INVE_MEM_2008_60533

Vista previa del material en texto

PROBLEMÁS GEOMÉTRICOS: 
Una visión sintética y analítica 
 
Alfonsa García López 
Universidad Politécnica de Madrid 
 
 
 
 
 
 
1. Introducción.................................................................................. 2 
2. El enfoque sintético-analítico...................................................... 3 
3. Una caja de herramientas........................................................... 6 
 
4. Jugando con los triángulos......................................................... 7 
4. Construcción de polígonos regulares........................................ 9 
5. Proyectos para el aula............................................................... 11 
 
6. Referencias...................................................................................13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introducción 
En los tiempos que corren para la enseñanza, es más necesario que nunca luchar contra la 
falta de motivación, tanto del alumnado como del profesorado, con creatividad y afán de 
hacer cosas nuevas. Todos tenemos capacidad de innovar y, de entre las posibilidades que 
se nos ofrecen, tal vez las que más beneficios reportan sean aquellas que implican la 
colaboración entre profesores de distintas materias. 
Hay que intentar despertar una inquietud intelectual en los estudiantes. Por ello, tal 
como J. B. Romero propone en [13], es necesario “rescatar el papel humanista del 
profesor”. 
Como profesora de matemáticas, y desde un punto de vista tal vez egoísta, creo que 
la colaboración con otras materias siempre repercute en una mejor formación en la que yo 
imparto, ya que establecer relaciones entre distintas representaciones de un mismo concepto 
produce un aprendizaje significativo. 
En este trabajo, se presentan algunas reflexiones sobre posibilidades de 
acercamiento entre las asignaturas de Matemáticas y Dibujo Técnico en la enseñanza 
secundaria y bachillerato. Se trata de una pretensión de lanzar puentes desde la perspectiva 
de una profesora de universidad, que siempre se ha interesado por conocer los contenidos 
y la problemática de la enseñanza de Matemáticas en bachiller, pero cuyo conocimiento 
sobre la asignatura de Dibujo Técnico es escaso y basado básicamente en las referencias 
consultadas ([1],[12], P2,..). 
Obviamente, hablaremos de geometría elemental, disciplina que ha sido objeto del 
estudio apasionado de muchos matemáticos, desde la antigüedad, y que fomenta sobre todo 
la intuición. Es la herramienta básica del dibujo y el origen de gran parte del conocimiento 
matemático. 
Tal y como comenta M. J. Luelmo en [11] “la enseñanza de la geometría, desde el 
punto de vista del dibujo y de las matemáticas, adolece de una falta de relación altamente 
empobrecedora”. Desde el dibujo, se trabajan una serie de construcciones geométricas, con 
regla y compás, que no aportan demasiado a la comprensión de conceptos y propiedades. 
Desde las matemáticas, los objetos geométricos se convierten en meras ecuaciones u otros 
artefactos algebraicos, soporte de propiedades, aparentemente no relacionadas con su 
proceso de construcción. 
Los intentos de acercamiento entre ambas disciplinas suelen tropezar con la falta de 
tiempo, la rigidez de los programas y el recelo de muchos profesores. Por un lado por una 
falta de habilidad manual para el dibujo, muy frecuente entre los matemáticos, 
acompañada, en ocasiones, del desconocimiento u olvido de algoritmos geométricos 
elementales, y por el otro por la obvia dificultad y falta de interés de los profesores de 
dibujo por el tratamiento analítico de los problemas geométricos. 
Por otra parte, la metodología y la forma de afrontar los problemas también son 
bastante diferentes. El profesor de dibujo conoce un gran abanico de métodos de 
construcción de objetos geométricos, pero no suele plantearse cuestiones tales como la 
verificación de los algoritmos utilizados y el porqué los objetos construidos satisfacen las 
propiedades deseadas. Para el matemático estas cuestiones son irrenunciables y la 
geometría analítica, con la posibilidad de algebrizar los resultados, es una herramienta 
potente de razonamiento y demostración, si se usa en estrecho contacto con la intuición 
gráfica. 
2. El enfoque sintético-analítico 
Al estudiante de primero de bachillerato, por ejemplo, se le presenta una serie de 
problemas geométricos, tales como obtener la mediatriz de un segmento, la paralela o 
perpendicular a una recta pasando por un punto, las medianas, alturas o bisectrices de un 
triángulo, demostrar determinadas propiedades, etc., que se resuelven de modo totalmente 
diferente en la clase de Dibujo Técnico y en la de Matemáticas. En la primera el objeto 
buscado se construye y en la segunda se determina su ecuación. Para el alumno con un 
poco de curiosidad es natural plantearse si realmente obtiene lo mismo con ambas 
estrategias y si es posible la resolución analítica del problema siguiendo los pasos del 
algoritmo de la geometría sintética. Tal vez en algún caso se pueda sentir tentado de 
ponerle ecuaciones a los objetos geométricos y trabajar con estas ecuaciones en paralelo, de 
tal suerte que la geometría analítica le proporcione demostraciones sencillas de los 
resultados. 
 Por ejemplo, en la asignatura de Dibujo, el estudiante ve que el arco capaz de 90º 
sobre un segmento AB es justamente la circunferencia que tiene por diámetro dicho 
segmento. En otras palabras, para cualquier punto P de la circunferencia de la figura 1 el 
triángulo APB es rectángulo en P. 
 
