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Sobre un problema de van
Douwen concerniente a la
topoloǵıa de Böhr
Tesis de Grado
Ana Hernández Andrade
Dirigida por:
Ramiro de la Vega
Junio de 2013
1
Índice
I Sobre este trabajo 3
II Böhr y su topoloǵıa 3
1. Definiciones 4
2. Los enteros y la topoloǵıa de Böhr 7
III Sobre Vp y V]p 9
3. Definiciones y propiedades 9
IV Ultrafiltros y ultrapotencias de espacios vectoriales 15
4. Filtros, ultrafiltros y ultrafiltros de Ramsey 15
5. Ultraproductos y utrapotencias de espacios vectoriales 20
V Un poco de sucesiones 21
6. Sucesiones y sistemas de sucesiones 21
7. A la deriva... 23
8. Conectando a V con V̂/V 24
VI Finalmente, V]p � V]q 30
9. Prueba del no homeomorfismo 30
VII Referencias 33
2
Parte I
Sobre este trabajo
Fue Erik K. van Douwen en una carta dirigida a W. Comfort en 1986, quien
motivado por el hecho de que algunas propiedades de la topoloǵıa de Böhr de un
grupo abeliano no dependen de su estructura algebraica, se preguntó si es suficiente
que dos grupos abelianos discretos tengan el mismo tamaño, para asegurar que los
grupos dotados de la topoloǵıa de Böhr son homeomorfos. Este problema estuvo
abierto hasta que, en 1996, K. Kunen [1] dió una respuesta negativa a la pregunta,
probando que aunque los grupos Vp y Vq donde p y q son primos distintos tienen
la misma cardinalidad, V]p no es homeomorfo a V]q. Independientemente de Kunen,
según Dikranjan [3], Watson usando un argumento de tipo Erdös-Rado probó que
para un cardinal suficientemente grande κ, (Vκ2)] � (Vκ3)].
El objetivo principal de este trabajo es explorar y explicar el art́ıculo de Kunen.
Para esto usamos herramientas como ultafiltros de Ramsey, sucesiones de espacios
vectoriales indexadas por conjuntos finitos, ultraproductos de espacios vectoriales,
entre otros. Aśı, en la primera parte vamos a dar dos definiciones de la topoloǵıa
de Böhr: la primera, para grupos abelianos; la segunda, para estructuras sobre len-
guajes de primer orden que no contienen śımbolos de relaciones y justificamos por
qué coinciden; adicionalmente mencionamos algunas caracteŕısticas sobre la topo-
loǵıa de Böhr de los enteros con el fin de cautivar al lector y familiarizarlo co el
tema. En la segunda parte, por medio de ejemplos y definiciones estudiamos las
caracteŕısticas y propiedades de los grupos abelianos presentados en el art́ıculo de
Kunen, de sus homomorfismos al ćırculo unitario y de los subbásicos de su topoloǵıa
de Böhr. También aqúı, dotamos al conjunto de subconjuntos finitos de los naturales
de una topoloǵıa que lo vuelve homeomorfo a un subespacio de los grupos que nos
interesan. En la tercera parte, estudiamos las definiciones de ultrafiltro y ultrapro-
ducto, hacemos la construcción de ultrafiltros de Ramsey asumiendo como cierta
la hipótesis del continuo y enunciamos una propiedad de los ultrafiltros de Ramsey
además del conocido Teorema de Loś para ultraproductos. En la cuarta parte, defini-
mos los conceptos de sistemas de sucesiones, y de sucesiones de espacios vectoriales
sobre campos finitos, indexadas por subconjuntos finitos de un conjunto infinito.
También definimos las relaciones de derivar y derivar simplemente, que se dan entre
sucesiones y sistemas de sucesiones. Probamos igualmente un importante resultado
tipo Ramsey, que nos dice que la restricción a un conjunto infinito de cualquier
sucesión de un espacio vectorial sobre un campo finito indexada por subconjuntos
finitos de un conjunto infinito, se puede escribir de finitas formas como combinación
lineal de algún sistema de sucesiones; esto es equivalente a decir que cualquier su-
cesión tiene algo parecido pero más débil, a un conjunto homogéneo -en el sentido
de Ramsey-. El estudio de estas sucesiones está motivado por el subespacio de los
grupos abelianos que es homeomorfo al conjunto de subconjuntos finitos de natura-
les. Por último, en la quinta parte, mostramos la prueba del no homeomorfismo, y
finalizamos con algunos problemas relacionados que todav́ıa estan abiertos.
3
Parte II
Böhr y su topoloǵıa
1. Definiciones
Harald Böhr (1887 - 1951), futbolista y matemático danés, fuel la primera per-
sona en trabajar en el área de las funciones casi periódicas sobre los complejos. La
topoloǵıa de Böhr lleva su nombre, pues, una de las maneras de definirla está rela-
cionada con la compactificación de Böhr, compactificación que permite identificar
las funciones periódicas de una estructura con funciones continuas de esa estructura
a la compactificación ([4], [5]).
Hay varias definiciones equivalentes de la topoloǵıa y compactificación de Böhr
que nacen al trabajar con diferentes clases de estructuras (grupos abelianos, grupos
no-abelianos, anillos,...). Para dar una perspectiva de lo que puede llegar a involu-
crar la topoloǵıa de Böhr, vamos a enunciar dos definiciones que aplican para grupos
abelianos -pues con ellos vamos a trabajar- y daremos razones de por qué son equi-
valentes. Una de las definiciones aplica también para otras estructuras -más o menos
complejas que los grupos-, tales como anillos, campos, grupos no abelianos. Dicho
esto, empecemos con la primera definición.
Si G es un grupo topológico y S1 ⊆ C es el ćırculo unitario, la primera definición
que vamos a dar de la topoloǵıa de Böhr en G, es la de la topoloǵıa menos fina que
hace todos los homomorfismos de G a S1 continuos; viendo a S1 como un subespacio
topológico de los complejos C con su topoloǵıa Euclidiana. Escribimos G] para
referirnos al grupo topológico G equipado con la topoloǵıa de Böhr.
Aunque esta definición puede ser entendible, deja preguntas en el aire como: ¿por
qué tomar los homomorfismos a S1 y no a otro grupo? Vamos -basados en [0]- a dar
una segunda definición de la topoloǵıa de Böhr que requiere de más definiciones,
pero que responde en cierta medida la anterior pegunta.
Una estructura topológica sobre un lenguaje L es un par (Ω, τ), en donde Ω
es una L-estructura, es decir, Ω está formado por un conjunto no vaćıo O junto con
interpretaciones para cada śımbolo de función, relación, o constante que haya en L;
y τ es una topoloǵıa en O que cumple ciertas condiciones para las interpretaciones
de śımbolos de funciones y relaciones de L. Como las estructuras con las que vamos
a trabajar son grupos, necesitamos que τ haga continua a cada interpretación de
un śımbolo de función de L y no necesitamos que cumpla ninguna condición con
respecto a las interpretaciones de śımbolos de relación de L; mejor aún, podemos
asumir que L no tiene ningun śımbolo de relación.
A manera de ejemplo, supongamos que L es un lenguaje con dos funciones bina-
rias, una uno-aria y dos constantes; entonces, una L-estructura podŕıa ser cualquier
anillo, pues, las interpretaciones de las funciones binarias, uno-aria y de las cons-
tantes, son respectivamente las dos operaciones del anillo, la inversa de una de ellas
y el elemento neutro de cada operación. Para que fuera una estructura topológica
debeŕıamos añadirle una topoloǵıa al anillo que haga tanto a las operaciones del
anillo como a la inversa, continuas y aśı, terminar con un anillo topológico.
Si (Ω, τ) es una L-estructura topológica, una compactificación de (Ω, τ) es un
4
par (S, γ) donde S (la letra gótica S) es una L-estructura topológica, S es compacto
y de Hausdorff y γ : O → S es un homomorfismo continuo tal que γ(O) es un
subconjunto denso de S.
Teniendo la definición de compactificación, vamos ahora a definir un orden par-
cial (6) en las compactificaciones de una estructura topológica fija de la siguiente
manera.
Si (Ω, τ) es una L-estructura topológica y (S, γ), (Z, µ) dos de sus compactifica-
ciones, definimos primero la siguiente relación
(S, γ) ∼ (Z, µ)
si existe un homomorfismo continuo Υ : Z → S tal que haga el conmutar siguiente
diagrama.
O
µ //
γ
��
Z
S
��
Υ
Podemos decir entonces, que, Υ es único: si no lo fuera, habŕıa dos funciones
continuas que harian conmutarel diagrama anterior, y que coincidiŕıan en µ(O);
pero como µ(O) es denso en Z y los espacios son de Hausdorff, las funciones seŕıan
iguales en todo Z; también podemos afirmar que Υ es sobreyectivo; esto se debe a
que como Υ es continua y Z es compacto, Υ(Z) es un subconjunto compacto de S,
además S es de Hausdorff luego Υ(Z) es cerrado en S; como γ(O) = Υ(µ(O)) es un
subconjunto denso de S, Υ(µ(O)) ⊆ Υ(Z) y Υ(Z) es cerrado, entonces, Υ(Z) = S.
Esta relación (∼) en las compactificaciones de una L-estructura topológica, im-
plica una relación en las topoloǵıas inducidas por cada compactificación:
si (S, γ) ∼ (Z, µ) =⇒ τγ ⊆ τµ
donde τγ, τµ son las topoloǵıas menos finas en O, que hacen continuos los homo-
morfismos γ y µ respectivamente. Si llegara a pasar que (Z, µ) ∼ (S, γ) ∼ (Z, µ)
podemos decir que hay un isomorfismo continuo entre Z y S, por lo que podemos
pensar en estas compactificaciones como equivalentes y hacer el cociente de las com-
pactificaciones de una L-estructura topológica por la relación ∼. En este conjunto
podemos definir un orden parcial 6 de la misma forma que la relación ∼, pero que
compara clases de equivalencia de compactificaciones en vez de compactificaciones.
Denotamos la clase de equivalencia de una compactificación (Z, µ) como [(Z, µ)].
