Estatica_2 (1)

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1
Estática
Análisis de cuerpo rígido
Dr. Andrés Blanco Ortega
2
Fuerzas en el espacio
3
4
Cosenos directores
5
 
kji
FkjiFF
kFjFiFF
FFFFFF
zyx
zyx
zyx
zzyyxx






coscoscos
coscoscos
coscoscos




Cosenos directores: θi
6
ESTÁTICA
Momentos
7
Introducción
Fuerzas que actúan sobre los cuerpos
rígidos:
Las fuerzas externas representan la acción
que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo
rígido en consideración.
Las fuerzas internas son aquellas que
mantienen unidas las partículas que
conforman al cuerpo rígido.
8
Fuerzas externas e internas
9
Introducción
Principio de transmisibilidad
 Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de
un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que
actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una
fuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que
actúa en un diferente punto, siempre y cuando las dos fuerzas
tengan la misma línea de acción.
10
Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores P y Q se 
define como el vector V que satisface las 
siguientes condiciones:
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano 
que tiene a P y a Q.
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes 
de P y Q por el seno del ángulo  formado por P y 
Q. V=PQ sen 
3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la 
mano derecha, siguiendo el sentido del ángulo 
formado por P y Q con los dedos doblados. 
11
Producto Vectorial
• Producto de Vectores:
- No son conmutativos
- Son distributivos
- No son asociativos
 QPPQ 
  2121 QPQPQQP 
   SQPSQP 
12
Producto Vectorial
0
0
0



kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii



En coordenadas rectangulares:
   kQjQiQkPjPiPV zyxzyx


zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
V



13
Momento de una Fuerza 
con respecto a un Punto
El vector fuerza esta definido por su
magnitud y su dirección. Su efecto sobre
el cuerpo rígido depende de su punto de
aplicación.
El momento de F respecto a O esta
definido por:
MO = r x F 
El vector momento MO es perpendicular al
plano que contiene al punto O y a la fuerza
F.
La magnitud de MO es una medida de la
tendencia de la fuerza a causar la rotación
del cuerpo.
FdrFMO  sin
14
Momentos
El sentido del
momento puede
determinarse por
medio de la mano
derecha.
Se definen los
momentos
antihorarios como
positivos y los
momentos horarios
como negativos.
15
Teorema de Varignon
 El momento con respecto a un punto dado O de
la resultante de varias fuerzas concurrentes es
igual a la suma de los momentos de las distintas
fuerzas con respecto al mismo punto O.
  



 2121 FrFrFFr
16
Componentes rectangulares del 
momento de una fuerza
kFjFiFF
kzjyixr,FrM
zyx
O 



     
xyzzxyyzx
xyzxyzO
zyx
O
zyxO
yFxFM,xFzFM,zFyFM
kyFxFjxFzFizFyFM
FFF
zyx
kji
M
kMjMiMM








El momento de F respecto a O
17
Momento de una fuerza
FrM A/BB


     
kFjFiFF
kzzjyyixx
rrr
zyx
BABABA
BAA/B






     
zyx
BABABAB
FFF
zzyyxx
kji
M 


Momento de una fuerza respecto al punto B
18
Momento de una fuerza: plano
 
xyZ
ZO
xyO
yFxFM
MM
kyFxFM




    
    xBAyBAB
BO
xBAyBAO
FyyFxxM
MM
kFyyFxxM




19
Ejercicio 3.4 (Beer & Johnston)
El pedal para un sistema neumático se articula
en B. Se sabe que α=28, determine el
momento de la fuerza de 4lb con respecto al
punto B descomponiendo la fuerza en sus
componentes horizontal y vertical.
20
Solución
Donde =8
 
  lblbF
lblbF
y
x
557.08sin4
961.38cos4


21
Solución
6.5cos(20)in
6.5sin(20)in
Fx
Fy
       






inlbM
inlbM
dFdFM
B
B
xyyxB
095.12
20cos5.65567.020sin5.6911,3
22
Ejercicio 3.21 (Beer & Johnston)
Los cables AB y BC se
sujetan como se muestra
al tronco de un árbol muy
grande para evitar que se
caiga. Si las tensiones en
los cables AB y BC son de
777N y 990N,
respectivamente;
determine el momento con
respecto a O de la fuerza
resultante ejercida por los
cables sobre el árbol en B.
Sol. (5.24i-3.75k) kNm
23
Solución
El momento con respecto a 0, está dado por:
Las tensiones en los cables
Son determinados como:
TBA TBC
Br0

