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ÁLGEBRA EN PRIMARIA1 
Lyda Constanza Mora Mendieta 
lmendieta@pedagogica.edu.co 
Profesora Universidad Pedagógica Nacional 
 
Incluir la enseñanza del álgebra en la educación primaria2 no significa, de ninguna manera, 
impartir un curso sobre ecuaciones, factorización de polinomio o algo similar para los niños de 
pre-escolar o primaria, sería muy seguramente ¡Una locura! La invitación que se hace a los 
maestros de primaria tiene que ver con la proposición de tareas que les posibiliten a los niños 
de primaria, el desarrollo de su Pensamiento Algebraico (Razonamiento Algebraico o 
Razonamiento Inductivo). 
 
Early-Algebra 
 
Introducir el Álgebra desde la Educación Primaria, no significa que ahora en los horarios de los 
niños deba aparecer además de Aritmética, otra área que se llame Álgebra o algo similar, la 
intención es integrar el Álgebra a otros bloques de contenidos propios de las matemáticas que 
se tratan en la primaria. 
 
Esta corriente denominada Early-Algebra, que busca un cambio curricular, 
 
De manera concreta, (…) propone incorporar a las aulas de Educación Primaria 
actividades dirigidas a la observación de patrones, relaciones y propiedades 
matemáticas para de este modo desarrollar competencias propias del Álgebra. Tal 
y como señalan Blanton y Kaput (2005) son actividades que generan un ambiente 
de trabajo en Matemáticas en la que los alumnos exploran, modelizan situaciones, 
hacen predicciones, discuten, argumentan y comprueban ideas además de 
practicar habilidades de cálculo. En definitiva, se trata de desarrollar 
simultáneamente el pensamiento numérico y el algebraico desde la Educación 
Primaria, con la finalidad de desarrollar un aprendizaje con comprensión que 
facilite el estudio posterior del Álgebra en la Educación Secundaria. 
 
En sentido amplio la expresión “Early Algebra” considera el Álgebra en una 
concepción amplia que abarca el estudio y generalización de patrones y relaciones 
numéricas, el estudio de relaciones funcionales, el desarrollo y la manipulación 
del simbolismo, el estudio de estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, y la 
modelización (Kaput, 1998, 2000; Schliemann, et al., 2003), comprende en 
definitiva la instrucción a alumnos de 6 a 12 años tanto del razonamiento 
algebraico como de las relaciones algebraicas. (Socas, 2011, p. 14). Subrayado 
nuestro. 
 
 
1 Este documento es construido en el marco del Programa de Transformación de la Calidad Educativa del 
MEN en convenio con la Universidad Pedagógica Nacional (Junio de 2012). 
2 Lo cual ha sido propuesto no sólo por el MEN en los Lineamientos Curriculares de matemáticas (1998) 
y Estándares Básicos de Competencias Matemáticas (2006), sino también por corrientes internacionales, 
en particular, en los Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares del National Council of 
Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) se halla de manera explícita el tratamiento del álgebra desde el 
pre-escolar. Kieran (2006, citada por Socas, 2011), una investigadora muy reconocida en Educación 
Matemática en particular, en lo que corresponde al educación en álgebra, sitúa como uno de los núcleos 
de interés de la investigación en los últimos 30 años, “El pensamiento algebraico en los estudiantes de la 
escuela elemental (…)” (p. 8). 
mailto:lmendieta@pedagogica.edu.co
 
 
 
Pensamiento Algebraico3 
 
La enseñanza del Álgebra en la Educación primaria busca el desarrollo del Pensamiento 
Algebraico, ¿qué se entiende por ello? es una de las preguntas que surgen de manera 
inmediata. El Pensamiento Algebraico se considera más general que el Pensamiento 
Aritmético, de hecho, es consecutivo a éste, no obstante, como cita Esquinas (2008, p. 89) “No 
podemos afirmar que haya un hecho que marque el comienzo del pensamiento algebraico, sino 
que se trata más bien de un proceso de algebrización que supone un trabajo cada vez más 
explícito de generalización (Bolea, Bosch y Gascón, 2001)” 
 
La aritmética tiene como propósito operar con números específicos; el álgebra, generalizar y 
formalizar las relaciones cuantitativas (Esquinas, 2008). En el pensamiento algebraico son 
importantes entonces las relaciones, por lo que el proceso de generalizar es un campo fértil 
para ello, 
 
Diversos autores (Kaput, Panniza, Sessa, Sadovsky, Schliemann, Carraher, Brizuela, 
entre otros) han señalado que aprovechar las oportunidades ofrecidas por la 
propia aritmética –generalizando números y relaciones, estableciendo relaciones 
entre variables o estudiando estructuras comunes a diversos sistemas de 
algoritmos- a niveles de enseñanza tempranos, para comenzar el proceso de 
algebrización, facilitaría el paso de la aritmética al álgebra y evitaría que la ruptura 
necesaria en este proceso supusiera un obstáculo epistemológico insalvable para 
los alumnos. (Esquinas, 2008, p. 93) 
 
Aunque debe decirse también que el Pensamiento Algebraico no sólo se refiere a las 
relaciones cuantitativas sino también a la noción de variabilidad y a la de estructura algebraica, 
en donde la simbolización cobra un papel preponderante. 
 
Razonamiento Algebraico 
 
Otro de los términos acuñados en este tipo de textos es el de Razonamiento Algebraico. Según 
Godino y Font (2003, p. 774) 
 
“El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones 
y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se 
desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el 
simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico, 
especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Este tipo de 
razonamiento está en el corazón de las matemáticas concebida como la ciencia de 
los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de las matemáticas en la 
que formalizar y generalizar no sea central.” 
 
3
 Esta sección, Pensamiento Algebraico, está parafraseada de Mora, L. y Rodríguez (2011). La 
generalización en el desarrollo del pensamiento variacional y algebraico: Actividades en el aula de 
matemáticas. II Encuentro Nacional de Estudio de clase transformando prácticas de aula para el 
desarrollo de competencias-MEN. Bogotá, D.C. 
 
 
antho
Resaltado
antho
Resaltado
 
Kaput (1999, citado por Bressan y Gallego, 2010, p. 10), en la misma dirección, utiliza el 
término Razonamiento Algebraico para hacer “referencia a la actividad de los estudiantes de 
generalizar sobre datos y relaciones matemáticas, estableciendo esas generalizaciones a través 
de conjetura y argumentación y expresándolas en formas cada vez más formales.” 
 
Razonamiento Inductivo 
 
No sólo se habla de Razonamiento o Pensamiento Algebraico, Bressan y Gallego (2010), por su 
parte, plantean que el Razonamiento Inductivo consiste tanto en pasar de casos particulares a 
la presentación de una propiedad común de tales casos particulares a través de la formulación 
de una hipótesis como la transferencia de propiedades de una situación a otra. Esto se 
encuentra ligado con el proceso de generalizar. 
 
Muchas personas consideran que las matemáticas son netamente deductivas y realmente no, 
el razonamiento deductivo sí hace parte de las matemáticas, sobre todo en los procesos de 
argumentación formales (las demostraciones), pero en su construcción, el razonamiento 
inductivo juega un papel fundamental, a partir de la observación sistemática, de la inducción, 
se ha generado nuevo conocimiento matemático. 
 
