Cartilla Momento de Inercia 20_08_19

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JUJUY 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
 
CARTILLAS DE APUNTES 
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FIGURAS 
AÑO: 2019 
 
 
 
 
Carrera: Ingeniería INDUSTRIAL 
 
 
 
 
DOCENTES: 
 
 Ing. MARCELO JANIN 
Ing. PABLO DANIEL CHACÓN 
 
 
 
 
MOMENTOS DE ÁREAS 
 
 
PRIMER MOMENTO DE UN ÁREA (MOMENTO ESTÁTICO): CENTROIDE DE UN ÁREA 
 
Sea un área A en el plano xy (figura A.1). Si x e y son las coordenadas de un elemento de área 
dA, definimos el primer momento del área A con respecto al eje x como la integral 
 
 
𝑄𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴𝐴 (A.1) 
 
 
 
 
 
 
Análogamente, el primer momento del área A con respecto al eje y es la integral 
 
𝑄𝑦 = � 𝑥 𝑑𝐴
𝐴
 (𝐴. 2) 
Observe que cada una de estas integrales puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo de la 
posición de los ejes. Si se usan unidades SI, los primeros momentos Qx y Qy se expresan en m³ o 
mm³. 
El centroide del área A se define como el punto C de coordenadas �̅� 𝑒 𝑦� (figura A.2) que satisfacen 
las relaciones 
 
� 𝑥 𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴�̅� � 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴𝑦� (𝐴. 3) 
 
 
 
 
Comparando las ecuaciones (A.1) y (A.2) con las ecuaciones (A.3) se nota que los primeros 
momentos del área A pueden expresarse como los productos del área por las coordenadas de 
su centroide: 
𝑄𝑥 = 𝐴𝑦� 𝑄𝑦 = 𝐴�̅� (𝐴. 4) 
Cuando un área posee un eje de simetría, el primer momento del área con respecto a su eje es 
cero. 
 
UNJu 
INGENIERIA INDUSTRIAL____________________________________________________________________________________________________________________
ESTÁTICA Y RESISTENCIA 
DE MATERIALES
 
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS FIGURAS PLANAS
___________________________________________________________________________________________________________________ 
1
MOMENTO DE INERCIA DE UNA FIGURA PLANA 
Introducción 
Cuando sobre una superficie actúan fuerzas que están distribuidas de modo continuo por toda 
ella, es muchas veces necesario calcular el momento de esas fuerzas respecto a un eje contenido 
en la superficie o perpendicular a ésta. A menudo la intensidad de la fuerza (presión o esfuerzo) 
es proporcional a la distancia al eje de momentos. La fuerza elemental que actúa en un elemento 
de superficie será entonces proporcional a la distancia multiplicada por el área elemental y el 
momento elemental será proporcional al cuadrado de la distancia multiplicado por el área 
elemental. Vemos, pues, que el momento total será proporcional a una integral de la forma ∫ 
(distancia)² d(área). Esta integral, que recibe el nombre de momento de inercia, depende de la 
geometría de la superficie y aparece con tanta frecuencia en la práctica que es útil que 
desarrollemos con algún detalle sus propiedades para que pueda manejarse con facilidad cuando 
las circunstancias lo requieran. 
 
Figura 1: Origen físico de las integrales 
Aunque la integral a que nos veniros refiriendo acostumbre a conocerse como momento de inercia 
de la superficie respecto al eje en cuestión, una denominación más adecuada sería la de 
momento estático de segundo orden, puesto que el momento de primer orden y dA se multiplica 
por el brazo de momento y para dar el momento de segundo orden del elemento dA. La palabra 
inercia aparece en esta terminología en razón de la similitud entre la expresión matemática de las 
integrales que dan cuenta de los momentos de segundo orden con la de los momentos resultantes 
de las llamadas fuerzas de inercia que aparecen al estudiar la rotación de los cuerpos. El 
momento de inercia de una superficie es una propiedad puramente matemática de esa superficie 
y, de por sí, carece de significado físico. 
Momentos de Inercia Rectangulares y Polares 
En la figura 2 la superficie de área A está contenida en el 
plano xy. Los momentos de inercia elementales del 
elemento dA respecto a los ejes x e y son, por definición 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦2𝑑𝐴 y 𝑑𝐼𝑦 = 𝑥2𝑑𝐴, respectivamente. Luego los 
momentos de inercia de la superficie de área A respecto 
a los mismos ejes serán momentos de inercia 
rectangulares 
𝐼𝑥 = �𝑦2𝑑𝐴 
𝐼𝑦 = �𝑥2𝑑𝐴 
Figura 2 
UNJu 
INGENIERIA INDUSTRIAL____________________________________________________________________________________________________________________
ESTÁTICA Y RESISTENCIA 
DE MATERIALES
 
