Momentos de inercia

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Momentos de Inercia 
 
 
Introducción: 
 
Es conveniente iniciar nuestro trabajo explicando que es dinámica, como su nombre 
lo indica, la dinámica se ocupa del movimiento de los cuerpos. Pero la cinemática 
también, eso nos obliga a una explicación más detallada. Mientras que la cinemática 
se ocupa de la descripción del movimiento, la dinámica se ocupa de la explicación del 
movimiento. O sea, mientras la cinemática nos enseña a describir el movimiento de 
un cuerpo, almacenar los datos de posición, tiempo y cualquier otro que describa con 
más detalle el fenómeno, la dinámica nos dice por qué se mueve de tal o cual manera, 
predice cómo se va a mover en tales condiciones y viceversa, nos dice qué debe estar 
ocurriendo para que un cuerpo se mueva de tal o cual manera. 
La dinámica que estudiamos fue inventada (¿o descubierta?) por Isaac Newton, con 
un importante aporte de Galileo Galilei. Se basa en cuatro leyes o principios que no 
pueden ser deducidas de leyes anteriores o más fundamentales (por eso se los llama 
principios). Los principios no se pueden demostrar, pero se pueden corroborar tantas 
veces como uno quiera. Este conjunto de leyes y sus derivaciones lleva el nombre de 
Mecánica Clásica. 
Otra diferencia fundamental entre la dinámica y la cinemática es la siguiente: con la 
cinemática estamos acostumbrados a describir todo un movimiento, con sus infinitas 
posiciones en cada uno de los infinitos instantes durante los que se mueve. En cambio 
cada descripción dinámica habla de apenas un instante, una foto. 
Ahora bien en el caso de los momentos de inercia existen distintas variables que lo 
hacen interesante e indispensable en nuestro estudio de la dinámica como materia 
fundamental de nuestra carrera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Justificación: 
 
Esta materia contribuye a la capacitación de nosotros estudiantes de ingeniería civil 
en el planteo adecuado y modelización de fenómenos físicos, y será de gran utilidad 
en el desarrollo de nuestra profesión. También beneficia en establecer las bases 
académicas de nosotros los futuros ingenieros para facilitarles su actualización 
permanente y adecuación a la evolución de la ciencia y la tecnología. 
 
El propósito de nuestro trabajo es dar a conocer a los alumnos las bases del 
conocimiento de la mecánica clásica, que en el ámbito de nuestro entorno, nos apoya 
en entender y comprender el movimiento de partículas y cuerpos rígidos, las fuerzas 
aplicadas a sistemas para producir trabajo y el concepto de energía. 
 
Otra causa esencial de realizar este trabajo es completar la formación académica de 
la física, tomando en cuenta que todo fenómeno natural o toda aplicación a la 
ingeniería, está basado en leyes fundamentales de la física. De esta manera, se 
capacita al ingeniero para que comprenda los conceptos de movimiento de partículas 
de un cuerpo rígido, de fuerza, de trabajo, de energía, de movimiento rotacional y de 
cantidad de movimiento. Estos conocimientos son la base para el desarrollo y las 
aplicaciones de nuestra carrera ingeniería civil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo General: 
Analizar correctamente las diferentes variables que se presentan en el estudio de 
conceptos de momento de inercia y productos de inercia, con el objetivo primordial de 
enseñarnos a nosotros a desarrollar habilidades en el manejo de estructuras al ser 
sometidas a diferentes condiciones de cargas. 
 
