MOMENTO_DE_INERCIA_PRODUCTO_DE_INERCIA_Y

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ING. JANNYNA BERNILLA GONZALES
RESISTENCIA DE MATERIALES I
DOCENTE:
▪ FUSTAMANTE SALDAÑA JOSÉ WILMER
▪ LIZANA VASQUEZ JIMMY ANTHONY DANIEL
▪ SEMPERTEGUI SILVA JHAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
Los momentos y productos de inercia se originan en el análisis de distribuciones de
cargas lineales que actúan sobre áreas planas. Tales distribuciones ocurren en miembros
sometidos a flexión (vigas) y en ejes circulares que soportan pares de torsión.
En el presente informe se estudiara la dependencia de los momentos y productos de
inercia en la orientación del sistema coordenado. Esta dependencia resulta en las
ecuaciones de transformación para momentos y productos de inercia, que se utilizaran
para determinar los momentos de inercia máximo y mínimo en un punto.
Finalmente se concluirá con el análisis del circulo de Mohr, que es un método grafico
para representar las ecuaciones de transformación.
INTRODUCCIÓN:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
OBJETIVOS:
▪ Definir los momentos de inercia y sus aplicaciones en la ingeniería civil.
▪ Definir los momentos polares y producto de inercia de las diferentes áreas simples y
compuestas en nuestro campo de estudio.
▪ Demostrar el desarrollo de momentos de inercia respecto a ejes inclinados.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO DE INERCIA
SABERES PREVIOS
INERCIA:
Es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o 
velocidad. 
MOMENTO:
Es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un eje 
o punto. es constante, se puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dará el mismo 
resultado.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de un cuerpo depende de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del 
eje de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotación 
ubicados en distintas partes del cuerpo. Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia, dependiendo de 
dónde se considere el eje de rotación.
DEFINICIÓN DE MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia es la resistencia que ejercen los cuerpos a ser rotados al rededor de alguno 
de los ejes de referencia.
“La resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro”.
FIGURA 1: AREA(A1) FIGURA 2: AREA(A2)
A1=A2
M1>M2
A1 A2
I =  y2dA
RESISTENCIA DE MATERIALES I
APLICACIONES EN LA INGENIERÍA
d F = k Y dA
R = ∫ d F = ∫ k Y dA = k ∫ Y dA
FUERZA RESULTANTE:
SEGUNDO MOMENTO:
DIFERENCIAL DE FUERZA:
M = ∫ (Y) (d F) = ∫ k Y2 dA = k ∫ Y2 dA
CASO 1: Sección transversal de una viga en flexión.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
APLICACIONES EN LA INGENIERÍA
PRIMER MOMENTO DE ÁREA
SEGUNDO MOMENTO:
PRESIÓN DE AGUA
CASO 2: Compuerta vertical circular, problema de hidrostática.
x
y
p = y
F = pA = yA=  y A
M =  yA=   yA
M x =   𝑦2A =   𝑦2A
DIFERENCIAL DE FUERZA
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA SIMPLE
▪ Los momentos de inercia de un área son integrales de 
forma similar a las usadas para determinar el centroide 
de un área. 
▪ El momento de inercia de un área mide la resistencia a 
flexión de un cuerpo con respecto a un “eje ” es una 
propiedad geométrica.
= A dAyIx
2
= A dAxIy
2
RESISTENCIA DE MATERIALES I
DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA 
DE UN ÁREA SIMPLE POR INTEGRACIÓN
Estas integrales conocidas como los momentos rectangulares de inercia del área “A”, se pueden evaluar con
facilidad si se selecciona un diferencial del área paralelo a unos de los ejes coordenados.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Momento de inercia de un triángulo:
CON RESPECTO A SU BASE
b
h
dy
x
C.g.
h-y
y
• Se elige un diferencial paralelo al eje x para un dA
d𝐼𝑥 = 𝑦2 ⅆ𝐴ⅆA = l ⅆy
• Por similitud de triángulos𝑙b = h − 𝑦ℎ 𝑙 = bh − 𝑦ℎ ⅆ𝐴 = 𝑏 ℎ − 𝑦ℎ ⅆ𝑦
• Integrando d𝐼𝑥 de y=0 a y=h 𝐼𝑥 = න0
ℎ 𝑦2 ⅆ𝐴 = න0
ℎ 𝑦2𝑏 ℎ − 𝑦ℎ ⅆ𝑦 = bℎන0
ℎ ℎ𝑦2 − 𝑦3 ⅆ𝑦
𝐼𝑥 = bℎ ℎ 𝑥33 − 𝑥44 0ℎ = 𝑏ℎ312
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EN RESUMEN:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TRASLACIÓN PARALELA DE EJES:
TEOREMA DE STEINER
“Momento de Inercia correspondiente a un eje paralelo al eje centroidal de un área determinada”.