 Figura 1 
 La demostración analítica de este resultado es bien sencilla. Si suponemos la 
circunferencia centrada en el origen, su ecuación será 222 ayx =+ y las coordenadas de los 
puntos A y B serán )0,( aA −= , )0,(aB = . Por lo tanto dado el punto ),( yxP = el producto 
escalar de los vectores ),( yaxPA += y ),( yaxPB −= es 222 ayx −+ , que es cero, ya que P 
satisface la ecuación de la circunferencia. 
Pero, en la mayoría de los casos, lo tedioso de los cálculos le hará desistir del 
intento de unificación. Es aquí donde el ordenador y un sistema de cálculo matemático 
pueden ser de utilidad. 
Las posibilidades gráficas y de cálculo simbólico de los sistemas informáticos de 
cálculo matemático, como DERIVE, Maple u otros, muy posiblemente disponibles en los 
centros educativos de secundaria y bachillerato, permiten la experimentación, a bajo coste, 
con distintas estrategias para la resolución del problemas geométricos y pueden facilitar la 
tarea de abordar los problemas geométricos desde el punto de vista analítico, 
automatizando los cálculos y trasladando los resultados, de modo inmediato, a la pantalla 
gráfica. Y recíprocamente, los sistemas informáticos de dibujo geométrico, cada vez más 
presentes en ámbitos profesionales, también se sirven de los aspectos analíticos de los 
objetos geométricos para obtener las representaciones gráficas. 
Es evidente que hay en el mercado programas de geometría interactiva como 
CABRI o ReglaYCompás, mucho más flexibles desde el punto de vista del manejo de 
elementos geométricos elementales (ver [3], [4], [5], [14], P3, P4, P5). Además, dado que 
los algoritmos, son programables el profesor puede realizar atractivas construcciones 
interactivas (ver P2). 
 Pero la disponibilidad del cálculo simbólico permite la demostración analítica de 
las conjeturas obtenidas a partir de la observación de la gráfica. Para ilustrar cómo esta 
forma de trabajar conduce al descubrimiento de interesantes resultados geométricos, se 
puede consultar [7]. El planteamiento de este trabajo es mucho mas modesto y se limitará a 
establecer un paralelismo entre el método sintético y analítico para la resolución con 
DERIVE de determinados problemas geométricos elementales. 
Las herramientas básicas del dibujo geométrico son la regla y el compás y las 
operaciones básicas son trazar una recta conocidos dos desus puntos y trazar una 
circunferencia conocido el centro y uno de sus puntos o el radio. Estas construcciones 
básicas se trasladan fácilmente al lenguaje algebraico que permite obtener las ecuaciones de 
la recta y la circunferencia en cuestión. Por ello todas las operaciones del dibujo geométrico 
tienen su traducción en la geometría analítica. Para la resolución de problemas en ocasiones 
son más eficaces los métodos de la geometría sintética, pero el soporte analítico permite, 
además de trasladar la construcción al ordenador, obteniendo dibujos precisos, garantizar la 
validez del resultado. 
En lo que sigue, se propondrán ejemplos de actividades fácilmente realizables por 
estudiantes de bachillerato, sin conocimientos informáticos previos, sólo con un breve 
conocimiento del programa de cálculo simbólico elegido, que en los ejemplos presentados 
será DERIVE, pero que puede ser sustituido por cualquier otro. 
Se trata básicamente de tener a mano el ordenador y usarlo en el momento preciso, como 
ayudante de dibujo y cálculo. 
En DERIVE, es muy sencillo introducir puntos, sin más que dar sus coordenadas, 
podemos definir y dibujar un segmento o un triángulo dando las listas de puntos que los 
definen. 
El lenguaje de DERIVE permite definir fácilmente funciones que reciban como 
parámetros los puntos y hagan cálculos con sus coordenadas. Así, por ejemplo, la función 
puntomedio(P,Q):=(P+Q)/2, calcula el punto medio del segmento PQ, la función 
recta(P,Q):=(Q1-P1)⋅(y-P2)=(Q2-P2)⋅(x-P1) devuelve la ecuación de la recta que pasa por los 
puntos P y Q, la función circunferencia(P,Q):= (x-P1)2+(y-P2)2=|P-Q|2 proporciona la ecuación 
de la circunferencia de centro P y que pasa por Q.... También podemos definir funciones 
que midan distancias o ángulos, etc. 
Con herramientas de este tipo, es posible hacer un seguimiento analítico y gráfico 
de cualquier proceso de construcción geométrica (por ejemplo, en la figura 2 se muestra la 
construcción de la mediatriz de un segmento). Cambiando los datos tantas veces como se 
quiera es posible obtener sin esfuerzo nuevos dibujos y las ecuaciones correspondientes, 
desarrollando el espíritu crítico y favoreciendo la intuición. 
 
