar. Esta ley, muestra que Descartes perpetraba 
los experimentos en su mente y que no realizó los suficientes ensayos al 
respecto, pues este principio no considera masas con un grado muy pequeño 
de diferencia, a esta escala no sería acertado el enunciado. 
 Asume los choques como un tipo de disputa, donde existe el vencedor quien 
es el que impone su carácter. 
 Para Descartes, el reposo y la velocidad son dos estados diferentes de 
movimiento. 
Estos tres, son los postulados que fueron considerados erróneos y serían 
replanteados por conocedores de las teorías de Descartes años después. La cantidad de 
movimiento fue uno de sus grandes aciertos, concepto que entendió dependía de la masa y 
35 
 
 
de la velocidad del sistema, y por tanto lo define como el producto de estas dos. Así, sean: 
la cantidad de movimiento P, la masa M y la velocidad V respectivamente, se tiene: 
𝑷 = 𝑀 ∗ 𝑽 8 
Este principio es de gran interés, pues de acuerdo a Descartes, al ser Dios quien les 
dio movimiento a los cuerpos, esta cantidad debería de poseer un valor fijo en el universo y, 
por lo tanto, sumar la cantidad de movimiento de todos los cuerpos llevará a un resultado 
invariante. En términos de Rene Descartes se diría: Dios conserva el movimiento del 
universo. 
Christiaan Huygens (La Haya, 14 de abril de 1629-ibídem, 8 de julio de 1695) 
realizó estudios en Física, Astronomía y Matemáticas, construyó telescopios que superaron 
en alcance y nitidez a la mayoría de los de su época, con estos, descubrió a Titán, luna de 
Saturno y las formas de los anillos de Saturno. Su interés por las ciencias le llevó a viajar 
reiteradamente a Londres y París. En aquellos viajes, conoció los trabajos de Leibniz y 
Newton, del cálculo de probabilidades de Fermat y Pascal, y de la mecánica de Descartes, y 
estaba en general familiarizado con los avances científicos de la época en su área de interés. 
En 1663 fue elegido miembrode la Royal Society. Su estudio sobre el movimiento lo 
desarrolló principalmente en colisiones, teoría que presenta en 1669 a la Real Sociedad que 
por ese entonces buscaba comprender las características de los choques. 
 
Con siete leyes al igual que Descartes, Huygens modeló sus principios del 
movimiento. El comprendió, que para ciertos casos de la mecánica Cartesiana existían 
discordias en algunos de ellos con respecto a los experimentos, cuestión en la que trabajó. 
https://es.wikipedia.org/wiki/La_Haya
https://es.wikipedia.org/wiki/14_de_abril
https://es.wikipedia.org/wiki/1629
https://es.wikipedia.org/wiki/Ib%C3%ADdem
https://es.wikipedia.org/wiki/8_de_julio
https://es.wikipedia.org/wiki/1695
36 
 
 
Para hablar sobre las colisiones, se fundamentó en la cantidad de movimiento. Entendió que 
tal como lo plantea Descartes en cuanto al valor del producto de velocidad por masa, este 
módulo, es un resultado que no siempre se conserva si no se tiene en cuenta la dirección de 
la velocidad, es decir, asumiendo a la velocidad como una cantidad que más adelante se 
llamaría: cantidad vectorial. También notó que al hacerlo de esta forma se complicarían los 
cálculos cuando se trata de un número mayor a dos colisiones. Buscando tal vez un modo 
de optimizar tal proceso sin omitir el fundamento de la conservación, descubrió que 
teóricamente el producto de la masa por el módulo de la velocidad al cuadrado en un 
choque, no varía en cantidad. De esta manera, precisó el principio de conservación de la 
cantidad de movimiento con una expresión que, aunque para él no tuviera significado físico 
resolvía el problema de las direcciones y sentido en los choques. “Huygens encontró que: 
La suma de los productos entre la masa y el cuadrado de la velocidad de cada cuerpo era la 
misma antes y después del choque” (Alinovi, 2007, p.46). Esto es, si dados dos cuerpos 1 y 
2, estos interactúan en una colisión, entonces: 
 (𝑚𝐴 ∗ 𝑣𝐴
2)1 + (𝑚𝐴 ∗ 𝑣𝐴
2)2 = (𝑚𝐷 ∗ 𝑣𝐷
2)1 + (𝑚𝐷 ∗ 𝑣𝐷
2)2 9 
Dónde: MA y VA son la masa y la velocidad antes del choque y, MD y VD los datos 
después del choque respectivamente. En este modelo, solo interesa la magnitud de la 
velocidad. Sus últimos estudios los dedicó a la óptica. Murió en Holanda. 
 
