Estratégias para Melhorar o Uso do Vocabulário Matemático

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BENEMERITA UNIVERSIDAD 
AUTÓNOMA DE PUEBLA 
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO- 
MATEMÁTICO 
 
TESIS: 
ESTRATEGIAS PARA MEJORAR EL 
USO DEL VOCABULARIO 
MATEMÁTICO BÁSICO EN 
ESTUDIANTES DE BACHILLERATO. 
PRESENTA: 
JUANA ONOFRE CORTEZ 
DIRECTORA DE TESIS: 
LIDIA AURORA HERNANDEZ 
REBOLLAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIMIENTOS: 
La presente tesis está dedicada a la memoria de mi abuelita Juanita, un agradecimiento a mi 
directora de tesis Lidia Aurora Hernández Rebollar, por todo el apoyo otorgado a lo largo 
de toda la carrera, así como a mi madre, mi hijo y mi tía Delia Cortez Muñoz que me animó 
a terminar mis estudios, y a todos los que estuvieron conmigo desde el principio hasta este 
momento les agradezco todo su apoyo, paciencia y amistad. 
Amigos: 
José Juan Castro Alva. 
José Ezequiel Valente Contreras. 
Karla Gabriela Ortega. 
Maestros: 
María Guadalupe Rodríguez Ponce. 
Silvia Tinoco. 
 
 
 
 
 
 
 
INDICE 
CAPITULO. 1 EL LENGUAJE MATEMÁTICO .............................................................................1 
1.1El Lenguaje ...............................................................................................................................1 
1.2 El significado ...........................................................................................................................3 
1.2.1 Teorías referenciales o analíticas del significado ...............................................................4 
1.2.2 Teorías operacionales o pragmáticas del significado .........................................................6 
1.3 El símbolo ................................................................................................................................7 
1.3.1 ¿Cuáles son los contenidos simbólicos en matemáticas? ...................................................8 
1.4 Tipos de lenguajes ....................................................................................................................8 
1.4.1Lenguaje artificial...............................................................................................................8 
1.4.2El lenguaje científico ..........................................................................................................8 
1.4.3Lenguaje formal .................................................................................................................9 
1.4.4Lenguaje natural ................................................................................................................9 
1.4.4.1Los principios y reglas que rigen el lenguaje natural (materno) ....................................10 
1.4.5 Lenguaje matemático ..........................................................................................................11 
1.4.5.1 El registro matemático ..................................................................................................12 
1.4.5.2 Vocabulario específico .................................................................................................12 
1.4.5.3 Los principios y reglas que rigen el lenguaje matemático.............................................13 
1.5 La escritura matemática ..........................................................................................................14 
1.5.1Análisis semiótico de la escritura .........................................................................................14 
1.6 Registros de representación, comprensión y aprendizaje ........................................................16 
1.6.1Dificultades de los estudiantes al leer o escribir matemáticas...........................................18 
1.7El aprendizaje matemático ......................................................................................................18 
CAPITULO 2 ESTRATEGIAS PARA MEJORAR EL USO DEL LENGUAJE MATEMÁTICO 20 
2.1 Estrategias de Manuel Borges Ripoll (2001) ..........................................................................20 
2.1.1 Estrategia 1 ......................................................................................................................20 
2.1.2 Estrategia 2 ......................................................................................................................22 
2.1.3 Estrategia 3 ......................................................................................................................23 
2.1.4 Estrategia 4 ......................................................................................................................24 
2.1.5 Estrategia 5 ......................................................................................................................26 
2.1.6 Estrategia 6 ......................................................................................................................26 
2.2 Estrategias de Paloma Alonso Muñoz (2013) .......................................................................27 
 
 
2.2.1 Diseño de los juegos ........................................................................................................31 
2.3 Estrategias de Solares, D., (2006) ..........................................................................................37 
2.3.1 “Ensalada de Números” ...................................................................................................37 
2.3.2 Rompecabezas .................................................................................................................39 
2.3.3 Dominó de diferencias .....................................................................................................40 
2.3.4 Sim .................................................................................................................................41 
2.3.5 Los números venenosos ...................................................................................................42 
2.4 Estrategias de Manuel Fernández (1994)............................................................................43 
CAPITULO 3 REPORTE DE DATOS DE TEST REALIZADOS A ALUMNOS DE 
BACHILLERATO ...........................................................................................................................59 
3.1 Metodología ...........................................................................................................................59 
3.2 Primera parte Test 1 ..............................................................................................................60 
3.2.1 Conclusiones del test 1 ....................................................................................................67 
3.3 Segunda parte Test 2 ..............................................................................................................68 
3.3.1Conclusiones del test 2 .....................................................................................................77 
3.4 Tercera parte test 3 ................................................................................................................78 
3.4.1 Conclusiones del test 3 ...................................................................................................92 
3.5 Preguntas en común de los test ..............................................................................................93 
3.5.1 Conclusiones de las preguntas en común de los tres test ...............................................100 
CAPITULO 4 PROPUESTAS PARA BACHILLERATO ...........................................................102 
4.1 Actividad 1 Rompecabezas .................................................................................................102 
4.2 Actividad 2 Dominó de símbolos matemáticos ..................................................................103 
4.3 Actividad 3 Memorama .......................................................................................................105 
4.4 Actividad 4La realización de un glosario matemático .........................................................107 
4.5 Actividad 5 A pintar un cuadro ..........................................................................................108 
4.6 Actividad 6 Ensalada de números.........................................................................................108 
4.6.1 ¿De qué otra manera lo puedo hacer? ............................................................................110 
4.7 Actividad 7 Construcción de un calentador por medio de una parábola. ..............................110 
4.8 Actividad 8 Revista Matemática ...........................................................................................111 
4.9 Actividad 9 Los Juegos de la Feria ......................................................................................112 
4.10 Actividad10 El Jardín .........................................................................................................113 
REFERENCIAS .............................................................................................................................114 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO. 1 EL LENGUAJE MATEMÁTICO 
En este capítulo se presenta el marco conceptual que sustenta este trabajo. Este marco tiene 
la intención de resaltar la importancia del lenguaje en el aprendizaje de las matemáticas, así 
como los diferentes puntos de vista de autores especialistas en el tema. Se incluyen 
definiciones de: lenguaje, lengua, lenguaje natural o materno, lenguaje matemático, 
símbolo, significado, concepto, así como también las diferencias entre el lenguaje natural y 
el lenguaje matemático, expresadas por varios autores. 
1.1El Lenguaje 
Actualmente, el interés por la relación entre lenguaje y enseñanza disciplinar viene 
motivado por las dificultades que tienen los alumnos para aprender a hablar, a leer, a 
calcular, y razonar de manera abstracta, las situaciones matemáticas. Comprender cómo se 
desarrolla el pensamiento lógico matemáticos ha significado el objeto de estudio para 
diferentes investigaciones en el campo de la didáctica de las matemáticas. Los alumnos 
deben adquirir un vocabulario concreto, así como medios de expresión y frases que son 
específicamente matemáticas y que hacen posible explicar los conceptos de esta disciplina. 
 
Con el surgimiento del álgebra simbólica en el siglo XVI, nace un lenguaje propio para la 
matemática, una de cuyas características es la de ser un lenguaje que se auto explica. La 
nueva tendencia a relacionar el aprendizaje de la matemática con los procesos de 
adquisición y uso de dicho lenguaje, más que con su construcción concepto a concepto, 
conduce a reformulaciones importantes acerca de los objetos de estudio y de los fenómenos 
que hay que observar en el campo de la investigación. Estos replanteamientos varían de 
unos autores a otros, ya que la diversidad de trabajos que se pueden englobar en la 
tendencia mencionada corresponde, a su vez, a una variedad de enfoques. 
 
 (Fernández, 2000, p.197).La matemática descansa en un lenguaje que es… Un lenguaje 
propio, generado y pulido a través de los siglos, las culturas y los progresos técnicos: el 
llamado lenguaje simbólico-matemático es un lenguaje vivo, que se está haciendo, 
prácticamente hoy universal, fuertemente estructurado, inequívoco y completo en sus 
propósitos. 
 
Una diferencia importante entre la Matemática y otras ciencias aparece en que los objetos 
matemáticos son abstractos motivo por el cual no pueden ser manipulados como objetos 
físicos y sólo se puede acceder a ellos a través de un sistema de representaciones. Según 
(Duval, 2006) y (D’Amore, 2005) los sistemas de representación cumplen un rol de suma 
importancia en el trabajo con objetos matemáticos que supera a la designación y 
comunicación, los consideran indispensables en la función cognitiva del pensamiento, dado 
que ninguna acción matemática puede ocurrir fuera de un sistema de representación. 
 
Las dificultades en la comprensión del lenguaje matemático se acentúan cuando se estudian 
las definiciones de los conceptos en textos semi-formalizados, dando como resultado que la 
mayoría de los estudiantes no puedan leerlos. Cuando los estudiantes tienen que leer un 
texto semi-formalizado, ya sea de matemáticas o de la propia disciplina, la estrategia típica 
1 
 
es leer los enunciados informales y “darle la vuelta a las definiciones”, perdiendo una parte 
importante del conocimiento matemático. 
 