Objetivos específicos: 
Contribuir a la enseñanza de este contenido fundamental de nuestra materia 
dinámica. 
Tener claros los conceptos de momento de inercia, Producto de inercia y círculo de 
Mohr. 
Relacionar los movimientos con las causas generadoras de los mismos (Dinámica) 
sobre las bases de las ecuaciones fundamentales de la Mecánica o Leyes de Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos de Inercia: Centroides y centros de Gravedad. 
El centroide y los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para 
determinar la resistencia y deformación de elementos estructurales tales como vigas 
y columnas, ya que definen las características geométricas de la forma y tamaño de 
la sección transversal de los elementos estructurales. Por ello a continuación se 
establece la definición y forma de determinar el centroide y los momentos de inercia. 
Para precisar la ubicación del centroide y valorar los momentos de inercia primero se 
definen y establecen para áreas simples, luego se indica la forma de calcularse en 
áreas compuestas además se definen otras propiedades geométricas que son función 
del centroide y los momentos de inercia. 
El centro de gravedad es el punto de aplicación en un cuerpo rígido de la resultante 
de las fuerzas donde los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies 
homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área. 
El centro de masas y el momento de inercia son propiedades geométricas, no 
dependientes de ningún otro parámetro y de gran importancia a la hora de diseñar 
ciertas estructuras o componentes. Ambos están relacionados en el sentido de que 
en muchos casos para calcular la inercia (sobre todo en figuras compuestas por varios 
rectángulos) es necesario conocer el centro de masas para aplicar el Teorema de 
Steiner. A continuación vamos a ver ambos conceptos por separado. 
Centro de masas 
 
Podemos decir que el centro de masas es el punto donde se concentra la masa de un 
sólido o sistema material de puntos. Por ejemplo, si tenemos una esfera, podemos 
aproximar su comportamiento al de un punto localizado en su centro y con una masa 
igual a su densidad por el volumen. El centro de masas tiene infinidad de utilidades. 
Por ejemplo, las leyes de Newton solo pueden aplicarse a sistemas de puntos 
materiales. De una forma más práctica, en el diseño de automóviles, es importante 
que el centro de masas esté en una posición relativamente baja para tener una mayor 
estabilidad. Mientras que en un turismo normal el centro de masas se encuentra 
aproximadamente a 1100 mm, en un coche tipo Ferrari, está muy por debajo para 
conseguir un mejor agarre al terreno. 
Para calcular el centro de masas solo es necesario multiplicar la masa de cada punto 
o elemento, por su distancia al eje dividiéndolo después por el área total para obtener 
así unidades de longitud. Utilizar esta expresión nos permite determinar por ejemplo, 
que el centro de masas de un sistema de dos puntos está en la recta que los une, el 
de un anillo en su centro, en un rectángulo en el punto donde se cortan las diagonales 
etc. A continuación les presento una tabla con algunos centros de masa importantes: 
 
Momentos de Inercia 
Inercia es una palabra que utilizamos demasiado a menudo de forma que según la 
RAE, la inercia es: 
Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es 
por la acción de una fuerza. Por ejemplo cuando empujamos algo que se mueve 
linealmente, solemos decir que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo 
correcto puesto que la inercia es, estrictamente hablando, la resistencia a los cambios 
en la rotación de un objeto. 
La inercia puede calcularse mediante la el producto masa por distancia al cuadrado, 
o en caso de tratarse de una densidad constante y para una geometría continua, de 
la manera siguiente: 
 
Definición de momento estático y de inercia de un área: 
 
El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una 
magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el 
contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante 
media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de 
área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de 
área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entreel punto 
considerado al centroide del área. 
Importancia y aplicaciones en la Ingeniería: 
La inercia es una propiedad muy importante en dinámica y estática. Por ejemplo en 
resistencia de materiales, es un parámetro fundamental pues es necesaria para 
calcular la tensión en una sección debida a la aplicación de un momento en la 
estructura. Debido a que es inversamente proporcional a la tensión que sufre la 
sección en cuestión, es preferible diseñar estructuras con una alta inercia, 
minimizando así la solicitación. 
Debido a lo anterior, somos capaces de deducir los “extraños” perfiles de algunas 
vigas. Por ejemplo el motivo para utilizar vigas con sección de doble T es que al ser 
la inercia proporcional a la distancia, normalmente es preferible localizar el material 
en posiciones con una mayor distancia a la periferia, esto es, lo más alejados posibles 
del centro de gravedad. 
Propiedades de la Inercia: 
1. Es una propiedad aditiva. 
2. A la hora de calcular la inercia de un cuerpo es importante escoger unos ejes 
adecuados. Por ejemplo en un cubo no es lo mismo calcularlo con respecto a su 
diagonal que con respecto a cualquier otro eje. 
3. Cálculo de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los que pasan por el centro 
de gravedad de la figura: se realiza mediante el teorema de Steiner 
 