Tanto el Pensamiento Algebraico como el Razonamiento Algebraico o el Inductivo se 
relacionan con Proceso de Generalizar, así que es importante revisar en qué consiste. 
 
El Proceso de Generalizar4 
 
La Generalización es uno de los procesos que ocurren en cualquier nivel del pensamiento 
matemático y que está incluido en uno más global, el proceso de abstraer, “Generalizar es 
inducir de casos particulares, identificar aspectos en común, para expandirdominios de 
validez” (Dreyfus, 1991, p. 35, traducción libre realizada por Mora, L.). 
 
La generalización es fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático, es base de 
la abstracción (Mason, 1985), es indudable entonces la importancia de su tratamiento. El 
mismo Mason (1989) plantea que “Generalizar significa descubrir alguna ley general que nos 
indique: qué parece ser cierto (una conjetura); por qué parece que es cierto (una justificación); 
dónde parece que es cierto, esto es, un planteamiento más general del problema” (citado por 
Esquinas, 2008, p. 94). 
 
La generalización es la consolidación de características comunes de elementos de un conjunto 
(números, reglas, gráficas, etc.) expresadas de manera condensada. 
 
Hay que diferenciar cuándo se generaliza y cuándo no; esto es, qué es generalizar y qué no es. 
En la siguiente tabla se resumen algunas de tales diferencias: 
 
¿Qué es? ¿Qué no es? 
 Identificar aspectos en común de 
casos particulares. 
 Buscar una propiedad común en casos 
particulares, abstraer los invariantes 
 Pasar de un caso particular (uno solo) 
a una expresión general. 
 Definir un conjunto de objetos a partir 
de las propiedades de un objeto. 
 
4 Este apartado está parafraseado de Mora, L. y Soler, N. (2010) Estudiar Álgebra desde la 
Generalización: Ejemplos para la formación de profesores. En: Memorias del 11º Encuentro Colombiano 
de Matemática Educativa. Bogotá. 
esenciales; a estas propiedades 
comunes son a las que se les llama, 
regularidades. 
 Conectar varias situaciones a partir de 
características en común que permiten 
incluirlas dentro de una determinada 
clase (Bressan y Gallego, 2010) 
 
 
Como se observa, es necesario contar con varios casos particulares, no con uno solo; por eso 
no corresponde a una generalización la frase “Todos los hombres (mujeres) son iguales”, tan 
escuchada en nuestro medio, deducida a partir de sólo un caso o algunos, poco fortuitos. 
 
La generalización está entonces relacionada con otros procesos propios de la actividad 
matemática, que podrían denominarse más particulares, inducir, observar, descomponer, 
hacer analogías, descontextualizar e identificar características comunes y tal vez argumentar. Y 
también, como ya se ha mencionado, con otros procesos, de un nivel superior: Abstraer y 
Simbolizar. 
 
No obstante, vale indicar que una cosa es generalizar y otra simboliza utilizando lenguaje 
matemático técnico o especializado. Es posible generalizar sin necesidad de utilizar un lenguaje 
matemático formal, la intención es que el álgebra, a través de la generalización de patrones, 
sea enseñada como 
 
un proceso de reinvención guiada, que no ha de centrarse en la formalización 
prematura y la manipulación sintáctica rigurosa de expresiones algebraicas, sino 
que debe atender a los estadios preformales en los que se enfatizan los aspectos 
semióticos y pragmáticos en el uso de estas expresiones. (Bressan y Gallego, 2010, 
p. 10) 
 
Empero, sin duda alguna, sin un sistema de símbolos (el mismo lenguaje verbal es un sistema 
de símbolos) es imposible comunicar lo que se encuentra, las relaciones que se identifican, 
acceder al proceso de generalizar. 
 
Un objeto matemático donde está presente la generalización es sin duda las sucesiones, pero 
cómo introducirlas en la educación primaria, a través de las secuencias, de hecho, las 
sucesiones son un tipo especial de secuencias, como se verá más adelante. 
 
Secuencias 
 
Las secuencias son un conjunto de signos (orales, gestuales, físicos, comportamentales, 
gráficos, numéricos, etc.) ordenados llamados términos que se constituyen a partir de una 
regla de repetición de un patrón. 
 
Ejemplos: 
1. Con regletas: 
…. 
2. Con gestos: 
… 
3. Gráficos: 
… 
4. Numéricos: 
3, 7, 11, 15, 19, 23,… 
 
Con base en esto, se pueden tipificar5 las secuencias así: 
 
Secuencias con el cuerpo Secuencias manipulativas Secuencias figurativas o icónicas 
Son secuencias donde se 
utilizan movimientos 
corporales, ritmos o 
sonidos, por ejemplo: 
Niños agachados con las 
manos arriba, niños de 
pie con las manos a los 
lados, niños agachados 
con las manos arriba, 
niños de pie con las 
manos a los lados,… 
 
Son secuencias en las cuales 
se utilizan materiales 
manipulativos como tapas, 
fichas de colores, fichas de 
formas, palillos, dominós, etc. 
Ejemplo: 
… 
Son secuencias en las cuales se 
utilizan figuras, pueden constituir 
la representación gráfica de las 
secuencias manipulativas 
previamente presentadas o 
simplemente imágenes, por 
ejemplo: 
… 
Secuencias gráfico-
numéricas 
Secuencias numéricas Secuencias por recurrencia 
Son secuencias que se 
presentan en gráficos y 
que se pueden 
representar con números, 
por ejemplo: 
 
… 
 2 4 6 
Son secuencias que se 
representan básicamente con 
números, por ejemplo6: 
 
1 + 2 = 3 
4 + 5 + 6 =7 + 8 
9 + 10 + 11 + 12 =13 + 14 + 
15 
 … 
Son secuencias cuyos términos se 
pueden hallar con base en el 
anterior, por ejemplo: 
 
1, 1, 2, 3, 5, 8, … 
 
que es la famosa sucesión de 
Fibonacci, cuyos términos, a 
partir del tercero, se pueden 
hallar sumando los dos 
anteriores7. 
 
Secuencias tabulares 
Son secuencias que se presentan en tablas, por ejemplo: 
 
1 2 3 4 5 … 
2 4 6 8 10 … 
 
La cual también se puede ubicar de forma vertical. Otras secuencias en tablas, se presentan 
enseguida: 
1 2 3 4 5 6 … 
 
5 Se utiliza este término, tipificar, porque no es una clasificación, hay algunas secuencias que pueden 
pertenecer a dos tipos diferentes. 
6 Tomada de Mason, Graham, Pimm & Gowar (1988, p. 144). 
7 Números de la sucesión de Fibonacci se encuentran en la naturaleza, en los pétalos de las flores, en la 
cantidad de piñones en cada espiral de una piña, etc. Un video muy interesante sobre este tema se 
puede hallar en la red, de la serie más por menos y titulado: Fibonacci. La magia de los números. 
1 3 6 10 15 21 … 
1 4 10 20 35 56 … 
1 5 15 35 70 126 … 
… … … … … … … 
 
Ejemplos claros de estas secuencias son las famosas tablas de multiplicar. 
 