Considerar el lenguaje como un aspecto secundario en relación con los objetos o sostener 
que la objetividad de la Matemática está estrechamente unida a su formulación lingüística, 
ellas son las posiciones sostenidas por las corrientes Intuicionista (Brouwer) y Formalista 
(Hilbert), respectivamente, se sostendrá que la construcción de los objetos matemáticos no 
es posible sin un lenguaje, como señala Popper (1974):“No puede haber construcción de los 
objetos matemáticos sin un control crítico constante y no puede haber crítica sin una 
formulación lingüística de nuestras construcciones.” 
Para explicar el mundo natural se usan las matemáticas, tal como lo expresó 
(Wigner,1963): 
 
“La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo 
misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que existan “leyes de 
la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo 
apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la 
física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.” 
 
Las reflexiones de Freudenthal en torno a las diferencias y similitudes del lenguaje 
algebraico con la lengua materna y la aritmética sugieren dimensiones de análisis de dicho 
lenguaje que contemplen sus aspectos sintácticos y semánticos. Definen su problemática en 
términos de símbolos y lo que representan o, como en el caso de Vergnaud, en términos de 
la naturaleza de ser indisociables, uno de otro, del significado y el significante (Vergnaud, 
1981). 
 
La perspectiva que adopta Vergnaud permite una concepción constructivista en un sentido 
más amplio (que la concilia con la necesidad de tomar en cuenta el papel del lenguaje): 
«El conocimiento es activamente construido por el sujeto organizador quien, en un proceso 
adaptativo e interactivo con su medio ambiente, organiza su mundo de experiencias» 
(Vergnaud 1987). Dicha concepción se refiere no solamente a la adquisición del 
conocimiento matemático, sino también al desarrollo de las habilidades lingüísticas 
mismas. Así, según lo indica C. Laborde en el capítulo 3 de Mathematics and 
Cognition(Laborde, 1990), ello significa que, desde una perspectiva psicolingüística, el 
objeto que ha de ser estudiado no es el discurso mismo, sino el discurso como resultado de 
la actividad conceptual en un contexto dado y en un ambiente social determinado. 
 
Analiza las posibles relaciones entre Lenguaje y Matemáticas y elige estudiar las 
Matemáticas como un Lenguaje. La llama la visión metafórica de las Matemáticas como 
Lenguaje lo que le permite considerar el aprendizaje delas matemáticas como análogo al 
aprendizaje de un idioma extranjero. Compara la competencia meta-matemática con la 
metalingüística y resume su postura diciendo: “aprender a hablar y, de modo más sutil, 
aprender a significar como un matemático, supone adquirir las formas, los significados y 
los modos de ver que se hallan en el registro matemático” (Pimm, 1987, página 288). 
 
(Cauty, 1984, página 86) Destaca las diferencias: “los observables fundamentales no son 
producciones lingüísticas, sino matemáticas. Es decir producciones escritas y doblemente 
2 
 
heterogéneas que articulan una lengua natural (LN), en tanto que sistema de fundación, 
sistemas ad hoc de escrituras simbólicas (ES), en tanto que útiles algorítmicos de cálculo, y 
sistemas de representaciones gráficas (CG) en tanto que técnicas de representación visual”.Laborde (1982) utiliza este mismo punto de vista, ya que esta autora dice: «en un texto 
matemático escrito se utilizan dos códigos, la lengua natural y la escritura simbólica, es 
decir, una escritura formada por signos exteriores a la lengua natural tales como paréntesis, 
+, x, o letras y números. Estos signos pueden combinarse siguiendo reglas específicas para 
engendrar expresiones simbólicas». La Lengua Matemática, LM, es, según esta autora, el 
resultado del uso de esos dos códigos en interacción, la Lengua natural y la escritura 
simbólica. 
 
(Godino,2000) Da un esquema de características de las matemáticas, que toma como 
hipótesis cognitivo-epistemológicas a fin de analizar el significado delos objetos 
matemáticos desde un punto de vista prismático. Entre esas características figura la de que 
“la matemática es un lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones problema y 
las soluciones encontradas. Los sistemas de símbolos matemáticos tienen una función 
comunicativa e instrumental”. Reconoce por tanto al lenguaje matemático sus funciones 
esenciales comunicativa e instrumental. Este investigador separa de la característica “ser 
un lenguaje simbólico” la de ser la matemática un sistema conceptual lógicamente 
organizado, pero el lenguaje simbólico engloba el sistema sintáctico y el semántico 
interrelacionados, por lo que esa característica es intrínseca al propio lenguaje matemático, 
es su plano semántico. Al separarlos lo que se hace es remarcar la organización lógica del 
plano semántico, organización que podemos tenerla en la cabeza, pero que sólo se puede 
ver y evaluar a través de la estructura de las expresiones sintácticas. 
 
(Bogomonlny,2010) Como observó “El lenguaje matemático es mucho más exacto que 
cualquier otro que se pueda pensar”, pero al mismo tiempo hay que mencionar que las 
matemáticas son “limitadas en sus capacidades lingüísticas”. 
 
 
1.2 El significado 
 
El ‘significado’ “es uno de los términos más ambiguos y más controvertidos de la teoría del 
lenguaje” (Ullmann, 1962, p. 62). En el texto clásico The Meaning of Meaning, Ogden y 
Richards (1923) recogieron no menos de diecisiete definiciones de ‘significado’. Desde 
entonces se han añadido muchos nuevos usos, implícitos o explícitos, incrementando por 
tanto su ambigüedad. A pesar de esto la mayoría de los tratadistas, son reacios a abandonar 
un término tan fundamental, prefieren definirlo de nuevo y añadirle varias calificaciones. 
(Balacheff, 1990) Como cita el significado como palabra clave de la problemática de 
investigación de la Didáctica de la Matemática: "Un problema pertenece a una 
problemática de investigación sobre la enseñanza de la matemática si está específicamente 
relacionado con el significado matemático de las conductas de los alumnos en la clase de 
matemáticas" (p. 258). 
3 
 
(Dummett,1991) Relaciona, el significado y la comprensión desde una perspectiva más 
general: "una teoría del significado es una teoría de la comprensión; esto es, aquello de lo 
que una teoría del significado tiene que dar cuenta es lo que alguien conoce cuando conoce 
el lenguaje, esto es, cuando conoce los significados de las expresiones y oraciones del 
lenguaje" (p. 372). 
Desde el punto de vista de la psicología cultural, el objetivo principal de la misma, según 
(Bruner, 1990), es el estudio de las reglas a las que recurren los seres humanos a la hora de 
crear significados en contextos culturales. "El concepto fundamental de la psicología 
humana es el de significado y los procesos y transacciones que se dan en la construcción de 
los significados" (Bruner, 1990, p. 47). 
La preocupación por el significado de los términos y conceptos matemáticos lleva 
directamente a la indagación sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, a la reflexión 
ontológica y epistemológica sobre la génesis personal y cultural del conocimiento 
matemático y su mutua interdependencia. Recíprocamente, detrás de toda teoría sobre la 
formación de conceptos, o más general, de toda teoría del aprendizaje hay unos 
presupuestos epistemológicos sobre la naturaleza de los conceptos, y por tanto, una teoría 
más o menos explícita del significado de los mismos. 
1.2.1 Teorías referenciales o analíticas del significado 
El análisis del significado de los objetos matemáticos está estrechamente relacionado con el 
problema de las representaciones externas e internas de dichos objetos. La relación de 
significación se suele describir como una relación ternaria, analizable en tres relaciones 
binarias, dos directas y una indirecta, como se propone en el llamado "triángulo básico" de 
Ogden y Richards (1923) como se muestra en la figura siguiente: 
 
Como describe Font (2000b), la opción epistemológica "representacionalista", presupone 
que la mente de las personas produce procesos mentales y que los objetos externos a las 
personas generan representaciones mentales internas. La opción representacionalista 
presupone que tanto el referente como el significante tienen un equivalente en la mente del 
sujeto que los utiliza. Con este postulado, a los objetos A (significante) y C (referente) se 
les asocia otros objetos A' y C', que junto a B (referencia conceptual individual) se 
4 
 