 
Figura 2 
Con el proceso descrito en la figura 2 se comprueba que la construcción habitual da 
lugar efectivamente a la recta mediatriz, que se puede obtener, sin más que simplificar la 
expresión (x-P1)2+(y-P2)2 =(x-Q1)2+(y-Q2)2. 
También es posible, para verificar la corrección de las construcciones, calcular 
ángulos, distancias o áreas, y hacer demostraciones analíticas, simplemente llevando a cabo 
el proceso de cálculo con datos simbólicos. 
Vemos como se haría, con este procedimiento la demostración analítica del teorema 
de Vangnon, que establece que la figura que se obtiene al unir, en el orden dado, los puntos 
medios de un cuadrilátero convexo arbitrario es un paralelogramo y su área es la mitad de 
la del cuadrilátero original (ver figura 3) 
 
Figura 3 
Podemos definir una función DERIVE que calcule el área de un triángulo en 
función de las coordenadas de los vértices por la fórmula 
area_triangulo(P,Q,R):= |det([[1,P1,P2],[1,Q1,Q2],[1,R1,R2]])| 
El área de otras figuras geométricas se puede determinar dividiéndolas en triángulos. 
Después, podemos definir puntos genéricos A,B,C,D, determinar simbólicamente el 
área del cuadrilátero, obtener los puntos medios, verificar que forman un paralelogramo, 
hallar el área de éste y comprobar que es la mitad de la expresión obtenida antes. 
 
 Ciertamente el teorema anterior, que hemos puesto como ejemplo para comentar las 
posibilidades simbólicas, no aparece en los programas de bachillerato. Pero la idea de 
verificar resultados se puede aplicar a cualquier construcción geométrica. 
 Por ejemplo, una construcción clásica en los libros de dibujo, para conseguir, a 
partir de un segmento AB, el segmento AF de modo que AF/AB es la razón áurea es la 
siguiente: 
Dado AB se construye BM perpendicular y de igual longitud. La circunferencia 
centrada en el punto medio de AB y que pasa por M cortará a la recta que contiene al 
segmento AB en el punto F (ver figura 4). 
Usando DERIVE, podemos partir de un segmento de longitud 1 y verificar que se 
obtiene uno de longitud 
2
51+ . En general, se puede demostrar que la construcción es 
correcta usando Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
Figura 4 
3. Una caja de herramientas 
Siguiendo la idea propuesta por Miguel de Guzmán en [7] se puede ir construyendo una 
“caja de herramientas” que contenga las definiciones en DERIVE de las funciones que 
llevan a cabo las operaciones geométricas elementales. 
Algunas herramientas básicas podrían ser funciones DERIVE para: 
 dibujar un segmento o un triángulo, 
 calcular la distancia entre dos puntos dados, 
 calcular el ángulo de dos vectores, 
 obtener el punto medio de P y Q dados 
 obtener el punto simétrico de P respecto a Q 
 calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, 
 calcular una paralela o una perpendicular a una recta por un punto dado, 
 calcular la distancia de un punto a una recta, 
 calcular la paralela a una recta a una distancia dada, 
 