Si formamos un ret́ıculo a partir de este orden 6 y lo llamamos R(Ω, τ), tenemos
que este ret́ıculo es completo, es decir, cualquier subconjunto tiene tanto un su-
premo o mı́nima cota superior
∨
(en inglés join), como un ı́nfimo o máxima cota
inferior
∧
(en inglés meet). Veamos:
Si {[(Zi, µi)]}i∈I son compactificaciones de (Ω, τ), tomemos µ : O →
∏
i∈I
Zi defi-
nido naturalmente coordenada a coordenada por cada µi. Si dotamos a
∏
i∈I
Zi de la
topoloǵıa producto τprod, tenemos que µ es un continua; además, tenemos que µ(O)
5
es denso en µ(O). Definimos para cada śımbolo de función n-aria f ∈ L su interpre-
tación fZ en
∏
i∈I
Zi como f
Z(z0, . . . , zn−1) =
∏
i∈I
fZi(z0i , . . . , z
n−1
i ) con z
i =
∏
j∈I
zij; de
igual manera definimos una interpretación en
∏
i∈I
Zi para los śımbolos de constantes
en L; con esto, tenemos que
∏
i∈I
Zi es una L-estructura y que µ es un homomorfismo.
Tomemos Z := µ(O), entonces Z := (Σ, τZprod) es una L-estructura topológica, donde
τZprod es la topoloǵıa de subespacio en Z, Σ es una L-estructura y Z su universo.
Como
∏
i∈I
Zi es compacto y de Hausdorff, y, Z es cerrado, entonces Z es compacto
y de Hausdorff, luego (Z, µ) es una compactificación de (Ω, τ); más aún, [(Z, µ)] es
el supremo de {[(Zi, µi)]}i∈I , [(Z, µ)] =
∨
{[(Zi, µi)]}i∈I . La construcción del ı́nfimo
es similar pero se toma el supremo de las compactificaciones menores.
Tenemos entonces que R(Ω, τ) es completo y por lo tanto acotado luego tiene un
mı́nimo y un máximo elemento. Su máximo elemento es la llamada compactifica-
ción de Böhr que denotamos por (bΩ,Θ); aqúı, la función Θ : O → bΩ induce una
topoloǵıa, τΘ, topoloǵıa mejor conocida como la topoloǵıa de Böhr de (Ω, τ).
Veamos ahora, por qué, en el caso de los grupos abelianos, las dos definiciones son
equivalentes.
Decimos que una clase K de L-estructuras topológicas compactas y de Hausdorff
es adecuada para una L-estructura topológica compacta y de Hausdorff Ω, si y
solamente si, separa puntos; es decir, para cada x, y ∈ O, x 6= y, existe un elemento
de D ∈ K y un homomorfismo continuo ϕ : Ω → D tales que ϕ(x) 6= ϕ(y). Si Ω
es solamente una L-estructura topológica, decimos que K es adecuada para Ω, si y
solamente si, K es adecuada para bΩ.
El siguiente lema ([0]), de mucho trasfondo -como la definición anterior- nos va a
dar la clave para la conexión de las dos definiciones.
Lema 1.1 Si K es una clase de L-estructuras topológicas compactas y de Hausdorff
adecuada para una estructura topológica Ω y {ϕβ}β<κ los posibles homomorfismos
continuos de O a un elemento Dβ de K -es posible que Dβ0 = Dβ1 aún si β0 6= β1-.
Si Φ : O →
∏
β
Dβ definida naturalmente coordenada a coordenada y D = Φ(O),
entonces,
(D,Φ) = (bΩ,Θ).
Argumentos de la teoŕıa de representaciones de grupos compactos nos dicen que
el conjunto U(1) de las matrices unitarias de complejos de 1 × 1 es adecuado para
cualquier grupo abeliano; pero como S1 se puede identificar fácilmente con U(1) y
viceversa, entonces por el lema anterior, la topoloǵıa de Böhr de un grupo abeliano
se construye a partir de los homomorfismos continuos del grupo a S1. He aqúı la
coincidencia de las dos definiciones.
6
2. Los enteros y la topoloǵıa de Böhr
Después de haber dado las dos definiciones de la topoloǵıa de Böhr, enfoquémonos
en la pregunta de van Douwen de 1986, sobre la topoloǵıa de Böhr de dos grupos
abelianos del mismo tamaño. Empecemos por hablar de un problema aún abierto:
¿es Z] ∼= Q]?, es decir, ¿es el conjunto de los número enteros Z dotado de la topoloǵıa
de Böhr homeomorfo al conjunto de los números racionales Q dotado de la topoloǵıa
de Böhr?
Con esta motivación y resaltando que (Z,+) y (Q,+) son dos grupos abelianos,
estudiemos un poco los homomorfismos de Z a S1.
Sabemos que (Z,+) es generado por 1 como grupo, entonces cualquier homo-
morfismo η : Z → S1 está completamente determinado por la imagen de 1. Ahora
veamos que la imagen de η sea densa o no en S1 depende de la imágen de 1.
Si η : Z → S1 es un homomorfismo tal que η(1) = eiα, tenemos los siguientes
casos:
π
α
∈ Q:
Si
π
α
=
a
b
con a ∈ Z, b > 0 entonces α = bπ
a
. En este caso la imágen de η,
tendŕıa tamaño a lo más 2a; lo cual dependeŕıa de si a y b son pares o no, y de
si uno es múltipo del otro. Como la imágen de η es finita, no es densa en S1,
y la preimágen de cada punto de la imágen son las clases de equivalencia de
Z/aZ o Z/2aZ -según el caso-, estos seŕıan subbásicos de la topoloǵıa generada
por η y por ende de la topoloǵıa de Böhr de Z.
π
α
∈ R \Q:
Si
π
α
∈ R \ Q, usamos el algoritmo de la división: 2π = n0α + δ0 con 0 <
δ0 < α, (δ0 6= 0 porque fuera igual a cero, pasaŕıa que
π
α
∈ Q, lo cual es una
contradicción). Entonces
2π
α
= n0 +
δ0
α
y como
2π
α
∈ R\Q entonces δ0
α
∈ R\Q.
Repetimos el algoritmo:
α = n1δ0 + δ1 con 0 < δ1 < δ0 luego
δ1
δ0
∈ R \Q.
δ0 = n2δ1 + δ2 con 0 < δ2 < δ1 luego
δ2
δ1
∈ R \Q.
δ1 = n3δ2 + δ3 con 0 < δ3 < δ2 luego
δ3
δ2
∈ R \Q.
δ2 = n4δ3 + δ4 con 0 < δ4 < δ3 luego
δ4
δ3
∈ R \Q.
δ3 = n5δ4 + δ5 con 0 < δ5 < δ4 luego
δ5
δ4
∈ R \Q.
Y aśı sucesivamente.
7
Obtenemos entonces una sucesión infinita de puntos diferentes {δm}m∈ω de S1
en la imágen de η. Para probar que la imágen de η es densa en S1, basta probar
que δm → 0 cuando m → ∞, y para esto, es suficiente probar que para cada
número natural m se tiene que δm+2 <
1
2
δm:
Supongamos por contradicción que existe m fijo tal que
1
2
δm 6 δm+2 =⇒ δm 6 2δm+2,
pero por construcción sabemos que δm+2 < δm+1 y 1 6 nm+2, lo que implica
que δm+2 < nm+2δm+1. Al mismo tiempo sabemos que δm = nm+2δm+1 + δm+2,
entonces tendŕıamos que
δm 6 2δm+2 < nm+2δm+1 + δm+2 = δm,
, lo cual es una contradicción.
Hemos probado aśı que si
π
α
∈ R\Q entonces la imagen de η es un subconjunto
denso de S1.
Para estudiar la topoloǵıa de Böhr de Z, se deben estudiar sus subbásicos, de
los cuales como ya hemos visto, hay dos clases: los que están determinados
por homomorfismos que mandan a 1 a eiα con α =
a
b
π con a, b ∈ Z que son
precisamente las clases de equivalencia de Z/aZ o Z/2aZ dependiendo del caso,
y, los que están determinados por el resto de homomorfismos, los que mandan
a 1 a eiα con α un múltipo irracional de π. Éstos últimos son más complejos
porque su imagen es densa, lo cual dificulta conocer exactamente cuáles de sus
elementos pertenecen a cierto abierto arbitrario, y por ende no es claro quién
está en su preimagen S1.
Si nos referimos ahora a la topoloǵıa de Böhr deQ, debido a que cualquier núme-
ro racional se puede conseguir a partir de números enteros, los homomorfismos
que generan los subbásicos dela topoloǵıa de Böhr de Q están univocamente
determinados por la imágen de 1, sin embargo, no olvidemos que eso no quie-
re decir que (Q,+) como grupo aditivo es generado por 1. Si se logra entonces
desifrar todos los subbásicos de Z], éstos nos daŕıan alguna pista de los subbási-
cos de Q] y tal vez de si hay posibilidad de que Z] y Q] sean homeomorfos.
Otra manera de aproximarse al problema de encontrar los subbásicos de Q]
seŕıa pensar en el siguiente homomorfismo y en la topoloǵıa más gruesa que lo
hace continuo:
η : Z→ S1 × S1
1 7→ (eiα, eiβ)
8
con α y β múltiplos irracionales de π. ¿Qué pasa si α
β
∈ Q? ¿Qué pasa si
no? Notemos que si estudiamos los subbásicos de la topoloǵıa más gruesa que
hace continuo a η, estamos estudiando los subbásicos de la topoloǵıa de Böhr
de Z, pues ésta termina siendo la topoloǵıa más gruesa que hace continuo el
homomorfismo:
% : Z→
∏
α∈ω1
S1
1 7→
∏
α∈ω1
eiα.
Parte III
Sobre Vp y V]p
3. Definiciones y propiedades
Empecemos a hora a estudiar la topoloǵıa de Böhr de los grupos del art́ıculo de
Kunen ([1]).
Con el ánimo de entender la manera en que Kunen llego al resultado no homeo-
forfismo, comencemos por familiarizarnos con Vp para p un número primo, y por
reconocer algunas caracteŕısticas de su topoloǵıa de Böhr.