BC
BC
BCBC
BA
BA
BABA
r
r
TT
r
r
TT 




 BCBAB
BCBBAB
TTrM
TrTrM


00
000


24
TBA TBC
Br0

Solución
Las coordenadas de los puntos son:
Calculando los vectores:
     
 
     
     
      mr
kjir
kjir
mr
mkjir
kjir
BC
BC
BC
BA
BA
BA
9.9124.81.5
2.14.81.5
02.14.8001.5
1.112.74.89.0
2.74.89.0
02.74.8009.0
222
222












   
   
   mC
mB
mA
2.1,0,1.5
0,4.8,0
2.7,0,9.0



25
TBA TBC
Br0

Solución
Las tensiones son:
El momento con respecto a 0 es:
 
kjiT
kji
T
kjiT
N
kji
T
BC
BC
BA
BA
120840510
9.9
2.14.81.5
990
50458863
1.11
2.74.89.0
777






   
   
 NmkiM
kjij
kjijM
8.37546.5241
1208405104.8
504588634.8
0
0



26
Problema 3.23 (Beer & Johnston)
Una fuerza de 8 Lb se
aplica sobre la llave de
torsión para enroscar la
regadera. Si la línea de
acción de la llave de
torsión es paralela al
eje x, determine el
momento de la fuerza
con respecto a A.
Sol.(42.2i+40.6j-50.4k)Lb-in
27
Problema 3.25 (Beer & Johnston)
La rampa ABCD se
sostiene en las esquinas
mediante cables en C y
D. Si la tensión que se
ejerce en cada uno de los
cables es de 360lb,
determine el momento
con respecto a A de la
fuerza ejercida por: a) el
cable en D, y b) el cable
en C.
28
Solución
TDE
AEr

TCG
AGr

CGAGA
DEAEA
TrMb
TrMa




)
)
CG
CG
CGCG
DE
DE
DEDE
r
r
TT
r
r
TT






29
Problema 3.46 (Beer & Johnston)
La tapa ABCD de un baúl de
0.732x1.2m tiene bisagras a
lo largo de AB y se mantiene
abierta mediante una cuerda
DEC que pasa sobre un
gancho en E sin fricción. Si la
tensión de la cuerda es de
54N, determine el momento
de la fuerza ejercida por la
cuerda en D, con respecto a
cada uno de los ejes
coordenados.
30
Solución
DE
DE
DEDE
r
r
TT 


DET

AEr

DEAEA TrM


kMjMiMM zyxA


31
Producto escalar entre dos vectores
 El producto escalar
o producto punto
entre dos vectores
esta definido por:
 Propiedades
1. es conmutativo
2. es distributivo
3. no es asociativo
cosPQQP 

PQQP


  2121 QPQPQQP


  indefinido  SQP

32
Producto punto componentes 
rectangulares
   kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx


000111  ikkjjikkjjii

2222 PPPPPP
QPQPQPQP
zyx
zzyyxx




Producto punto entre vectores unitarios
33
Producto escalar: Aplicaciones
PQ
QPQPQP
QPQPQPPQQP
zzyyxx
zzyyxx





cos
cos

OL
OL
PP
Q
QP
PQQP
OLPPP







cos
cos
 de largo lo a de proyeccion cos


zzyyxxOL
OL
PPPP
PP


coscoscos 


Angulo entre dos vectores
Proyección de un vector sobre 
un eje determinado
Para un eje definido por un 
vector unitario
34
Triple producto mixto de vectores
  escalarQPS 