 calcular la mediatriz de un segmento, 
 calcular las medianas, las bisectrices o las alturas de un triángulo, 
 calcular las ecuaciones de los lados de un triángulo, 
 calcular el área de un triángulo a partir de las coordenadas de los vértices. 
 obtener la ecuación de la circunferencia a partir del centro y el radio, 
 obtener la ecuación de la circunferencia a partir del centro y uno de sus puntos, 
 calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 
etc. 
Para programar en DERIVE este tipo de funciones no hace falta ser experto, 
simplemente basta conocer los conceptos y escribir las ecuaciones correspondientes. Es un 
buen ejercicio para los estudiantes de bachillerato, ya que les ayuda a afianzar sus 
conocimientos y facilita la experimentación. 
En P6 se pueden encontrar las definiciones de algunas de estas y otras funciones. 
Cada vez que en la resolución de un problema tengamos que llevar a cabo una 
construcción típica, guardaremos la función correspondiente en la caja de herramientas. 
4. Jugando con los triángulos 
4.1 Obtención de un triángulo conocidas las medidas de sus lados. 
La construcción de un triángulo a partir de las medidas de sus lados es elemental y muy 
fácilmente programable. Dadas las longitudes de los lados p,q,r (verificando que la suma de 
cualesquiera dos de ellas sea mayor que la tercera), podemos situar sobre el eje OX los 
puntos )0,( pA = , )0,( qpB += . )0,( rqpC ++= . La base del triángulo será AB (que mide q) 
y el tercer vértice estará en la intersección de la circunferencia de centro A y radio p con la 
de centro B y radio r. Llevando a cabo este proceso con DERIVE, tendremos además las 
coordenadas de los vértices, que pueden ser de utilidad para construcciones posteriores. 
 
4.2 Tercer vértice de un triángulo equilátero. 
Dados dos puntos P y Q se trata de obtener R de modo que el triángulo PQR sea equilátero. 
El punto R será la intersección de la circunferencia centrada en P, que pasa por Q con la 
circunferencia centrada en Q, que pasa por P. 
La resolución del sistema }||)()(,||)(){( 2222122221 QPQyQxQPPyPx −=−+−−=−+− , que se 
puede hacer automáticamente con DERIVE, usando incluso datos simbólicos, permite 
obtener las coordenadas de las dos posibles soluciones para R. 
 
4.3 Puntos notables de un triángulo. 
Con DERIVE es fácil determinar sintética y analíticamente los puntos notables de un 
riángulo PQR. 
La demostración geométrica de que las tres mediatrices se cortan en un punto es 
inmediata. El punto de corte de la mediatriz del lado p con la de lado q equidista Q y R y 
también Q y P, luego equidista de P y Q y pertenece también la otra mediatriz. Este punto 
se llama circuncentro y obviamente es el centro de la circunferencia circunscrita. 
Determinar analíticamente sus coordenadas requiere unsencillo cálculo algebraico, 
consistente en la resolución del sistema, que se puede hacer automáticamente con DERIVE. 
 
Para demostrar que las alturas se cortan (en el ortocentro), lo más fácil es trazar por 
cada vértice una paralela al lado opuesto, las alturas del triángulo original son las 
mediatrices del nuevo. 
Respecto al baricentro, en la siguiente pantalla se muestra su construcción para un 
triángulo concreto y a continuación la obtención simbólica, de modo automático de sus 
coordenadas. 
 
 
Figura 5 
 
Figura 6 
 
 
También se puede demostrar, de modo análogo, que el incentro (punto de corte de las 
bisectrices) es el centro de la circunferencia inscrita (ver por ejemplo la sección de 
triángulos de P1). Como curiosidad, se les puede pedir a los estudiantes que verifiquen que 
en cada vértice de un triángulo la bisectriz está entre la mediana y la altura. 
5. Construcción de polígonos regulares 
Un polígono regular es aquél cuyos lados y ángulos son todos iguales. Ya hemos visto en el 
epígrafe anterior cómo construir analítica y geométricamente un triángulo equilátero a 
partir de un lado. Ahora veremos otros polígonos. 
 