 
Patrón, Núcleo o Unidad de patrón 
 
“El núcleo o unidad de un patrón de repetición es la cadena más corta de elementos 
que se repiten” (Font y Godino, 2003, p. 817), Bressan y Gallego (2010, p. 13) 
presentan dos distintos tipos de núcleos, así: 
 
1. Patrones de repetición: 
 
Son aquellos que se presentan de forma periódicas, algunos son de las 
siguientes formas: 
 
 Núcleo de la forma AB: Se repiten dos elementos alternadamente. Por ejemplo: 
1-2, 1-2, 1-2,… cuadrado-círculo, cuadrado- círculo…; …, etc. 
 Núcleo de la forma ABC: Se repiten tres elementos. Por ejemplo: do-re-mi, do-re-mi,… 
o rojo-azul-amarillo, rojo-azul-amarillo… o … 
 Núcleo de la forma AABB: Se repite dos veces un elemento y a continuación dos veces 
otro. Por ejemplo: 1-1-2-2, 1-1-2-2 o rojo-rojo-azul-azul, rojo-rojo-azul-azul… 
 Núcleo de la forma ABA: Se repite en orden el primero, el segundo y el primero. Por 
ejemplo: 1-2-1, 1-2-1,… o rojo-azul-rojo, rojo-azul-rojo… 
 
Y claro, puede haber otros como 
 
Núcleo de la forma ABBA: ejemplos de este núcleo son: 1221,1221, 1221,…o 
… 
 
Así que si tienes otros ejemplos y no están listados acá, no hay que afanarse. 
 
Según Threlfall (1990, citado por Bressan y Gallego, 2010, p. 14), los patrones de repetición, 
 
además de conducir a los alumnos a la observación de regularidades y secuencias, 
son un medio para trabajar con símbolos, un paso conceptual fundamental para el 
álgebra y un contexto para la generalización. Este autor afirma que los niños 
pequeños pueden tener éxito en generar o continuar patrones de repetición 
usando un enfoque procedimental o rítmico. Sin embargo, como paso 
fundamental hacia la generalización y el álgebra,“es esencial ver patrones 
particulares dentro del patrón general, esto es, percibir la unidad o núcleo en un 
patrón de repetición. Este objetivo no puede lograrse trabajando sólo en los 
primeros grados, cuando los alumnos aún no son capaces de lograr la percepción 
de la unidad de repetición”. 
 
2. Patrones por recurrencia: 
Son aquellos patrones en los que el núcleo cambia según alguna regularidad 
determinada por los términos de la secuencia; es decir, cada uno de los 
términos de la secuencia se puede representar con base en los términos 
anteriores. Ejemplos: 
 
 Un aplauso, dos palmas sobre las piernas, tres aplausos, cuatro palmas 
sobre las piernas, … 
 5, 10, 15, 20, 25, …, lo cual se puede escribir como: 5, 5 + 5, 5 + 5 + 5,… 
 3, 7, 11, 15, 19, 23,…que es lo mismo que 3, 3 + 4, 3 + 4 + 4, … 
 
Todas la progresiones aritméticas y geométricas están basadas en patrones por 
recurrencia, aunque por ser de esta clase, tienen una expresión general, una regla 
general de formación, por ejemplo, aunque la última secuencia numérica, que es 
también un progresión aritmética, se puede generalizar mediante una fórmula por 
recurrencia; esto es: 
 
Como 3, 7, 11, 15, 19, 23,… = 3, 3 + 4, 3 + 4 + 4, … 
 
Entonces si los términos de la sucesión los representamos por ai, donde i es un número 
natural, tenemos que a1, el primer término de la sucesión, es 3, esto es a1 = 3, a2 = 7 y 
así sucesivamente. De esta forma, con base en a1 = 3 podemos hallar todos los 
demás términos de la sucesión como sigue: 
 
a2 = a1 + 4, pues a2 = 3 + 4 = 7 
a3 = a2 + 4, pues a3 = 7 + 4 = 11 
 
 Y así, por lo cual: 
 
an = an  1 + 4, donde an  1 representa el término anterior a an y an cualquier término de 
la sucesión dada. 
 
No obstante, al ser esta sucesión una progresión aritmética, tiene una fórmula general 
de representarse, no necesariamente por recurrencia, así: 
 
an = 3 + 4(n  1) = 4n  1. 
 
Representaciones 
 
De manera general, primero vale la pena recordar la importancia de las representaciones en el 
aprendizaje de las matemáticas y por ende, en su enseñanza. Es claro y muy posiblemente 
compartido por muchos que entre más representaciones se tenga sobre cierto objeto 
matemático mayor será la comprensión que hay sobre éste, de otro lado ¿Cómo se accede a 
algún objeto matemático si no es a través de sus representaciones? Esto significa que abordar 
el asunto de las representaciones, para este caso particular, en la generalización de patrones 
es totalmente pertinente cuando de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se refiere. 
 
Por una parte, desde hace muchos años, en los años 60’s, Jerome Bruner, el máximo 
exponente del aprendizaje significativo, propuso tres formas básicas mediante las cuales los 
humanos representan sus modelos mentales y la realidad, propuso además que estas tres 
fases deberían ser tenidas en cuenta en la enseñanza de los conceptos. Tales fases o tipos de 
representaciones son: 
 
Representación enactiva  Representación icónica  Representación simbólica 
 
La representación enactiva está asociada con la fase sensoriomotora propuesta por Piaget, 
“este tipo de representación permite representar eventos mediante una respuesta motriz 
adecuada” (Godino Font, 2003, p. 13), esta representación se da principalmente en los 
primeros años de las personas. 
La representación icónica se refiere a la representación de una situación mediante imágenes, 
esquemas, dibujos, iconos que modelen aquello que se quiere representar. 
La representación simbólica es la fase más abstracta, respecto a las dos anteriores, se elige un 
símbolo arbitrario (ya no una imagen), que usualmente no tiene relación directa con el objeto 
representado y a partir de éste se comunica la situación o el objeto que se quiere representar. 
 
Atendiendo a este tipo de representaciones, se han organizado los diferentes registros 
posibles para secuencias, en el siguiente esquema: 
 
Materiales manipulativos 
 
Los pequeños pueden trabajar con diferentes materiales especializados como: 
 
Bloque lógicos8 Regletas de Cuisenaire9 
 
8 Imagen tomada de http://www.grupodidacticoayal.com.mx/ 
9 En http://www.regletasdigitales.com/ es posible acceder a un juego con regletas de Cuisenaire 
digitales, creado por Gil Gijón, David Cantos y Maximina Fernández. En particular, para este caso, se 
recomienda la categoría “Seriar”. 
•Materiales manipulativos 
especializados.
•Materiales manipulativos de 
fácil acceso.
Representación 
Enactiva
•Dibujos.
•Configuraciones puntuales.
•Otras configuraciones.
•Tablas numéricas.
Representación 
Icónica o Gráfica
•Numerales
•Relaciones aritméticas
• Lenguaje verbal
•Lenguaje sincopado
•Lenguaje matemático
Representación 
Simbólica
http://www.grupodidacticoayal.com.mx/
http://www.regletasdigitales.com/
 
 
 
10
 
 
Cubos de distinto color 11 Cubos de diferente tamaño12 
 
 
 
Ensartados13 
 
 
También se pueden utilizar materiales no especializados como palillos para formar figuras o 
palitos de paletas, de diferentes colores o semillas o fichas de dominós, etc. 
 