Gottfried Wilhelm Leibniz, (Leipzig, 1 de julio de 1646-Hannover, 14 de 
noviembre de 1716) fue uno de los grandes pensadores de su época. Algunos estudiosos de 
Leibniz lo describen como el ultimo genio Universal y dicen sobre él que fue un hombre de 
mucha lectura, estudio y escritura, una persona dedicada a la matemática, física, geología, 
https://es.wikipedia.org/wiki/Leipzig
https://es.wikipedia.org/wiki/1_de_julio
https://es.wikipedia.org/wiki/1646
https://es.wikipedia.org/wiki/Hannover
https://es.wikipedia.org/wiki/14_de_noviembre
https://es.wikipedia.org/wiki/14_de_noviembre
https://es.wikipedia.org/wiki/1716
37 
 
 
lógica, religión, jurisprudencia e historia. Son vastos los trabajos de Leibniz, pero el 
enfoque que desarrolló sobre el producto sin significado físico que introdujo Huygens, es 
en el que nos centraremos. En relación a la Física, Leibniz, ahonda en el estudio de la 
mecánica -teniendo en cuenta que fue un crítico y analista de la teoría Cartesiana- 
abordándole, con la admiración que poseía por Rene Descartes. Se fundamenta en los 
principios cartesianos para las colisiones, y a partir de ello, comparte la idea de Huygens. 
Con este referente, Leibniz construye la teoría sobre la vis viva. 
Al revisar los supuestos cartesianos sobre la cantidad de movimiento y su principio 
de conservación, él está de acuerdo en que tal fundamento de conservación es válido en 
tanto se asuma una causa diferente para el movimiento. Esto muestra que Leibniz no creía 
que el concurso ordinario divino de Descartes fuera la fuente de conservar en el 
movimiento, y sospechaba que tal conservación debía de estar ligada a algo más 
generalizado que la cantidad de movimiento, él pensaba que se debía de escudriñar en lo 
que fuera la causa de esta cantidad. Ya en tiempos anteriores se había analizado el concepto 
de fuerza -como por ejemplo lo habían hecho Arquímedes o Galileo para casos 
particulares- y aunque si bien, se le había abordado únicamente en términos estáticos, no 
era un concepto que comprendiera cualquier ámbito mecánico, noción que decidió precisar 
introduciendo la fuerza viva y la fuerza muerta. 
 
De acuerdo a la concepción de Leibniz, la vis viva o fuerza viva -derivado de la raíz 
del latín: violencia - era la causa del cambio de movimiento de un cuerpo, ya sea para el 
caso de un objeto a velocidad constante o de un objeto que se encontrase en reposo. Las 
ideas mecánicas de Leibniz se fundamentan en un movimiento relativo, y al refutar el 
38 
 