Momento Polar de Inercia 
El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se 
llama momento polar de inercia, y se representa por J. Momento polar de inercia es 
una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistir la torsión, en los 
objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal 
y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. Se utiliza para 
calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par. Es análogo a la 
zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la 
flexión y es necesario para calcular el desplazamiento. Momento polar de inercia no 
debe confundirse con el momento de inercia, que caracteriza a un objeto de la 
aceleración angular debido a la torsión. 
Limitaciones 
El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección 
circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En 
los objetos con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje 
del par aplicado), que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más 
complejo que tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede 
ser utilizado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal 
arbitraria. 
Radios de giro y de inercia: 
Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde 
podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento 
de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo 
por el cuadrado del radio de giro. 
 
Traslación Paralela de ejes: 
El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa 
es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El 
momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa 
está dado por 
 
 
La expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce 
como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a 
un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, 
más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el 
centro de masa- sobre ese eje paralelo. 
 
Teorema de Steiner: 
 
En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o 
simplemente teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del 
momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de 
inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la 
distancia perpendicular (r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo 
momento de área de una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea 
conocido. Debe su nombre al geómetra suizo del siglo XIX Jakob Steiner. 
 
Determinación del momento de inercia de un área por integración. 
 
En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. 
De una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. Del 
área A con respecto al eje y, se define como: 
Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA 
 
dIx = y2dA dIy = x2dA 
Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia 
Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del 
área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta 
paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja 
paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma 
distancia y del eje x (figura 9.3b); el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, 
entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se 
escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma 
distancia x del eje y (figura 9.3c); el momento de inercia dIy de la franja es x2dA. 
 
dx 
dIy = x2dA 
 
Momento de inercia de un área rectangular. Como ejemplo. Determinaremos el 
momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base (figura 9.4). Dividiendo 
el rectángulo en franjas paralelas al eje x. obtenemos 
dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3 (9.2) 
Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales. La fórmula que acabamos de 
derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x 
de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura 9.3c. 
Haciendo b = dx y h=y en la fórmula (9.2), escribimos 
dIx = 1/3y3 dx 
Por otra parte se tiene 
dIy = x2 dA = x2y dx 
Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de 
inercia Ix e Iy de un área dada en la siguiente figura. 
 
dx 
dIx = 1/3y3 dx 
dIy = x2y dx 
 
Momento de inercia de áreas compuestas. 
Consideremos una área compuesta A formada por varias áreas componentes A1, A2, 
An. Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse 
en integrales calculadas sobre A1, A2, An. El momento de inercia de A con respecto 
a un eje dado se obtendrá sumando los momentos de inercia de las áreas A1, A2, An. 
 
Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 
Determinar las áreas de las partes, designarlas por 
Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con 
respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por 
todas las áreas parciales anteriores. 
Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 
Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas 
(que serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i-ésima. Calcular 
el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema 
del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: 
 
 
Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos 
anteriores: 
 
Productos de inercia: 
 
El producto de inercia no se utiliza tanto como el momento de inercia, pero es 
necesario en algunos problemas, como en la determinación de los momentos de 
inercia máximo y mínimo, en la flexión asimétrica de vigas, y en el estudio de 
Estructuras estáticamente indeterminadas. También indicamos que las dimensiones 
del producto de la inercia son las mismas que las de la Momento de inercia. En cuanto 
a la regla de los signos, indica que durante la rotación de los ejes existe una posición 
crítica en la que el producto de inercia cambia de signo y será, por tanto, nulo. 
 