Un mismo tipo de secuencia se puede representar mediante el ensartado, así: 
 
 
 
10 La imagen fue tomada de: http://www.todocoleccion.net/ 
11 Imagen tomada de http://www.didacticosjml.com.mx/ 
12 Imagen tomada de http://www.didacticosjml.com.mx/ 
13 Imagen tomada de http://medieducativos.com/ 
http://www.todocoleccion.net/
http://www.didacticosjml.com.mx/
http://www.didacticosjml.com.mx/productos.asp?step=2&id=223&pstring=1,223
http://medieducativos.com/
http://www.didacticosjml.com.mx/productodetalle.asp?id=3083
http://www.didacticosjml.com.mx/productodetalle.asp?id=4
 
 
O utilizando algunas semillas: 
 
Con palillos o palitos de ramas de tamaño similar se pueden hacer figuras como: 
 
Y pedir a los estudiantes que armen la siguiente figura y luego contar el número de palillos 
para cada figura. 
 
En lo que tiene que ver con este tema es muy poco lo que se halla en la red y que sea 
interactivo, una de las páginas recomendadas es la del Consejo Nacional de Profesores de 
Matemáticas de Norte América (NCTM), allí hay algunos applets interactivos que permiten a 
los profesores de primaria construir patrones, su vínculo actual14 es: 
 
http://www.nctm.org/standards/content.aspx?menu_id=1155&id=26866 
 
Aunque también se puede recurrir a la elaboración de aplicativos en Excel de parte del 
profesor que posibilite ciertos hallazgos o también es posible que los mismos estudiantes 
construyan listas en este mismo programa, a partir de las cuales hallen relaciones 
matemáticas. 
 
Gráficos 
 
Distintos tipos de gráficos se pueden utilizar, desde representar mediante dibujos las 
secuencias hechas con materiales manipulables como tablas que permitan organizar cierta 
información o encontrar ciertas regularidades, por ejemplo: 
 
Dibujos: Las secuencias representadas con ensartado o con semillas de fríjoles, lentejas y 
maíces, se pueden dibujar, como sigue: 
 
… 
 
14 Revisado el 11 de Junio de 2012. 
http://www.nctm.org/standards/content.aspx?menu_id=1155&id=26866
 
Configuraciones puntuales: La representación de la unidad con puntos, cuadrados, 
rectángulos, mónadas, es una idea que data de los Pitagóricos y con ellos, las representaciones 
de ciertos números y propiedades de los mismos a través de configuraciones puntuales, 
enseguida se muestra por ejemplo, la representación de algunos números cuadrados mediante 
configuraciones puntuales. 
 
 
     
        
         
         
 
 De donde, haciendo sólo algunas marcas (conocidas como gnómones, eles invertidas) se 
puede colegir una propiedad entre números impares y números cuadrados, esto es, que la 
suma de los primeros números impares consecutivosson números cuadrados: 
 
 
     
        
         
         
 
Otras configuraciones: Se pueden hacer otro tipo de configuraciones que no sea mediante 
puntos, por ejemplo, mediante cuadrados de colores se puede representar la misma secuencia 
anterior: 
 
     
        
         
         
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 
 
Tablas: Las tablas son otras representaciones sugeridas además de las anteriores. De un lado, 
pueden utilizarse para organizar secuencias dadas en otra representación y de otro, es posible 
construir tablas con ciertas secuencias a partir de las cuales se hallan regularidades 
interesantes. Para el primer caso, al organizar los datos de la secuencia anterior, en una tabla, 
se tiene: 
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 
   
         
           
        
 
Aunque también se pueden organizar los datos recurriendo a los numerales, por ejemplo: 
 
Figura Nº 1 2 3 … 
Nº de cuadros rojos 1 1 1 … 
Nº de cuadros amarillos 3 3 3 … 
Nº de cuadros verdes 0 5 5 … 
Nº de cuadros azules 0 0 7 … 
… … … … … 
Nº total de cuadros 4 9 16 … 
 
Y para el segundo caso, a partir de una tabla como ésta15: 
 
Columna 
Fila 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
… 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 
2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 … 
3 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … 
4 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 … 
5 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 … 
6 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 … 
7 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 … 
 
Se pueden hacer algunas observaciones como: 
 Los números de la fila 1 son los números naturales en orden, para hallar cualquier 
número a partir del anterior se adiciona 1, corresponden al mismo número de la 
columna. 
 Los números de la fila 2 son la suma de los primeros números naturales iniciando en 1, 
ejemplos: 
1 = 1 
3 = 1 + 2 
6 = 1 + 2 + 3 
10 = 1 + 2 + 3 + 4 
Estos números, los de la fila 2, son conocidos como números triangulares. 
 Los números en la fila 3 son los números cuadrados, esto es: 
1 = 1  1 
4 = 2  2 
9 = 3  3 
Los cuales, además, corresponden a la suma de dos números triangulares 
consecutivos, esto es: 
4 = 1 + 3 
9 = 3 + 6 
16 = 6 + 10 
 
Esta tabla es rica en regularidades, se invita al lector a hacer sus propias observaciones y 
plantear sus propias conjeturas. 
 
Al respecto de esta clase de tablas, los Principios y Estándares para la Educación Matemática 
(NCTM, 2000) proponen la utilización de una tabla conocida actualmente como Centena 
cuadriculada16, puesto que “permite crear una variedad de patrones que los alumnos pueden 
reconocer y describir con facilidad” (p. 96). 
 
15 Esta tabla ha sido propuestas por el profesor Carlos Luque del Departamento de Matemáticas para 
utilizarse en el espacio académico Aritmética y a partir de ella, inducir algunas conjeturas. 
16 Aunque es bueno precisar que en los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación 
Matemática (NCTM, 1989) también se proponía un tablero como éste. En el artículo de González, F. y 
Ruiz, F. (2002). Las centenas cuadriculadas: un material matemáticamente potente para ilustrar el 
tránsito de la Aritmética al Álgebra. Revista Suma, 42, 47-59, al cual se accede en la dirección 
http://revistasuma.es/IMG/pdf/42/047-059.pdf, hay algunas ideas de interés. 
http://revistasuma.es/IMG/pdf/42/047-059.pdf
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
Centena cuadriculada 
Maestros en formación de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica 
Nacional17 han propuesto algunas tareas como: 
 
 Calcular la suma de los diez números que pertenecen a una misma fila. 
 Calcular la suma de los nueve primeros números que pertenecen a una misma fila, de 
los primeros 7, los primeros 6, etc. 
 Hallar la suma de los números que se encuentran en una configuración en forma de 
cruz, de un cuadro por cada brazo, por ejemplo, la suma de los números ubicados en 
las celdas sombreadas: 
1 2 3 
11 12 13 
21 22 23 
Y observar qué pasa con la suma de tales números cuando la cruz se desplaza hacia la 
derecha, hacia arriba o hacia abajo, respecto al resultado de la primera suma hallada. 
 Elegir cuadrados de lado impar (ver ejemplo enseguida) y hallar la suma de los 
números que se encuentran en el borde de tales cuadrados, ¿Cómo es tal suma en 
relación con el número del centro del cuadrado? 
1 2 3 
11 12 13 
21 22 23 
 
Simbólicos 
 
Dentro de los sistemas de representación simbólicos se ubican representaciones como 
numerales, relaciones aritméticas18, lenguaje verbal, lenguaje sincopado19 y lenguaje 
matemático. Como ya se ha visto, en algunas de las representaciones tabulares presentadas se 
 