5.1 Construcción de un cuadrado conocido el lado 
El lado es el segmento AB. 
1. Se dibuja una circunferencia cuyo diámetro sea AB 
2. Se hace la mediatriz del segmento AB y se elige uno de los puntos de intersección con la 
circunferencia, O. 
3. Se hallan los simétricos de A y B respecto de O y esos son los otros dos vértices del 
cuadrado. 
 
 
Figura 7 
 
4.2 Construcción del pentágono regular a partir de un lado 
Durero, en su recopilación de métodos de construcción de polígonos, propone el siguiente 
método (que aun se utiliza en ocasiones) de construcción de un pentágono supuestamente 
regular. 
La construcción (ver figura 8) se hace sobre un segmento AB (lado del pentágono) y 
se basa en el trazado de varias circunferencias, todas de radio igual al lado. 
1. Se trazan dos circunferencias de radio AB con centros respectivos A y B y se toma el 
punto radio H de la intersección de ambas. 
2. Se traza la mediatriz del segmento AB y la circunferencia de centro H. Se marcan los 
puntos M y N, de la intersección de esta circunferencia con la mediatriz y con la 
circunferencia de centro B respectivamente. 
 
3. Se traza la recta que pasa por M y N y se marca el punto E (intersección de dicha recta 
con la circunferencia centrada en A). Este punto es un vértice del pentágono. 
4. Se traza la circunferencia de centro E para obtener el vértice D como intersección de ésta 
con la mediatriz. 
5. Se traza y la circunferencia de centro D para construir el punto C. 
 
Figura 8 
Si se lleva a cabo la comprobación analítica de este algoritmo, usando un sistema de 
cálculo matemático, que permite, en cualquier momento, llevar el control de la situación, 
no sólo gráficamente, sino también analítica y numéricamente, se comprueba que el 
pentágono construido no es regular. Aunque los cinco lados son iguales no lo son los 
ángulos y en consecuencia tampoco las diagonales. (Esto no podría ocurrir en un triángulo 
que es una figura rígida, si los lados de un triángulo son iguales, los ángulos también deben 
serlo.) 
Una construcción, cuya corrección se puede probar analíticamente, bastante 
elegante del pentágono regular, partiendo de uno de sus lados AB es la que hace uso de que 
la razón entre la diagonal del pentágono regular y un lado es precisamente la razón áurea. 
Así conocido el lado se puede obtener la distancia de la diagonal y se pueden construir 
sendas circunferencias centradas respectivamente en A y B y cuyo radio sea la diagonal, el 
vértice D estará en la intersección de dichas circunferencias. Una vez conocido D y el lado 
se pueden obtener los otros dos vértices (ver figura 9). 
 
Figura 9 
4.2 Polígono regular de n lados 
Sabemos que no es posible construir con regla y compás un polígono regular de n lados 
para n arbitrario. Gauss demostró en su “Disquisitiones arithmeticae” que “Para poder 
seccionar geométricamente el círculo en n partes iguales… se requiere que n no contenga 
ningún factor primo impar que no sea de la forma 12 +m ni tampoco contenga ningún 
factor primo de esa forma más de una vez”. Por ejemplo, con 20<n solo se puede 
conseguir para polígonos de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16 y 17 lados. Las construcciones 
correspondientes se pueden ver en P4. 
 Los números complejos tienen una importante aplicación geométrica. Multiplicar 
por un número de módulo 1 y argumento α , equivale a un giro, de centro el origen y de 
ángulo α . Por lo tanto, se pueden construir automáticamente polígonos regulares 
centrados en el origen sin más que partir de un vértice cualquiera B y multiplicando el 
número complejo 21 iBB + por )/2sin()/2cos( ninz ππ += se obtienen las coordenadas del 
siguiente vértice, repitiendo el proceso se obtienen los restantes vértices del polígono 
regular de n lados. 
 En la siguiente pantalla de DERIVE se muestra una función que, usando números 
complejos, devuelve las coordenadas de los vértices de un polígono regular de n lados 
inscrito en una circunferencia de radio r. 
 