▪ Formulado por C. H. Lehmus y probado posteriormente por Jakob Steiner.
▪ En general: teorema de la geometría elemental que sirve para determinar el momento de inercia de un objeto
cuando el eje de rotación no pasa por el centro de masa del sólido que se está analizando.
▪ En superficies planas:
NOTAS:
▪ Permite relacionar 2 momentos de inercia.
▪ El Teorema de Steiner puede aplicarse únicamente si uno de los 2 ejes paralelos pasa por el centro de
gravedad del área.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEOREMA DE STEINER:
DEMOSTRACIÓN𝐼𝑋 = න(𝑦 + 𝑑𝑦)2𝑑𝐴𝐼𝑋 = 𝑦2𝑑𝐴׬ + 2𝑑𝑦 𝑦𝑑𝐴׬ +𝑑𝑦2 𝑑𝐴׬
Momento estático del área 
con respecto de 𝑋𝐺. 𝐼𝑋 = 𝑦2𝑑𝐴׬ + 2𝑑𝑦𝐴 + 𝐴𝑑𝑦2
𝑑𝐴
C.g.
𝐼𝑌𝐺 = න𝑥2𝑑𝐴
𝐼𝑋𝐺 = න𝑦2𝑑𝐴
𝑑𝑥 𝑥 𝑦
𝑑𝑦 𝑦 = 0 Puesto que pasa por el C.g.𝑰𝑿 = 𝑰𝑿𝑮 + 𝑨𝒅𝒚𝟐
𝑰𝑿 = ത𝑰𝑿 + 𝑨𝒅𝟐𝐼𝑋𝐺 es paralelo a 𝐼𝑋 por lo tanto se puede expresar como ത𝑰𝑿. Para 𝒅𝒚esta puede ser reemplazada genéricamente como 𝒅.
𝑋𝐺
𝑌𝐺y
x
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEOREMA DE STEINER𝑰𝑿 = ത𝑰𝑿 + 𝑨𝒅𝟐
ENUNCIADO:
Para un área, dada el momento de inercia en relación con un eje cualquiera en su plano es igual al 
momento de inercia respecto de un eje paralelo que pase por el centro de gravedad más el producto 
del área por el cuadrado de la distancia entre ejes.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA 
COMPUESTA
Cuando un área pueda descomponerse en elementos geométricos (como rectángulos, triángulos,
etc.) de momentos de inercia conocidos; el momento de inercia del área total es la suma algebraica
de los momentos de inercia de cada parte por separado. Antes de sumar ,hay que referir todos los
momentos al mismo eje por aplicación reiterada del teorema de Steiner.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Puntos importantes para hallar un área compuesta:
1. Dividir el área total en áreas conocidas e indicar la
distancia perpendicular desde el centroide de cada parte
hasta el eje de referencia
2. Si el eje centroidal para cada parte no coincide con el eje
de referencia deberá usarse el teorema de Steiner: I=ത𝑰 + 𝑨𝒅𝟐
3. Si una parte componente tiene una región vacía
(orificio),su momento de inercia se encuentra al restar el
momento de inercia de esta región del momento de
inercia de toda parte incluida la región.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
PRODUCTO 
DE INERCIA
El producto de inercia de un área plana se define con 
respecto a un conjunto de ejes perpendiculares que se 
encuentran en el plano del área.
𝐼𝑥𝑦 = න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴
0
RESISTENCIA DE MATERIALES I
-y
y
-x x
x
y
-x x
y
-y -y
y
Producto de Inercia Puede ser:
Positivo
Negativo
Cero
𝐼𝑥𝑦 = න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴
𝐼𝑥𝑦 = −න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴
𝐼𝑥𝑦 = −න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴
III
III IV
RESISTENCIA DE MATERIALES I
El producto de inercia de un área es cero con respecto 
a cualquier par de ejes en el cual al menos uno de 
ellos es un eje de simetría del área.