 
movimiento absoluto que postulaba Descartes, el análisis revela que, para él, el movimiento 
en sus características de reposo o velocidad no podrían ser una manifestación diferente del 
fenómeno. Según Leibniz, debía de existir algo que indujera los movimientos, una fuerza 
inseparable al movimiento perpetuo, pero a la vez inalterable desde cualquier interacción 
física, a esta fuerza incitadora de movimiento, la llamó la fuerza viva. 
Pero al buscar medir la fuerza, comprendió por ejemplo con respecto a la cantidad 
de movimiento de Descartes, que: para el fenómeno de caída libre, si se soltaran dos 
objetos con diferentes masas desde una misma altura, uno haría más daño al alcanzar el 
suelo, este era entonces un caso que posibilitaba medir la fuerza -esto era lo que había 
encontrado ya Galileo en su interpretación del peso- También entendió de los resultados de 
Galileo, que el ímpetu que adquiere un cuerpo desde una altura, debe ser el mismo que se 
necesita para elevarlo a tal posición, por tanto, sostuvo que en este tipo de fenómenos una 
medida de la fuerza era la altura, así, es perfectamente evidente, decía Leibniz, que el 
impacto depende de dos cosas: de cuánto pesa el objeto y desde qué altura “h” cae. Si 
llamamos “U” a la vis viva de Leibniz, entonces: 
𝑈 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝑚 ∗ ℎ) 10 
 Pero en un objeto que rueda horizontalmente, como una pelota ¿dónde entra la 
altura en tales medidas? por lo que, Leibniz se dio cuenta de que no era la altura lo 
realmente importante, sino la velocidad. Él sabía - de la ecuación 7- la relación entre 
velocidad y altura para el movimiento de aceleración constante, así: 
𝑈 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝑚 ∗ 𝑣2) 11 
39 
 
 
Finalmente, la relación de esta fuerza se manifestaba entonces en el producto que 
había descubierto Huygens en sus análisis, por tanto, la fuerza viva dependía de la masa y 
del cuadrado de la velocidad. Tal vez Leibniz supuso que Huygens no encontró el 
significado físico de esta medida de colisiones porque ciertamente esta expresión es 
consecuencia de un principio de carácter metafísico, una ley que era la responsable del 
movimiento, y precisó que era la fuerza viva la que permanece inalterable en el universo. 
Alinovi (2007) afirma que para Leibniz: “reposo y velocidad no pueden ser sino diferentes 
fenómenos relativistas, y que la fuerza es la que permite el pasaje de la metafísica a la 
naturaleza” (pág.52). En el caso de los objetos que no poseen movimiento, decía Leibniz, 
esto se debe a efectos de la fuerza muerta, la fuerza muerta viene siendo entonces, la acción 
que se da para perdurar un sistema en un estado de reposo relativo. Al final de su carrera, el 
suceso tal vez más importante en matemáticas durante siglos, hizo que Von Leibniz e Isaac 
Newton sacrificarán la dicha de su descubrimiento en una amarga discusión sobre quien fue 
su primer inventor. 
 
Isaac Newton (Woolsthorpe, 25 de diciembre de 1642-Kensington, Londres; 31 de 
marzo de 1727) Algunos científicos de la época y de la actualidad, consideran a Newton 
como el físico más grande de la historia y es que además de ser un gran Físico,fue 
también, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático. Newton, al igual que 
Leibniz, introducen una poderosa herramienta matemática para el análisis en el cambio de 
las cosas. Usando un lenguaje de precisión y elegancia, él logra describir el 
comportamiento y las causas del universo mecánico, un lenguaje que ya era necesario por 
aquel entonces, pues desde Copérnico, el mundo Aristotélico se había perturbado, y los 
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Woolsthorpe&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/4_de_enero
https://es.wikipedia.org/wiki/1643
https://es.wikipedia.org/wiki/Kensington
https://es.wikipedia.org/wiki/Londres
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
https://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofo
https://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3logo
https://es.wikipedia.org/wiki/Inventor
https://es.wikipedia.org/wiki/Alquimista
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
40 
 