 La integral la cual se,obtiene al multiplicar a cada elemento dA De un área A por sus 
coordenadas xeye integrando sobre todo el área, se conoce como el producto de 
inercia del área A con respecto a los ejes xe y. Una diferencia de los momentos de 
inercia 1x y IY, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero. 
 
Para el producto de la inercia Un área compuesta debe dividir el mejor Dicho 
segmentar la figura en pequeñas partes del mar sea más sencillo Hallar su producto 
de inercia. Luego se Procederá a desarrollar la misma forma que para áreas simples. 
 
Circulo de Mohr: 
 
El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar 
gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de 
inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una 
circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante 
máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. 
 
Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto 
Mohr (1835-1918). 
 
Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la 
circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas 
ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se 
encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este 
valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso 
las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia 
de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos. 
 
El círculo de Mohr es una representación grafica de los estados de esfuerzo a los que 
están sometidos los sólidos. El eje X nos entrega los valores de los esfuerzos 
normales en los puntos en que corta el circulo (ó1 y ó2). La línea paralela al eje Y que 
pasa por el centro del circulo muestra los esfuerzos de corte máximo y mínimo al 
intersecarse con el circulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejes Principales: 
Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por 
vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un 
sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en 
el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea 
principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios 
de orientación en forma de precesión y nutación. 
 
El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, 
cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L 
y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una 
dirección principal. 
Ejes principales de inercia 
Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene 
caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se 
expresa mediante una matriz simétrica. 
 
Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por 
vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un 
sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en 
el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea 
principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios 
de orientación en forma de precesión y nutación. 
 
El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, 
cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L 
y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una 
dirección principal: 
 
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia 
correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos 
principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales 
se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son 
perpendiculares. 
 
Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el 
tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número 
sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido 
presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos 
de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría 
esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se 
denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría axial, peonzas 
simétricas. 
Momentos de inercia principales 
Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la parametrizamos 
mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos 
de inercia asociados a la flexión según X o según Y además del momento de inercia 
mediante: 
 
 
 
 
 
 
Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso podemos 
escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión desviada simple del elemento 
estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como: 
 
 
 
 
 
 
Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre la sección Σ. Las 
unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento de 
inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica la mayoría de secciones de 
uso en ingeniería se dan en (cm 4). Si los ejes de referencia empleados no 
necesariamente son ejes principales la expresión completa de la tensión en cualquier 
punto genérico viene dada por: 
 
 
Conclusión: 
El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo 
Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de 
la sección transversal de los elementos estructurales. La inercia es la propiedad de la 
materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o 
velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento 
de Newton, que postula: 
“Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento 
tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una 
fuerza externa”. 
El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas 
producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este 
valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto 
con las propiedades de dicho material. Para el caso del momento de inercia también 
depende de cómo está distribuida la masa. Se encuentra que si la masa está muy 
concentrada cerca del punto de giro (o eje de rotación) encontramos que esta inercia 
es menor, pero si está muy alejada del eje es mucho mayor. Lo cierto es que el 
momento de inercia es un factor importante a considerar en cuanto a la construcción, 
pues debemos tener conciencia de como las vigas (por ejemplo) se comportan en 
cuanto a la tendencia a girar para tal distribución de masa. 
En general en los cálculos es importante encontrar los valores máximos y mínimos del 
momento de inercia para tener un control de cómo poner y que viga debemos colocar 
de acuerdo a lo que se requiere. Es por ello que tiene un valor fundamental en la 
ingeniería por sus múltiples aplicaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias: 
 
MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, ESTATICA de Beer, Johnson, 
Mazurek, Eisenberg. Novena Edición. 
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, DINÁMICA de Beer y Johnston. 
McGraw Hill. 
http://w3.mecanica.upm.es/~goico/mecanica/libro/cap13.pdf 
http://www.ual.es/~mnavarro/TEMA4Estatica.pdf 
https://uthmkt.files.wordpress.com/2011/02/notas-de-la-materia-fuedut-uni-2.pdfAnexos: 
 
 
 
Segundo Momento de Área 
 
Centros de masa y momento de inercia.