Si κ es un cardinal y p un primo, definimos Vκp como la suma directa de κ copias
de Zp con Zp := Z/pZ. Escribimos Vp cuando κ = ℵ0. Notemos que (Vp,+) es un
grupo abeliano, más aún, Vp es un espacio vectorial de dimensión ℵ0 sobre el campo
finito Zp. Denotamos la base canónica de Vp como {eα}α<ω donde e0 := (1, 0, 0, . . .),
e1 := (0, 1, 0, 0, . . .),... eα := (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), es el vector que tiene un uno en
su entrada (α + 1)-ésima y ceros en las demás; es claro entonces, que cualquier
elemento de Vp se puede escribir de manera única como combinación lineal de
finitos elementos de {eα}α<ω.
Según D. Dikranjan [3], fueron K.P. Hart y van Mill en [2] quienes tuvieron
la idea de usar éste tipo de grupos, quizás debido a que para cualquier par de
primos p y q, podemos construir biyecciones entre Vp y Vq, es decir, cumplen
la hipótesis de la pregunta de van Douwen. Además, son un buen ejemplo para
confrontar esta pregunta pues como lo vamos a ver, la imágen de cualquier
homomorfismo de Vp a S1 es finita, lo que los hace más manejables.
Ahora, para adentrarnos a entender un poco de V]p, hablemos de los homo-
morfismos de Vp a S1:
Sea ϕ : Vp → S1 un homorfismo de grupos. Como Zp es de caracteŕıstica p,
9
para cada ~v ∈ Vp tenemos que p~v = ~0, y como ϕ(~0) = ei0, lo siguiente es cierto:
ei0 = ϕ(~0) = ϕ(p~v) = (ϕ(~v))p = (eiα)p = eipα
para algún α ∈ [0, 2π[.
De esta igualdad conclúımos que pα = 2πk para algún k > 0, luego α = 2πk
p
;
notemos que eiα es una ráız p-ésima de la unidad. Al suponer que ϕ(~v) = eiα -ϕ
arbitrario- obtenemos que α = 2πk
p
, es decir, la imágen de cualquier homomorfismo
de Vp a S1 está contenida en el subgrupo de S1 de las p-ésimas ráıces de la unidad
fp = {ei
2πk
p : 0 6 k < p}; más aún, la imagen es un subgrupo de éste (los únicos
subgrupos posibles son el trivial {0} o todo el grupo fp). Cómo fp es isomorfo a
Zp, hay una copia idéntica de la imágen de cada homomorfismo de Vp a S1 en Zp,
lo que implica que si queremos estudiar los homomorfismos de Vp a S1, es necesario
y suficiente estudiar los homomorfismos de Vp a Zp.
Los homomorfismos de Vp a Zp están completamente determinados por la imágen
de un conjunto de generadores -como grupo- de Vp. Notemos que por estar traba-
jando en un espacio vectorial sobre un campo finito, cualquier base de Vp forma un
conjunto de generadores para Vp.
Veamos ahora un ejemplo que es útil para entender cuáles homomorfismos -porque
no son todos- son necesarios para generar la topoloǵıa de Böhr de un grupo, o en
otras palabras, cuáles homomorfismos son necesarios y suficientes para construir
subbases de la topoloǵıa de Böhr.
Ejemplo 3.1 Pensemos en (Z3×Z3)], es decir en la topoloǵıa que hace continuos a
todos los homomorfismos de Z3×Z3 a S1 o lo que es lo mismo, a los homomorfismos
de Z3 × Z3 a Z3. Debemos aclarar que estamos dotando a Z3 de la topoloǵıa
discreta porque estamos viendo a Z3 ∼= f3 como subespacio de S1 y S1 tiene
la topoloǵıa de subespacio heredada de la topoloǵıa usual de C en dónde f3 es
discreto. Examinemos los homomorfismos y las topoloǵıas que los hacen continuos:
ϕ0 : Z3 × Z3 → Z3
(0, 1) 7→ 1
(1, 0) 7→ 1
ϕ−10 (0) = {(0, 0), (1, 2), (2, 1)}
ϕ−10 (1) = {(0, 1), (1, 0), (2, 2)}
ϕ−10 (2) = {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}
ϕ1 : Z3 × Z3 → Z3
(0, 1) 7→ 2
(1, 0) 7→ 2
ϕ−11 (0) = {(0, 0), (1, 2), (2, 1)}
ϕ−11 (1) = {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}
ϕ−11 (2) = {(0, 1), (1, 0), (2, 2)}
ϕ2 : Z3 × Z3 → Z3
(0, 1) 7→ 0
(1, 0) 7→ 1
ϕ−12 (0) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2)}
ϕ−12 (1) = {(1, 0), (1, 1), (1, 2)}
ϕ−12 (2) = {(2, 0), (2, 1), (2, 2)}
10
ϕ3 : Z3 × Z3 → Z3
(0, 1) 7→ 1
(1, 0) 7→ 0
ϕ−13 (0) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
ϕ−13 (1) = {(0, 1), (1, 1), (2, 1)}
ϕ−13 (2) = {(0, 2), (1, 2), (2, 2)}
ϕ4 : Z3 × Z3 → Z3
(0, 1) 7→ 0
(1, 0) 7→ 2
ϕ−14 (0) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2)}
ϕ−14 (1) = {(2, 0), (2, 1), (2, 2)}
ϕ−14 (2) = {(1, 0), (1, 1), (1, 2)}
ϕ5 : Z3 × Z3 → Z3
(0, 1) 7→ 1
(1, 0) 7→ 2
ϕ−15 (0) = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}
ϕ−15 (1) = {(0, 1), (1, 2), (2, 0)}
ϕ−15 (2) = {(0, 2), (1, 0), (2, 1)}
Si nos fijamos con cuidado en el ejemplo podemos ver que
ϕ−1j (k) = {~c ∈ Z3 × Z3 : c0ϕj(e0) + c1ϕj(e1) ≡ k (mod 3)}
para cada homomorfismo ϕj, j < 6. Además {ϕ−1j (k)}k62 es una subbase de la
topoloǵıa en Z3×Z3 que hace continuo a ϕj. Son todas estas subbases las que generan
la topoloǵıa de Böhr en Z3×Z3; sin embargo, si miramos el ejemplo, ϕ0 y ϕ1 , ϕ2 y
ϕ4 definen los mismos abiertos es decir, la misma subbase; entonces, podemos decir
que si ϕi = kϕj para algún k ∈ Z3, j 6= i, ϕi y ϕj generan los mismos abiertos, luego
sólo necesitamos concentraramos en alguno de los dos en el momento de construir
la topoloǵıa de Böhr. También podemos pensar que cualquier homomorfismo es una
combinación lineal de ϕ2 y ϕ3, por ejemplo algo como ϕ5 = 2ϕ2 + ϕ3.
Del ejemplo anterior podemos generalizar que:
Si ϕ : Vp → Zp es un homomorfismo
ϕ−1(k) = {~c ∈ Vp :
∑
i∈ω
ciϕ(ei) ≡ k (mod p)}.
Para un número k < p fijo y un ϕ ∈ Hom(Vp,Zp) fijo, el conjunto de Nkϕ := {ϕ−1(k)}
es un subbásico para V]p y como la topoloǵıa en Zp es discreta, Nkϕ es clopen en V]p.
Vemos que un conjunto de homomorfismos con potencial para ser importante
-especial- para nuestro problema, es el de los homomorfismos de Vp → Zp que
mandan a ciertos elementos de {eα}α<ω a 1 y al resto a 0. Lo anterior se debe a
que cualquier homomorfismo se puede ver como una combinación lineal de éstos,
como se mostró en el ejemplo. Dicho esto, podemos centrarnos únicamente en los
subbásicos generados por los homomorfismos “especiales”, para los cuales podemos
escribir:
Nkϕ = {~c ∈ Vp :
∑
i∈I ci ≡ k (mod p)},
11
esto se debe a que
ϕ(eα) =
{
1 si α ∈ I
0 si α /∈ I
para algún I ⊆ ω. Notemos que este subconjunto de la subbase natural para V]p
depende solamente de homomorfismos que se pueden determinar al escoger un sub-
conjunto I de ω, es decir, este subconjunto de la subbase natural depende únicamente
de los subconjuntos de ω; es por eso que lo podemos escribir más adecuadamente
como
MkI := {~c ∈ Vp :
∑
i∈I
ci ≡ k (mod p)}.
Probemos que en realidad los MkI ’s forman una subbase para V]p.
Lema 3.1 El conjunto {MkI : k ∈ Zp y I ⊆ ω} es una subbase de clopens para V]p.
Prueba Para cada I ⊆ ω, MkI es clopen pues MkI = Nkψ con
ψ(eα) =
{
1 si α ∈ I
0 si α /∈ I
.
Sea ϕ ∈ Hom(Vp,Zp), k ∈ Zp, y ~c ∈ Nkϕ, llamemos Ij := {α ∈ ω : ϕ(eα) = j} para
j ∈ Zp y
ϕIj(eα) :=
{
1 si α ∈ Ij
0 si α /∈ Ij
.
Para cada j ∈ Zp, se tiene que ~c ∈M
ϕIj (~c)
Ij
, esto por la definición de ϕIj ; entonces
~c ∈
⋂
j∈ZpM
ϕIj (~c)
Ij
. Probemos ahora que
⋂
j∈ZpM
ϕIj (~c)
Ij
⊆ Nkϕ:
12
Sea ~m ∈
⋂
j∈Zp
M
ϕIj (~c)
Ij
=⇒ ~m ∈M
ϕIj (~c)
Ij
paracada j ∈ Zp
=⇒
∑
α∈Ij
mα ≡ ϕIj(~c) (mod p), pero ϕIj(~c) =
∑
α∈Ij
cα
=⇒
∑
α∈Ij
mα ≡
∑
α∈Ij
cα (mod p) para cada j ∈ Zp
=⇒
∑
α∈Ij
mαj ≡
∑
α∈Ij
cαj (mod p) y como ϕ(eα) = j para cada α ∈ Ij
=⇒
∑
α∈Ij
mαϕ(eα) ≡
∑
α∈Ij
cαϕ(eα) (mod p).
Pero ω = I0 t ... t Ip−1 y lo anterior se cumple para todo j ∈ Zp
=⇒
∑
α∈ω
mαϕ(eα) ≡
∑
α∈ω
cαϕ(eα) (mod p) y como ~c ∈ Nkϕ
=⇒
∑
α∈ω
cαϕ(eα) ≡ k (mod p)
=⇒
∑
α∈ω
mαϕ(eα) ≡ k (mod p)
=⇒ ~m ∈ Nkϕ como queŕıamos.