 
fenómenos físicos demandaban argumentos más sólidos. Newton, había encontrado la 
forma de calcular el ritmo de cambio instantáneo en una función, y así fue, como logró 
estudiar problemas referentes a las rectas tangentes, la velocidad, la aceleración, la cantidad 
de movimiento, entre otras. 
Para ese entonces ya se habían entendido las características del movimiento de la 
caída de los cuerpos y de los proyectiles, ideas sobre el reposo y movimiento habían 
surgido a partir del principio que tiempo después se llamó inercia, se habían presentado 
leyes sobre los movimientos planetarios, pero no había ninguna teoría unificadora, hasta 
que aparece el libro: Philosophiæ naturalis principia mathematica de Isaac Newton, con 
un conjunto de ideas que restablecieron el orden entre el cielo y la tierra. Newton era 
conocedor de los adelantos que en física y astronomía se habían realizado, y sus ideas, 
perfeccionaban en su esencia, los principios de inercia y de fuerza. 
 
El principio de inercia, al cual Newton llamó axioma o ley uno, recogía las ideas de 
Galileo y Descartes, pero él, no distinguió entre reposo y velocidad como dos estados de 
movimiento diferentes, al reposo lo consideró como el estado de movimiento con velocidad 
igual a cero, y con esto, dijo que todo cuerpo mantendría su movimiento a velocidad 
constante y en la misma dirección, a menos que sobre el actuara una fuerza. Para aclarar la 
idea de fuerza, él postula su segunda ley, donde se describe que la fuerza es una interacción 
que se puede medir teniendo en cuenta que es directamente proporcional a la masa y a la 
aceleración de un cuerpo. Por último, agrega el principio de acción y reacción, pero lo 
define a partir de su medida de fuerza. Realizando algunas consideraciones sobre estos 
principios, se puede intuir que Newton entendía que: 
41 
 
 
 La segunda ley, asumía ser función vectorial, pues tanto la fuerza “F” como 
la aceleración, debían de tener la misma dirección. 
 La aceleración es la derivada de una derivada, es decir, es la rapidez, con 
que varía la rapidez de cambio del desplazamiento. 
 La fuerza es el ritmo de cambio de la cantidad de movimiento. 
Haciendo una pausa en este punto, el argumento se refiere como lo decía Newton en 
su primera ley, que el cambio en la cantidad de movimiento -que la velocidad se modifique 
en modulo y/o dirección- era una consecuencia de una interacción, y ya por Descartes y 
Huygens se entendía que tal fenómeno era posible en los choques, por tanto: 
𝑭 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑷 12 
De la anterior expresión y de la ecuación 8, si la masa es constante se tiene: 
𝑭 = 𝑚 ∗ 𝒂 13 
 
 El principio de acción reacción es consecuencia del principio de 
conservación del momento, pues tal como lo decía Descartes, el movimiento 
que gana un cuerpo en una colisión, es causa de la perdida en la cantidad de 
movimiento de otro, y viceversa. Así, la tercera ley de Newton establece 
que, siempre que un objeto interactúe con otro, el cambio en la cantidad de 
movimiento que éste experimente, es de igual magnitud y dirección, pero en 
sentido opuesto, al cambio en la cantidad de movimiento del otro cuerpo, o 
en términos de fuerza, un objeto que ejerce una acción sobre un segundo 
42 
 
 
objeto, experimenta una fuerza de igual magnitud y dirección, pero en 
sentido opuesto. 
 Es posible conocer las características en el movimiento de los astros con el 
uso de sus principios y de su ley de la gravitación universal. Él afirmó que, 
entre los planetas y estrellas, gobierna una fuerza invisible y a distancia, una 
fuerza que los sujeta a su perpetuo movimiento en trayectorias elípticas, es 
decir, que dos objetos masivos, por el hecho de tener masa, experimentan 
cada uno, una fuerza atractiva. Sin embargo, hay que decir, que Kepler había 
dedicado su trabajo a este asunto, y el estudio en el comportamiento de los 
astros con sus tres leyes, fueron fundamentos en la construcción de la teoría 
para la ley de gravitación universal, al igual que las observaciones y 
registros astronómicos tomados por Tycho Bhahe. Lo que Newton verifica, 
es que, a partir de su ley de gravitación, se llega a los resultados que había 
descubierto Kepler. 
 Es posible llegar al espacio. Con su teoría de la gravitación universal y sus 
principios del movimiento, logró encajar en sus modelos, el comportamiento 
mecánico de los objetos en la tierra y en el cielo, el notó que todo respeta 
unos principios fundamentales, y que no existe discriminantes entre espacio 
y tierra -en sus palabras dice: “porque de esas fuerzas, deduje el 
comportamiento de los planetas, de los cometas, de la luna, y del mar”- de 
este modo, él asoció, una ley de movimiento con una ley de atracción. 
 Entendió que la causa de una interacción atractiva entre cuerpos, era 
consecuencia de la masa, pero no entendió el ¿por qué? de esa relación -así, 
43 
 