     
       SPQQSPPQSQPS
PSQSQPQPS




Triple producto mixto de vectores
Los seis productos triples que se pueden formar entre S, Q y P
tienen la misma magnitud pero signos distintos.
35
Componentes rectangulares 
triple producto escalar
Evaluando el triple producto escalar por sus
componentes rectangulares
     
 
 
zyx
zyx
zyx
xyzxyz
zxxzyyzzyx
QQQ
PPP
SSS
QPS
QPQPS
QPQPSQPQPSQPS





36
Momento de una fuerza respectoa un eje dado
FrMO


 FrMM OOL

 
El momento MO de una fuerza aplicado en el
punto A respecto al punto O es:
La magnitud del momento MOL
respecto al eje OL es la proyección del
vector momento MO en dicho eje
Momento de una fuerza respecto a los
ejes coordenados.
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM



37
Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
Momento de una fuerza respecto a un
eje arbitrario
El resultado es independiente del
punto B a lo largo del eje dado.
 
BABA
BA
BBL
rrr
Fr
MM








38
Problema 3.38 (Beer & Johnston)
Determine el ángulo formado por los alambres
AC y AD de la red de voleibol.
39
Solución
ADAC
ADAC
rr
rr



cos
ADr

ACr


40
Problema 3.55 (Beer & Johnston)
Un mástil se monta sobre el techo de una casa usando una ménsula
ABCD, el mástil está sostenido por los cables EF, EG y EH. Si se
sabe que la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 66N,
determine el momento de esa Fuerza con respecto a la línea que une
los puntos D e I.
Solución:
41
42
Momento de un Par
43
Momento de un par
Dos fuerzas F y –F que tienen la misma
magnitud, líneas de acción paralelas pero
sentido opuesto, se dice que forman un par.
Momento de un par
El momento M de un par es
independiente del origen de
coordenadas, es un vector libre que
puede ser aplicado en cualquier punto
causando el mismo efecto sobre el
cuerpo rígido.
 
 
FdrFM
Fr
Frr
FrFrM
BA
BA




sin



44
Momento de un par
Dos pares tendrán momentos iguales
si:
• Si los dos pares se encuentran en
planos paralelos o en el mismo plano.
• Si los dos pares tienen el mismo sentido
o tendencia a hacer rotar la pieza en la
misma dirección
2211 dFdF 
45
Pares Equivalentes
46
Problema 4.111 (Bedford)
Se usan dos llaves para apretar
un codo hidráulico. La fuerza
F=10k lb se aplica en (6,-5,-3)in
y la fuerza –F se aplica en
(4,-5,-3)in.
a) Determine el momento respecto
al eje x de la fuerza ejercida
sobre la llave derecha.
b) Determine el momento del par
formado por las fuerzas
c) ¿Explique porqué se usan dos
llaves?
47
r

Solución
Calculando el momento respecto
al origen:
El momento respecto al eje x es:
Mx=-50lb-in.
El momento del par es:
 lbinji
kji
M 6050
1000
3560 
 lbinj
kji
M p 20
1000
002 
ikrr 221 

1r

2r

21 rr


48
Suma de pares
222
111
 plano elen 
 plano elen 
PFrM
PFrM




 21 FFrRrM


Consideremos dos planos que se
intersecan P1 y P2 cada uno de los
cuales contiene un par
La resultante de los vectores
también forman un par
Por el Teorema de Varignon
La suma de dos pares cuyos momentos
son iguales a M1 y a M2 es un par de
momento M igual a la suma vectorial de
M1 y M2
21
21
MMM
FrFrM