CASO ESPECIAL: SIMETRÍA
𝐼𝑥𝑦 = 𝐴׬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴 - 𝐴׬ 𝑥𝑦 𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = 0
AB
x
y
-x +x
y
0
𝐼𝑥𝑦 = න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = −න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS 
PARA PRODUCTO DE INERCIA
A
x
y
C
𝑦′
𝑥′𝑦′
ത𝑦
𝑥′ҧ𝑥
𝑥
𝑦
0
𝐼𝑥𝑦 = න𝐴𝑥𝑦 𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = න𝐴( ҧ𝑥 + 𝑥′)(ത𝑦 + 𝑦′) 𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = 𝐴׬ ҧ𝑥 ത𝑦𝑑𝐴 𝐴׬ + ҧ𝑥𝑦′𝑑𝐴 𝐴׬ + 𝑥′ ത𝑦𝑑𝐴 𝐴׬ + 𝑥′𝑦′𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = ҧ𝑥 ത𝑦𝐴 + ҧ𝐼𝑥′𝑦′
Dónde: ҧ𝐼𝑥′𝑦′ representa el producto de inercia 
del área con respecto al eje centroidal.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO POLAR DE INERCIA EN EJES GIRADOS DE SECCIONES 
SIMPLES Y COMPUESTAS
MOMENTO POLAR DE INERCIA
Se define:𝐽𝑂 = න𝑟2𝑑𝐴𝐽𝑂 = න 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴𝐽𝑂 = න𝑥2𝑑𝐴 + න𝑦2𝑑𝐴
∴ 𝐽𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
Entonces:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
IMPORTANCIA EN LA INGENIERÍA CIVIL
RESISTENCIA DE MATERIALES I
𝐼𝑥 = න𝑦2𝑑𝐴 𝐼𝑦 = න𝑥2𝑑𝐴
𝐼𝑥𝑦 = න𝑥𝑦𝑑𝐴
Si los momentos y producto de inercia 
con respecto a los ejes 𝑥 y 𝑦 son:
MOMENTO DE INERCIA CON EJES GIRADOS
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Calculando 𝐼𝑢:
𝐼𝑢 = න𝑣2𝑑𝐴 pero 𝑣 = 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑢 = න 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝑑𝐴𝐼𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃න𝑦2𝑑𝐴 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃න𝑥𝑦𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃න𝑥2𝑑𝐴𝐼𝑢 = 𝐼𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐼𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃2 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑦 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃2
∴ 𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Calculando 𝐼𝑣:
𝐼𝑣 = න𝑢2𝑑𝐴 pero 𝑢 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐼𝑣 = න 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝑑𝐴
𝐼𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃න𝑥2𝑑𝐴 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 න𝑥𝑦𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃න𝑦2𝑑𝐴
𝐼𝑣 = 𝐼𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 2𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐼𝑥𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝐼𝑣 = 𝐼𝑦 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃2 + 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃2
∴ 𝐼𝑣 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Calculando 𝐼𝑢𝑣:𝐼𝑢𝑣 = න𝑢𝑣𝑑𝐴 pero 𝑢 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣 = 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐼𝑢𝑣 = න 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐴𝐼𝑢𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃න𝑥𝑦𝑑𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 න𝑥2𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 න𝑦2𝑑𝐴 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃න𝑥𝑦𝑑𝐴𝐼𝑢𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝐼𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝐼𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝐼𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑥𝑦
𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃2 − 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃2 𝐼𝑥𝑦
∴ 𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃
RESISTENCIA DE MATERIALES I
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑣 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE INERCIA:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO POLAR DE INERCIA CON EJES GIRADOS
De la figura:𝑟2= 𝑥2 + 𝑦2= 𝑢2 + 𝑣2
Entonces:
𝐽𝑂 = න𝑟2𝑑𝐴𝐽𝑂 = ׬ 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 = ׬ 𝑢2 + 𝑣2 𝑑𝐴𝐽𝑂 = 𝑥2𝑑𝐴׬ + 𝑢2𝑑𝐴׬ =𝑦2𝑑𝐴׬ + ∴𝑣2𝑑𝐴׬ 𝐽𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦= 𝐼𝑢 + 𝐼𝑣
RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
Para encontrar los momentos de inercia máximo y mínimo, igualamos a cero la 
derivada de 𝐼𝑢:𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝐼𝑢𝑑𝜃 = − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃 = − 2𝐼𝑥𝑦𝐼𝑥 − 𝐼𝑦
𝑡𝑎𝑛2𝜃 = − 2𝐼𝑥𝑦𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 ∴ 𝑡𝑎𝑛2𝜃 = − 𝐼𝑥𝑦𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2
𝑅 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Se concluye que hay dos soluciones para el ángulo 2𝜃 que difieren en 180° estas soluciones las denotaremos por 𝜃1 y 𝜃2
Si sustituimos 𝑠𝑒𝑛2𝜃1 y 𝑐𝑜𝑠 2𝜃1 en 𝐼𝑢:
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃1 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃1
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2𝑅 − 𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑦𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 1𝑅 + 𝐼𝑥𝑦 2 1𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2
2 + 𝐼𝑥𝑦 2𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 +
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2 2𝑅 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝑅2𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝑅
∴ 𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Si sustituimos 𝑠𝑒𝑛2𝜃2 y 𝑐𝑜𝑠 2𝜃2 en 𝐼𝑢:
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃2 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃2
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2𝑅 − 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑦𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 1𝑅 − 𝐼𝑥𝑦 2 1𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2
2 + 𝐼𝑥𝑦 2𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 −
𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2 2𝑅 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝑅2𝑅
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝑅 ∴ 𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Para determinar el producto de inercia respecto a los ejes principales, se sustituyen 
las relaciones de 𝑠𝑒𝑛𝑜 y 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 en 𝐼𝑢𝑣 obteniendo:
PRIMER CASO:
Si sustituimos 𝑠𝑒𝑛2𝜃1 y 𝑐𝑜𝑠 2𝜃1 en 𝐼𝑢𝑣 tenemos:𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 −𝐼𝑥𝑦𝑅 + 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2𝑅𝐼𝑢𝑣 = 0
SEGUNDO CASO:
Si sustituimos 𝑠𝑒𝑛2𝜃2 y 𝑐𝑜𝑠 2𝜃2 en 𝐼𝑢𝑣 tenemos:𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝐼𝑥𝑦𝑅 + 𝐼𝑥𝑦 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2𝑅𝐼𝑢𝑣 = 0
𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2
𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2
Entonces de forma general:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
CIRCULO DE MOHR
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIO N°01:
En la figura mostrada representa la sección recta de un perfil laminado en Z. 
Determinar los valores de 𝐼𝑋0y 𝐼𝑌0 .
RESISTENCIA DE MATERIALES I
90mm
2
0
m
m
90mm
2
0
m
m
20mm
1
3
0
m
m
FIGURA 1
(X1G;Y1G)=(45;160)mm
FIGURA 2
(X2G;Y2G)=(80;85)mm
FIGURA 3
(X3G;Y3G)=(115;85)mm
7
5
m
m
35mm
7
5
m
m
35mm
𝐼𝑋𝐺 = 𝐼1𝑋 + 𝐼2𝑋 + 𝐼3𝑋
𝐼𝑋𝐺 = (90 ∗ 20312 + 90 ∗ 20 ∗ 752) + 20 ∗ 130312 + (90 ∗ 20312 + 90 ∗ 20 ∗ 752)𝑰𝑿𝑮 = 𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒𝐼𝑌𝐺 = 𝐼1𝑌 + 𝐼2𝑌 + 𝐼3𝑌𝐼𝑌𝐺 = (20 ∗ 90312 + 90 ∗ 20 ∗ 352) + 130 ∗ 20312 + (20 ∗ 90312 + 90 ∗ 20 ∗ 352)𝑰𝒀𝑮 = 𝟔. 𝟗𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒
SOLUCIÓN:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIO N°02:
Una viga compuesta está formada por cuatro ángulos de 150 x150x13mm que unen un alma de 600x20mm a dos alas 
de 460x20 mm como se indica en la figura. 
