Mecanica-de-Materialesa

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RESISTENCIA DE MATERIALES II 
 
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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTENCIA DE MATERIALES II 
 
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I. CONTENIDO 
 
I. CONTENIDO ........................................................................................................................... 2 
II. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 
III. OBJETIVOS: ........................................................................................................................ 4 
IV. MARCO TEORICO ............................................................................................................... 4 
A. MOMENTO DE INERCIA ..................................................................................................... 4 
B. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN ÁREA ......................................................... 7 
C. CENTRO DE MASAS ........................................................................................................... 9 
CENTROIDE DE ÁREAS COMPUESTAS .................................................................................. 11 
CENTROIDE DE FIGURAS COMPLEJAS ................................................................................. 12 
D. MOMENTOS DE INERCIA PARA UN ÁREA POR INTEGRACIÓN ........................................ 13 
E. MOMENTO DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS ...................................................... 13 
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS ............................................................................................ 13 
F. PROPIEDADES DE LA INERCIA ............................................. ¡Error! Marcador no definido. 
G. PRODUCTO DE INERCIA ...................................................... ¡Error! Marcador no definido. 
V. CONCLUSIONES: ..................................................................... ¡Error! Marcador no definido. 
VI. BIBLIOGRAFÍA ..................................................................... ¡Error! Marcador no definido. 
VII. EJERCICIOS RESUELTOS ...................................................... ¡Error! Marcador no definido. 
 
 
 
 
 
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II. INTRODUCCIÓN 
 
El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que 
representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de 
los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias 
a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro. 
 
Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del 
tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el 
momento de inercia “I” define la forma apropiada que debe la sección del elemento 
estructural. 
 
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un 
objeto, además esta posición representa un movimiento simple de un objeto al contrario si 
se analiza el objeto completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo. El 
centroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una 
medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación 
del área sino de la distancia hasta un eje dado. 
 
Este trabajo se realiza con la finalidad de tener más conocimiento sobre el 
momento de inercia la cual se seguirá hablando del mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
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III. OBJETIVOS: 
 
• Medir el momento de inercia de un cuerpo. 
• Comprobar el teorema de los ejes paralelos. 
• Determinar momentos de inercia de cuerpos con diferentes geometrías. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. MARCO TEORICO 
 
A. MOMENTO DE INERCIA 
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El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia 
rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una 
magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un 
sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. 
 
El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la 
posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el 
movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en 
el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento 
angular longitudinal de un sólido rígido. 
 
Considere el área A, mostrada en la figura 1, que se encuentra en el plano x-y. 
 
FIGURA 1. 
 
Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana dA con 
respecto a los ejes x y y son dIx=y2 dA y dIy=x2 dA, respectivamente. Los 
momentos de inercia son determinados por integración para toda área; es 
decir: 
 Ec.1 
 Ec.2 
También podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo O 
ó eje z. A este se le llama momento de inercia polar y se lo puede calcular 
mediante: 
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 Ec.3 
 
Aquí r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. 
Las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la 
cuarta potencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CUADRO 1 
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Momentos de inercia 
B. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN ÁREA 
Si el momento de inercia para un área se conoce con respecto a un eje que 
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pasa a través de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente 
determinar el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo 
correspondiente usando el teorema de ejes paralelos. 
 
 
FIGURA 2. 
 
Considérese el momento de inercia I de un área A con respecto de un eje AA’ 
figura 2. Representado con y la distancia desde un elemento de área dA hasta 
AA’. 
 
 Ec.2 
Ahora, se dibuja a través del centroide C del área un eje BB’ que es paralelo a 
AA’, dicho eje recibe el nombre de eje centroidal. Representado con y’ la 
distancia desde el elemento dA hasta BB’, se escribe y=y’+d, donde d es la 
distancia entre los ejes AA’ y BB’. Sustituyendo y’ + d en lugar de y en la 
integral anterior, se escribe: 
 
 Ec.4 
 
 Ec.5 
En donde la primera integral representa el momento de inercia Ī del área con 
respecto del eje centroidal BB’. La segunda integral representa el primer 
momento con respecto de BB’, puesto que el centroide C del área está 
localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. 
Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por tanto 
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se obtiene: 
 Ec.6 
CUADRO 2. 
Propiedades Geométricas de Líneas y Elementos de Área 
 