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS FIGURAS PLANAS
___________________________________________________________________________________________________________________ 
2
El momento de inercia de dA respecto al polo O (eje z) es, por definición análogo a 𝑑𝐼𝑧 = 𝑟2𝑑𝐴, y 
el momento de inercia de toda la superficie respecto a O es el momento de inercia polar 
𝐼𝑧 = �𝑟2𝑑𝐴 
Las dimensiones del momento de inercia de una superficie son, evidentemente, L4, en que L 
representa la dimensión longitud. En unidades SI, un momento de inercia se expresará, pues, en 
metros a la cuarta (m4) o en milímetros a la cuarta (mm4). 
Al calcular momentos de inercia, es importante elegir adecuadamente las coordenadas. Conviene 
emplear coordenadas cartesianas para aquellos contornos que se expresen más fácilmente con 
ellas, son útiles para elementos sometidos a flexión. Las coordenadas polares suelen simplificar 
los cálculos en los problemas en que intervienen contornos más fácilmente expresables mediante 
las coordenadas r y θ barras circulares y se usa en elementos sometidos a torsión. Es asimismo 
importante elegir un elemento de superficie que simplifique la integración lo más posible. 
En la práctica de ingeniería la mayor parte de las áreas son formas geométricas regulares. En 
consecuencia podemos deducir ecuaciones para las formas comunes integrando las definiciones 
básicas, entre los límites del área. Para ilustrar este procedimiento, deduzcamos la fórmula para el 
momento de inercia del área de un rectángulo con respecto al eje centroidal X de la figura 3. 
El área elemental dA se escoge como una tira angosta paralela al eje X, localizada a una distancia 
y a partir del eje centroidal 
 El segundo momento de esa área y² dA, se integra entre los límites 
de –h/2 a +h/2 
 
Sustituyendo los límites en la ecuación, tenemos 
 
Esta es la ecuación del momento de inercia para una figura 
rectangular con respecto a un eje horizontal baricentrico. 
Las ecuaciones para otras formas geométricas se obtienen de 
manera semejante, al final de este apunte se adjuntan tablas con 
propiedades geométricas de las superficies. 
 
 
 
Teorema de los ejes paralelos 
Cuando es necesario calcular el momento de inercia de una sección con respecto a un eje distinto 
al que pasa por el centroide de la figura se utiliza el teorema de los ejes paralelos definido a 
continuación. 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥0 + 𝐴 × 𝑑2 
Ix: momento de inercia con respecto al eje que se está buscando 
Ixo: momento de inercia de la figura con respecto a sus ejes baricentrico 
A: área de la figura 
d: distancia entre los dos ejes mencionados 
 
Ejemplo. Determinar el momento de inercia con respecto al eje X’-X’ del área mostrada en la 
UNJu 
INGENIERIA INDUSTRIAL____________________________________________________________________________________________________________________
ESTÁTICA Y RESISTENCIA 
DE MATERIALES
 
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS FIGURAS PLANAS
___________________________________________________________________________________________________________________ 
3
figura. 
 
 
Ejemplo. Determinar el momento de inercia con respecto al eje centroidal de la sección en forma 
de T 
 
 
El centroide está localizado a 100 mm arriba de la base. 
 
 
UNJu 
INGENIERIA INDUSTRIAL____________________________________________________________________________________________________________________
ESTÁTICA Y RESISTENCIA 
DE MATERIALES
 
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS FIGURAS PLANAS
___________________________________________________________________________________________________________________ 
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. Determinar el momento de inerciacon respecto al eje centroidal del área mostrada en la 
figura. 
 
 
 
Ejemplo. La sección transversal de una viga de acero está hecha con una sección W 18x71 de 
patín ancho, con una contraplaca de 6 pulg x ½ pulg soldada al patin superior y una sección en 
canal C 10x30 soldada al patín inferior, como muestra la figura. a) Localizar el centroide C del 
área de la sección transversal. b) Momento de Inercia X centroidal. 
𝐴1 = 6"×0,5" = 3.0 𝑝𝑢𝑙𝑔2 
𝐴2 = 20,8 𝑝𝑢𝑙𝑔2 
𝐴3 = 8,82 𝑝𝑢𝑙𝑔2 
A2 y A3 se obtienen de tablas, colocamos el origen de los ejes X e Y en el centroide C2 de la 
sección de patin ancho. 
 
UNJu 
INGENIERIA INDUSTRIAL____________________________________________________________________________________________________________________
ESTÁTICA Y RESISTENCIA 
DE MATERIALES
 
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS FIGURAS PLANAS
___________________________________________________________________________________________________________________ 
5
 
Donde las distancias centroidales de cada elemento se 
encuentran en tablas adjuntas. 
 
Ahora podemos obtener la coordenada para el centroide C del área compuesta 
 
Para calcular el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal utilizamos el 
Teorema de los ejes paralelos. 
 
W 18x71: 𝐼2𝑥0 = 1170 𝑝𝑢𝑙𝑔4 d2 = 1.80 pulg A2 = 20.8 pulg2 
C 10x30: 𝐼3𝑦0 = 3.94 𝑝𝑢𝑙𝑔4 d3 = 0.65 pulg+(18.47/2–1.80) pulg = 8.08” A3=8.82 pulg2 
Placa: 𝐼1𝑜𝑝 =
6 𝑝𝑢𝑙𝑔×0.5𝑝𝑢𝑙𝑔3
12
= 0.0625 𝑝𝑢𝑙𝑔4 d1=18.47/2+0.5/2+1.8=11.29 pulg A1=3 pulg2 
 
𝐼𝑋� = 𝐼1𝑜𝑝 + 𝑑12𝐴1 + 𝐼2𝑥0 + 𝑑22𝐴2 + 𝐼3𝑦0 + 𝑑32𝐴3 = 2.199,61 𝑝𝑢𝑙𝑔4 
 
UNJu 
INGENIERIA INDUSTRIAL____________________________________________________________________________________________________________________
ESTÁTICA Y RESISTENCIA 
DE MATERIALES
 
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS FIGURAS PLANAS
___________________________________________________________________________________________________________________ 
6
	CARATULA
	Cartilla Momento de Inercia 12_08_19
	Páginas desdeApendice Timoshenko