Fundamentos dinámica de cuerpo rígido

Vista previa del material en texto

Cuerpo Rígido.
Es aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y maquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas.
Fuerzas externas e internas que actúan sobre un cuerpo rígido.
· Fuerzas externas.- Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o aseguran que este permanezca en reposo.
· Fuerzas internas.- Son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Si éste está constituido en su estructura por carias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.
Principio de transmisibilidad.
Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si unas fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.
Fuerzas equivalentes.
Las dos fuerzas F y F’, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes.
Producto vectorial.
Una operación binaria sirve para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido. “El momento de una fuerza con respecto a un punto.”
· La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q.
· La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado por P y Q. “V=PQ (Senθ)”
· La dirección de V se obtiene por la regla de la mano derecha.
· El vector V se conoce como el producto vectorial de P y Q. “V=P×Q”
Productos vectoriales expresados en función de componentes rectangulares.
Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son:
i×i= 0		j×i= -k		k×i= j
i×j= k		j×j= 0		k×j= -i
i×k= j		j×k= i		k×k= 0
Momento de una fuerza con respecto a un punto.
El momento de una fuerza con respecto a un punto O, es el producto vectorial de r y F donde r es el vector de posición de puntos de aplicación de la fuerza A.
Mo = r×F
De acuerdo a la definición del producto vectorial, el vector Mo es un vector perpendicular al plano que contiene a r y F y su magnitud es la siguiente:
Mo = rF (Senθ) → r (Senθ) = d → Mo = dF
Donde d es la distancia perpendicular desde O a la línea de acción de la fuerza.
La magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo rígido de un eje fijo a lo largo de Mo.
Componentes rectangulares del momento de una fuerza.
Dados de una fuerza F y su vector de posición en función de sus componentes rectangulares se tendrá lo siguiente:
r = xi +yj +zk		 Mx = y Fz – z Fy
F = Fx i + Fy j + Fz k	 My = z Fx – x Fz
Mo = Mx i + My j + Mz k Mz = x Fy – y Fx
Estos componentes escalares (Mx, My, Mz) miden la tendencia de la fuerza a impartir al cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y, x.
Este vector Mo también se puede escribir de la siguiente manera:
				 i	 j	 k
			Mo= x	 y	 z
				Fx	Fy	Fz
Para obtener el momento Mo con respecto a un punto arbitrario B de una fuerza aplicada en A se tendrá que el vector de posición será: ra/b
			 i	 j	 k		x a/b = xa – xb 
		MB= x a/b	 y a/b	 z a/b		y a/b = ya – yb 
			 Fx	 Fy	 Fz		z a/b = za – zb 
Producto escalar.
El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo formado por P y Q. “P • Q = PQ (Cosθ)”
Con esto se concluye que el producto escalar es conmutativo.
Si tomamos los vectores unitarios de dos en dos podemos determinar los productos escalares las cuales son las siguientes:
i×i= 1		j×i= 0		k×i= 0
i×j= 0		j×j= 1		k×j= 0
i×k= 0		j×k= 0		k×k= 1
El producto escalar de dos vectores (P y Q) en función de sus componentes rectangulares es el siguiente:
P = Px i + Py j + Pz k					Angulo formado entre dos vectores
Q = Qx i + Qy j + Qz kP • Q = Px Qx + Py Qy + Pz Qz
Proyección del vector sobre un eje OL
POL	POL = P (Cosθ)
Triple producto escalar.
El producto escalar de s, p, q se define como la expresión escalar S • (P × Q) y se obtiene al efectuar el producto escalar de S con el producto vectorial de P y Q.
				 Sx	 Sy	 Sz
		S • (P × Q) = Px	 Py	 Pz
				 Qx	 Qy	 Qz
Momento de una fuerza con respecto a un eje.
El momento MOL de una función con respecto a un eje OL es la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL.
(Con respecto al origen)
MOL = λ • Mo = λ • (r × F)
 λx λy λz
MOL = x y z
 Fx Fy Fz
(Con respecto a un punto)
MBL = λ • MB = λ • (rA/B × F)
 λx λy λz
MBL = xA/B yA/B zA/B
 Fx Fy Fz
Momento de un par de fuerzas.
Dos fuerzas (F y –F) forman un par si tienen la misma magnitud, línea de acción paralela y sentidos opuestos.
Si definimos por rA y rB los vectores de posición de los puntos de aplicación de las dos fuerzas, encontramos que la suma de momentos de las dos fuerzas con respecto a cero es:
(rA × F)+ [rB × (-F)] = (rA - rB) × F
rA - rB = r → M = F × r
El vector M es un vector perpendicular al plano que contiene a las dos fuerzas y su magnitud es la siguiente:
M = rF (Senθ) → d = r (Senθ) → M = dF
Representación vectorial de un par.
El vector de par, como el momento de par, es un vector libre. Por tanto, su punto de aplicación puede ser elegido en el origen del sistema de coordenadas si así se desea.
Descomposición de una fuerza dada en una fuerza aplicada en cero y un par de fuerzas.
En muchos problemas conviene descomponer una fuerza paralela y un par. Recíprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se puede combinar dando una fuerza única en el plano en cuestión.
Así pues, el único efecto exterior de combinar un par con una fuerza es desplazar a una posición paralela la recta soporte a la fuerza. El modulo y sentido de la fuerza permanecerán inalterados.
Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza.
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una sola fuerza son los colineales, concurrentes (cooplanares y espaciales), paralelos y generales en el plano.
· La reducción consiste en una fuerza que pasa por el origen del sistema de referencia. Las coordenadas vectoriales del sistema por reducir son:
R = Σ Fi ≠ 0	Mo = Σ ri × Fi = 0
· La reducción consiste en una fuerza cuyo soporte no pasa por el origen del sistema de referencia. Cuando las coordenadas vectoriales del sistema por reducir son:
R = Σ Fi ≠ 0	Mo = Σ ri × Fi ≠ 0
Reducción de un sistema de fuerzas a un par.
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a un par de fuerzas son los conformados por fuerzas paralelas y las generales tanto en el plano como en el espacio, siempre y cuando sus coordenadas vectoriales sean:
R = Σ Fi = 0	Mo = Σ ri × Fi ≠ 0
Esto implica que el único efecto externo que los sistemas mencionados pueden ocasionar a cuerpos sobre los que se apliquen, sea una tendencia de giro. No se conoce la magnitud de las fuerzas, ni dirección y puntos de aplicación.
Sistemas equivalentes de fuerzas.
Dos sistemas de fuerzas (F1, F2, F3,…, y F’1, F’2, F’3,…,) que actúan sobre el mismo cuerpo rígido son equivalentes si, y solo si, respectivamente, las dumas de las fuerzas y las sumas de los momentos con respecto a un punto dado 0 de las fuerzas de los dos sistemas son iguales.
ΣF = ΣF’		Σ Mo = Σ M’o
Sistemas vectoriales equipolentes.
Cuando dos sistemas de vectores satisfacen respectivamente sus resultantes y sus momentos resultantes con respecto a un punto arbitrario 0 son iguales, se dice que los dos sistemas son equipolentes. Por tanto, el resultado que se acaba de establecer se puede enunciar como: si dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son equipolentes, entonces ambos son equivalentes.