En los angulares ҧ𝐼𝑥 = ҧ𝐼𝑦 = 8.05𝑥106𝑚𝑚4; el área es de 3730 𝑚𝑚2 , y തx = തy = 42.3mm.Calcular el momento de 
inercia de la sección respecto del eje 𝑋0.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Solución:
Existen tres partes distintas, así que es preferible aplicar directamente el teorema de Steiner, para determinar 
el momento de inercia de cada parte respecto del eje 𝑋0, sumando luego los resultados parciales obtenidos. 
Se tiene:
Aplicando Steiner para hallar el momento de inercia: 𝐼 = ҧ𝐼 + 𝐴𝑑2
Para el alma:
Para las dos alas:
𝐼 = 20(600)312 + 20𝑥600 02 = 360𝑥106𝑚𝑚4
𝐼 = 2 460 20 312 + 460𝑥20 3152 = 1830𝑥106𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Para los cuatro ángulos:
Para la sección total:
𝐼 = 4[ 8.05𝑥106 + 3730 305 − 42.3 2 = 1060𝑥106𝑚𝑚4
𝐼 = ( 360 + 1830 + 1060)𝑥106 𝒎𝒎𝟒𝑰 = 𝟑𝟐𝟓𝟎𝒙𝟏𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIO Nº03:
La figura muestra la sección transversal de una viga medida en mm.
Se pide:
Calcular el centroide de la figura
Momento de inercia con respecto al eje Xc: Ixc
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Solución
a) Calculamos el centroide de la figura
▪ El centroide es el punto donde la figura se mantiene en equilibrio, colocaremos al
centroide las coordenadas (x;y)
▪ Dividimos la viga en figura planas conocidas.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
▪ Colocaremos los ejes de referencia y hallamos los centros de cada figura teniendo en cuenta que en el
rectángulo se ubica el centro en el cruce de las diagonales a mitad de sus lados paralelos y en el caso del
cuadrado a 2/3 de su vértices, estos datos lo colocamos en una tabla de manera ordenada.
Figura ҧ𝑥 ത𝑦 Área: a ҧ𝑥. 𝑎 ത𝑦. 𝑎
1 375 550 75000 28125000 41250000
2 200 450 22500 4500000 10125000
3 550 450 22500 12375000 10125000
4 375 250 75000 28125000 18750000
Total 195000 73125000 80250000
ҧ𝑥 = σ ҧ𝑥. 𝐴σ𝐴 = 73125000195000 = 375 𝑚𝑚
ത𝑦 = σ ത𝑦. 𝐴σ𝐴 = 8025000195000 = 411.538 𝑚𝑚➢ Por último hallaremos el centroide.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
b) Momento de inercia con respecto al eje Xc: Ixc
▪ Para hallar el momento de inercia debemos considerar el momento de inercia 
de las siguientes figuras:
𝐼𝑥 = 𝑏ℎ312 𝐼𝑥 = 𝑏ℎ336
▪ Utilizamos los datos anteriores del centroide la figura y aplicamos el teorema de 
Steiner (𝐼 ҧ𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐴. 𝑑2) para hallar el momento de inercia.
Figura 𝐼𝑥 Área d 𝐼 ҧ𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐴. 𝑑2
1 62500000 75000 138.462 1500379408
2 28125000 22500 38.462 61409822.5
3 28125000 22500 38.462 61409822.5
4 1562500000 75000 -161.538 3519589408𝐼ഥ𝑥 = 5142788462
RESISTENCIA DE MATERIALES I
PRODUCTO DE INERCIA DEÁREAS SIMPLES 
Determine el producto de inercia del triangulo mostrado en la figura.
a) Respecto a los ejes x y y.
b) En relación con los ejes centroidales que son parelelos a los ejes x y y.