49
Un par puede representarse como un vector
 Un par puede representarse como un vector con magnitud y 
dirección igual al momento del par.
 El vector par obedece las leyes de la adición de vectores.
 El vector par es un vector libre, el punto de aplicación no es 
significativo.
 El vector par puede descomponerse en sus componentes 
vectoriales Mx, My, y Mz.
50
Descomposición de una fuerza dada en una 
fuerza en O y un par.
 El vector F no puede moverse simplemente al punto O sin modificar
su efecto sobre el cuerpo rígido.
 Fuerzas iguales y opuestas en O producen un efecto neto nulo
sobre el cuerpo.
 Las tres fuerzas pueden ser reemplazadas por una fuerza
equivalente y un par. Es decir por un sistema fuerza – par.
51
Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
Si F se hubiera trasladado del punto A a un punto diferente O’ se tendría
que calcular el momento MO’ =r’ X F de F con respecto a O’.
Los momentos de F respecto a O y a O’ están relacionados
 
FsM
FsFrFsrFrM
O
O



 ''
Donde s es el vector que une a O’ con O.
52
El momento M0’ de F con respecto a O’ se obtiene sumándole al momento
MO de F con respecto a O el producto vectorial s x F que representa el
momento con respecto a O’ de la fuerza F aplicada en O
Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
53
Reducción de un sistema de fuerzas a una
fuerza y un par
Cualquier sistema de fuerzas sin importar que tan complejo sea puede ser
reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado
O.
Los vectores fuerza y par pueden combinarse en una fuerza resultante y
un par resultante.
   FrMFR RO

54
El sistema fuerza-par en O puede
moverse al punto O’ con la adición
del momento de R respecto a O’.
Dos sistemas de fuerzas son
equivalentes si pueden reducirse
al mismo sistema fuerza-par.
Reducción de un sistema de fuerzas a una
fuerza y un par
RsMM RR

 0'0
55
Ejercicio 3.85 (Beer & Johnston)
Una fuerza y un par se aplican a una viga; a) reemplace este
sistema por una sola fuerza F aplicada en el punto G y
determine la distancia d; b) resuelve el inciso a) suponiendo que
se intercambian las direcciones de las dos fuerzas de 600N.
56
Solución
a) Haciendo suma de fuerzas en 
y y suma de momentos en A:
Resolviendo para FG y d:
b)
      dFM
FF
GA
Gy




260046005.1800
600600800
md
NFG
3
800


      dFM
FF
GA
Gy




260046005.1800
600600800
md
NFG
0
800


57
Ejercicio 3.92 (Beer & Johnston)
Dos trabajadores usan
bloques y polipastos
conectados a la parte inferior
de una viga I para elevar un
tanque cilíndrico grande. Se
sabe que la tensión en la
cuerda CD es de 366N,
reemplace la fuerza ejercida
en C por la cuerda CD por
un sistema equivalente
fuerza-par en O.
58
Solución
El momento de TCD en 0 
está dado por:
 NmkiM
kji
M
TrM
E
E
CDC
1351080
14433618
05.70
00





CDT Cr0
)4.2,9.1,3.0(
)0,5.7,0(


D
C
kji
r
r
TT
CD
CD
CDCD 14433618  

 
mr
mkjir
CD
CD
1.6
4.26.53.0




59
Ejercicio 3.105 (Beer & Johnston)
El engrane C está rígidamente unido al brazo AB.
Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden
reducir a una sola fuerza equivalente en A,
determine esta fuerza equivalente y la magnitud
del par M.
60
Solución
Haciendo suma de fuerzas en x y y, y suma de momentos 
en A, tenemos:
     





AA
yy
xx
MM
RF
RF
55cos906.025cos20085.65sin12525.1
20030cos9040sin125
30sin9040cos125
NmM
NR
RRR
A
yx
66.326
21.81
75.50
29.358
tan
87.361
29.35875.50
1
2222