consideran como representaciones mentales. A sería una representación externa de C, 
mientras que C se considera un objeto exterior al sujeto. En esta opción representacionista 
del conocimiento, la mente se considera como un espejo en el que se reflejan los objetos del 
mundo exterior. 
Las posiciones epistemológicas no representacionistas rechazan el postulado básico del 
representacionismo según el cual existe una relación homeomórfica entre objetos mentales 
y objetos externos. 
El término representación se usa con diferentes sentidos. Por una parte, la representación es 
considerada como un objeto, bien mental (A', C', B), o real A, C; pero también la 
representación es la relación o correspondencia que se establece entre dos objetos, de 
manera que uno de ellos se pone en lugar del otro. Esta relación puede darse entre objetos 
del mismo mundo, o entre mundos diferentes (Font, 2000b), lo que tiene implicaciones 
ontológicas muy diferentes. La relación entre objetos del mismo mundo es una manera 
débil y bastante admitida de considerar la representación, ya que se refiere a todo aquello 
que se puede interpretar a propósito de otra cosa. La relación entre objetos de mundos 
diferentes es una manera mucho más fuerte de entender la representación, ya que presupone 
una realidad exterior y su correspondiente imagen mental, así como una determinada 
manera de entender la percepción, el lenguaje y la cognición. 
La problemática del significado nos lleva a la compleja cuestión: ¿cuál es la naturaleza del 
significatum del concepto?, o más general, ¿cuál es la naturaleza de los objetos 
matemáticos? 
En matemáticas, los distintos tipos de definiciones que se utilizan (por abstracción, 
inducción completa, etc.) describen con precisión las notas características de sus objetos: un 
concepto matemático viene dado por sus atributos y por las relaciones existentes entre los 
mismos. Pero en el campo de la psicología cognitiva, interesada por los procesos de 
formación de los conceptos, la concepción según la cual no existen atributos necesarios y 
suficientes que determinen completamente la estructura interna de los conceptos ha 
adquirido una posición dominante. Como indica (Pozo, 1989), a partir fundamentalmente 
de la obra de E. Rosch, se ha impuesto la idea de que los conceptos están definidos de un 
modo difuso. Esta nos parece que es la posición adoptada por (Vergnaud,1982, 1990) quien 
propone una definición de concepto, adaptada para los estudios psicológicos y didácticos, 
en la cual incluye no solo las propiedades invariantes que dan sentido al concepto, sino 
también las situaciones y los significantes asociados al mismo. 
De acuerdo con (Kutschera, 1979) las teorías del significado pueden agruparse en dos 
categorías:realistas y pragmáticas. Las teorías realistas (o figurativas) conciben el 
significado como una relación convencional entre signos y entidades concretas o ideales 
que existen independientemente de los signos lingüísticos; en consecuencia, suponen un 
realismo conceptual. "Según esta concepción el significado de una expresión lingüística no 
depende de su uso en situaciones concretas, sino que el uso se rige por el significado, 
siendo posible una división tajante entre semántica y pragmática" (Kutschera, 1979; p. 34). 
Una palabra se hace significativa por el hecho de que se le asigna un objeto, un concepto o 
una proposición como significado. De esta forma hay entidades, no necesariamente 
5 
 
concretas, aunque siempre objetivamente dadas con anterioridad a las palabras, que son sus 
significados. 
La forma más simple de la semántica realista se presenta en los autores que atribuyen a las 
expresiones lingüísticas solo una función semántica, consistente en designar (en virtud de 
unas convenciones) ciertas entidades, por ejemplo: 
• el significado de un nombre propio consiste en el objeto que se designa por dicho 
nombre; 
• los predicados (por ejemplo, esto es rojo; A es más grande que B) designan 
propiedades o relaciones o, en general, atributos; 
• las oraciones simples (sujeto - predicado - objeto) designan hechos (por ejemplo, 
Madrid es una ciudad) 
En las teorías realistas (como las defendidas por Frege, Carnap, los escritos de Wittgenstein 
del Tractatus,...), por tanto, las expresiones lingüísticas tienen una relación de atribución 
con ciertas entidades (objetos, atributos, hechos). La función semántica de las expresiones 
consiste simplemente en esa relación convencional, designada como relación nominal. 
1.2.2 Teorías operacionales o pragmáticas del significado 
Una concepción enteramente diferente del significado es la formulada por Wittgenstein en 
Philosophical Investigations publicadas póstumamente en 1953, aunque un cuarto de siglo 
antes (Bridgman, 1927) había recalcado el carácter puramente operacional de conceptos 
científicos como "longitud", "tiempo" o "energía". "Entendemos por cualquier concepto 
nada más que una serie de operaciones; el concepto es sinónimo con el correspondiente 
conjunto de operaciones". Esta manera de concebir los conceptos científicos se extendió al 
significado de las palabras en general mediante la fórmula: "El verdadero significado de 
una palabra ha de encontrarse observando lo que un hombre hace con ella, no lo que dice 
acerca de ella". Wittgenstein da un paso más afirmando que el significado de una palabra es 
su uso: "Para un gran número de casos -aunque no para todos- en que empleamos la palabra 
"significado", este puede definirse así: el significado de una palabra es su uso en el 
lenguaje" (Wittgenstein, 1953, p. 20). 
La concepción operacionista del significado resalta el carácter instrumental del lenguaje. 
"Pensad en los utensilios de una caja de herramientas: hay allí un martillo, alicates, un 
serrucho, un destornillador, una regla, un bote de cola, cola, clavos y tornillos. Las 
funciones de las palabras son tan diversas como las funciones de estos objetos" 
(Wittgenstein, 1953, p. 6). Al igual que ocurre en el ajedrez, en el que "el significado" de 
una pieza debemos referirlo a las reglas de su uso en el juego, el significado de las palabras 
vendrá dado por su uso en el juego de lenguaje en que participa. 
El enfoque operacional tiene el mérito de definir el significado en términos contextuales, es 
decir, puramente empíricos, sin necesidad de recurrir a estados o procesos mentales vagos, 
intangibles y subjetivos. Sin embargo, aunque da cuenta perfectamente de la valencia 
instrumental del lenguaje, no así de la valencia representacional, de la que no se puede 
6 
 
prescindir, como el propio Wittgenstein reconoce. Al indagar en los usos de los términos y 
expresiones encontraremos con frecuencia usos típicos extrayendo el rasgo o rasgos 
comunes de una selección representativa de contextos. De esta manera podemos asignar a 
las palabras o expresiones el uso prototípico identificado llegando de esta manera a una 
concepción referencial del significado. "La terminología sería diferente, pero reaparecería 
el dualismo básico, con el "uso", desempeñando el mismo papel que el "sentido", la 
"referencia" u otros términos de teorías más abiertamente referenciales" (Ullmann, 1962, p. 
76). 
En lo que respecta a la categoría operacional de las teorías del significado, calificadas 
también como pragmáticas, las dos ideas básicas son las siguientes: 
• el significado de las expresiones lingüísticas depende del contexto en que se usan; 
• niegan la posibilidad de observación científica, empírica e intersubjetiva de las 
entidades abstractas - como conceptos o proposiciones-, que es admitida 
implícitamente en las teorías realistas. Lo único accesible a la observación en estos 
casos, y por tanto, el punto de donde hay que partir en una investigación científica 
del lenguaje es el uso lingüístico. A partir de tal uso es como se debe inferir el 
significado de los objetos. 
 Una concepción pragmática u operacional del significado es abiertamente defendida por 
Wittgenstein en su obra Investigaciones filosóficas. En su formulación una palabra se hace 
significativa por el hecho de desempeñar una determinada función en un juego lingüístico, 
por el hecho de ser usada en este juego de una manera determinada y para un fin concreto. 
Para que una palabra resulte significativa, no es preciso, pues, que haya algo que sea el 
significado de esa palabra. 
(Wittgenstein, 1953) Para el no existe siempre una realidad en sí que sea reflejada por el 
lenguaje, cuyas estructuras tengan, por tanto, que regirse de acuerdo con las estructuras 
ontológicas, sino que el mundo se nos revela sólo en la descripción lingüística. Para este 
autor, hablar es ante todo una actividad humana que tiene lugar en contextos situacionales y 
acciónales muy diversos y debe, por tanto, ser considerada y analizada en el plano de estos 
contextos. El lenguaje puede formar parte de diversas "formas de vida"; hay tantos modos 
distintos de empleo del lenguaje, tantos juegos lingüísticos, como contextos situacionales y 
acciónales. 
1.3 El símbolo 
Un símbolo es la representación perceptible de una idea, con rasgos asociados por una 
convención socialmente aceptada. Es un signo sin semejanza ni contigüidad, que solamente 
posee un vínculo convencional entre su significante y su denotado, además de una clase 
intencional para su designado. El vínculo convencional nos permite distinguir al símbolo 
del icono como del índice y el carácter de intención para distinguirlo del nombre. Los 
símbolos son pictografías con significado propio. Muchos grupos tienen símbolos que los 
representan; existen símbolos referentes a diversas asociaciones culturales: artísticas, 
religiosas, políticas, comerciales, deportivas, etc. 
7 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Icono
http://es.wikipedia.org/wiki/Nombre
http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo
http://es.wikipedia.org/wiki/Cultura
http://es.wikipedia.org/wiki/Arte
http://es.wikipedia.org/wiki/Religi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADtica
http://es.wikipedia.org/wiki/Comercio
http://es.wikipedia.org/wiki/Deporte
En el ámbito científico y técnico, el símbolo es una abreviación constituida por signos o 
letras que difieren de la abreviatura por carecer de punto. Tal es el caso de los símbolos 
químicos (ej. C, O, H20, C4H10), matemáticos (∈, ∃, ∀⇔, , , /, ≠, +, %, <, Π, Σ, √, etc.), 
denominados logogramas (Pimm, 1990), que son como las “palabras” de un idioma,las 
unidades (ej. m, kg, cd), los puntos cardinales (ej. N, O), los símbolos de monedas (ej. $, €), 
etcétera, y cuyo fin fundamental es simplificar la escritura y la trasmisión de las ideas y el 
conocimiento. 
1.3.1 ¿Cuáles son los contenidos simbólicos en matemáticas? 
Simples. Construcciones conceptuales que el alumno representa internamentey a las que le 
remite el significante correspondiente (3, 12, sumar, cero, ángulo, etc.) 
Compuestos. Relacionales entre conceptos y expresiones operatorias. (8 > 5). De los 
compuestos se subdividen: 
• Ecuacionales. Igualdades o desigualdades. Es decir, escrituras en las que hay 
relacionantes entre dos partes. 
• No ecuacionales. Son notaciones compuestas y códigos simples que tienen una 
operatoria que hay que realizar implícita o explícita. (%, ¾ de 40) 
Lo que pretende esta clasificación es poner acento en los aspectos simbólicos de la 
matemática, clasificarlos y enfatizarlos con utilidad para la mejora del trabajo en el aula. Y 
no contradecir otras categorizaciones. 
 