x
d
h
EJERCICIO N°04:
𝑦 = ℎ 𝑏 − 𝑥𝑏
RESISTENCIA DE MATERIALES I
y´
x´
x
y
d
x
y
dx
h
𝑦 = ℎ 𝑏 − 𝑥𝑏
Solución a)
𝐼𝑥𝑦 = 12න𝑥𝑦2 𝑑𝑥𝐼𝑥𝑦 = 12඲𝑥 𝑛 𝑏 − 𝑥𝐷 2 𝑑𝑥
𝐼𝑥𝑦 = 12඲𝑥 𝑛 𝑏 − 𝑥𝐷 2 𝑑𝑥
𝐼𝑥𝑦 = 12 ∗ ℎ2𝑏2න𝑥 𝑏 − 𝑥 2 𝑑𝑥
𝐼𝑥𝑦 = 12 ∗ ℎ2𝑏2න 𝑥𝑏2 − 2𝑏𝑥2 + 𝑥3 𝑑𝑥
𝐼𝑥𝑦 = 12 ∗ ℎ2න0
𝑏 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∗ 12 ∗ ℎ2𝑏 න0
𝑏 𝑥2 𝑑𝑥 + 12 ∗ ℎ2𝑏2න0
𝑏 𝑥3 𝑑𝑥
𝐼𝑥𝑦 = ℎ2𝑏24 − ℎ2𝑏 𝑏33 + ℎ2𝑏2 𝑏48
𝐼𝑥𝑦 = ℎ2𝑏224
𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝑥
RESISTENCIA DE MATERIALES I
𝐼𝑥𝑦 = න𝑥𝑦 𝑑𝐴𝐼𝑥𝑦 = න𝑥(𝑦2) 𝑦 𝑑𝑥
d
h
y´
x´
d/3
h/3
x
y
( ҧ𝑥 ഥ, 𝑦)
Solución b) ഥ𝑥 = 𝑑3 , ത𝑦 = ℎ3
𝐼𝑥𝑦 = ҧ𝑥 ത𝑦𝐴 + ҧ𝐼𝑥′𝑦′
Reemplazando:124 𝑏2ℎ2 = ҧ𝐼𝑥′𝑦′ + 13 𝑏 15 ℎ 12 𝑏ℎ
ҧ𝐼𝑥′𝑦′ = 124 𝑏2ℎ2 − 118 𝑏2ℎ2ത𝑰𝒙′𝒚′ = − 𝟏𝟕𝟐𝒃𝟐𝒉𝟐
RESISTENCIA DE MATERIALES I
PRODUCTO DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS 
.100mm
500mm
100mm
700mm
x
y
500mm
100mm
Determine el producto de inercia del área de
la sección transversal de la viga que se
muestra en la figura, respecto a los ejes
centroidales x y y.
EJERCICIO N°05:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SOLUCIÓN
𝐼𝑥𝑦 = (𝐼𝑥𝑦)𝐴 + (𝐼𝑥𝑦)𝐵 + (𝐼𝑥𝑦)𝐶
x
y
A
B
Cx
500mm
100mm
.100mm
500mm
100mm
700mm
Análisis en cada uno de los rectángulos
RECTANGULO A 𝐼𝑥𝑦 = ҧ𝐼𝑥′𝑦′ + ҧ𝑥 ത𝑦𝐴𝐼𝑥𝑦 = 0 + (-300mm)(250mm)(400mm * 100mm)𝐼𝑥𝑦 = - 3(10)9𝑚𝑚4
x
y
A
B
C
300mm
250mm
250mm
300mm
RESISTENCIA DE MATERIALES I
RECTANGULO B 𝐼𝑥𝑦 = ҧ𝐼𝑥′𝑦′ + ҧ𝑥 ത𝑦𝐴𝐼𝑥𝑦 = 0 + 0𝐼𝑥𝑦 = 0
RECTANGULO C 𝐼𝑥𝑦 = ҧ𝐼𝑥′𝑦′ + ҧ𝑥 ത𝑦𝐴𝐼𝑥𝑦 = 0 + (300mm)(-250mm)(400mm * 100mm)𝐼𝑥𝑦 = −3(10)9𝑚𝑚4
Por consiguiente, el producto de inercia de toda la sección transversal es:𝐼𝑥𝑦 = −3(10)9𝑚𝑚4 + 0 + −3(10)9𝑚𝑚4𝐼𝑥𝑦 = −6(10)9𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIO N°06:
La sección transversal de la viga de patín ancho que se muestra en la figura tiene una altura
total de 250 𝑚𝑚, un ancho de 250 𝑚𝑚 y un espesor constante de 15 𝑚𝑚.