61
Ejercicio 3.125 (Beer & Johnston)
Las fuerzas mostradas en la figura son la resultante de las
cargas verticales hacia abajo sobre las secciones del techo
plano de una construcción, debidas a la nieve acumulada.
Determine la magnitud y el punto de aplicación de la
resultante de estas cuatro cargas.
62
Ejercicio 3.121 (Beer & Johnston)
El cabezal del taladro radial
originalmente estaba colocado con
el brazo AB paralelo al eje z,
mientras que la broca y el
portabrocas estaban colocados
paralelos al eje y. El sistema se giró
25 con respecto al eje y y 20 
alrededor de la línea de centros del
brazo horizontal AB, hasta que
quedó en la posición mostrada. El
proceso de taladro comienza al
encender el motor y girar la
manivela hasta que la broca entra
en contacto con la pieza de trabajo.
Reemplace la fuerza y el par
ejercidos por el taladro por un
sistema equivalente fuerza-par en
el centro 0 de la base de la
columna vertical.
63
Cuerpos en 
Equilibrio
Dr. Andrés Blanco Ortega
64
Cuerpos en equilibrio
 La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio,
incluidos los operadores robóticos, los puentes, las
presas y los edificios. Ahora que ya se tiene el
conocimiento para calcular momentos, pueden
enfrentarse a problemas de equilibrio más
interesantes.
 Se establecerán las ecuaciones de equilibrio y se
describirán los diversos tipos de apoyos utilizados
frecuentemente en aplicacionespracticas.
 Se emplearán las ecuaciones de equilibrio para
obtener información respecto a los sistemas de
fuerzas y momentos que actúan sobre los cuerpos.
65
Equilibrio
Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de
todas las fuerzas que actúan sobre él es cero.
Un cuerpo con velocidad constante sigue estas mismas
ecuaciones.
Recordar que un cuerpo en el espacio tiene 6
posibilidades de movimiento; 3 de translación y 3 de
rotación.
En el plano, un cuerpo tiene 3 posibilidades de
movimiento; 2 de translación y 1 de rotación.
     00 0 FrMF
66
Diagrama de Cuerpo Libre (dcl)
Seleccionar cuidadosamente el cuerpo sobre el que
se quiere trabajar.
Aislar el cuerpo de cualquier otro cuerpo que tenga
contacto con él y sustituir su acción por fuerzas.
(Cuidar que el sentido de las fuerzas sea el
adecuado, es decir, fuerzas que actúan sobre el
cuerpo).
Considerar las fuerzas de campo y sustituirlas por
fuerzas.
67
Aplicaciones
68
Aplicaciones
69
Aplicaciones
70
Industria metal-mecánica
71
Industria metal-mecánica
72
En el plano
Para cuerpos en un plano se tienen 3 ecuaciones:
por lo que se pueden resolver hasta 3 incógnitas.
Ozyxz MMMMF  00
    000 zyx MFF
73
Fuerzas de reacción
A continuación se presentan las fuerzas de
reacción de contacto entre el apoyo y el
cuerpo, así como entre cuerpos
74
Reacciones en los soportes
75
76
77
Ejemplos 4.5 (Beer&Johnston)
Un soporte en forma de T sostiene las cuatro cargas
mostradas. Determine las reacciones en A y en B si:
a) a=100mm y b) a=70mm.
78
Solución
yA
yB
xB






0
0
0
B
y
x
M
F
F
79
Ejemplos 4.11 (Beer&Johnston)
El valor máximo permisible para cada una de las
reacciones es de 360 N. Sin tomar en cuenta el
peso de la viga, determine el rango de valores de
la distancia d para los cuales la viga es segura.
80
Solución
yA yB
xB






0
0
0
B
y
x
M
F
F
81
Ejercicio 4.15 (Beer&Johnston)
Un seguidor ABCD se
mantiene contra una leva
circular por la acción de un
resorte estirado, el cual
ejerce una fuerza de 21N
para la posición mostrada en
la figura. Si se sabe que la
tensión en la barra BE es de
14N, determine: a) la fuerza
ejercida sobre el rodillo en A
y b) la reacción en el cojinete
C.
82
Solución
AF
yD
EBF
yC
xC