17 Las ideas aquí presentadas fueron propuestas y desarrolladas por los maestros en formación Irwin 
Jamid Medina Meléndez, Deisy Johana Naranjo González y Jenny Marcela Umaña Gómez, en el marco 
del espacio académico Enseñanza y Aprendizaje de la Aritmética y el Álgebra (2010). 
18 Este término ha sido acuñado de Rico, Marín, Lupiáñez y Gómez (2008, p. 16) 
19 Haciendo referencia a la notación que se ha identificado en la historia del álgebra cuando se inició la 
utilización de algunas abreviaturas para simplificar algunas resoluciones a problemas. Según Socas et al. 
(1989), esta notación se puede evidenciar en las obras de Diofanto (250 d. C.) y hasta los escritos de 
inicios del siglo XVI. 
ha hecho uso de representación numeral, es decir, se están utilizando ambas 
representaciones. 
Numerales: Esta representación se refiere al uso de símbolos numerales, por ejemplo la 
sucesión 1, 1, 3, 7, 17, 41,… está representada con numerales o símbolos numéricos. 
Relaciones aritméticas: Esta representación corresponde a la utilización de símbolos numerales 
pero expresados mediante operaciones (adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, 
potenciación,…) entre otros números. Para el caso del ejemplo anterior, desde el tercer 
término de la sucesión se puede escribir cada uno de éstos como el resultado de ciertas 
operaciones con los dos anteriores términos, así: 
3 = 1 + 1  2 
7 = 1 + 3  2 
17 = 3 + 7  2 
… 
Lenguaje verbal: Esta representación se ubica en este sistema de representación, el simbólico, 
por cuanto se requiere un buen uso del lenguaje, castellano en este caso, para comunicar las 
ideas que se deseen. Continuando con el ejemplo anterior, una representación asociada a este 
tipo es: «Los números de la sucesión 1, 1, 3, 7, 17, 41,…se hallan con base en los dos términos 
anteriores, se toma de estos el segundo término y se multiplica por dos; después, este resultado 
se suma con el primer término, así se halla el término que se desee» 
Lenguaje sincopado: Correspondiente a la utilización de un lenguaje que mezcla expresiones 
verbales como signos matemático, pero no con el rigor y tecnicismo del lenguaje matemático, 
para el ejemplo que se está considerando, podría decirse que una expresión como la siguiente, 
posible en estudiantes de la educación básica, corresponde a este tipo de representación: 
 «Para hallar un término de la sucesión 1, 1, 3, 7, 17, 41,…basta con tomar los dos términos 
anteriores y  2 el segundo término, y luego hacer una  con este resultado y el otro número» 
Lenguaje matemático: Esta representación hace referencia al uso de un simbolismo 
matemático propiamente dicho (podría decirse, al uso del lenguaje algebraico), respetando 
todas las reglas sintácticas del lenguaje matemático. Para este mismo ejemplo, una 
representación de este tipo es: «El término n-ésimo (an ) de lasucesión 1, 1, 3, 7, 17, 41,…se 
halla como sigue: a1 = a2 = 1; an = an  1 + 2  an  2 » 
 
Antes de continuar, es indicado resaltar que en el tratamiento de la generalización (y 
realmente de cualquier objeto matemático) es importante tener en cuenta las distintas 
representaciones posibles, numéricas (a través de numerales, de relaciones aritméticas), 
gráficas y algebraicas, pasando por la manipulación de material tangible. Cada representante 
(cada representación) privilegia o da cuenta de ciertas relaciones que otro representante no 
permite evidenciar o las hace menos transparentes. También es útil destacar que los 
estudiantes, según sus potencialidades, se sentirán más a gusto con una u otra representación, 
es por eso interesante para el profesor aprender a observar cuáles son esas representaciones 
con las que los estudiantes se sienten más cómodos y crear estrategias que permitan la 
utilización de otras representaciones, en busca de la superación de niveles de abstracción, 
según las necesidades y características cognitivas de los estudiantes. 
 
La generalización a lo largo de la escuela primaria 
 
Las matemáticas son consideradas, nada más ni nada menos que, la Ciencia de los patrones 
(Hoffman, 1989 citado por Bressan y Gallego, 2010, p. 5), vale la pena entonces que los 
estudiantes, desde sus primeros grados de escolaridad se relacionen con las matemáticas, 
desde esta idea, que tengan la posibilidad de explorar con patrones, en esta dirección, el 
trabajo con las secuencias y sucesiones son una excelente entrada, no sólo porque permiten 
representaciones de distintos tipos que ayudan a hallar relaciones y hacer generalizaciones 
sino que además que el estudio de patrones, ha sido considerado ideal para la introducción del 
lenguaje algebraico, pues a partir de éste, las letras cobran sentido para los niños. 
 
El estudio de patrones suele iniciarse en el pre-escolar mediante actividades de clasificación y 
seriación como son llamadas, pero lamentablemente su tratamiento sólo se hace en esta 
primera etapa y no se avanza de manera sistemática en búsqueda de avance en los procesos 
de abstracción y simbolización en los niños. Según Bressan y Gallego (2010) porque muy 
posiblemente se desconoce su potencialidad lógica, psicológica y matemática, en el desarrollo 
del pensamiento matemático de los niños, aunque vale la pena parafrasear a estas autoras 
 
Cabe aclarar que no estamos indicando que se tienen que enseñar patrones como 
automatismos para que luego los alumnos los apliquen. Lo que corresponde es 
que los niños vayan construyendo comprensivamente recursos que les permitan 
encontrar regularidades, interpretar sus procesos de gestación y usarlos con 
propiedad (p. 15). 
 
Se destaca que este proceso de construcción debería ser tratado a lo largo de todo el año y de 
todos los años de la educación primaria, y no como un contenido aislado sino relacionado con 
otros contenidos de las mismas matemáticas (geometría –utilizando ciertas figuras 
geométricas por ejemplo, organizando secuencias según la cantidad de lados-, aritmética –
utilizando ciertas propiedades de los números o tipos de números como pares, impares, 
cuadrados, operaciones, etc.-, probabilidad, etc.) y con otras áreas, cuando sea posible 
(ciencias naturales –por ejemplo, haciendo secuencias acerca del crecimiento de una planta, el 
número de pétalos de ciertas flores, etc.-, educación física –haciendo movimientos 
atendiendo a ciertos patrones-, artes –en las plásticas haciendo ciertas teselas o frisos y en la 
música, siguiendo ciertos ritmos a partir de patrones dados-, etc.) . 
 
En los primeros contactos de los estudiantes con el proceso de generalizar es importante hacer 
una introducción adecuada, utilizando secuencias corporales, material tangible, pasando luego 
a la representación icónica y finalmente a la simbolización mediante numerales, para el 
tratamiento de las sucesiones, por ejemplo, sin olvidar el uso de lenguaje verbal natural como 
medio para expresar los patrones hallados. Después de haber hecho el paso representación 
enactiva a representación icónica, es recomendable pasar a las tablas numéricas, que permiten 
organizar la información dada. En suma, se sugiere seguir este proceso a lo largo de la 
educación primaria: 
 Secuencias 
por 
recurrencia 
 Secuencias 
numéricas 
 
 Secuencias 
tabulares 
 
 Secuencias 
gráfico-
numéricas 
 
 Secuencias 
figurativas 
 
 Secuencias 
manipulativas 
 
Secuencias 
corporales 
 
 
antho
Resaltado
 
 
La idea es que los niños primero se relaciones con patrones por repetición y luego sí con 
patrones por recurrencia, que son los que a su vez dan paso al estudio de las sucesiones 
matemáticas propiamente dichas. Naturalmente no se trata de que sólo en un grado se 
estudien un tipo de secuencias y en otro, otro tipo, esto va a depender de los desarrollos de 
los estudiantes, de su nivel de apropiación, lo importante es el tratamiento de todos los tipos 
de secuencias. Pero al interior de esta relación de los estudiantes con los distintos tipos de 
secuencia, se requiere pasar por ciertas fases. 
 