 
continuó tal interrogante, por lo menos hasta unos trescientos años más- lo 
que él si comprendió, fue que tal principio si funciona. 
Es seguro, que, con estas conclusiones, Newton podría haber dejado un trabajo 
exitoso para el resto de su vida, pero no paró en continuar, y entre otros descubrimientos 
científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz, en matemáticas por ejemplo, 
también desarrolló el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes, reveló una ley 
de convección térmica, fue un pionero en el estudio de los fluidos donde analizó la 
velocidad de propagación del sonido en el aire, propuso una teoría sobre el origen de 
las estrellas, y otras cosas más. 
 
Al final, en cuanto al principio de conservación, se sabe que Descartes no alcanzó a 
conocer los argumentos de Leibniz sobre la fuerza viva, pero los predecesores que 
defendían la teoría cartesiana entrando en un tipo de confrontación con quienes defendían 
los principios de la fuerza viva, buscaron definir cuál era la cantidad que realmente se 
conservaba en mecánica, si la cantidad de movimiento o la fuerza viva. Y la disputa sobre 
la querella de las fuerzas vivas, que se había dado entre los seguidores de Leibniz y 
Descartes, pasó después, a una discusión entre los seguidores de Leibniz y Newton. 
 
Newton, también desestimaba la conservación de la fuerza viva, porque tal cantidad 
de conservación fallaba a la hora de considerar choques inelásticos y otros fenómenos con 
carácter de disipación. Por ejemplo, suponga, que deja caer libremente una esfera de goma 
desde una altura h, si tal cantidad de fuerza viva se conserva, entonces es, porque la pelota 
https://es.wikipedia.org/wiki/Luz
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton-Cotes
https://es.wikipedia.org/wiki/Convecci%C3%B3n_t%C3%A9rmica
https://es.wikipedia.org/wiki/Convecci%C3%B3n_t%C3%A9rmica
https://es.wikipedia.org/wiki/Estrella
44 
 
 
nuevamente debería retornar a la altura inicial. Sin embargo,para los defensores de la teoría 
de la fuerza viva, este hecho lo suponían como consecuencia de la deformación de los 
cuerpos en las colisiones, así, la fuerza viva que desaparece en este tipo de interacciones, 
era empleada por los cuerpos en sí, al momento de su deformación, tal como lo afirmó 
Johan Bernoulli. Es en el siglo XVIII, que, Jean le Rond D'Alembert, muestra que las dos 
afirmaciones, la conservación de la cantidad de movimiento y la fuerza viva, en realidad 
son válidas ambas -le dio el factor de 1/2 a la ecuación 11, y también expuso la expresión 
para el trabajo como la integral curvilínea de la fuerza a lo largo de la curva que une dos 
puntos- al relacionar estas dos magnitudes, como: el teorema de trabajo-fuerza viva. Más 
adelante, Tomas Young nombra a la fuerza viva como energía, y finalmente, Gaspard 
Gustave Coriolis es quien define el trabajo y la energía cinética, tal cual hoy le conocemos. 
 