0
0
0
C
y
x
M
F
F
83
Cuerpo sujeto a dos fuerzas
Cuando las fuerzas se aplican sólo en dos puntos de un
elemento, el análisis puede simplificarse. Cuando las
fuerzas en A y en B se suman para obtener sus
respectivas resultantes el equilibrio se satisface solo si F1
tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuesta
a F2 y el equilibrio de momentos se satisface si F1 es
colineal a F2.
84
Cuerpo sujeto a tres fuerzas
Si un elemento esta sujeto a la acción de tres
fuerzas coplanares, entonces es necesario que las
fuerzas sean concurrentes o paralelas, para que el
elemento este en equilibrio
85
Ejercicio 4.82 (Beer&Johnston)
El elemento ABCD esta sostenido por un apoyo de pasador en C y por
una cuerda inextensible unida en A y D, que pasa sobre poleas sin
fricción en B y E. Sin tomar en cuenta el tamaño de las poleas,
determine la tensión en la cuerda y la reacción en C.
86
Cuerpos en equilibrio en el espacio
Para cuerpos en el espacio se tienen 6
ecuaciones:
por lo que se pueden resolver hasta 6
incógnitas.
   
   
000
000
zyx
zyx
MMM
FFF
87
Aplicaciones
Las juntas universales que se encuentran
comúnmente en las flechas motrices de los autos
y de los camiones de tracción trasera, permiten la
transmisión del movimiento rotacional entre dos
ejes no colineales.
88
Aplicaciones
La caja de cojinetes que se muestra sostiene al
eje de un ventilador usado en un taller de
fundición.
89
Reacciones
90
91
Procedimiento de Solución
1. Hacer el diagrama de cuerpo libre del
sistema.
2. Identificar el cuerpo que tiene fuerzas
conocidas.
3. Identificar el cuerpo que tiene fuerzas
como incógnitas.
4. En el caso de problemas en el plano se
pueden resolver hasta 3 incógnitas y en el
espacio hasta 6.
92
Caso a considerar
 Si el número de incógnitas es adecuado,
hacer suma de momentos en el punto en el
que se eliminen más incógnitas.
 De otro modo, hacer diagrama de cuerpo
libre del cuerpo que tiene los datos,
resolverlo y tomar los resultados como datos
para el cuerpo siguiente.
93
Repetir el paso anterior hasta resolver la incógnita
deseada.
Recordar que la fuerza que un cuerpo (a) ejerce
sobre otro cuerpo (b) es igual en magnitud y de
sentido contrario a la que el segundo cuerpo (b)
ejerce sobre el primer cuerpo (a).
Es muy importante hacer problemas hasta
asegurarse de haber entendido adecuadamente los
conceptos.
94
Ejercicio 4.99 (Beer&Johnston)
Para la porción de máquina que
se muestra en la figura, la polea
de 4in de diámetro y la rueda B
están fijos a una flecha sostenida
por cojinetes en C y D. El resorte
de constante igual a 2lb/in no
esta deformado cuando θ=0 y el
cojinete en C no ejerce ninguna
fuerza axial. Se sabe que θ=180°
y que la máquina está en reposo
y equilibrio, determine: a) la
tensión T y b) las reacciones en
C y D. No tome en cuenta los
pesos de la flecha, la polea y la
rueda.
95
Solución
yC
zC
zD
xD
yD
rF




0,0,0
0,0,0
zyx
zyx
MMM
FFF
96
Ejercicio 4.113 (Beer&Johnston)
Un brazo de 3 m esta
sometido a una fuerza
de 4kN, como se
muestra en la figura.
Determine la tensión
en cada cable y la
reacción en el apoyo
de la rótula en A.
97
Ejercicio 4.1 (Beer & Johnston)
El mástil sobre un camión de 4 300 kg se usa para
descargar de la plataforma, el grupo de tablillas de
1 600 kg que se muestran en la figura. Determine
la reacción en las llantas: a) traseras B y b)
delanteras C.
98
Solución
BR C
R
W
GW
  