N
Sabiendo que los MkI ’s forman una subbase de clopens V]p, tenemos que el conjun-
to de intersecciones finitas de M0I ’s forman una base alrededor de ~0 en V]p. Ahora,
si ~0 ∈ M0I0 ∩ · · · ∩M
0
In
es un básico alrededor de ~0, los Ii no son necesariamente
disjuntos ni tampoco cubren a ω, sin embargo, a partir de ellos podŕıamos formar
una partición P de ω en finitos pedazos y un básico alrededor de ~0 que dependa
de P y esté contenido en el básico original. La partición P -sus pedazos- se puede
construir tomando las intersecciones de cualquier posible combinación de los Ij’s y
sus complementos. Hecho esto, tendŕıamos que ~0 ∈M0P0∩· · ·∩M
0
Pm
⊆M0I0∩· · ·∩M
0
In
y como para cualquier partición ω = Q0 t · · · tQr tenemos que M0Q0 ∩ · · · ∩M
0
Qr
es
un básico, las particiones de ω determinan una base de clopens alrededor de ~0 en
V]p, escribimos M(Q) := M0Q0 ∩ · · · ∩M
0
Qr
.
La prueba de Kunen en [1] utiliza sucesiones en espacios vetoriales indexadas por
subconjuntos finitos de ω, con esto en mente, lo siguiente se vuelve interesante e
importante.
Denotamos como [ω]<ω, al conjunto de subconjuntos finitos de ω y como [ω]k al
conjunto de subconjuntos de tamaño k de ω. Vamos ahora, a definir una inyección
entre [ω]<ω y Vp y vamos a llamar τp a la topoloǵıa menos fina en [ω]<ω que hace
continua a esa función con respecto a V]p. Lo anterior nos asegura que hay una copia
13
-topológicamente- idéntica a ([ω]<ω, τp) en V]p. Definamos la función:
Λ : [ω]<ω → Vp
∅ 7→ ~0
s 7→ es =
∑
α∈s
eα.
Claramente Λ es inyectiva pues Λ(s) es el vector que tiene ceros en todas partes
menos en las entradas que sean elementos de s, en donde tiene unos. Además como
Λ(∅) = ~0, entonces una base de clopens alrededor de ∅ en τp seŕıa precisamente las
preimágenes de los M(P )’s para cada partición P de ω en finitos pedazos:
Λ−1(M(P )) = {s ∈ [ω]<ω : |s ∩ Pi| ≡ 0 (mod p)}.
Llamemos T (P ) := Λ−1(M(P )) y T kI := Λ
−1(MkI ).
Notemos que cuando p = 2, Λ : ([ω]<ω,4) → (V2,+), -donde 4 denota la
diferencia simétrica entre conjuntos- es un isomorfismo de grupos, entonces, τ2 es
([ω]<ω)].
Ahora, probemos algunos resultados concernientes a [ω]<ω y su topoloǵıa τp.
Lema 3.2 Para cada s ∈ [ω]<ω, el conjunto {t ∈ [ω]<ω : s ⊆ t} es clopen en τp.
Prueba Sea s ∈ [ω]<ω, s = {s0, s1, . . . , sn} para algún n ∈ ω, entonces
{t ∈ [ω]<ω : s ⊆ t} = T 1{s0} ∩ T
1
{s1} ∩ · · · ∩ T
1
{sn}.
Notemos que la parte derecha de la igualdad es un clopen de τp, luego si probamos
esta igualdad tendŕıamos lo que queremos. Probemos la igualdad:
Para t ∈ [ω]<ω : s ⊆ t⇐⇒ s0, s1, . . . , sn ∈ t
⇐⇒ |t ∩ {si}| = 1 para cada i 6 n
⇐⇒ t ∈ T 1{s0} ∩ T
1
{s1} ∩ · · · ∩ T
1
{sn}
N
Si nos fijamos bien, lo que hicimos en la prueba del lema anterior fue construir
un básico T := T 1{s1} ∩ · · · ∩ T
1
{sn} tal que cualquiera de sus elementos tiene como
subconjunto a s; luego s es el único elemento de T de tamaño n + 1. Lo anterior
nos lleva a concluir que para k > 0, [ω]k es relativamente discreto en τp, es decir, la
topoloǵıa de subespacio de [ω]k es discreta.
El siguiente resultado se debe a van Mill y Hart [2] y es esencial para la prueba
del no homeomorfismo.
Lema 3.3 Para k, p ∈ ω, p primo, ∅ está en la clausura de [ω]k si y sólo si p|k.
Prueba “⇒” Como ∅ está en la clausura de [ω]k, para cualquier partición P de
ω, si ∅ ∈ T (P ), entonces, T (P ) ∩ [ω]k 6= ∅. En particular, si P = {ω}, ∅ ∈ T (P )
entonces T (P ) ∩ [ω]k 6= ∅. Sea s ∈ T (P ) ∩ [ω]k, entonces |s ∩ Pi| ≡ 0 (mod p) pero
14
Pi = ω entonces |s ∩ ω| = |s| ≡ 0 (mod p) entonces p||s| y como s ∈ [ω]k, |s| = k
entonces tenemos que p|k.
“⇐” Sea P una partición de ω tal que T (P ) es un básico alrededor de ∅. Como P
es una partición finita de ω, entonces existe un pedazo Pi infinito. Tomamos s ∈ Pi
de tamaño k, es decir, s ∈ [ω]k y como p|k entonces s ∈ T (P ). Como T (P ) era
arbitrario tenemos que ∅ está en la clausura de [ω]k.
N
Parte IV
Ultrafiltros y ultrapotencias de
espacios vectoriales
Para entender los argumentos de la prueba del no homeomorfismo entre V]q y V]p
para p, q dos primos diferentes, debemos también estudiar conceptos claves sobre
ultafiltros y ultrapotencias de espacios vectoriales, como las siguientes definiciones
y teoremas.
4. Filtros, ultrafiltros y ultrafiltros de Ramsey
Definición 4.1 Si X es un conjunto, un filtro F sobre X es un subconjunto del
conjunto potencia de X que cumple las siguientes condiciones:
(a) ∅ /∈ F y X ∈ F ,
(b) Si A,B ∈ F entonces A ∩B ∈ F ,
(c) Si A ∈ F y A ⊆ B entonces B ∈ F .
Decimos que un filtro sobre X es principal si la intersección de todos sus ele-
mentos es un subconjunto no vaćıo de X. Siguiendo esta idea, para cada A ⊆ X,
A 6= ∅, definimos
FA := {B ⊆ X : A ⊆ B}
como el filtro principal generado por A. Un filtro F es no principal si F 6= FA para
cada A ⊆ X.
Ejemplos 4.1 1. Si X es finito y F es un filtro sobre X, entonces F es principal;
esto se debe a que |F | 6 2|X|, es decir, F tiene finitos elementos. Como F es
un filtro, la intersección A de todos sus elementos debe pertenecer a F , luego
A no puede ser vaćıa, entonces F = FA.
2. Si X es infinito, F := {S ⊆ X : Sc es finito} es un filtro no principal sobre X,
pues si fuera principal F = FA para algún A ⊆ X, es decir, todos los elementos
de F contendŕıan a A. Si tomamos B ∈ F , y consideramos B \ {a} para algún
a ∈ A, se nota que B \ {a} ∈ F pues (B \ {a})c es finito, pero A * B \ {a}, lo
que contradice que F sea principal.
15
De manera natural podemos definir un orden parcial (la contenencia) sobre los
filtros de un conjunto X; a sus elementos maximales se les llama ultrafiltros.
Definición 4.2 Si X es un conjunto, un ultrafiltro U sobre X es un filtro que
cumple la siguiente propiedad:
Para cada A ⊆ X se tiene que:
A ∈ U
ó
Ac ∈ U .
Debido a que ∅ = A ∩ Ac /∈ U , sólo puede darse una de las opciones anteriores.
Ahora, algunos hechos sobre filtros y ultrafiltros.
Lema 4.1 Si A := {Aα}α<κ es una colección no vaćıa de subconjuntos de X que
tiene la PIF (propiedad de intesecciones finitas), i.e Aα0 ∩Aα1 ∩ · · · ∩Aαi 6= ∅ para
cualesquiera α0, α1, . . . , αi < κ, entonces existe un filtro F sobre X -el mı́nimo- tal
que A ⊆ F .
Prueba Probemos que el conjunto
F := {A ⊆ X : Aα0 ∩ Aα1 ∩ · · · ∩ Aαi ⊆ A para algunos α0, α1, . . . , αi < κ}
es un filtro que contiene a A.
Claramente A ⊆ F .
Como A tiene la PIF entonces ∅ /∈ F y claramente X ∈ F .
Si A ∈ F entonces Aα0 ∩ Aα1 ∩ · · · ∩ Aαi ⊆ A para algunos α0, α1, . . . , αi < κ,
luego para cualquier B que contenga a A, se tiene que Aα0∩Aα1∩· · ·∩Aαi ⊆ B,
entonces, B ∈ F .
Si A,B ∈ F , entonces Aα0 ∩ Aα1 ∩ · · · ∩ Aαi ⊆ A, Aβ0 ∩ Aβ1 ∩ · · · ∩ Aβj ⊆ B
para algunos α0, α1, . . . , αi, β0, β1, . . . , βj < κ, entonces Aα0 ∩Aα1 ∩ · · · ∩Aαi ∩
Aβ0 ∩ Aβ1 ∩ · · · ∩ Aβj ⊆ A ∩B, entonces, A ∩B ∈ F .
N
Lema 4.2 Si {Fα}α<κ es una familia de filtros sobre un conjunto X tal que para
cada Fα, Fβ se tiene que Fα ⊆ Fβ ó que Fβ ⊆ Fα, entonces, ∪α<κFα es un filtro
sobre X.
Prueba Probemos que ∪α<κFα cumple las condiciones que cumplen los filtros:
Sabemos que ∅ /∈ ∪α<κFα porque ∅ /∈ Fα para cada α < κ. De la misma forma,
X ∈ ∪α<κFα pues X ∈ Fα para cada α < κ.