A continuación, se muestran algunos resultados importantes bajo la definición de 
trabajo. Hasta ahora se ha interpretado a la energía cinética como la capacidad que tiene 
una partícula de producir trabajo en virtud de su movimiento. Para ello es necesario 
entonces introducir una definición más general de trabajo, sea el trabajo W, se define como 
trabajo a la integral de línea del producto escalar entre el vector fuerza y el vector 
desplazamiento. 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_d'Alembert
45 
 
 
Esta integral, no puede evaluarse hasta que no se pueda decir como varía la fuerza 𝑓 
y el ángulo 𝜃 de punto a punto a lo largo de la trayectoria, dado que las dos variables son 
funciones de las coordenadas de posición de la partícula. 
 Si la capacidad de una partícula de producir trabajo no ha cambiado en un recorrido 
de ida y vuelta, se dice que la capacidad se conserva, en este caso, la fuerza neta 
involucrada se conoce como fuerza conservativa, esto es que el trabajo neto efectuado en 
un viaje de ida y retorno es cero, en otras palabras, una fuerza es conservativa si el trabajo 
efectuado por ella sobre una partícula que se mueve, depende únicamente del punto inicial 
y final de la trayectoria. 
Un ejemplo de este tipo de fuerzas conservativas corresponde a la interacción entre 
cuerpos por el hecho de éstos poseer masa. Newton llamó a esta fuerza atractiva, fuerza 
gravitacional y a su expresión la definió como ley de gravitación universal. Si 
consideramos la figura 5: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Modelo de una trayectoria, donde un punto se mueve de 𝑠 𝑖 hasta 𝑠 𝑓. 
46 
 
 
Donde se examina una partícula de masa “m” que describe un recorrido por la curva 
C, el cual pasa por los puntos 𝑠 𝑖 y 𝑠 𝑓, si los efectos de ese desplazamiento, lo atribuimos a 
la fuerza gravitacional que existe entre la partícula de masa m y otra de masa “M” ubicado 
en el origen del sistema de referencia, entonces, se pueden considerar pequeños aportes de 
esta fuerza a través de pequeños intervalos de la curva, y los cálculos que se obtienen de esa 
suma puedan aproximar el efecto de la fuerza por la curva “c” desde el punto 𝑠 𝑖 hasta 𝑠 𝑓, 
esto es, calcular el trabajo realizado sobre la partícula al moverse a lo largo de la curva C. 
El trabajo realizado al moverse la partícula de un punto inicial a uno final, para tales 
cálculos es: 
𝑊 = ∫ 𝒇 ∙ 𝒅𝒔
𝐶
= ∫
−𝐺𝑚𝑀
‖𝒓‖𝟐
𝒓
‖𝒓‖
∙ 𝒅𝒔
𝑠𝑓
𝑠𝑖
= −𝐺𝑚𝑀 ∫
𝑑𝑟
‖𝒓‖𝟐
𝑟𝑓
𝑟𝑖
= 𝐺𝑚𝑀 (
1
𝑟𝑓
−
1
𝑟𝑖
) 15 
Note que: 𝒇 =
−𝐺𝑚𝑀
‖𝒓‖𝟐
𝒓
‖𝒓‖
 , con: 𝒓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) y ‖𝒓‖ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, además: 
𝒓
‖𝒓‖
∙ 𝑑𝒔 =
𝑑𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑𝑟 
En este caso, la expresión: 
𝑈(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) − 𝑈(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = 𝐺𝑚𝑀 (
1
𝑟𝑖
−
1
𝑟𝑓
) 16 
Corresponde, por lo tanto, a una cantidad llamada potencial de Newton –una suma 
almacenada en el sistema de dos masas, por el efecto de realizar un fuerza que desplazó una 
de las masas desde el punto inicial, hasta el final- En el caso de una partícula ubicada por 
ejemplo en la superficie de la tierra y que experimenta un desplazamiento en dirección 
47 
 
 
radial, éste desarrolla un cambio en la cantidad U, y para calcular esta diferencia, 
suponemos convenientemente que la cantidad inicial que posee U, es cero de acuerdo a la 
posición de referencia en la superficie –puesto que los trayectos desarrollados por estos 
cuerpos en la superficie comparados con el radio de la tierra, son relativamente pequeños- 
por lo tanto, tal almacenamiento de esa cantidad depende de 𝑟. Para comprobar ese hecho, 
supongamos que el campo de fuerza gravitacional es constante -afirmación correcta para la 
mayoría de fenómenos que se han usado, pues en cada uno de ellos la comparación entre 
las distancias de los recorridos y el radio de la tierra, es pequeña- de este modo, apoyándose 
en la segunda ley de Newton se tiene: 
 