Determinar el momento polar de inercia con respecto al centroide.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SOLUCIÓN:
Se divide el área compuesta en áreas simples:
𝐼𝑥 1 = ҧ𝐼𝑥 1 + 𝐴𝑦2 = 250 15 312 + 250 15 117.5 2 = 51843750 𝑚𝑚4𝐼𝑥 2 = ҧ𝐼𝑥 2 = 15 250 312 = 19531250 𝑚𝑚4𝐼𝑥 3 = ҧ𝐼𝑥 3 + 𝐴𝑦2 = 250 15 312 + 250 15 117.5 2 = 51843750 𝑚𝑚4𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 1 + 𝐼𝑥 2 + 𝐼𝑥 3 = 19531250 + 2 51843750 = 123218750 𝑚𝑚4∴ 𝐼𝑥 = 123.22 10 6 𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
𝐼𝑦 1 = ҧ𝐼𝑦 1 = 15 250 312 = 19531250 𝑚𝑚4𝐼𝑦 2 = ҧ𝐼𝑦 2 = 220 15 312 = 61875 𝑚𝑚4𝐼𝑦 3 = ҧ𝐼𝑦 3 = 15 250 312 = 19531250 𝑚𝑚4𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 1 + 𝐼𝑦 2 + 𝐼𝑦 3 = 61875 + 2 19531250 = 39124375 𝑚𝑚4∴ 𝐼𝑦 = 39.12 10 6 𝑚𝑚4
𝐽𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = 123.22 10 6 𝑚𝑚4+ 39.12 10 6 𝑚𝑚4∴ 𝐽𝑂= 162.34 10 6 𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIO N°07:
Localice el centroide ത𝑦 de sección transversal de la viga y después determine los momentos de inercia de 
esta área y el producto de inercia con respecto a los ejes 𝑢 y 𝑣. Los ejes tienen su origen en el centroide 𝐶.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SOLUCIÓN:
Primero hallaremos el centroide തy de la sección transversal de la viga:
തy = Σ𝑦𝑐AΣA = 2(100)(200)(25) + 12.5(25)(100)2(200)(25) + 100(25)തy = 82.5 𝑚𝑚
Calculamos los momentos de inercia con respecto a los ejes 𝑥 e 𝑦:
𝐼𝑥 = 2 112 (25)(200)3 + 25(200)(17.5)2 + 112 100 25 3 + 100(25)702𝐼𝑥 = 48.78 106 𝑚𝑚4𝐼𝑦 = 2 112 (200)(25)3 + 200(25)(62.5)2 + 112 (25)(100) 3𝐼𝑦 = 41.67 106 𝑚𝑚4
Se observa que el área de la sección transversal es simétrica entonces:𝐼𝑥𝑦 = 0
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Ahora podemos calcular los momentos de inercia y el producto de inercia con respecto a los ejes 𝑢 y 𝑣; siendo 𝜃 = −60°.
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑢 = 48.78 + 41.672 + 48.78 − 41.672 cos −120° − 0 𝑠𝑒𝑛 −120° (106)𝐼𝑢 = 43.4 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑣 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑣 = 48.78 + 41.672 − 48.78 − 41.672 cos −120° + 0 𝑠𝑒𝑛 −120° (106)𝐼𝑣 = 47 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃𝐼𝑢𝑣 = 48.78 − 41.672 𝑠𝑒𝑛(−120°) + (0)cos(−120°)𝐼𝑢𝑣 = −3.08 106 𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
EJERCICIO N°08:
Para la región que se muestra en la figura calcule: 
a. Los momentos y el producto de inercia respecto a los ejes 𝑢𝑣 que pasan por el centroide 𝐶.