1.4 Tipos de lenguajes 
 
1.4.1Lenguaje artificial 
 
El lenguaje artificial tiende a un uso restrictivo en sus diversos ámbitos científicos, o 
contextos técnicos o comerciales. 
El lenguaje artificial supone una creación consciente, metódica, regido por convenciones 
arbitrarias, establecidas por los especialistas, y requiere un aprendizaje deliberado y 
planificado. 
 
1.4.2El lenguaje científico 
 
Tiende hacia la codificación, formalizando palabras y expresiones con un preciso 
significado en ese determinado contexto y no en otro; dando por supuesto que es el lector el 
que tiene que estar a ese nivel de la interpretación para producir la posible comunicación. 
 
8 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_qu%C3%ADmico
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_qu%C3%ADmico
http://es.wikipedia.org/wiki/Carbono
http://es.wikipedia.org/wiki/Ox%C3%ADgeno
http://es.wikipedia.org/wiki/Agua
http://es.wikipedia.org/wiki/Butano
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades
http://es.wikipedia.org/wiki/Metro
http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo
http://es.wikipedia.org/wiki/Candela
http://es.wikipedia.org/wiki/Norte
http://es.wikipedia.org/wiki/Oeste
http://es.wikipedia.org/wiki/Moneda
http://es.wikipedia.org/wiki/Peso_(moneda)
http://es.wikipedia.org/wiki/Euro
1.4.3Lenguaje formal 
 
Un lenguaje formales un lenguaje cuyos símbolos primitivos y reglas para unir esos 
símbolos están formalmente especificados.Al conjunto de los símbolos primitivos se lo 
llama el alfabeto (o vocabulario) del lenguaje, y al conjunto de las reglas se lo llama la 
gramática formal (o sintaxis), puede estar compuesto por un número infinito de fórmulas 
bien formadas. 
 
Los lenguajes formales se pueden especificar de una amplia variedad de formas, como por 
ejemplo: 
• Cadenas producidas por una gramática formal (véase Jerarquía de Chomsky). 
• Cadenas producidas por una expresión regular. 
• Cadenas aceptadas por un autómata, tal como una máquina de Turing. 
 
 
1.4.4Lenguaje natural 
 
El término lenguaje es bastante ambiguo. Se usa tanto para denotar la función comunicativa 
entre individuos, como para denotar un particular sistema de signos o símbolos o para 
describir el uso que se le da a este sistema en un contexto determinado. Saussure en 
su Curso de lingüística general (1945) concibe al lenguaje (le langage) como constituido 
por dos entidades complementarias: lengua (la langue) y habla (la parole). 
La lengua es un sistema de signos y el habla es la codificación de mensajes específicos, 
descifrados luego por quienes participan en el proceso de comunicación. En este sentido se 
dice que la lengua existe en un estado potencial, es un sistema de signos listo para ser 
utilizado en el habla, mientras que el habla existe a través de impresiones sonoras, dotadas 
de significado común al grupo social. 
Se puede pensar entonces en la lengua como un modelo lingüístico que determina el habla, 
y en el habla como un acto que incide también en el modelo lingüístico. Esta determinación 
recíproca hace variar la lengua muy lentamente, tanto que puede ser imperceptible para los 
hablantes (por ejemplo en la lengua materna) o llevarse a cabo durante siglos; se suceden 
variaciones en el vocabulario, cambios fonéticos, gramaticales, de significado, entre otros. 
Lengua y habla, son inseparables en la práctica, en el acto comunicativo, y constituyen los 
dos aspectos del fenómeno lenguaje. El lenguaje, y por ende el habla y la lengua (como la 
concibe Saussure) constituyen un importante objeto de estudio y de reflexión por parte de 
profesores y alumnos y en general de la educación matemática, por cuanto ésta trata no sólo 
con el lenguaje matemático, sino con el natural (o materno), el corporal, gestual, entre 
otros. 
9 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje
http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto
http://es.wikipedia.org/wiki/Gram%C3%A1tica_formal
http://es.wikipedia.org/wiki/Gram%C3%A1tica_formal
http://es.wikipedia.org/wiki/Jerarqu%C3%ADa_de_Chomsky
http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_regular
http://es.wikipedia.org/wiki/Aut%C3%B3mata
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Turing
Cada alumno, y el profesor, pueden poseer sistemas distintos de lenguaje, en su lengua y 
habla matemática (como también en el lenguaje natural o materno). Sin embargo, “la 
lengua [...] sólo puede ser alcanzada mediante el habla; es, por consiguiente, analizando 
las expresiones específicas como cabe esperar identificar las unidades de que se compone 
la lengua” (Ullmann, 1967) 
El lenguaje natural es el lenguaje hablado y/o escrito por humanos para propósitos 
generales de comunicación, para distinguirlo de otros como puedan ser una lengua 
construida, los lenguajes de programación o los lenguajes usados en el estudio de la lógica 
formal, especialmente la lógica matemática. 
El lenguaje natural es el propio de la especie, en una determinada colectividad; tiene un 
aprendizaje en gran medida innato y un uso inconsciente en los primeros años de vida. En 
cuanto al uso, los lenguajes naturales son los que empleamos en la vida corriente, son 
nuestro modo de expresión habitual. 
1.4.4.1Los principios y reglas que rigen el lenguaje natural (materno) 
 
Goodenough (1971, pp. 159-163) clasifica las normas que rigen el comportamiento 
comunicativo o lingüístico en cinco sistemas: fonológico, morfológico, sintáctico, 
semántico y simbólico. 
 
FONOLÓGICO: Comprende normas para distinguir sonidos, entonación, acentos y, 
normas para su organización. La unidad básica en este sistema es el fonema: “unidades de 
sonido lingüístico a partir de las cuales se construye el vocabulario de una lengua” (p. 
160). 
 
MORFOLÓGICO: Comprende los principios mediante los cuales se combinan formas para 
construir palabras. Concibe las formas [morfemas]5 como las unidades mínimas que 
transportan significados concretos, construidas por combinaciones de los fonemas. (p. 
161). 
 
SINTÁCTICO: Abarca los principios sintácticos, mediante los cuales se ordenan palabras 
y frases. (p. 162). 
 
SEMÁNTICO: Se ocupa de las normas a través de las cuales se seleccionan palabras y 
expresiones para transmitir significados. Abarca tanto las formas lingüísticas como los 
no-lingüísticas (percepciones, conceptos) que se reflejan en las formas lingüísticas. (p. 
162). 
 
SIMBÓLICO: Comprende los principios que determinan usos expresivos y evocativos de 
las formas lingüísticas. Por ejemplo, la referencia a sentimientos, emociones, etc. (p. 163). 
 
La lengua y el habla, entonces, se construyen atendiendo a los sistemas de signos, 
principios y reglas de una manera normativa, pero obedecen también al uso en un contexto. 
10 
 
La clasificación de Goodenough puede facilitar el estudio del lenguaje (lengua y habla) 
“utilizado” en el aula. 
 
En particular, los sistemas SINTÁCTICO, SEMÁNTICO y SIMBÓLICO son de especial 
interés en la actividad escolar. Los principios que comprenden (en el contexto del aula) 
inciden en buena parte de la actividad matemática y no matemática desarrollada en el aula. 
 
1.4.5 Lenguaje matemático 
 
La Matemática tiene, como la mayoría de las ciencias y otras disciplinas del saber, un 
lenguaje particular, específico, el cual simplifica, en algunos casos, la comunicación, y por 
otrolado clarifica y designa de una manera exacta, sin posible confusión, sus contenidos. 
Todos y cada uno de los símbolos de escritura definidos y utilizados tienen una tarea 
determinada, exacta, sin solapamientos ni posibles equívocos, mientras que también la 
estructura de su presentación es idónea para su perfecta comprensión. Puede describirse 
como un sistema regido por principios y reglas sobre los sonidos, símbolos, expresiones, 
diagramas, gráficos, significado, e incluso, sobre sentimientos y emociones con respecto al 
lenguaje y a la actividad matemática 
Es usual diferenciar tres categorías de palabras usadas en el proceso de la enseñanza de la 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
La naturaleza del lenguaje matemático es entendida de formas muy diversas entre los 
profesores y estudiantes. Esta concepción guarda relación con el proceso de estudio de la 
Matemática, así como con la comunicación que se lleva a cabo en el contexto del aula. La 
riqueza del lenguaje matemático no es, frecuentemente, utilizada con fines didácticos en las 
clases (en las discusiones, lo escrito en la pizarra, evaluaciones, etc.) y en los materiales 
escritos (libros de texto, guías de clase, compendios de problemas, etc.). 
 