 𝑊 = ∫ (0,0, −𝑚𝑔) ∙ 𝒅𝒔
𝑠𝑓
𝑠𝑖
= −𝑚𝑔 ∫ 𝑑𝑧
𝑧𝑓
0
= −𝑚𝑔(𝑧𝑓) 17 
 
Note que: 𝒇 = −𝑚𝑔 �̂� , con: 𝒅𝒔 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) y 𝑔 como la magnitud de la aceleración 
causada por la fuerza de gravedad. 
Este resultado, es el que se presentó en la expresión 10, cuando se introdujo la vis 
viva de Leibniz. Con ayuda de las herramientas del cálculo, se prueba que, la discrepancia 
entre una y otra teoría de conservación realmente no existe, dado que, para el caso de las 
interacciones a causa de un campo gravitacional, se tiene: 
 
𝑑
𝑑𝑡
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −∇ (𝐺𝑚𝑀
1
𝑟(𝑡)
) 18 
 
48 
 
 
Al obtener el gradiente de U, vemos que el resultado será, la ley de gravitación, 
análogamente, si se calcula el gradiente de la expresión 17, se llega a la segunda ley de 
Newton. 
De manera general, en un movimiento la relación entre la fuerza neta conservativa y 
esta capacidad de que una partícula desarrolle un desplazamiento debido a su posición, 
será: 
 
𝑑
𝑑𝑡
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −∇(𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧)) 19 
En donde la función 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) llamada energía potencial, se define como una 
función de la posición tal que el negativo de su derivada direccional es igual a la fuerza. 
La expresión 19, también se puede ver como: 
 𝛥𝑈 = −𝑊 = − ∫ 𝒇(𝑟) ∙ 𝑑𝒓
𝑟𝑓
𝑟𝑖
 20 
Es de notar que se ha escrito en la expresión 18, 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧), aunque lo que realmente 
se está calculando son los cambios de 𝑈, es decir 𝛥𝑈. Por lo tanto, esto significa que la 
elección de un punto de referencia para la energía potencial no tiene mucha importancia 
según la expresión 18, porque siempre se trabajará con las diferencias de energía potencial. 
Otra conclusión importante de esta expresión, es que la energía potencial solo se podrá 
calcular cuando la fuerza neta dependa únicamente de la posición de la partícula, es decir 
para fuerzas conservativas. 
 
49 
 
 
Pero, ¿esto qué significa? por ejemplo, como se podría explicar: ¿de qué forma, 
iniciaron tales objetos su movimiento? Y es que una vez que están en marcha estos objetos, 
¿por qué es que se detienen? Se miró, que una idea que puede sustentarlo es la 
conservación. Si se piensa en el peso, se conocía que el esfuerzo necesario para levantar 
una masa, dependía del peso y de la altura, es decir, que, si un objeto experimenta una 
fuerza conservativa “f”, como el peso -aproximación válida en el caso de evaluarse a una 
altura relativamente pequeña comparada con el radio de la tierra- durante un 
desplazamiento, el trabajo sería igual al producto de la fuerza por la distancia recorrida. De 
este modo, si levantamos una masa a una altura “h” sobre el suelo, de la expresión (17), el 
trabajo W será: 
 𝑊 = 𝑓 ∗ ℎ 21 
 
En este caso, la fuerza se utiliza para vencer la gravedad al levantar el peso a una 
cierta