Si A ⊆ B y A ∈ ∪α<κFα, entonces, A ∈ Fα para algún α < κ. Como Fα es un
filtro, B ∈ Fα, entonces, B ∈ ∪α<κFα.
16
Si A,B ∈ ∪α<κFα, entonces, A ∈ Fα y B ∈ Fβ para algunos α, β < κ. Sin
perder generalidad, supongamos que Fα ⊆ Fβ, luego A ∈ Fβ y como Fβ es un
filtro, A ∩B ∈ Fβ, entonces, A ∩B ∈ ∪α<κFα.
Entonces ∪α<κFα es un filtro sobre X.
NUsemos este lema para probar el siguiente.
Lema 4.3 Cualquier filtro F sobre un conjunto X se puede extender a un ultrafiltro
sobre X.
Prueba Sea A el conjunto de filtros sobre X que contienen a F ; A no es vaćıo
pues F ∈ A. La contenencia ⊆ de filtros define un orden parcial en A. Por el Lema
4.2 sabemos que cualquier cadena {Aα}α<κ de elementos de (A,⊆) está acotada
superiormente por ∪α<κAα, luego podemos usar el Lema de Zorn y obtener un filtro
maximal U de (A,⊆). Como U es un filtro maximal, U es un ultrafiltro sobre X y
F ∈ U , entonces, cualquier filtro F se puede extender a un ultrafiltro.
N
A continuación vamos a definir unos ultrafiltros sobre ω con propiedades particu-
lares:
Definición 4.3 Un ultrafiltro no principal U sobre ω es un p-punto si dada una
partición {Pi : i < ω} de ω donde Pi /∈ U para cada i < ω, existe A ∈ U tal que
|A ∩ Pi| < ω para cada i < ω.
Otra manera -entre muchas- de caracterizar un ultrafiltro U p-punto, es diciendo
que para cualquier función f : ω → ω existe A ∈ U tal que f � A es constante o
finito-a-uno.
Si en la primera parte de la Definición 4.3 cambiamos la última desigualdad por
|A ∩ Pi| 6 1 y en la segunda cambiamos la última parte por f � A es constante o
uno-a-uno, obtenemos lo que se conoce como un ultrafiltro selectivo sobre ω. Estos
ultrafiltros son relevantes, pues son equivalentes a los ultrafiltros de Ramsey, los
cuales vamos a usar para llegar al resultado del no homeomorfismo.
Definición 4.4 Un ultrafiltro Ψ sobre ω es de Ramsey si es no principal y para
cada k, n < ω y cada coloreo P : [ω]n → k tiene un conjunto homogeneo en Ψ, es
decir, existe A ∈ Ψ tal que P � [A]n es constante.
El siguiente lema es útil en la medida en que la definición de ultrafiltros selectivos
es menos compleja o por lo menos diferente a la de los ultrafiltros de Ramsey lo cual
puede ser de ayuda en ciertas circunstancias; además de esto la equivalencia no es
trivial luego vale la pena resaltarla. Aunque no vamos a probarla aqúı, en ([7]) se
muestra no solo ésta sino otras equivalencias de ser ultrafiltro de Ramsey.
Lema 4.4 Si U es un ultrafiltro no principal sobre ω:
17
U es de Ramsey ←→ U es selectivo.
Algo interesante de éstos ultrafiltros, es que su existencia no se deriva de ZFC, es
decir, hay modelos de ZFC en donde no existen ultrafiltros de Ramsey y el primero
en construir uno fue Kunen; una idea general de la construcción puede encontrarse
en [6]. También, aunque la propiedad de los p-puntos es menos fuerte que la de
Ramsey, un resultado de Shelah [6] afirma que hay modelos de ZFC en donde no
existen ultrafiltros p-punto. Sin embargo, si asumimos como cierta la hipótesis del
continuo, es posible construir ultrafiltros de Ramsey -y por ende ultafitros p-punto-
como lo mostraremos más adelante. Por ahora vamos a dar el enunciado de un gran
teorema demostrado por Ramsey, por el cual es claro el nombre de los ultrafiltros
definidos anteriormente.
Teorema 4.5 (Teorema de Ramsey)
Si A es un conjunto infinito, para cada n, k ∈ ω y todo coloreo P : [A]n → k existe
un subconjunto infinito homogeneo B ⊆ A, esto es P � B es constante.
Este teorema junto con su prueba son muy especiales pues son la base de muchas
ramas de investigación y recomendamos al lector -en lo posible- que se entusiasme
y profundice en ellos.
Necesitamos usar el Teorema de Ramsey y el siguiente lema para probar la exis-
tencia de ultrafiltros de Ramsey asumiendo la hipótesis del continuo.
Lema 4.6 Si {An : n ∈ ω} es un colección de subconjuntos infinitos de ω que tiene
la PIFF (propiedad de intesecciones finitas fuerte), i.e. An0 ∩ An1 ∩ · · · ∩ Ani
es un conjunto infinito para cualesquiera n0, n1, . . . , ni ∈ ω, entonces, existe un
subconjunto B de ω infinito tal que B ⊆∗ An para cada n ∈ ω, donde ⊆∗ es la
contenencia modulo finitos elementos.
Prueba Vamos a construir recursivamente los elementos del subconjunto B del
enunciado y luego mostrar que śı se ajusta a las condiciones:
b0 := mı́n(A0 ∩ A1)
b1 := mı́n((A0 ∩ A1 ∩ A2) \ {b0})
b2 := mı́n((A0 ∩ A1 ∩ A2 ∩ A3) \ {b0, b1})
b3 := mı́n((A0 ∩ A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) \ {b0, b1, b2})
...
bn := mı́n((A0 ∩ A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An+1) \ {b0, b1, . . . , bn−1})
...
Luego B :=
⋃
i>0{bi}. Primero que todo, los bi’s están bien definidos -existen-
debido a que {An : n ∈ ω} tiene la PIFF, además, por construcción de B tenemos
que para cada n ∈ ω, bi ∈ An si i > n − 1, es decir, An contiene a B menos finitos
elementos de B ({b0, . . . , bn−2}), entonces, B ⊆∗ An, para cada n ∈ ω.
N
18
Teorema 4.7 Si asumimos la hipótesis del continuo (ℵ1 = 2ℵ0) entonces existen
ultrafiltros de Ramsey.
Prueba Por conteo sabemos que para cada n ∈ ω fijo existen ℵ0 subconjuntos de
ω de tamaño n, entonces, para cada k ∈ ω fijo deben existir kℵ0 = 2ℵ0 coloreos en
k colores de [ω]n, es decir, 2ℵ0 funciones P : [ω]n → k; llamemos Akn al conjunto de
estos coloreos. Como la unión enumerable de conjuntos de tamaño 2ℵ0 es un conjunto
de tamaño 2ℵ0 , tenemos que los coloreos finitos de subconjuntos finitos de naturales
son un conjunto C de tamaño 2ℵ0 , C = ∪k∈ω ∪n∈ω Akn. Como estamos asumiendo
como cierta la hipótesis del continuo 2ℵ0 = ℵ1, entonces, podemos construir un
conjunto P := {Pα : α < ω1} de tamaño ℵ1 de todos los coloreos de subconjuntos
finitos de ω en finitos colores. La idea de la prueba es construir una ω1-suceción
de conjuntos homogéneos (infinitos) y a partir de ella, construir el ultrafiltro de
Ramsey. La sucesión la construimos recursivamente:
Empezamos con X0 := ω, ahora tomamos P0 el primer coloreo en P . Por el
Teorema de Ramsey existe X1 subconjunto homogeneo de P0, y claramente X1 ⊆ X0.
Tomamos el segundo coloreo P1 en P y lo restringimos a X1. Por el Teorema de
Ramsey existe X2 subconjunto homogeneo de P1; y X2 ⊆ X1 ⊆ X0. Podemos seguir
construyendo Xi’s aplicando el Teorema de Ramsey a restricciones de coloreos de
P ; cuando llegamos a definir Xα donde α es un ordinal ĺımite debemos notar que,
{Xβ : β < α} es un conjunto enumerable de subconjuntos que tiene la PIFF (pues
si δ < ξ < α tenemos Xξ ⊆∗ Xδ), entonces, usando el Lema 4.6 existe un conjunto
infinito Xα tal que Xα ⊆∗ Xβ para cada β < α. Para definir Xα+1 aplicamos el
Teorema de Ramsey a Xα y al coloreo Pα, es decir, Xα+1 es homogéneo para este
coloreo. De esta manera obtenemos una ω1-sucesión {Xα : α < ω1} de subconjuntos
infinitos de ω que forman una cadena descendiente con respecto a ⊆∗, tales que para
cada coloreo de subconjuntos finitos de ω en finitos colores, tenemos un conjunto
homogéneo que pertenece a este conjunto. Como {Xα : α < ω1} no es un ultrafiltro
pero tiene la PIF , por el Lema 4.1 sabemos que a partir de él podemos construir
un filtro que lo contenga:
Φ := {X : X ⊇ Xα, para algún α < ω1}.
Por construcción Φ es un filtro. Gracias al Lema 4.3, sabemos que podemos exten-
derlo a un ultrafiltro Ψ de Ramsey.
N
En la construcción del ultrafiltro de Ramsey del teorema anterior, se puede ver
que no hay un único ultrafiltro de Ramsey, pues, no hay ningúna condición sobre
la manera en que se escoge el subconjunto homogéneo de cada partición; luego, si
una partición tiene más de un subconjunto homogéneo, podemos escoger a cual-
quiera de ellos para que pertenesca al filtro, sin embargo, cada posible escogencia
determina un ultrafiltro distinto. Dicho con un ejemplo, supongamos que el primer
coloreo P0 manda a los números impares a 1 y los números pares a 0, luego tenemos
dos posibilidades de conjuntos homogéneos para definir X1: los pares o los impa-
res; sin importar cual escojamos, podemos seguir la construcción del filtro, y, como
un ultrafiltro no puede tener simultáneamente a un conjunto y a su complemento,
19
aqúı tendŕıamos dos ultrafiltros de Ramsey distintos: uno que tiene al conjunto de
los pares y otro que tiene al de los impares.
Los ultrafiltros de Ramsey cumplen la condicion que se enuncia a continuación,
la cual vamos a usar en las siguientes secciones. Antes aclaremos algunas cosas: ω<ω
denotael conjunto de sucesiónes finitas de ω.