b. Los momentos principales centroidales de inercia y las direcciones principales
RESISTENCIA DE MATERIALES I
SOLUCIÓN:
Dividimos el área compuesta en áreas simples y encontramos su centro 
geometrico 𝐶( ҧ𝑥; ത𝑦):
Área 𝑨 (𝒎𝒎𝟐) ഥ𝒙 (𝒎𝒎) 𝑨ഥ𝒙 (𝒎𝒎𝟑) ഥ𝒚(𝒎𝒎) 𝑨ഥ𝒚 (𝒎𝒎𝟑)
1 5000 12.5 62500 100 500000
2 3125 87.5 273437.5 12.5 39062.5𝜮 8125 - 335937.5 - 539062.5
ҧ𝑥 = 𝛴𝐴 ҧ𝑥𝛴𝐴 = 335937.58125 = 41.35 𝑚𝑚ത𝑦 = 𝛴𝐴ത𝑦𝛴𝐴 = 539062.58125 = 66.35 𝑚𝑚
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Calculamos el momento de inercia de 1 y 2:
Área 𝑰𝒙 (𝒎𝒎𝟒) 𝑰𝒚 (𝒎𝒎𝟒) 𝑰𝒙𝒚 (𝒎𝒎𝟒)
1 25(200)33= 66.67(106) 200(25)33 = 1.04(106) 0+5000(12.5) (100) =6.25(106)
2 125(25)33= 0.65(106) 25(125)312 + 3125(87.5)2= 27.99(106) 0+3125(87.5) (12.5) =3.42(106)𝜮 67.32(106) 29.03 (106) 9.67 (106)
Luego se aplica el teorema de los ejes paralelos:ҧ𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 − 𝐴ത𝑦2 = 67.32 106 − 8125 66.35 2 = 31.55 106 𝑚𝑚4ҧ𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 − 𝐴 ҧ𝑥2 = 29.03 106 − 8125 41.35 2 = 15.14 106 𝑚𝑚4ҧ𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦 − 𝐴 ҧ𝑥 ത𝑦 = 9.67 106 − 8125 66.35 41.35 = −12.62 106 𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
PARTE A:
Para calcular los momentos y el producto de inercia respecto a los ejes 𝑢𝑣 sustituimos ҧ𝐼𝑥, ҧ𝐼𝑦, ҧ𝐼𝑥𝑦 y 𝜃 = 50° en las 
ecuaciones de transformación:
𝐼𝑢 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑢 = 31.55 + 15.142 + 31.55 − 15.142 𝑐𝑜𝑠100° − −12.62 𝑠𝑒𝑛100°𝐼𝑢 = 34.35 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑣 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝐼𝑣 = 31.55 + 15.142 − 31.55 − 15.142 𝑐𝑜𝑠100° + −12.62 𝑠𝑒𝑛100°𝐼𝑣 = 12.34 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑢𝑣 = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃𝐼𝑢𝑣 = 31.55 − 15.142 𝑠𝑒𝑛100° + −12.62 𝑐𝑜𝑠100°𝐼𝑢𝑣 = 10.27 106 𝑚𝑚4
RESISTENCIA DE MATERIALES I
PARTE B:
Para hallar los ejes principales y las direcciones de los ejes principales utilizaremos el círculo de Mohr:
𝑅 = ҧ𝐼𝑥 − ҧ𝐼𝑦2 2 + ҧ𝐼𝑥𝑦 2
𝑅 = 31.55 − 15.142 2 + −12.62 2𝑅 = 15.05
Donde:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Calculamos los momentos máximo y mínimo:
𝐼𝑚𝑎𝑥 = ҧ𝐼𝑥 + ҧ𝐼𝑦2 + 𝑅𝐼𝑚𝑎𝑥 = 31.55 + 15.142 + 15.05∴ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 38.395 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑚𝑖𝑛 = ҧ𝐼𝑥 + ҧ𝐼𝑦2 − 𝑅𝐼𝑚𝑖𝑛 = 31.55 + 15.142 − 15.05∴ 𝐼𝑚𝑖𝑛= 8.29 106 𝑚𝑚4
Para las direcciones principales: 𝑡𝑎𝑛2𝜃 = − 𝐼𝑥𝑦𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2𝑡𝑎𝑛2𝜃 = − −12.6231.55 − 15.1422𝜃 = 56.96°∴ 𝜃 = 28.484°
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Por lo tanto, para obtener las direcciones principales de los ejes principales giramos 𝜃 = 28.484° en 
sentido antihorario:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
CONCLUSIONES:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
▪ Podemos decir que el momento de inercia, es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al
movimiento lineal.
▪ El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el movimiento de inercia también depende
de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de
inercia.
▪ Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento
de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como
referencia.
BIBLIOGRAFÍA:
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▪ Gamio Arisnabarreta, L., 2015. Estática Teoría y Aplicaciones. 1st ed. Lima: Macro EIRL.
▪ Beer, F. and Johnston, E., 1995. Meca ́nica vectorial para ingenieros. Madrid: McGraw-Hill.RESISTENCIA DE MATERIALES I