 
C. CENTRO DE MASAS 
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Podemos decir que el centro de masas es el punto donde se concentra la masa 
de un sólido o sistema material de puntos. Por ejemplo, si tenemos una esfera, 
podemos aproximar su comportamiento al de un punto localizado en su centro 
y con una masa igual a su densidad por el volumen. 
El centro de masas tiene infinidad de utilidades. Por ejemplo, las leyes de 
Newton solo pueden aplicarse a sistemas de puntos materiales. De una forma 
más práctica, en el diseño de automóviles, es importante que el centro de 
masas esté en una posición relativamente baja para tener una mayor 
estabilidad. 
Para calcular el centro de masas solo es necesario multiplicar la masa de cada 
punto o elemento,por su distancia al eje dividiéndolo después por el área total 
para obtener así unidades de longitud. Utilizar esta expresión nos permite 
determinar por ejemplo, que el centro de masas de un sistema de dos puntos 
está en la recta que los une, el de un anillo en su centro, en un rectángulo en el 
punto donde se cortan las diagonales etc. 
 A continuación os presento una tabla con algunos centros de masa 
importantes: 
 
 
 
 
 
 
 
CUADRO 3 
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Centros de Masa 
 
 CENTROIDE DE ÁREAS COMPUESTAS 
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de 
figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc...).Un área compuesta 
se puede subdividir en varias áreas comunes cuyas expresiones de momento de 
inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del área 
compuesta es igual a la suma de los momentos de inercia de cada área común, 
siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo. 
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CENTROIDE DE FIGURAS COMPLEJAS 
 
Se puede considerar que la mayoría de las formas complejas están 
compuestas de varias formas simples. Un concepto que ayuda en la localización de 
centroides es que si el área dispone de un eje de simetría, el centroide se localizara 
en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y, por 
consiguiente, el centroide se localiza en la intersección de estos dos ejes. En la 
siguiente figura se muestran ejemplos donde ocurre esto. En los casos en que 
no hay ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el 
centroide. Por ejemplo, considerando la siguiente figuras. 
 
 
FIGURA 3. 
 
RADIO DE GIRO DE UN ÁREA 
El radio de giro de una área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad 
usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se 
conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro son 
determinados a partir de formulas 
 
 Ec.7 
 
http://tareasdeingenieria.blogspot.com/2008/03/centroide-de-figuras-complejas.html
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D. MOMENTOS DE INERCIA PARA UN ÁREA POR INTEGRACIÓN 
Cuando las fronteras de un área plana son expresadas mediante funciones 
matemáticas, las ecuaciones 2 y 3 pueden ser integradas para determinar los 
momentos de inercia para el área. 
 
Si el elemento de área elegido para la integración tiene un tamaño diferencial 
en dos direcciones como se muestra en la figura 2, debe efectuarse una 
integración doble para evaluar el momento de inercia. 
 
 Sin embargo, a menudo es más fácil efectuar una integración simple eligiendo 
un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en solo una dirección. 
 
E. MOMENTO DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS 
Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” 
conectadas, tales como semicírculos, rectángulos y triángulos. Si el momento 
de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con 
respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta 
es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes. 
 
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 
 
• El momento de inercia de un área compuesta con respecto a un eje de 
referencia puede ser determinado usando el siguiente procedimiento. 
 
• Usando un croquis, dividir el área en sus partes componentes e indique 
la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje 
de referencia. 
 
• El momento de inercia de cada parte debe ser determinado con respecto 
a su eje centroidal, que es paralelo al eje de referencia. 
• El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia 
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es determinado sumando los resultados de sus partes componentes. 
Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si 
no es por la acción de una fuerza. 
Por ejemplo cuando empujamos algo que se mueve linealmente, solemos decir 
que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo correcto puesto que 
la inercia es, estrictamente hablando, la resistencia a los cambios en la rotación 
de un objeto. 
La inercia puede calcularse mediante la el producto masa por distancia al 
cuadrado, o en caso de tratarse de una densidad constante y para una 
geometría continua, de la manera siguiente: 
 
Veamos a continuación como calcularlo para un 
triángulo:
FIGURA 5. 
FIGURA 5. 
http://i1.wp.com/www.elrincondelingeniero.com/wp-content/uploads/2013/04/inercia.jpg
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La inercia es una propiedad muy importante en dinámica y estática. Por 
ejemplo en resistencia de materiales, es un parámetro fundamental pues es 
necesaria para calcular la tensión en una sección debida a la aplicación de un 
momento en la estructura. 
Debido a que es inversamente proporcional a la tensión que sufre la sección en 
cuestión, es preferible diseñar estructuras con una alta inercia, minimizando así 
la solicitación. 
Debido a lo anterior, somos capaces de deducir los “extraños” perfiles de 
algunas vigas. Por ejemplo el motivo para utilizar vigas con sección de doble T 
es que al ser la inercia proporcional a la distancia, normalmente es preferible 
localizar el material en posiciones con una mayor distancia a la periferia, esto 
es, lo más alejados posibles del centro de gravedad. 
http://i1.wp.com/www.elrincondelingeniero.com/wp-content/uploads/2013/05/inercia-triangulo2.png