Un orden parcial natural en ω<ω está definido aśı:
Para s, t ∈ ω<ω
s v t⇐⇒ t = s
ó
t = 〈s0, . . . , sn, t0, . . . , tm〉 y s = 〈s0, . . . , sn〉 es decir,
s es un segmento incial de t.
Dicho esto, presentamos el siguiente lema enunciado por Kunen en su art́ıculo
([1]).
Lema 4.8 Si Ψ es un ultrafiltro de Ramsey y T es un subárbol no vaćıo de ω<ω tal
que para cada t ∈ T pasa que {β : tβ ∈ T} ∈ Ψ, entonces existe {αi : i ∈ ω} ∈ Ψ
con α0 < α1 < . . . y 〈α0, . . . , αn〉 ∈ T para cada n ∈ ω.
5. Ultraproductos y utrapotencias de espacios
vectoriales
Una vez definidos los ultrafiltros, podemos definir las ultrapotencias sobre estruc-
turas de primer orden.
Definición 5.1 Si {Mi : i ∈ I} es una familia de estructuras de primer orden, U
un ultrafiltro sobre el conjunto de ı́ndices I, definimos una relación de equivalencia
sobre el producto cartesiano
∏
i∈I
Mi:
a ∼ b←→ {i ∈ I : a(i) = b(i)} ∈ U.
Llamamos a
∏
i∈I
Mi/ ∼ el ultraproducto de {Mi : i ∈ I}. Se denota también como∏
i∈I
Mi/U .
Si Ri es una relación n-aria definida en Mi para cada i ∈ I, definimos una relación
n-aria R en
∏
i∈I
Mi/U aśı:
R([a0], [a1], . . . , [an])←→ {i ∈ I : Ri(ai0, ai1, . . . , ain)} ∈ U.
Si fi es una función n-aria definida en Mi para cada i ∈ I, definimos una función
n-aria f en
∏
i∈I
Mi/U aśı:
f([a0], [a1], . . . , [an]) = [(f0(a
0
0, a
0
1, . . . , a
0
n), f1(a
1
0, a
1
1, . . . , a
1
n), . . . , fi(a
i
0, a
i
1, . . . , a
i
n), . . .)].
20
Un ultraproducto en donde las estructuras son las mismas lo denominamos una
ultrapotencia de la estructura.
Si V es un espacio vectorial sobre un campo finito K, y Ψ es un ultrafiltro no
principal sobre ω, llamemos V̂ a la ultrapotencia Vω/Ψ y llamemos ultravectores
a los elementos de sus clases de equivalencia, es decir a los elementos de Vω. Como
K es finito, el producto por escalares en V no se tiene que definir como una función
aparte sino que está incluido en la suma. Gracias a esto V es una estructura de
primer orden y se puede usar el siguiente teorema que, establece relaciones entre las
estructuras y el ultraproducto mediante el ultrafiltro.
Teorema 5.1 (Teorema de Loś)
Una fórmula de primer orden es cierta en el ultraproducto, si y solamente si, el
conjunto de ı́ndices en donde esa fórmula es válida, está en el ultrafiltro. En otras
palabras:
Si {Mi : i ∈ I} es una familia de estructuras sobre el mismo lenguaje L, U un ul-
trafiltro sobre I, a0, a1, . . . , an ∈
∏
i∈I
Mi y γ una L-fórmula de primer orden, entonces
∏
i∈I
Mi/U |= γ([a0], [a1], . . . , [an])←→ {i ∈ I : Mi |= γ(ai0, ai1, . . . , ain)} ∈ U.
Si definimos la suma de elementos de V̂ coordenada a coordenada, tenemos que
V̂ es un espacio vectorial sobre K. Teniendo esto en cuenta, si identificamos a cada
~v ∈ V con la clase del ultravector (~v,~v,~v, . . .) ∈ V̂, tenemos un subespacio vectorial
de V̂, idéntico a V. Si abusamos de la notación, poniendo V cuando en realidad nos
referimos a la copia idéntica de V en V̂, tiene sentido la siguiente expresión: V̂/V.
Más adelante en la sección 8, vamos a estudiar algunas propiedades de V que se
mantienen en V̂/V y viceversa, y la manera en que lo hacen.
Parte V
Un poco de sucesiones
Como hemos venido diciendo, la prueba del no homeomorfismo entre V]p y V]q
usa sucesiones en espacios vetoriales indexadas por subconjuntos finitos de ω, pues,
parte de una función continua de ([ω]k, τp) a (Vq,V]q) con k = pn para n > 0 y
concluye que ésta no puede ser inyectiva. Por esto, estudiemos las sucesiones.
6. Sucesiones y sistemas de sucesiones
Si V es un espacio vectorial sobre un campo finito K, A un subconjunto infinito
de ω y n un número natural, llamamos a X : [A]n → V una sucesión n-aria de
V indexada por A. Una notación alterna es X = 〈xα : α ∈ [A]n〉, es decir, ver
a la imagen de X no como un subconjunto de V sino como una sucesión, lo cual
21
hace posible evidenciar si la imágen de X tiene o no elementos de V repetidos; si
B ⊆ A infinito entonces X � B = 〈xα : α ∈ [B]n〉, la restricción de X a B. Como X
está contenida en un espacio vectorial, tiene sentido preguntarse siX (como sucesión)
es independiente, es decir, si está formada por vectores linealmente independientes
entre śı, o, en otras palabras, cualquier combinación lineal finita de vectores de X
con coeficientes no todos iguales a cero, es diferente del vector cero. Decimos que
X = 〈X i : i < k〉 para k ∈ ω, es un sistema de sucesiones de V indexado por
A, si para cada i < k, X i es una sucesión ni-aria de V indexada por A. El sistema
de sucesiones X se ve aśı:
X = 〈X : [A]n0 → V, X : [A]n1 → V, . . . , X : [A]nk−1 → V〉;
decimos que X es un sistema independiente si 〈xis : i < k, s ∈ [A]ni〉 es indepen-
diente. Para B ⊆ A infinito, definimos X � B := 〈X i � B : i < k〉. Notemos que si
X es una sucesión 0-aria, X = 〈x∅〉 para algún x∅ ∈ V.
Veamos un ejemplo de sucesiones n-arias de Vp indexadas por ω.
Ejemplo 6.1
X : [ω]2 → Vp
{n,m} 7→ en.
Debemos aclarar que estamos asumiendo que los elementos de [ω]2 los escribimos
siempre en orden, es decir, {n,m}, que quiere decir que n < m. Entonces X se veŕıa
más o menos aśı:
X({0, 1}) = e0 = (1, 0, 0, 0, 0, ...)
X({0, 2}) = e0 = (1, 0, 0, 0, 0, ...)
X({0, 3}) = e0 = (1, 0, 0, 0, 0, ...)
X({0, 4}) = e0 = (1, 0, 0, 0, 0, ...)
X({1, 2}) = e1 = (0, 1, 0, 0, 0, ...)
X({1, 3}) = e1 = (0, 1, 0, 0, 0, ...)
X({1, 4}) = e1 = (0, 1, 0, 0, 0, ...)
X({1, 5}) = e1 = (0, 1, 0, 0, 0, ...)
X({2, 3}) = e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ...)
X({2, 4}) = e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ...)
X({2, 5}) = e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ...)
X({2, 6}) = e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ...)
X({3, 4}) = e3 = (0, 0, 0, 1, 0, ...)
X({3, 5}) = e3 = (0, 0, 0, 1, 0, ...)
X({3, 6}) = e3 = (0, 0, 0, 1, 0, ...)
X({3, 7}) = e3 = (0, 0, 0, 1, 0, ...)
...
Como X({n,m}) sólo depende de n, el primer elemento del conjunto, podemos
construir una sucesión 1-aria de Vp indexada por ω que sea igual a X como conjunto;
hagámoslo para entender mejor.
Y : [ω]1 → Vp
{n} 7→ en
22
Y se ve aśı:
Y ({0}) = e0 = (1, 0, 0, 0, 0, ...)
Y ({1}) = e1 = (0, 1, 0, 0, 0, ...)
Y ({2}) = e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ...)
Y ({3}) = e3 = (0, 0, 0, 1, 0, ...)
Entonces tendŕıamos lo siguiente:
X({n,m}) = Y ({n})
para cada {n,m} ∈ [ω]2.
Vamos ahora a formalizar la idea del anterior ejemplo, es decir, la posibilidad de
que sucesiones n-arias puedan expresarse como sucesiones m-arias para m 6 n.
7. A la deriva...
Si X, Y son sucesiones de V indexadas por A ⊆ ω, X n-aria, Y m-aria, decimos
que X es simplemente derivada de Y o Y deriva simplemente a X si n > m y
podemos escoger m números diferentes i0, i1, ..., im−1 menores que n tales que para
cada α = {α0, α1, . . . , αn−1} ∈ [A]n
xα = y{αi0 ,αi1 ,...,αim−1}.
Notemos que la imágen de X como conjunto, está contenida en la imagen de Y
como conjunto. Claramente cada sucesión es simplemente derivada de ella misma,
más aún, si todos los elementos de X son diferentes, la única sucesión que deriva a
X simplemente es ella misma. Si Y m-aria deriva simplemente a X n-aria y m < n
entonces tenemos que X como sucesión, tiene vectores repetidos y la cantidad de
éstos, depende de la escogencia de los ij’s, como lo ilustramos en el siguiente ejemplo.
Por otro lado, si X es una sucesión n-aria, y t un número fijo mayor o igual que n,
X puede derivar simplemente a finitas (exactamente
(
t
n
)
) sucesiones diferentes de
aridad t, una por cada subconjunto de tamaño n de t = {0, 1, ..., t− 1}.