 
• categoría 1
Palabras técnicas que, normalmente, no forman parte del lenguaje cotidiano. Los 
matemáticos han desarrollado una serie de términos específicos para comunicarse entre sí, 
que pueden causar problemas en las clases de Matemática en caso de que los alumnos no 
lleguen a dominarlo.
•Categoría 2
•Palabras que aparecen en la Matemática y en el lenguaje ordinario, aunque no siempre con 
el mismo significado en los dos contextos. A causa de interpretaciones lingüísticas 
diferentes se producen innumerables confusiones cuando el profesor emplea términos 
del dialecto matemático y los alumnos lo interpretan de acuerdo con el lenguaje ordinario, 
(por ejemplo, infinito, igual, semejante, transformación,...)
• categoría 3
•Palabras que tienen significados iguales o muy próximos en ambos contextos, (por ejemplo, 
alineados, paralelos, perpendiculares…)
• categoría 4
•Palabras que tienen significado diferente dentro del mismo lenguaje matemático. Por 
ejemplo, la palabra cuadrado. No es lo mismo el significado en “nueve al cuadrado” que en 
“el cuadrado es un ejemplo de cuadrilátero”.
CATEGORÍAS DE 
PALABRAS 
USADAS EN EL 
PROCESO DE LA 
ENSEÑANZA DE 
LA MATEMÁTICA
11 
 
1.4.5.1 El registro matemático 
“Un registro es un conjunto de significados apropiados para una determinada función del 
Lenguaje, junto con las palabras y estructuras que expresan esos significados” (Halliday, 
1978, página 195). 
Si consideramos al lenguaje matemático, su lengua la constituye el sistema de signos 
(símbolos matemáticos, gráficos, gestos, expresiones corporales, entre otros) compartidos 
por una comunidad (de matemáticos o una institución, como la escuela, un aula, etc.) y las 
reglas de uso de ese sistema; el habla matemática reúne los usos de ese sistema por un 
individuo en un contexto en particular. “En el contexto educativo de las clases de 
matemáticas se dan dos razones principales para que los alumnos hablen: para comunicarse 
con los demás y para hablar consigo mismo [...] Hablar para uno mismo incluye 
situaciones en las que los alumnos pueden hablar en voz alta, aunque su efecto principal no 
sea tanto comunicarse con los demás sino ayudarse a organizar los propios pensamientos” 
(Pimm, 1999, p. 51). “Hablar para uno mismo” en el sentido de Pimm se puede entender 
como un acto individual, pero individual en el sentido de Saussure se debe al uso del 
lenguaje por una persona, así que “hablar para uno mismo” y “hablar con otros” son de 
carácter individual. 
 
Es la forma concreta de utilizar símbolos, un vocabulario especializado, precisión en los 
términos, estructuras gramáticas, formalidad e impersonalidad que resulta en modos e 
expresión que son evidentemente matemáticos. Un registro no es solo un conjunto de 
palabras a las que se les han asignado diferentes significados, o palabras nuevas 
desarrolladas para expresar distintos conceptos. El discurso matemático es un conjunto de 
convenciones y códigos lingüísticos muy arraigados que se han desarrollado a través de 
muchos siglos y que regulan como se desarrolla el discurso matemático. Cuando los 
profesores se centran en desarrollar la destreza del alumno para utilizar el registro, estos 
últimos se sienten como parte de una comunidad de individuos que sabe hacer bien uso de 
los conceptos matemáticos. El estilo matemático convencional no tiene palabras 
superfluas, solo comunica lo necesario, también es atemporal, conciso e impersonal. El 
estilo impersonal es una convención aceptada en muchos escritos académicos y en especial 
en textos matemáticos. El uso de la voz pasiva y la supresión de pronombres personales son 
característicos del discurso matemático y esto contribuye al tono de “voz autoritaria y 
distante” que es tan común en los textos matemáticos. El contexto de la situación 
matemática determina la forma en que debe leerse el símbolo. 
 
1.4.5.2 Vocabulario específico 
El registro matemático tiene un vocabulario específico. Usa palabras que se dividen en 
tres categorías; 
1. Palabras que tienen el mismo significado en el lenguaje común que en el 
matemático, palabras que se utilizan para ubicar a las matemáticas en un contexto. 
2. Palabras que tienen un significado solo en el lenguaje matemático. 
3. Palabras que tienen diferentes significados tanto en el leguaje matemático como en 
el lenguaje natural. 
12 
 
El primero es que aunque las palabras utilizadas en una clase de matemáticas pueden ser 
similares a las palabras utilizadas en situaciones del día a día, en ocasiones el alumno 
precisa pensar en ellas de un modo diferente cuando se trata de matemáticas. 
 
 
1.4.5.3 Los principios y reglas que rigen el lenguaje matemático 
 
El lenguaje matemático como un sistema regido por principios y reglas sobre los sonidos, 
símbolos, expresiones, diagramas, gráficos, significado, e incluso, sobre sentimientos y 
emociones con respecto al lenguaje y a la actividad matemática. 
 
La lengua matemática sirve para la codificación de mensajes matemáticos. Esta 
codificación se apoya en los principios y normas que rigen el lenguaje matemático. 
 
(Goodenough, 1971, pp. 159-163) se refiere al lenguaje natural o materno, pero 
considerando al lenguaje matemático ¿describen estos principios y reglas a todos sus 
objetos? La naturaleza de los objetos matemáticos, del habla matemática y su registro 
escrito implica adoptar, siguiendo la clasificación de este investigador, nociones distintas 
de forma, principio sintáctico, normas de construcción de significado y la misma idea de 
símbolo. En este caso es recomendable utilizar notaciones diferentes para que abra las 
reglas para el uso de símbolos y para la construcción de diagramas y gráficos: Estas reglas 
tienen que ver con el uso de una simbología adecuada y con la construcción de diagramas 
y gráficos. Para la construcción de gráficos en el plano existen algunas reglas de uso 
común; por ejemplo, disponer el eje x de forma “horizontal”, representar “unidades” en 
cada eje, entre otras. 
 
Sobre los principios sintácticos: éstos obedecen ya no sólo a las palabras en el lenguaje 
materno sino a los de los símbolos en el lenguaje matemático. Tienen que ver con el 
“orden correcto” y con la “validez” en las expresiones construidas. Sobre los principios 
semánticos: éstos tienen que ver con las normas y convenciones relacionadas con el 
significado dado por el uso a palabras, símbolos, expresiones, gráficos o diagramas; se 
refieren a la relación entre los signos y los objetos a que hacen referencia. 
 
Sobre el sistema “simbólico” de Goodenough: Por otra parte, (Goodenough, 1971) también 
distingue un sistema (para el lenguaje natural) que denomina “simbólico”, el cual 
comprende principios que determinan usos expresivosy evocativos de las formas 
lingüísticas (sentimientos, emociones, etc.). 
 
FONOLÓGICO Comprende principios y normas para distinguir sonidos (fonemas), 
entonación, acentos, así como para su organización. 
 
SIMBÓLICO Y GRÁFICO Abarca principios y reglas para el uso de símbolos y para la 
construcción de diagramas y gráficos. 
 
13 
 
SINTÁCTICO Los principios sintácticos tienen que ver con “el orden” y “la validez” de 
las expresiones construidas. 
 
SEMÁNTICO Comprende las reglas y convenciones relacionadas con el significado dado 
por el uso de los objetos de los sistemas anteriores. 
 
EXPRESIVO Y EVOCATIVO Abarca principios y reglas sentimientos y emociones sobre 
el lenguaje y la actividad matemática.Por ejemplo: (a) sobre los juicios relacionados con la 
elegancia de una demostración, (b) sobre las dudas asociadas a la validez de lo realizado 
en un problema, etc. 
 
 
1.5 La escritura matemática 
 
En un libro de Matemáticas nos podemos encontrar una expresión como “existe un 
elemento x perteneciente a un conjunto que llamamos A”, aunque es más típico encontrar 
esta otra{𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴}. La primera la reconocemos como expresión verbal escrita, ya que sigue las 
reglas de cómo se escribe normalmente en castellano. La segunda en cambio es, al menos 
en principio, dudosa. Hay en ella dos caracteres𝑥𝑥, 𝑥𝑥 , que no pertenecen al alfabeto del 
castellano y que no sabríamos leer aplicando las reglas de que dispone una persona 
competente en esta lengua; pero además toda la expresión es como un bloque, como una 
palabra escrita en otro idioma, cuya comprensión no se logra ni deletreándola ni por una 
traducción simple a expresión verbal, oral o escrita. La situación se hace más patente a 
poco que se complejice este tipo de expresión, que llamaremos expresión simbólica 
específica de Matemáticas en este caso. 
La escritura matemática contiene en general una mezcla de expresión verbal y expresión 
simbólica específica, que no es vertible en su totalidad a expresión verbal. Hay propiedades 
visuales de las expresiones simbólicas matemáticas que se pierden irremisiblemente en el 
intento de traducción de una forma de expresión a otra. 
 
Otra cosa es que las distintas formas expresivas que aparecen en un libro escolar de 
Matemáticas sean en parte traducibles; de expresión verbal escrita a expresión simbólica 
específica y desde cualquiera de éstas a expresión gráfica, como ha analizado en otro lugar 
(Sanz, 1990). 
 