Fases de la generalización20 
 
Siguiendo a Mason, Graham, Pimm & Gowar (1988); Socas, Camacho, Palarea y Hernández 
(1989) y Butto y Rojano (2004), se tiene que, como ya se ha dicho, el proceso de generalizar no 
consiste en la simbolización con lenguaje matemático de una regla de conformación de una 
secuencia y que no es recomendada la introducción y uso de letras conocidas como variables 
para dar cuenta de una conjetura hallada, es necesario un proceso a lo largo de la escolaridad 
que anime a los estudiantes a vivir lo que significa hacer matemáticas, en este caso, a partir de 
la generalización de patrones. En razón a ello, son varios los autores que sugieren pasar por 
varias etapas, las cuales deben tenerse en cuenta en el momento de la enseñanza y en muchos 
casos, requieren un tiempo considerable de trabajo en las etapas iniciales, estas son: 
 
Etapa 1. La percepción de un patrón: 
 
La primera etapa en el proceso de generalización es sin duda alguna, la identificación de 
patrones, de regularidades, el reconocimiento de semejanzas y diferencias entre los términos 
de la secuencia, la identificación “de los rasgos fundamentales que conforman un estructura 
de aquellos no esenciales a la misma” (Bressan y Gallego, 2010, p. 15). Esta etapa se refiere a 
ver el patrón, a encontrar relaciones muy posiblemente desde la visualización de un gráfico, de 
una secuencia de números, tal vez de forma intuitiva, en esta etapa no necesariamente se es 
capaz de expresar el patrón, sólo de verlo. 
 
Algunas de las preguntas o tareas que se pueden proponer a los estudiantes en esta etapa, 
según el tipo de secuencia dada, pueden ser: 
 
- Dibuje la figura que sigue (o escriba el número que sigue). 
- Cómo cambia una figura respecto a la anterior (o cómo se obtiene un número respecto 
al anterior). 
- Cuente de manera diferente. 
- ¿Cuántas fichas se necesitan para formar la figura 12, la figura 57? (o qué color irá en 
la posición 14, para el caso de una secuencia como rojo-amarillo-rojo-amarillo-…) 
 
Aunque naturalmente, la pregunta general asociada a esta fase es ¿Qué ve? , al respecto al 
indagar sobre esta fase, en García (2011) se establecieron posibles categorías en relación con 
las actividades de los estudiantes al plantearles problemas de generalización, estas son: 
 
N1. Observar la secuencia21 como un todo. 
 
20 Este apartado está basado en Mora, L. y Soler, N. (2010) Estudiar Álgebra desde la Generalización: 
Ejemplos para la formación de profesores. En: Memorias del 11º Encuentro Colombiano de Matemática 
Educativa. Bogotá. 
N2. Analizar la secuencia, descomponiendo el todo en sus partes. 
N3. Establecer relaciones necesarias22. 
N4. Establecer relaciones suficientes23. 
N5. Conjeturar acerca de las relaciones entrelos elementos de la secuencia. 
 
Donde N significa Nivel, esto es, es de mayor nivel la acción conjeturar acerca de las relaciones 
entre las partes de los elementos de la secuencia que la acción observar la secuencia como un 
todo, pues ésta puede impedir que el estudiante encuentre relaciones. 
 
Ejemplo: 
 
Mason et al. (1988, p. 18) reportan, respecto a la tarea: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Dibuje la figura que sigue en la secuencia. 
b) Describa las figuras en forma suscinta, como si lo hicieran para alguien que está en el 
mismo salón pero que no las ha visto. Haga la descripción de tal forma que esa 
persona pueda dibujar la secuencia. 
c) Escriba una regla que ayude en la producción de una secuencia que crece, y que tiene 
las figuras dadas como los primeros términos de la secuencia. 
d) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para la figura número 10, para la figura número 37, 
etc? 
 
 
una respuesta dada por un profesor para responder a la pregunta d): 
 
“Observé los primeros ejemplos para ver si podía encontrar un patrón en los 
números que obtuve al contar los cuadrados. Hubo un número de cosas que noté 
en los tres números 5, 9, 13, entre ellas están: 
 los números son todos impares, 
 entre un número y el anterior hay una diferencia de 4, 
 los números son o impares o cuadrados, 
 el número de la mitad es el promedio de los dos de las orillas (…)” (p. 19) 
 
21 Aunque en el documento original de García (2011) se utilizan otras expresiones, aquí se ha decidido 
hacer leves modificaciones al lenguaje según los términos utilizados a lo largo del documento, sin 
cambiar el significa de lo que allí se deseaba manifestar. 
22 Se llama condición necesaria a la implicación que lleva la conjunción "sólo si" u otra expresión 
equivalente: "sólo si..., entonces...", "es una implicación de", etc.; son las propiedades que pertenecen a 
todos los objetos que integran la extensión del concepto y también poseen otras que no están incluidas 
en la extensión (Roselló J., 1975, citado por García, 2011, p. 86). 
23 Se llama condición suficiente a la implicación que lleva la conjunción "si" u otra expresión equivalente: 
"si..., entonces...", "siempre que", "implica que", etc.; son propiedades que sólo poseen los objetos que 
pertenecen a la extensión del concepto (Roselló J., 1975, citado por García, 2011, p. 86). 
 
Con este ejemplo se observa que la persona, a partir de sus manifestaciones, llegó hasta el 
Nivel 4, establecer relaciones suficientes, pasando por otros niveles, como establecer 
relaciones necesarias (los números son todos impares). La observación referida a que la 
diferencia entre un número y el anterior es 4, es una percepción importante que se puede 
argumentar a partir del dibujo, de una figura a la otra se aumenta en uno en cada brazo 
horizontal de la T y en 2, en el brazo vertical. No es suficiente sólo con hallar una propiedad 
(ver qué, como lo llaman Mason et al.), se hace necesario además ver por qué. Naturalmente, 
sólo a partir de las expresiones, de las representaciones externas, orales, escritas, gestuales, es 
posible identificar si una persona ha pasado por esta fase y en qué nivel está. 
 
Etapa 2. La expresión de la regularidad: 
 
Aunque en la etapa anterior se utilizaron algunas expresiones del patrón, esto no es usual con 
los estudiantes, muchas veces el paso de la fase anterior a ésta conlleva dificultades, al 
respecto Mason et al. (1989, p. 21), resalta “Los alumnos con frecuencia encuentran muy difícil 
el moverse del 'ver' al 'decir', y su esfuerzo para decir lo que ellos ven necesita apoyo en 
cuanto al tiempo y a la aceptación de sus esfuerzos incompletos”. 
En esta etapa hay que animar a los estudiantes a que hablen, a que comuniquen sus ideas, que 
expresen lo que ven, de manera oral. Es fundamental el rol del profesor como orientador, 
algunas de las preguntas que se pueden utilizar en esta fase (según el tipo de secuencia, claro) 
son: 
- Describa como cambia una figura respecto a la anterior o a la que sigue. 
- Indiqué qué es lo que observa, qué es lo que cambia, qué es lo que se mantiene igual. 
 