Ejemplo 7.1 X una sucesión 3-aria derivada de una sucesión Y 2-aria, ambas
indexadas por ω; si i0 = 0, i1 = 2 < 3, entonces para cada {n,m, r} ∈ [ω]3
tenemos que
x{n,m,r} = y{n,r}
; en particular notemos que
x{0,1,2} = y{0,2}
x{0,1,3} = y{0,3} = x{0,2,3}
x{0,1,4} = x{0,2,4} = y{0,4} = x{0,3,4}
x{0,1,5} = x{0,2,5} = y{0,5} = x{0,3,5} = x{0,4,5}
x{0,1,6} = x{0,2,6} = x{0,3,6} = y{0,6} = x{0,4,6} = x{0,5,6}
23
En general, si X es n-aria derivada de Y , m-aria con m < n e i0 = 0, i1 =
1, . . . , im−1 =m − 1 los primeros m números naturales, entonces, para cada
s = {α0, α1, . . . , αm−1} ∈ [ω]m fijo y cada {αm, αm+1, . . . , αn−1} ∈ [ω\m−1]n−m,
αm−1 = {0, . . . , αm−1 − 1}
x{α0,α1,...,αm−1,...,αn−1} = y{α0,...,αm−1}
; pero m < n, entonces n−m > 1 y |[ω \ αm−1]n−m| = ℵ0 luego X tiene infinitos
vectores repetidos, uno por cada t ∈ [ω \ αm−1]n−m
xs∪t0 = xs∪t1 = xs∪t2 = · · · = ys
con ti ∈ [ω \ αm−1]n−m.
A continuación presentamos una definición para sucesiones más fuerte que la de
derivar simplemente.
Decimos que un sistema de sucesiones χ = {X i : i < k} indexado por B ⊆ ω
infinito, deriva una sucesión n-aria Y , si Y = c0Z
0 + · · · + crZr, donde cj ∈ K y
Zj es una sucesión de aridad menor o igual que n, simplemente derivada de algún
X l ∈ χ. Notemos que, como cada Zj es una sucesión simplemente derivada de algún
X l, cada elemento ys de Y se puede escribir en términos de algunos elementos de χ,
pues, ran(Zj) ⊆ ran(X l) para algún l, donde ran de una sucesión, denota el rango
de ésta.
8. Conectando a V con V̂/V
Lo que quisieramos probar es que (�) gran parte de cualquier sucesión X de
cualquier aridad n, indexada por cualquier A ⊆ ω, se puede derivar de un sistema
independiente X indexado por A, esto es, existe un B ⊆ A infinito tal que X � B
deriva a X � B. Aśı, vamos a estudiar relaciones -como la de derivar- entre sucesiones
de V y V̂/V. Notemos que con este resultado no solo sabemos que X � B es derivado,
sino que podemos contar las finitas maneras en que puede serlo.
Probaremos (�) por inducción en la aridad de X, y para esto, si X es una sucesión
(n + 1)-aria en V indexada por algún B, definimos la sucesión n-aria X̂ en V̂ de la
siguiente manera: para cada s = {s0, . . . , sn−1} ∈ [B]n, decimos que x̂s es la clase
de equivalencia en V̂ del ultravector que tiene en la posición β al vector xs∪{β} ∈ V.
Si X = 〈X i : i < k〉 es un sistema de sucesiones en V, entonces podemos formar el
respectivo sistema X̂ := 〈X̂ i : i < k〉 en V̂. Para el caso de X = 〈x∅〉 0-aria, X̂ no
está definida. Esta manera de definir una sucesión X̂ en V̂ a partir de la sucesión X
en V hace que la sucesión X̂ de alguna manera “contenga información” de X; dicho
de otra manera, X̂ va a tener ciertas propiedades que también X tiene; además nos
servirá en el caso inductivo de la prueba de (�) para reducir un grado de la aridad
de la sucesión X y usar la hipótesis de inducción. También vamos establecer una
manera adecuada de definir sucesiones en V a partir de sucesiones en V̂/V; adecuada
en el sentido de que se preservan propiedades que nos interesan de las sucesiones.
Al ser ambos V y V̂ espacios vectoriales sobre el campo finito K se puede pensar
en identificar relaciones entre sucesiones en V y V̂. Veamos un ejemplo.
24
Ejemplo 8.1
Z : [ω]2 → Vp
{n,m} 7→ en + em
Z({0, 1}) = z0,1 = e0 + e1 = (1, 1, 0, 0, 0, ...)
Z({0, 2}) = z0,2 = e0 + e2 = (1, 0, 1, 0, 0, ...)
Z({0, 3}) = z0,3 = e0 + e3 = (1, 0, 0, 1, 0, ...)
Z({0, 4}) = z0,4 = e0 + e4 = (1, 0, 0, 0, 1, ...)
Z({1, 2}) = z1,2 = e1 + e2 = (0, 1, 1, 0, 0, 0, ...)
Z({1, 3}) = z1,3 = e1 + e3 = (0, 1, 0, 1, 0, 0, ...)
Z({1, 4}) = z1,4 = e1 + e4 = (0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)
Z({1, 5}) = z1,5 = e1 + e5 = (0, 1, 0, 0, 0, 1, ...)
Z({2, 3}) = z2,3 = e2 + e3 = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, ...)
Z({2, 4}) = z2,4 = e2 + e4 = (0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, ...)
Z({2, 5}) = z2,5 = e2 + e5 = (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)
Z({2, 4}) = z2,6 = e2 + e6 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, ...)
...
Entonces, en V̂, Ẑ se veŕıa aśı:
Ẑ : [ω]1 → V̂p
25
Ẑ({0}) = ẑ0
= [(z0,1, z0,2, z0,3, ...)]
= [((1, 1, 0, 0, 0, ...), (1, 0, 1, 0, 0, ...), (1, 0, 0, 1, 0, ...), ...)]
Ẑ({1}) = ẑ1
= [(~x0, z1,2, z1,3, z1,4, ...)]
= [(~x0, (0, 1, 1, 0, 0, 0, ...), (0, 1, 0, 1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, 0, 1, 0, ...), ...)]
Ẑ({2}) = ẑ2
= [(~y0, ~y1, z2,3, z2,4, z2,5, ...)]
= [(~y0, ~y1, (0, 0, 1, 1, 0, 0, ...), (0, 0, 1, 0, 1, 0, ...), (0, 0, 1, 0, 0, 1, ...), ...)]
Ẑ({3}) = ẑ3
= [(~w0, ~w1, ~w2, z3,4, z3,5, z3,6, ...)]
= [(~w0, ~w1, ~w2, (0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ...), (0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, ...), (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ...), ...)]
Para ~xi, ~yj, ~wk vectores en V.
Si nos fijamos, notamos que Z es independiente y que Ẑ también lo es; lo mejor:
no es una coincidencia.
Lema 8.1 Si X es un sistema de sucesiones independiente en V, entonces, X̂ es un
sistema de sucesiones independiente en V̂/V.
Prueba Si L es un lenguaje de primer orden que contiene un śımbolo de función
2-aria y un śımbolo de constante y n un número natural fijo, podemos definir la
independencia de un conjunto de n vectores de un espacio vectorial sobre un campo
finito a partir de una L-fórmula de primer orden con n variables libres1; llamemos a
esa fórmula ϕn. Usaremos este hecho, para probar que X̂ es independiente en V̂/V.
Por hipótesis tenemos que X es independiente en V, esto quiere decir que para
cada número natural n fijo, cualquier conjunto {xs0 , . . . , xsn−1} de elementos de X
es linealmente independiente, es decir,
V |= ϕn(xs0 , . . . , xsn−1).
En particular, los subconjuntos de X cuyos elementos estan indexados de la siguiente
forma, son linealmente independientes; es decir, para cualesquiera ti’s y casi todo
2
β en ω,
V |= ϕn(xt0∪{β}, . . . , xtn−1∪{β}),
1Esta fórmula debe decir que toda suma de elementos del conjunto independiente donde no se
repita un mismo elemento más de (|K| − 1)-veces, debe ser diferente de ~0. Aqúı llamamos suma
a la función que interpreta el śımbolo de función 2-aria en L y ~0 a la constante que interpreta el
śımbolo de constante en L.
2Usamos la expresión “se cumple para casi todo β” para referirnos a que los β’s para los que
se cumple cierta propiedad, forman un conjunto que pertenece a Ψ. Esta expresión viene de que
podemos definir una medida ν sobre partes de ω a partir de Ψ: ν(A) = 1 si A ∈ Ψ, ν(A) = 0 si
A /∈ Ψ. Teniendo ν, decimos que una propiedad para elementos de ω se cumple ν-casi siempre, si
el conjunto de elementos que no la cumplen tiene medida 0, es decir, no pertenece a Ψ.
26
luego, usando el Teorema de Loś tenemos que
V̂ |= ϕn(x̂t0 , . . . , x̂tn−1).
Como esto es cierto para cada número natural n y cualesquiera ti’s, X̂ es indepen-
diente en V̂. Para probar que X̂ es independiente en V̂/V -sabiendo que lo es en V̂-,
basta notar que para elementos ci’s de K no todos cero y cualesquiera ti’s, gracias a
la independecia de X, todos los elementos del conjunto
{c0xt0∪{β} + · · ·+ cn−1xtn−1∪{β}}β∈ω,
son diferentes entre śı; luego c0x̂t0 + · · · + cn−1x̂tn−1 6= [(~v,~v, . . .)] para todo ~v ∈ V,
lo que quiere decir que c0x̂t0 + · · ·+ cn−1x̂tn−1 no es igual a cero en V̂/V; entonces,
V̂/V |= ϕn(bx̂t0c, . . . , bx̂tn−1c),
donde bx̂tic denota la clase de x̂ti en V̂/V. Como esto es cierto para cualquier número
natural n y cualesquiera ti’s, X̂ es independiente en V̂/V.
N
Lema 8.2 Si X̂ es un sistema de sucesiones independiente en V̂/V, entonces, existe
un B infinito tal que X � B es independiente en V.
Antes de dar la prueba del Lema 8.2, enunciemos algunas consecuencias de la
hipótesis de este lema. Como X̂ es independiente en V̂/V, ninguno de sus elementos
pertenece a la clase b(~0,~0, . . .)c; esto es, usando el Teorema de Loś, para todo x̂s ∈ X̂,
existe un B ∈ Ψ tal que los elementos del conjunto {xs∪{β} : β ∈ B} de coordenadas
de x̂s son todos diferentes. Como los elementos de {xs∪{β} : β ∈ B} son elementos
diferentes de V y V es un espacio vectorial sobre un campo finito, podemos construir
inductivamente una cadena -a partir de la inclusión- de conjuntos independientes,
que por el Lema de Zorn, tiene un elemento maximal, entonces, existe C ∈ Ψ tal
que el conjunto {xs∪{α} : α ∈ C} es independiente en V. Además, si {x̂s0 , . . . , x̂sn−1}
es un subconjunto de X̂, éste es independiente en V̂/V, luego por el Teorema de Loś,
usando ϕn como en la prueba del lema anterior, tenemos que:
V̂/V |= ϕn(bx̂s0c, . . . , bx̂sn−1c)⇐⇒ V |= ϕn(xt0∪{β}, . . . , xtn−1∪{β}),
entonces el conjunto {xs0∪{β}, . . . , xsn∪{β}} es independiente enV para casi todo β.