      05.07.44.015cos6
0
81.916004300
0
0







CB
G
CB
GCB
y
RRW
M
RR
WRRW
F
972465.07.4
57879


CB
CB
RR
RR
33613N
24266N


C
B
R
R
N16807N,16807
N12133N,12133
21
21


CC
BB
RR
RR
99
Ejercicio 4.9 (Beer & Johnston)
Cuatro cajas están colocadas sobre una plancha de
madera, que descansa sobre dos caballetes. Si se sabe
que las masas de las cajas B y D son, respectivamente, de
4.5kg y 45kg; determine el rango de valores de la masa de
la caja A para los cuales la plancha de madera permanece
en equilibrio cuando se retira la caja C.
100
Ejercicio 4.40 (Beer & Johnston)
La barra AC soporta dos
cargas de 100lb, como se
muestra en la figura. Los
rodillos A y C descansan
sobre superficies sin
fricción y el cable BD está
unido en B. Determine: a)
la tensión en el cable BD,
b) la reacción en A y c) la
reacción C.
101
Ejercicio 4.60 (Beer & Johnston)
Una barra delgada AB de masa m se une a los bloques A y
B que se mueven libremente sobre las guías mostradas en
la figura. El resorte de constante k se encuentra sin
deformar cuando θ = 0. a) sin tomar en cuenta el peso de
los bloques, derive una ecuación en términos de m, k, l y θ
que se cumpla cuando la barra está en equilibrio, y b)
determine el valor de θ cuando m=2kg, l=750mm y
k=30N/m.
102
Ejercicio 4.77 (Beer & Johnston)
Una pequeña grúa se
monta sobre la parte
trasera de una
camioneta y se usa
para levantar una caja
de 120 kg. Determine:
a) la fuerza ejercida por
el cilindro hidráulico BC
sobre la grúa y b) la
reacción en A.
103
Ejercicio 4.98 (Beer & Johnston)
Dos bandas de transmisión pasan doble discos soldados a un eje que
se sostiene mediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radio
de 50mm, y el disco en C tiene un radio de 40mm y se sabe que el
sistema gira con una velocidad angular constante, determine: a) la
tensión T, b) las reacciones en B y D. Suponga que el cojinete D no
ejerce ninguna fuerza de empuje axial e ignore los pesos de los discos
y el eje.
104
Ejercicio 4.116 (Beer & Johnston)
El poste ABC de 18 ft de
longitud está sometido a
una fuerza de 210 lb, como
semuestra en la figura. El
poste se sostiene mediante
un apoyo de rótula en A y
por dos cables BD y BE.
Para a=9ft, determine la
tensión en cada cable y la
reacción en A.
105
Ejercicio 4.118 (Beer & Johnston)
Dos tubos de acero ABCD y EBF se sueldan juntos en B para 
formar el brazo que se muestra en la figura. El brazo se sostiene 
mediante un apoyo de rótula en D y por dos cables EG e ICFH; 
el cable ICFH pasa alrededor de poleas sin fricción en C y F. 
Para la carga mostrada, determine la tensión en cada cable y la 
reacción en D.
106
Ejercicio 4.144 (Beer&Johnston)
Para regar las plantas
mostradas, un jardinero
une los tres tramos de
tubería AB, BC y CD
adaptados con
rociadores y sostiene el
ensamble con apoyos
articulados en A y D y
mediante el cable EF. Si
la tubería pesa 0.85
lb/ft, determine la
tensión en el cable.
Bilbliografía
1. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Beer,
Johnston, Elisenberg
México, 2005. Séptima edición. Mc Graw Hill. ISBN:
970-10-4469-X.
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Russel
Hibbeler, México, 2004. Decimal edición, Pearson
Education - Prentice Hall. ISBN: 970-26-0501-6.
3. Estática - Mecánica para Ingeniería, Bedford/Fowler
México, 2000. Prentice Hall – Addison Wesley. ISBN:
968-444-398-6.
4. Engineering Mechanics – Statics, Merian/Kraige
Fifth edition, 2002. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-
40645-5.
107