Una estrategia recomendada para esta fase es poner a los estudiantes a trabajar por parejas, 
de tal manera que uno le comunique al otro lo que vio y se hagan preguntas entre sí, otra es 
que lleven su idea para la casa y que deban explicarle lo que observaron, a alguien que no ha 
trabajado el problema (Mason et al., 1989), esto ayuda a que el estudiante clarifique sus ideas. 
 
García (2011, p. 87) también propuso algunos niveles para esta fase: 
N1. Describir características de la secuencia como un todo. 
N2. Describir las propiedades comunes entre los casos particulares. 
N3. Describir la forma en que se relacionan las partes. 
N4. Describir la conjetura observada de relaciones entre las partes. 
 
Etapa 3. El registro de la regularidad: 
 
De entrada hay que recordar que este registro no es necesariamente en lenguaje matemático, 
pero como su nombre lo indica, esta etapa se refiere a escribir el patrón que observa, puede 
ser apoyado en dibujos, en tablas, en palabras, en símbolos numéricos, …los símbolos 
algebraicos deben surgir de manera natural, espontánea, por necesidad y no por persuasión o 
instrucción del profesor(a). 
 
Escribir o registrar el patrón ayuda a dejar más claras las ideas que habían surgido en las dos 
etapas anteriores, cuando se piensa o se habla las ideas suelen ser poco rigurosas, cuando se 
escribe, se plasma la idea, es posible de ser revisada, discutida y modificada. Es de destacar 
que el registro debe ser propio. 
 
Algunas de las preguntas o indicaciones que se pueden utilizar en esta fase son: 
- ¿Qué es éste? (es usual que los estudiantes usen la expresión “éste” para ocultar la 
falta de claridad, la incertidumbre o la ignorancia (Mason et al., 1989)). 
- Escriba lo que vio. 
- Utilice dibujos, tablas, lo que necesite para comunicar sus ideas. 
 
Para esta fase, García (2011, p. 87) propone los siguientes niveles: 
 
Escribir con palabras… 
N1. las características de la secuencia. 
N4. las propiedades comunes entre los casos particulares. 
N7. la forma en que se relacionan las partes. 
N10. la conjetura observada de las relaciones entre las partes. 
Escribir en lenguaje 
sincopado24… 
N2. las características de la secuencia. 
N5. las propiedades comunes entre los casos particulares 
N8. la forma en que se relacionan las partes. 
N11. la conjetura observada de relación entre las partes. 
Escribir en lenguaje 
matemático… 
N3. las características de la secuencia. 
N6. las propiedades comunes entre los casos particulares. 
N9. la forma en que se relacionan las partes. 
N12. la conjetura observada de las relaciones entre las partes. 
 
Parafraseando a Mason et al. (1989): La distinción entre percibir el patrón, expresarlo y 
registrarlo no es tan aguda como se ha presentado aquí, pues se va de una fase a la otra y se 
vuelve de adelante hacia atrás, muchas veces, de manera muy rápida, casi imperceptible. “Sin 
embargo, semejantes distinciones cumplen la función, muy útil, de ayudarnos a ver la 
necesidad de dar tiempo-tiempo para percibir lo que pasa, lo mismo que para discutir y 
modificar esas percepciones” (p. 23) 
 
Etapa 4. Probar la validez de la regla hallada: 
 
Es una de las etapas que usualmente se omite en el proceso de generalizar, consisten en 
buscar, argumentos, explicaciones del patrón hallado, búsqueda de relaciones entre diferentes 
expresiones. 
Consiste en preguntar acerca de: 
 
- ¿Cómo se está seguro de que la regla siempre funciona 
- ¿Por qué se da esa situación (que todos los números sean impares, por ejemplo, para 
el caso de la tarea con las Tesantes presentada)? 
 
Para poder decir por qué la regla es correcta usted necesita tener una noción de 
lo general, y esto involucra la idea importante de cómo un ejemplo particular 
puede mostrar lo general, a pesar de que éste sea específico. Y poder mostrar lo 
general requiere de la estructuración del ejemplo particular para así poder señalar 
las características generales. (Mason et al., p. 25) 
 
Para esta etapa, García (2011, p. 88) propuso los siguientes niveles25: 
 
N1. Comprobación de la conjetura construyendo un término cercano. 
 N2. Comprobación de la conjetura haciendo uso de la calculadora. 
 
24 Aunque en el documento original de García (2011) se utilizan otras expresiones, aquí se ha decidido 
hacer leves modificaciones al lenguaje según los términos utilizados a lo largo del documento, sin 
cambiar el significa de lo que allí se deseaba manifestar. 
25 Se eliminó el primer emergente propuesto por la autora, no comprobar la conjetura, debido a que 
aquí no es pertinente. Pero se desea manifestar que en la investigación realizada por ella, de tipo 
estudio de caso, fueron varios los niños que no llegaron a esta fase. 
N3. Comprobación de la conjetura manualmente. 
 
Errores y dificultades de los estudiantes en el proceso de generalizar 
 
Algunas de las dificultades más comunes para los estudiantes al llevar a cabo procesos de 
generalización para sucesiones dadas son las siguientes26: 
 
 Encontrar términos generales para las sucesiones estudiadas y expresarlos de manera 
simbólica, utilizando un lenguaje matemático apropiado. 
 Encontrar la forma de abordar el problema, principalmente en la introducción al 
aprendizaje del proceso. 
 Al utilizar configuraciones geométricas, es posible que al observarlas, se encuentre 
gran variedad de características de tales configuraciones, que pueden resultar difíciles 
de guardar en la memoria, de relacionar, clasificar o identificar cuáles son las más 
importantes para disponer de una solución. 
 Confundir características necesarias con características suficientes de las sucesiones, 
por ejemplo al desear hallar una propiedad general (criterio) para identificar cuándo 
un número es par en base dos, es decir, a partir de esta lista establecer un criterio: 
 
0(2), 10(2), 100(2), 110(2),1000(2),1010(2), …
27 
 
Algunas personas dicen que los números están conformados por ceros y unos, lo cual, 
evidentemente es cierto pero lo que sucede es que todos los números en base dos, no 
sólo los pares, se escriben con ceros y unos, por lo que esta característica no es 
suficiente para caracterizar los números pares en base dos28. Otro par de ejemplos 
presentados por Alonso, et al. (1993, p. 48) son los siguientes: 
 
(…) en la sucesión 1, 3, 7, 13, 21,… se da como ley que «todos los números 
son impares». O bien cuando en la sucesión de figuras: 
 
 
 , , ,… 
 
Se afirma que las dos columnas laterales son constantes. Está claro que, sin 
dejar de ser ciertas estas propiedades, únicamente con ellas no es posible 
caracterizar las sucesiones. 
 Proponer características irrelevantes, de tipo anecdótico, por ejemplo, al solicitarle a 
un grupo de estudiantes entre 11 y 12 años, describir figuras como las siguientes: 
 
 
 