1.5.1Análisis semiótico de la escritura 
 
La autora (Ruiz, 1992) en su estudio de la tecnología gráfica admite que los medios de 
comunicación visual y verbal oral partían de un esquema cognoscitivo común; que a partir 
del IV milenio a. C. abundan los testimonios que indican una interrelación entre 
procedimientos de expresión puramente gráficos y los lingüísticos y que progresivamente 
se fue especializando una expresión de las representaciones verbales, no llegando a 
constituirse una expresión autónoma codificada del sistema visual. Esta opción supuso una 
pérdida de autonomía del sistema de la escritura que desde entonces pasó a depender del 
patrón lingüístico. 
14 
 
 
En las expresiones escritas se pueden considerar dos grandes grupos. En el primero 
tendríamos las escrituras cuyo tipo de grafismos tratan de expresar directamente conceptos 
o signos lingüísticos completos (ideogramas,logogramas,...). En el segundo tendríamos 
aquellas escrituras cuyos elementos están completamente subordinados a las 
representaciones fonéticas del Lenguaje (fonogramas) en las variantes silábicas, 
consonánticas o alfabéticas. La escritura terminó especializándose en el segundo tipo, lo 
cual le permitió alcanzar características que le hacen un instrumento de gran perfección, 
pero se ha convertido en un sucedáneo de la expresión oral en el Lenguaje natural, por lo 
cual puede ser sustituida por la oralidad en todo momento. Por tanto, lo que en la actualidad 
llamamos escritura correspondiente a una Lengua, el castellano por ejemplo, es 
estrictamente la expresión verbal escrita, o sea, una representación fonética alfabética. Pero 
la escritura matemática es algo más. 
 
La escritura matemática engloba la Lengua escrita, 
bajo un registro especial que hemos llamado 
registró matemático, y la expresión del sistema 
simbólico específico, ramas 1 y 2 respectivamente 
del esquema de la Figura 1.Las expresiones del 
tipo 2 se ven, no simplemente se leen. Aunque 
muchas de ellas pueden ser leídas, en el sentido de 
que puede obtenerse una traducción a expresión 
verbal oral, lo leído es más una descripción de la 
expresión que la reconstrucción de un signo 
equivalente, ya que esas expresiones gozan de 
ciertas propiedades transformacionales que 
permiten desplazamientos parciales dentro de las 
mismas, inversión, combinación, etc., que no se 
mantienen en la expresión verbal asociada. O sea, 
el Lenguaje Matemático se construye directamente 
sobre ellas, sin tener que pasar por la mediación de 
la expresión verbal oral. 
En la Figura 1 se ha esquematizado la descripción 
que acabo de hacer, adaptando un esquema que 
propone (Ruiz, 1992, página 50) para la 
construcción histórica de la escritura. En este 
esquema puede añadirse una conexión entre los 
sistemas de representación artística y funcional 
pues tanto con técnicas tradicionales como 
actuales se suelen producir las mejores 
representaciones visuales con una integración de 
ambas, como puede verse en las maravillosas 
representaciones de Leonardo da Vinci (Marinini 
y Meneguzzo, 1987). 
Una conclusión del esquema de la Figura 1 es que la escritura matemática es la expresión 
escrita de lo que Cauty y Laborde llaman la Lengua Matemática. Pero en la interpretación 
que estoy haciendo esta escritura matemática no agota las posibles expresiones en Lenguaje 
15 
 
Matemático, que puede codificarse también en sistemas gráficos diferentes del alfabético y 
el simbólico específico. No hay más que pensar en todos los sistemas tradicionales de 
representación de figuras geométricas planas y espaciales; pero también se representan 
gráficamente números naturales, enteros, racionales y relación eso correspondencias entre 
conjuntos de lo más variadas. Y en la actualidad, con la introducción de las potentes 
herramientas de representación gráfica, 
este campo expresivo parece que aumenta cada día, al menos en todos los niveles de 
enseñanza de la matemática. Todas estas formas de expresión gráfica las reuniremos bajo el 
nombre expresión gráfica de Matemáticas y constituyen la rama 3 del diagrama de la Figura 
1. 
Finalmente destacar que existen expresiones complejas formadas con elementos de los tres 
sistemas: verbal escrito, gráfico y simbólico específico. Es lo que hemos designado en la 
Figura 1 como configuraciones gráficas de datos. 
En los libros escolares de matemáticas suele haber fotos y dibujos más o menos integrados 
en el texto, pero que no los consideramos parte del Lenguaje Matemático, sino ilustraciones 
de objetos o situaciones a partir de las cuales se pueden elaborar expresiones en Lenguaje 
matemático. Suelen hacer de sustitutos de un supuesto mundo real, cuando no de mero 
adorno, con su propio código expresivo. 
 
 
1.6 Registros de representación, comprensión y aprendizaje 
Una característica importante de la actividad matemática es el uso de diversos sistemas de 
expresión y representación, además del lenguaje natural: variados sistemas de escritura para 
los números, escrituras algebraicas para expresar relaciones y operaciones, figuras 
geométricas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas, etc. Un autor que se ha 
interesado particularmente por este uso variado de los sistemas de representación semiótica 
es (Duval, 1995), quién se pregunta: "¿Es esencial esta utilización de varios sistemas 
semióticos de representación y expresión, o al contrario no es más que un medio cómodo 
pero secundario para el ejercicio y para el desarrollo de las actividades cognitivas 
fundamentales?" (p.3) Considera que esta pregunta sobrepasa el dominio de las 
matemáticas y de su aprendizaje y apunta hacia la naturaleza misma del funcionamiento 
cognitivo del pensamiento humano. 
Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los siguientes argumentos: 
1) No puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto de su 
representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números, funciones, 
rectas, etc.) con sus representaciones (escrituras decimales o fraccionarias, los símbolos, los 
gráficos, los trazados de figuras, etc.), pues un mismo objeto matemático puede darse a 
través de representaciones muy diferentes. 
2) Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones, ideas, 
creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación 
16 
 
y sobre aquello que les está asociado. "Permiten una mirada del objeto en ausencia total de 
significante perceptible". (p. 20). Las representaciones mentales están ligadas a la 
interiorización de representaciones externas, de la misma manera que las imágenes 
mentales lo están a una interiorización de los preceptos. 
3) Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para 
exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los 
demás. Además de sus funciones de comunicación, las representaciones semióticas son 
necesarias para el desarrollo de la propia actividad matemática. La posibilidad de efectuar 
tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los objetos matemáticos depende directamente 
del sistema de representación semiótico utilizado. El progreso de los conocimientos 
matemáticos se acompaña siempre de la creación y del desarrollo de sistemas semióticos 
nuevos y específicos que más o menos coexisten con el de la lengua natural. 
4) Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente diferentes e 
independientes. La pluralidad de sistemas semióticos permite una diversificación tal de las 
representaciones de un mismo objeto, que aumenta las capacidades cognitivas de los 
sujetos y por tanto de sus representaciones mentales. Esta interdependencia entre las 
representaciones internas y externas la expresa Duval afirmando que "no hay noesissin 
semiosis; es la semiosis la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la 
noesis" .La aprehensión conceptual no es posible sin el recurso a una pluralidad al menos 
potencial de sistemas semióticos, y por tanto su coordinación por parte del sujeto. 
5) La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos 
diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un aprendizaje 
específico. El problema esencial de la semiosis es el de la diversidad de sistemas de 
representación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por la conversión de las 
representaciones. La coordinación entre registros no es una consecuencia de la aprehensión 
conceptual (noesis) sino que, al contrario, el logro de dicha coordinación es una condición 
esencial de la noesis. 
6) Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación de 
representaciones en un registro semiótico particular, para "expresar" una representación 
mental, o para "evocar" un objeto real; el tratamiento o transformación de una 
representación dentro del mismo registro; conversión, cuando la transformación de la 
representación de un objeto, de una situación o de una información produce una 
representación en un registro distinto al de la representación inicial. 
 
 
17 
 
1.6.1Dificultades de los estudiantes al leer o escribir matemáticas 
Concebir la matemática escolar como un lenguaje es pues útil desde el punto de vista 
didáctico. Nos ayuda a enfatizar los aspectos lingüísticos de la misma, nos lleva a poner 
atención en la construcción de significados y en la comprensión y dominio de los símbolos 
notacionales. Las principales razones para realizar este ejercicio se fundamentan en las 
dificultades que tienen los alumnos en su aprendizaje. 
• Dificultades semánticas, pues tienen como centro el binomio significante-
significado referido a las notaciones y vocablos de la jerga matemática. 
• Dificultades inherentes a la estructura que adopta el código notacional de cualquier 
campo y al funcionamiento del mismo, en su carácter sintáctico. 
• Dificultades al cuándo y cómo utilizar el código notacional para resolver 
determinada situación; son pragmáticas o funcionales. 
Para atender estas dificultades es imprescindible el estudio del desarrollo cognitivo en el 
aprendizaje del lenguaje matemático e interpretar mejor tales dificultades intentando 
responder a la pregunta ¿cómo aprenden los sujetos tal lenguaje? 
1.7El aprendizaje matemático 
Se concebirá el aprendizaje matemático como un proceso continuo de construcción de 
significados que realiza el alumno gracias, a la apropiación y a los usos de símbolos y 
estructuras simbólicas; símbolos y estructuras abstractos ordenados y jerarquizados. 
A partir de la categorización de Collins, Brown y Newman (1996) el conocimiento 
constructivo está caracterizado por el producto de la actividad, el contexto y la cultura. Que 
podría concebirse en los rasgos conceptual, operatorio y simbólico. 
Aprendizaje conceptual 
Se refiere al proceso de adquisición de significado. Como rasgo característico es que son 
dinámicos, puesto que son inconclusos y en constante evolución. Durante el proceso se 
personaliza el concepto, conformándose una representación subjetiva que se va 
enriqueciendo, modificando, transformando conforme se interactúa con las nuevas 
informaciones. 
Aprendizaje operatorio 
El estudio del número como sistema complejo es aprender a operar, a transformar 
cantidades, hechos y relaciones, a descomponer y recomponer y a verificar lo realizado, sea 
manipulando objetos y colecciones o manipulando símbolos. Aprender matemáticas es 
aprender a hacer, a resolver. 
 