Figura 10 
5. Proyectos para el aula 
Las programaciones oficiales son a veces un corsé del que no es fácil salirse. Por otra parte, 
los medios informáticos son una realidad cada vez más presente, y con frecuencia 
infrautilizada, en los centros educativos. Una parte significativa de alumnos y profesores 
rechazan este tipo de actividades de carácter interdisciplinario y con uso de tecnología 
porque les supone un esfuerzo adicional. Pero suele ocurrir que el profesor entusiasta 
siempre encuentra un grupo de estudiantes dispuestos a llevarlas a cabo. 
Antes de inventar nada nuevo podemos hacer referencia a experiencias ya realizadas 
y que se pueden adaptar al enfoque sintético analítico. 
Por ejemplo en [2] se propone un recorrido por el módulo de geometría de la 
asignatura de Matemáticas de 1º de bachillerato a partir de una serie de actividades basadas 
en la construcción y estudio de la figura 11. 
 
 
Figura 11 
En [4] proponen actividades geométricas con ejemplos tomados de la vida cotidiana. 
En [P5] se propone experimentar y trabajar con algunos resultados clásicos como 
demostrar que el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de un triángulo están alineados 
(recta de Euler) o el teorema de Napoleón que dice que si en un triángulo cualquiera se 
construyen triángulos equiláteros sobre sus lados, los centros de dichos triángulos 
determinan un triángulo equilátero (ver figura 12). 
 
Figura 12 
También proponen algunos problemas geométricos sencillos como “la cuadratura 
del rectángulo” (construcción de un cuadrado con área igual a la de un rectángulo dado). 
 
 Estos trabajos se pueden adaptar al enfoque aquí propuesto pidiendo a los 
estudiantes la comprobación analítica de los resultados. 
 En definitiva la geometría elemental es un campo de colaboración importante para 
los profesores de Matemáticas y Dibujo Técnico que pueden aprender juntos, como en la 
experiencia descrita en [11], o bien de forma individual, consultando bibliografía o con 
asignaturas impartidas a distancia como la presentada en [3]. 
 
6. Referencias 
1. ÁLVAREZ, J.; CASADO, J.L.; GÓMEZ, M.D. “Dibujo técnico 2” Bachillerato SM. 
Madrid, 2003. 
2. BRACHO LÓPEZ, R. “Recreo matemático”. Primer premio de software educativo de 
la SAPM THALES, 2001. 
3. CASARAVILLA, A.; GILSANZ, A. “Geometría de ayer y de hoy. Tele-enseñanza, una 
alternativa docente” SIECI . Orlando, 2006 . 
4. ESCRIBANO BENITO, J. JIMÉNEZ POMAR, M.P.; PÉREZ ÁLVAREZ, M.T. 
VIRTO VIRTO, J.A. “Problemas clásicos de geometría desde un punto de vista 
actual”. (Finalista del certamen Ciencia en Acción 6). Madrid, 2005. 
5. GARCÍA, A.; MARTÍNEZ, A.; MIÑANO, R. "Nuevas tecnologías y enseñanza de las 
matemáticas". Síntesis, Madrid, 1995. 
6. GUZMÁN M. “Aventuras matemáticas”. Pirámide, Madrid, 2000. 
7. GUZMÁN M.“La experiencia de descubrir en Geometría”. Nivola, Madrid 2002. 
8. GUZMÁN M. “Pensamientos en torno al quehacer matemático”. (CD distribuido por 
el autor). Madrid, 2002. 
9. KUTZLER, B. "Mathematics on the PC. Introduction to DERIVE ". SoftWaerehouse, 
1994. 
10. KUTZLER, B. "Improving Mathematics Teaching with DERIVE ". Chartwell-Bratt, 
1997. 
11. LUELMO, M. J. “Construcciones geométricas: Una experiencia interdisciplinar de 
autoformación”. Epsilon, Rev. de la S.A.P.M. THALES, n.38 (1997) p.131-153. 
12. RODRÍGUEZ DE ABAJO, F.J., ALVÁREZ BENGOA, V. “Dibujo Técnico I” (1º de 
bachillerato). Ed. Donostiarra, S. Sebastián, 2002. 
13. ROMERO, J.B. “La Experiencia y el Arte de descubrir en Geometría” Bol. de la Scd. 
Puig Adam de profesores de Matemática, n. 71 (2005) p. 73-82. 
14. SOTO, F. “Geometría con Cabrí”. Universidad de Nariño (Colombia), 2000 
Algunas páginas web de interés: 
P1: http://descartes.cnice.mecd.es 
P2: http://www.acarioja.com/dibujo/geométrico 
P3: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=indice 
P4: http://roble.pntic.mec.es/∼jarran2/ 
P5: http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem 
P6: http://www.rescarrus.com/eduma/cabriderive/cabriderive.htm