26 La mayoría de ellas están tomadas textualmente de Alonso, F., Barbero, C., Fuentes, I., Azcáate, A., 
Dozagarat, J., Gutiérrez, S., Ortiz, M., Rivière, V. y De Veiga, C. (1993). Ideas y actividades para enseñar 
Álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis. España. 
27 Estos numerales corresponden a los números 0, 2, 4, 6, 8 y 10 respectivamente. Observemos el último 
numeral en base 2, esto es 1010(2), lo cual significa: 
1010(2) = 0  2
0 + 1  21 + 0  22 + 1  23 = 0 + 2 + 0 + 8 = 10. 
28 Este ejemplo está basado en la experiencia de Lyda Mora como profesora de la Licenciatura en 
Matemáticas en el curso de Aritmética, ubicado en el Primer semestre del Programa académico. 
Algunas de las respuestas fueron: “Triángulos construidos con palillos”, “Triángulos 
juntos sobre la mesa”, “Triángulos pegados unos al lado de otros”. 
 Naturalmente se presentan dificultades también en la representación simbólica en 
lenguaje matemático de la expresión general hallada, a pesar de ser totalmente 
comprendida. Estos son conocidos como errores de traducción (del lenguaje natural o 
verbal al lenguaje simbólico de las matemáticas)29. 
 
Aspectos a tener en cuenta en la enseñanza del proceso de generalizar en aritmética y 
álgebra 
 
Se recomienda al profesor tener en cuenta los siguientes aspectos en la enseñanza del proceso 
de generalizar30: 
 Utilizar configuraciones geométricas, el apoyo visual puede ayudar a hallar relaciones y 
encontrar aspectos en común. 
 Ser flexibles para utilizar (modelizar) distintas representaciones, no es necesario 
apegarse sólo a los dibujos, a las secuencias figurativas, aunque éstas puedan ayudar, 
muchas veces es útil utilizar lenguaje aritmético, por ejemplo. 
 Ser flexibles para aceptar distintas formas de escritura para una misma propiedad, 
hipótesis o conjetura. 
 Ser flexible para aceptar como válida una propiedad que no ha sido hallada 
previamente por el(la) profesor(a) o que no había sido considerada por él(ella) antes 
de proponer el problema en la clase. 
 Reconocer que las expresiones suelen representar números y no operaciones, por 
ejemplo: 2n representa a los números pares. 
 Utilizar distintas representaciones, privilegiar el uso de la representación numérica y 
eliminar otras representaciones que permitan la comprobación de una propiedad o la 
argumentación de una conjetura a partir de otras representaciones puede llevar a que 
el proceso de aprendizaje no sea el esperado. 
 Aunque muchas veces se puede hallar un término con base en el anterior, vale la pena 
tratar de hallar la generalización para cualquier elemento de la sucesión, esto es hallar 
la estructura general de todos los elementos. 
 Antes de llevar un problema al aula, explorar con varios problemas para identificar el 
nivel de dificultad de cada uno y con base en el conocimiento que se tenga sobre las 
capacidades de los estudiantes, preparar los que se consideren más pertinentes. 
 Estar dispuestos(as) a trabajar despacio y permitir que los estudiantes lleguen a sus 
propias conjeturas y relaciones. “El tiempo que gaste ahora producirá sus 
recompensas más tarde” (Mason et al., 1989, p. 34) 
 Preparar preguntas que pueden ayudar a los estudiantes si están atascados: “¿Cómo 
se construye el siguiente a partir de ese? (…) ¿Qué es lo que es igual en cada 
movimiento? ¿Qué es igual en cada miembro de la secuencia y qué es diferente? 
 
29 Un documento detallado de este tema se halla en el Capítulo 4. Problemas relacionados con la 
simbolización. Traducción (pp. 73-87), del libro Alonso, F., Barbero, C., Fuentes, I., Azcáate, A., 
Dozagarat, J., Gutiérrez, S., Ortiz, M., Rivière, V. y De Veiga, C. (1993). Ideas y actividades para enseñar 
Álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis. España. 
30 Basadas en Alonso, F., Barbero, C., Fuentes, I., Azcárate, A., Dozagarat, J., Gutiérrez, S., Ortiz, M., 
Rivière, V. y De Veiga, C. (1993). Ideas y actividades para enseñar Álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial 
Síntesis. España; Bressan, A. & Gallego, M. F. (2010). El proceso de matematización progresiva en el 
tratamiento de patrones. Correo del maestro, Nº 168. Entre nosotros y Mason, J., Graham, A., Pimm, D. 
y Gowar, N. (1988). Rutas y raíces hacia el álgebra (C. Agudelo, Ed. y Trad.). Tunja, Colombia: 
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. (Trabajo original publicado en 1985). 
 
¿Puede indicar en un dibujo las partes que crecen y las que son fijas?” (Mason et al., 
1989, p. 34) 
 Proponer la utilización de colores o marcas en las figuras que permitan a losestudiantes visualizar el patrón. 
 Controlar el deseo de ir hacia el registro escrito. 
 Elegir figuras sencillas para que los estudiantes no tengan que ocupar tiempo 
dibujando o proporcionar papel cuadriculado que facilite la realización de dibujos. 
 Es importante que este trabajo sea divertido para los niños, que lo disfruten y ello 
tiene que ver no sólo con ir despacio sino con las expectativas planteadas, “Conténtese 
con que los alumnos desarrollen la capacidad de dibujar las siguientes figuras” (Mason 
et al., 1989, p. 35) 
 
Desde el punto de vista metodológico: 
 
Sessa (2005, pp. 76-78) propone algunas etapas para abordar problemas de generalización de 
patrones en el aula de clase a partir de cierta situación, que incluya una figura, previamente 
elegida y presentada a los estudiantes, así31: 
 
Trabajo individual: 
 
1. Se solicita un conteo directo sobre alguna figura. 
2. Se pregunta sobre la figura siguiente (o algunas figuras siguientes). 
3. Se pregunta sobre el número de cuadros, puntos, fichas… en una figura específica, de 
largo acceso a través de lo concreto. 
 
Trabajo en pequeños grupos: 
 
4. Se confrontan las soluciones individuales dadas en el numeral 2 y se elige una para 
hacerla pública. 
5. Se solicita redactar una explicación del método que sea útil para contar en otros casos. 
 
Trabajo con el aula completa: 
 
6. Se hace la presentación y discusión de los diferentes métodos. 
7. Se analizan los distintos métodos, se rechazan aquellos que se consideren erróneos y 
se agrupan los que se consideren formulaciones diferentes del mismo método. 
8. Se solicita la escritura de una manera general que resuma un método seleccionado. 
9. Se presentan las diferentes formas obtenidas y si hay escrituras simbólicas utilizando 
lenguaje matemático, se establecen equivalencias entre las fórmulas propuestas. 
10. Se plantean diferentes preguntas que muestren la utilidad de la fórmula para conocer 
características de la situación que modeliza. 
 
Ahora, ¡Manos a la obra! 
 
 
 
 
 
31 Algunas de las etapas de Sessa han sido parafraseadas y presentadas de otra forma. Sessa propone 
siete etapas. Para mayor precisión puede revisarse Sessa, C. (2005). Iniciación al estudio didáctico del 
álgebra. Buenos Aires: Libros del Zorzal. 
 
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y De Veiga, C. (1993). Ideas y actividades para enseñar Álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial 
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