18 
 
Aprendizaje simbólico 
Sabemos que el aprendizaje de una operación aritmética recurre al acercamiento a los 
símbolos para su manipulación. Pero los símbolos no tendrían importancia si fuera porque 
son los significantes de algo no visible; el pensamiento matemático. El símbolo, desde su 
forma de signos (los significantes) y el significado han de formar un solo cuerpo, lo que 
involucra aspectos semánticos como sintácticos, además de funcionales y pragmáticos. El 
significado es la idea que soporta forma parte del conocimiento individual, es la 
representación subjetiva y personal. 
La progresión en el aprendizaje de la matemática escolar, se produce gracias a la 
asimilación, recreación, apropiación y uso de símbolos y estructuras simbólicas cada vez 
más abstractas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
CAPITULO 2 ESTRATEGIAS PARA MEJORAR EL USO 
DEL LENGUAJE MATEMÁTICO 
 
Este capítulo tiene como objetivo mostrar algunas estrategias para mejorar el uso del 
“Lenguaje Matemático”, expuestas por algunos autores, para el nivel preescolar, primaria y 
secundaria, las cuales nos servirán para poder diseñar estrategias para mejorar el uso del 
lenguaje matemático a nivel bachillerato. 
2.1 Estrategias de Manuel Borges Ripoll (2001) 
2.1.1 Estrategia 1 
Utilizar en el lenguaje habitual del aula un vocabulario matemático que frecuentemente no 
se utiliza o que se sustituye por términos no precisos desde el punto de vista de las 
Matemáticas. Esta estrategia podría utilizarse desde la Educación Infantil en muchos casos 
y en todos los niveles de Educación Primaria y de la Secundaria Obligatoria. 
Justificación 
A la dificultad que el aprendizaje de las Matemáticas presenta para una parte considerable 
del alumnado por diferentes razones, se le suele unir la dificultad derivada de tener que 
adquirir un nuevo vocabulario relacionado con conceptos matemáticos, que podría haber 
sido adquirido de formanatural desde mucho tiempo antes y de esa forma serles familiar en 
el momento en que se empiece formalmente a adquirir el concepto matemático. 
Se podría comparar esta situación con la del aprendizaje de la lengua extranjera que se 
facilita si se tiene relación con ella en edades tempranas. 
Sustituir los términos Por estos otros (Utilizándolos 
frecuentemente) 
“acostado”, “tumbado” Horizontal 
“de pie”, “hacia arriba”, “recto” Vertical 
“esquina” Ángulo 
“raya” Línea recta 
“redondo”, “redondel” Circular o esférico (según el caso), círculo 
“punta” Vértice 
“Alrededor de…” “borde” Por el perímetro de 
20 
 
“desconocido” Incógnita 
“trozo” Fracción 
“es más grande que… ” 
“es más pequeño que…” 
Tiene más longitud que …; menos 
superficie que …;más volumen que …; 
menos capacidad que … (según los casos) 
 
 
Utilizar los términos En las siguientes situaciones 
Paralelo; perpendicular Dibujos, juegos, croquis, planos 
Polígono órdenes verbales o escritas, 
Diagonal, radio, diámetro enunciados de situaciones: 
Segmento -Esta fila es paralela a esta… 
-Esta calle es perpendicular a… 
-Esta figura es un polígono de… lados… 
-Dibuja un segmento de color… 
-Dibuja con color…las diagonales de…, el 
radio de…, el diámetro de…, 
Inverso-opuesto -Dibuja con color…las diagonales de…, 
Dirección-sentido el radio de…, el diámetro de…, 
Nombres de polígonos o cuerpos 
geométricos, que aunque aparecen con 
frecuencia en situaciones habituales, no se 
suelen denominar con su nombre: trapecio, 
hexágono, pentágono, rombo, romboide… 
cilindro, cono, cubo, prisma, pirámide, 
esfera… 
-Caminar en la misma dirección que… pero 
en sentido contrario a … 
-Esta caja es un prisma … 
-Este cubo es un cilindro 
 
 
21 
 
Utilizar con más rigor los términos 
Cuadrado Solamente cuando el objeto o figura sea un 
cuadrado. 
Con frecuencia en el lenguaje coloquial se 
dice que algo es cuadrado cuando se 
debería decir que es rectangular. 
Círculo-circunferencia No solemos distinguir entre los dos 
términos, lo que posteriormente puede 
producir confusión. 
Doble-mitad-triple Se suele utilizar mucho lenguaje figurado 
(“es el doble de fuerte…”, “la mitad de 
bueno…”), y sin embargo, se utiliza poco 
con el rigor matemático que supone 
multiplicar o dividir algo por 2 o por 3. 
 
2.1.2 Estrategia 2 
Dar una importancia “vital” al contexto de igualdad y a la utilización de su representación 
simbólica “=” en todas las ocasiones en que se pueda. Para ello es imprescindible que todas 
las operaciones del cálculo que el alumnado realice desde el primer nivel de Primaria las 
vean y las escriba de forma horizontal. 
Justificación 
La correcta adquisición del concepto de igualdad y de su representación simbólica es 
absolutamente determinante para el éxito en el área de Matemáticas. La resolución de la 
mayor parte de problemas matemáticos que empiezan a tener un pequeño grado de 
dificultad requiere que se tenga asimilado el concepto de igualdad. Los errores en la 
representación simbólica de la igualdad contribuyen frecuentemente al fracaso en la 
resolución de la situación problemática, aún en el caso de que el razonamiento y los 
procedimientos para su realización sean los adecuados. 
El concepto de igualdad se suele trabajar bien de forma manipulada o en la fase de 
representación gráfica en los niveles de Educación infantil y primeros niveles de Primaria, 
pero posteriormente no se tiene tan en cuenta y se suele prescindir frecuentemente de su 
representación simbólica. 
La disposición vertical exclusivamente de las operaciones de cálculo no ayuda a la 
adquisición del concepto de igualdad ni a su representación simbólica. 
22 
 
Ejemplos: 
No utilizar solo operaciones En las operaciones escritas 
horizontalmente se aprecia la igualdad al 
utilizarse su simbolización “=” 
 
 
 
3+2=5 
8-2=6 
5x3=15 
10/2=5 
Al no tenerse correctamente asimilado el 
concepto de igualdad son muy frecuentes 
los errores del tipo: 
, que aunque 
presentan un resultado correcto, el 
procedimiento es incorrecto 
 y con seguridad conduciría también a 
resultados erróneos al hacer más 
compleja las operaciones que realicen 
 
 
2.1.3 Estrategia 3 
Sustituir el término “por”, al introducir la multiplicación, por el término “veces”. 
Justificación 
En castellano decir “cuatro veces cinco” tiene un sentido muchísimo mayor que decir 
“cuatro por cinco” y facilita la adquisición del concepto de multiplicación. En otros idiomas 
se utilizan términos similares al de “veces”. 
 
 
 
 
 
23 
 
2.1.4 Estrategia 4 
Medir mucho y medir de todo. 
Utilizar medidas no convencionales antes de introducir las convencionales. Medir 
elementos que nos sirvan para introducir términos del lenguaje matemático (sobre todo 
geométrico) en la línea apuntada en la estrategia 1. 
Justificación. 
La práctica habitual, reiterada y sistemática de mediciones de todo tipo (longitudes, 
superficies, volúmenes, pesos, tiempos…), es un recurso didáctico que, además de ser 
motivador para el alumnado, supone la adquisición de la capacidad de interpretar mejor las 
características de objetos, lugares o materias y puede contribuir de forma indirecta a la 
adquisición de conceptos geométricos de una forma natural. 
La utilización de unidades no convencionales de medida facilita la comprensión de las 
razones por las que se necesitan las unidades convencionales y ayuda a asimilar algunos 
conceptos que presentan dificultad de abstracción (superficie, volumen…) si se aborda 
simultáneamente la adquisición del concepto y el conocimiento de una unidad de medida 
convencional que en su práctica se utiliza poco o nunca ( ). 
Ejemplos 
Aprovechar cualquier 
ocasión para medir; 
Utilizar unidades no 
convencionales antes de 
introducir estas 
Medir elementos 
geométricos para introducir 
su concepto 
longitudes ¿Cuántos pasos mide la 
clase, el patio…? 
¿Cuántos lápices mide la 
mesa…?y ¿Cuántos palmos? 
Altura de cada alumno…Al 
viajar en el coche de su 
familia que anoten los 
kilómetros recorridos en un 
trayecto. 
El perímetro de la mesa, de 
la clase, del patio… 
La diagonal de la mesa. El 
radio, o el diámetro de este 
círculo… El lado de este 
pentágono…La base y la 
altura del rectángulo de la 
puerta de la ventana…La 
longitud de una 
circunferencia. 
Superficies ¿Cuántas libretas caben en 
la superficie de tu mesa? 
¿Cuántas hojas de periódico 
caben en la superficie del 
(En niveles que lo permitan) 
-superficie aproximada de 
un círculo, de un 
24 
 
suelo de la clase? hexágono… 
 
Capacidades y volúmenes ¿Cuántos vasos de agua, de 
arena, de… caben en 
este…? 
-cubo 
-prisma 
-cilindro… 
Tiempos Uso de cronómetros para 
percibir, por ejemplo, un 
minuto de silencio. 
¿Cuantos segundos 
aguantamos sin respirar? 
(En niveles que lo permitan) 
Introducir unidades de 
tiempo poco habituales: 
-quincena 
-bimestre 
-década 
-lustro… 
Pesos Utilización de la balanza. 
Comparando pesos de 
diferentes objetos. ¿Qué 
pesa más, un vaso lleno de 
arena un vaso lleno de agua? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimar medidas “a ojo” y luego comprobar la medición. 
-¿Cuántos palmos crees que mide de largo? 
-¿Cuántas libretas (crees que cabrán en la superficie de…)? 
-¿Cuántos vasos de agua crees que cabrán…? 
-¿Cuánto tiempo crees que tardará…? 
-¿Cuánto crees que pesa…? 
Cuando se conozcan las unidades convencionales se estimaría la medida con ellas. 
25 
 
2.1.5 Estrategia 5 
Practicar con frecuencia el cálculo mental. Utilizar en esta práctica frases como: “la 
diferencia entre…”,”el producto de…”,”el doble de…”,”el triple de…”,”la mitad de…”, “la 
tercera parte de…” 
 
Justificación 
La rapidez en el cálculo mejora la resolución de problemas matemáticos al ahorrar tiempo 
y evitar errores en las operaciones. 
El cálculo mental de operaciones sencillas, desarrolla la agilidad para de una forma gradual 
realizar mentalmente operaciones máscomplejas (potencias, raíces de cuadrados perfectos, 
fracciones, operaciones con la unidad seguida de ceros…) 
Los ejercicios de cálculo mental suelen ser motivadores por prestarse a ser realizados en 
forma de juegos o actividades lúdicas. 
 
2.1.6 Estrategia 6 
Resolver muchos problemas (siempre que sea posible, partiendo de situaciones cercanas a 
la realidad del alumnado) cuidando que el procedimiento para su resolución se sistematice 
del siguiente modo: 
1.-Lectura comprensiva del enunciado 
2.-Selección de datos conocidos que sean útiles para la resolución del problema. 
3.-Especificacion de datos que se pretenden conseguir (incógnitas). 
4.-Manipulación-representación gráfica de la situación planteada (dependiendo del 
alumnado). 
5.-Realizacion de las operaciones necesarias (planteamiento horizontal siempre).Separa las 
operaciones de cálculo “verticales” de la representación simbólica horizontal. 
6.-Expresión de los resultados con sus unidades correspondientes siempre. 
7.-Comprobacion de la validez y corrección de los resultados. 
Justificación. 
La resolución de problemas da sentido al esfuerzo realizado por el alumnado para adquirir 
conceptos y destrezas matemáticas, pues se le ofrece la posibilidad de aplicarlos a 
situaciones prácticas. 
26 
 
Si las situaciones son cercanas a su realidad, aumentará la motivación para su resolución. 
Adquirir el hábito de resolver problemas matemáticos siguiendo un procedimiento que 
implique dar unos pasos secuenciados será clave para el éxito en la resolución de 
problemas que empiecen a tener cierto grado de complejidad. 
 
2.2 Estrategias de Paloma Alonso Muñoz (2013) 
Las siguientes propuestas de tarea, aunque están concebidas para la educación primaria, son 
válidas para cualquier curso de la enseñanza obligatoria, dependiendo de la adecuación del 
diseño básico a la situación concreta de enseñanza y de aprendizaje de cada grupo de 
alumnos/as. 
Con este trabajo la autora da una forma de entender el proceso de enseñanza-aprendizaje, 
en la que es el alumno el que construye las matemáticas. En particular pretende: 
• Aportar orientaciones y recursos que pueden ser llevados al aula. 
• Potenciar las habilidades sociales. 
• Favorecer una comunicación adecuada. 
• Apoyar la participación del alumno, de forma natural, espontánea, escuchándole. 
• Promover una actitud investigadora, curiosa y crítica. 
• Señalar las ventajas que tiene la utilización de materiales y recursos en la clase de 
matemáticas. 
• Aportar orientaciones y recursos que puedan ser llevados al aula. 
• Ofrecer variadas experiencias de juegos mediante las cuales los niños puedan conocerse 
así mismo, a los demás y ser cada vez más independientes. 
• Presentar al alumno actividades desafiantes. 
• Plantear desafíos que facilitan la flexibilidad y originalidad de las ideas, favoreciendo el 
desarrollo de la creatividad, a través de la invención reconstrucción de situaciones 
problemáticas. 
 
 Justificación 
La enseñanza de las matemáticas durante muchos años se ha reducido, de hecho, a la 
práctica mecánica del cálculo y al aprendizaje memorístico. 
27 
 
La sociedad y la educación han evolucionado mucho hasta llegar a la actual respuesta 
educativa, dando importancia al alumno, a que piense, actúe y razone. Los maestros y 
maestras tenemos que adaptarnos a los nuevos tiempos y las nuevas generaciones, que 
aprendan, disfruten y se interroguen sobre todo tipo de situaciones problemáticas que les 
surgen en la vida diaria. Siguiendo la idea de Godino, Batanero y Font (2003) uno de los 
fines de la educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante 
y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce el papel 
cultural de las matemáticas y la educación matemática también tiene como fin proporcionar 
esa cultura ¿quién proporciona la cultura? Lo que se pretende es proporcionar una cultura 
con varios componentes interrelacionados, a saber: 
a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los 
argumentos apoyados en datos que las personas puedan encontrar en diversos contextos, 
incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional. 
b) Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y 
competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en 
el trabajo profesional. 
De ahí que nos hagan pensar que los problemas son la base de las matemáticas, y que 
muchas veces son la parte más difícil para el alumno, pero por eso el trabajo de la 
educación es el conseguir encender la chispa del interés en todo lo que se haga. El 
conseguir o por lo menos intentar que los alumnos muevan sus engranajes, el de hacerles 
pensar, independientemente de que se consiga llegar a la solución final o no. Pero es verdad 
que quienes nos dedicamos a la enseñanza de las matemáticas, las dificultades que nos 
encontramos tienen relación, entre otras, con la falta de materiales precisamente para que 
“ayuden a pensar” a los alumnos, de modo que sean capaces de elaborar conceptos, manejar 
un lenguaje usado por la ciencia y finalmente aplicarlo en el mundo que le rodea. 
De ahí la importancia del uso del material en situaciones didácticas por parte de los 
profesores, de una reflexión y estudio de ellos. El papel del profesor es crucial en la 
organización, dirección y promoción del aprendizaje de los alumnos. Será necesario diseñar 
y gestionar una variedad de tipos de situaciones didácticas adaptadas a nuestros alumnos. 
Concretarse en la edad y conocimientos de nuestros alumnos. No podemos proponer las 
mismas actividades o problemas a un niño, que a un adolescente o a un adulto, porque sus 
necesidades son distintas. Hay que tener claro la realidad de los alumnos, sus intereses, 
escucharle, despertar su interés. 
Hemos oído decir de boca de muchos niños “No entendía nada, odiaba las matemáticas, 
hasta que un profesor hizo que me gustasen…. Como decía María Montessori, los niños 
imitan a las personas que quieren. De ahí la importancia de contar con profesores 
28 
 
motivados, entusiastas, con la idea que enseñar y aprender matemáticas puede y debe ser 
una experiencia feliz. 
Los recursos y el material didáctico proporcionan experiencias individuales irrepetibles, 
que conducen a procesos genuinos de construcción de conocimientos en los que se 
producen aprendizajes significativos, esto requiere la máxima implicación, ejercitación por 
parte de los alumnos, el que esté motivado, el que se impliquen en la participación activa en 
la solución de situaciones para un verdadero aprendizaje. 
“como han afirmado muchos pensadores y pedagogos, el descubrimiento no es fruto de 
ningún talento originariamente especial, sino del sentido común mejorado y robustecido por 
la educación técnica y por el hábito de meditar sobre los problemas científicos”. (Ramón y 
Cajal, 1995, p. 27) 
La forma de entender las matemáticas han cambiado y nadie duda en que el objetivo sea no 
tanto que el alumno conozca una reglas como que explore, experimente, razone. La 
atención se centra en la resolución de problemas. En que los alumnos se conviertan en 
participantes activos, capaces de trabajar en equipo, investigar, discutir, crear, en definitiva 
hacer Matemáticas. 
La utilización de objetos en el aula se contempla en el currículo de Matemáticas para 
Educación infantil, Primaria y Secundaria. Así, entre las Orientaciones didácticas que se 
proponen para Primaria, MEC (1992, pp. 76-77) destaca la siguiente: 
Será conveniente proporcionarse todos los recursos que faciliten la actividad docente y que 
contribuyan al aprendizaje del alumno… En estas edades la manipulación de objetos 
concretos y familiares constituye el primer paso en el proceso de enseñanza y aprendizaje 
de las matemáticas. Por esta razón, parece indispensable poder contar con materiales 
sencillos y de fácil adquisición… 
El uso de materiales adecuados…constituye