Prueba Construyamos A inductivamente escogiendo elementos α0 < α1 < · · · ta-
les que, si An := {αi : i < n} para cada número natural n, X � An sea independiente.
Supongamos que para n fijo, X � An es independiente, luego el conjunto de los po-
sibles αn’s para extender An a An+1 de tal manera que X � An+1 sea independiente,
es un elemento de Ψ; si no fuera aśı tendŕıamos que
c0xs0 + · · ·+ cnxsn + d0xt0∪{β} + · · ·+ dmxtm∪{β} = ~0
para s0, . . . , sn, t0, . . . , tm subconjuntos de An, c0, . . . , cn, d0, . . . , dm ∈ K no todos ce-
ro. Los coeficientes ci’s y di’s inicialmente dependen de cada β, sin embargo, sólo hay
27
finitas combinaciones lineales del conjunto {xs0 , . . . , xsn , xt0∪{β}, . . . , xtm∪{β}}, enton-
ces, los coeficientes van a ser los mismos para casi todo β . El conjunto {xs0 , . . . , xsn}
es independiente pues está contenido en X � An; definamos ~v := c0xs0 + · · ·+ cnxsn ,
luego, usando el Teorema de Loś tenemos que
{β : d0xt0∪{β} + · · ·+ dmxtm∪{β} = −~v} ∈ Ψ
⇐⇒
d0x̂t0 + · · ·+ dmx̂tm = [(~v,~v, . . .)],
pero esto contradice la independencia de X̂ en V̂/V. Luego existe A infinito tal que
X � A es independiente en V.
(�) El único detalle que estamos pasando por alto aqúı, es que X puede tener
sucesiones 0-arias que desaparecerán en X̂. Si este es el caso, X � A no necesariamente
seŕıa independiente pues podŕıa pasar que x∅ ∈ span(X � A) para x∅ ∈ X diferente de
~0. Si D ⊆ X es el conjunto de 0-arias de X -podemos asumir que es independiente-
y algún elemento x∅ de D distinto de ~0 pertenece a span(X � A \ D), entonces
x∅ se escribe como combinación lineal de elementos de X � A \ D indexados por
subconjuntos no vaćıos. Si le quitamos a A algún elemento de esos subconjuntos, y
repetimos este proceso con cada elemento de D, obtenemos un B ⊆ A infinito tal
que X � B es independiente.
N
Si agregamos a la hipótesis del lema anterior que Ψ es un ultrafiltro de Ramsey
y usamos el Lema 4.8 tomando el subárbol de ω<ω, cuya ráız es el conjunto
An = {αi : i < n} (como en la prueba del lema anterior), con n la menor aridad
de las sucesiones de X, entonces tenemos que existe un C ∈ Ψ tal que X � C es
independiente.
Para el siguiente lema usamos extensiones de sistemas de sucesiones, es decir,
si X := 〈X i : i < k〉 y Y := 〈Y j : j < r〉 son dos sistemas de sucesiones, entonces,
X ∪ Y = 〈X0, . . . , Xk−1, . . . , Y 0, . . . , Y r−1〉. Como el orden de las sucesiones no
importa X ∪Y es una extensión de X y también de Y.
Lema 8.3 Si X es un sistema de sucesiones independiente, Ψ un ultrafiltro de
Ramsey y X una sucesión n-aria, existe una extension X′ = X ∪Y y un A ∈ Ψ tal
que X′ � A es independiente y deriva a X � A.
Prueba Vamos a probarlo por inducción en la aridad de X:
n = 0;
Entonces X = 〈x∅〉 y tenemos dos casos:
• si x∅ se puede expresar como combinación lineal de sucesiones 0-arias de
X, entonces X′ = X, pues X es independiente y deriva a X.
28
• si x∅ no se puede expresar como combinación lineal de sucesiones 0-arias
de X, entonces tomamos X′ = X ∪ 〈X〉, y, como en (�) en el Lema 8.2,
constrúımos un A cofinito tal que X′ � A es independiente. Como A es
cofinito A ∈ Ψ. Claramente X′ � A deriva a X.
n n+ 1
Supongamos que X es (n + 1)-aria, luego X̂ es n-aria. Por el Lema 8.1 X̂ es
independiente en V̂/V, entonces, aplicando la hipótesis de inducción a X̂ n-aria
podemos extender X̂ a un sistema N := X̂ ∪ C en V̂/V, tal que para algún
B ∈ Ψ, N � B es independiente y deriva a X̂ � B. Aqúı C y por lo tanto
N son sistemas de sucesiones en V̂/V, pero no están escritas como “el gorro”
de sistemas de sucesiones en V. Sin embargo, podemos construir una sistema
Y en V tal que Ŷ sea precisamente C: para cada elemento m-ario Ci de C,
tomamos a cada elemento bcsc de Ci y a cualquier elemento de esta clase, por
ejemplo a cs mismo, y formamos la sucesión Y , (m + 1)-aria en V tomando
y{α0,...,αm} = c
αm
{α0,...,αm−1} donde c
αm
{α0,...,αm−1} es un elemento de V que está en
la coordenada αm-ésima del elemento c{α0,...,αm−1} ∈ Ci con Ci una sucesión
que pertence a C; de esta manera, tenemos que Ŷ = Ci. Por esto, sabemos que
podemos extender el sistema X a un sistema I en V tal que Î = N y por lo tanto
Î � B es independiente y deriva a X̂ � B. Por el Lema 8.2 sabemos que existe
un C ∈ Ψ tal que I � C es independiente en V, además, como Î � B deriva a
X̂, existe una sucesión Z, (n+ 1)-aria derivada de I, tal que Ẑ y X̂ son iguales
en V̂/V, entonces, para cada s ∈ [ω]n tenemos que xs∪{β} = zs∪{β} + ws (m)
para casi todo β y ws un elemento de una sucesión n-aria W en V. Aplicando
la hipótesis de inducción a la sucesión W , obtenemos una extensión X′ de I y
un D ∈ Ψ tal que X′ � D es independiente y deriva a W , luego tenemos que
X está escrita como suma de dos sucesiones derivadas de X′ � D; probemos
entonces que existe un A ⊆ D infinito tal que para cada {α0, . . . , αn} ∈ [A]n+1
se tiene que x{α0,...,αn} = z{α0,...,αn} + w{α0,...,αn−1}; si esto pasa decimos que
(m) se cumple en A. Constrúımos a A inductivamente escogiendo elementos
α0 < α1 < · · · tales que para cada número natural m, la ecuación (m) se
cumpla en Am := {αi : i < m}. Sea m fijo tal que (m) se cumple en Am, luego
basta probar que el conjunto de los posibles αm’s para extender Am a Am+1 tal
que (m) se cumpla en Am+1, está en Ψ; si no fuera aśı, tendŕıamos que para
s ∈ [Am]n
xs∪{β} 6= zs∪{β} + ws
para casi todo β, luego, tendriamos que
x̂s 6= ẑs,
lo cual contradice que X̂ y Ẑ sean iguales en V̂/V. Luego tenemos que existe un
A infinito que por el Lema 4.8 pertenece a Ψ, tal que X′ � A es independiente -
porque A ⊆ D y X′ � D es independiente- y X � A deriva a X � A.
N
29
De este lema es consecuencia (�), si tomamos X vaćıo.
Parte VI
Finalmente, V]p � V
]
q
9. Prueba del no homeomorfismo
La prueba del no homeomorfismo entre V]p y V]q consiste en demostrar que cual-
quier función continua de ([ω]k, τp) a V]q con k = pn para n > 1 no puede ser
inyectiva. Esto implicaŕıa directamente el no homeomorfismo entre V]p y V]q debido
a que, por construcción, hay una copia idéntica a ([ω]k, τp) en V]p. Enseguida, dos
lemas necesarios para llegar al final.
Lema 9.1 Si p y q son dos primos diferentes, k un número natural mayor que p
y c0, ..., ck−1 elementos de Zq no todos cero, entonces existen b0, . . . , bp−1 < k tales
que cb0 + · · ·+ cbp−1 6= 0 en Zq.
Prueba Si suponemos por contradicción que todas las sumas de la forma cb0 +
· · ·+ cbp−1 son iguales a 0 en Zq, igualándolas, podemos llegar a que c := c0 = · · · =
ck−1 6= 0. Como para cualesquiera b0, . . . , bp−1 < k, cb0 + · · · + cbp−1 = cp = 0 en
Zq, entonces, q|cp; esto es una contradicción pues q - p ya que p y q son dos primos
diferentes, y, q - c pues c < q.
N
Notemos que este lema es cierto gracias a que p y q son dos primos diferentes y
a que k > p. Si k = p el lema no seŕıa cierto, y como vamos a ver en el siguiente
ejemplo, podŕıa haber un homemeorfismo entre ([ω]k ∪{∅}, τp) y un subconjunto de
V]q.
Ejemplo 9.1
F : ([ω]2 ∪ {∅}, τ2)→ V]3
∅ 7→ ~0
{n,m} 7→ 2en + em.
Es claro que F es una biyección en su imagen. Además si P es una partición de ω en
finitos pedazos, tenemos que existe 2en+ em ∈M(P ), es decir, n,m ∈ Pi para algún
pedazo Pi de P ; entonces, tenemos que la preimagen de M(P ) bajo F es T (P ) en
([ω]2∪{∅}, τ2), luego preimágen de abierto es abierto e imágen de abierto es abierto;
entonces, F es un homeomorfismo en su imagen.
Lema 9.2 Para d > 2 fijo y A ⊆ ω infinito, existe un D ⊆ [ω]d tal que: para
cualquier k > d, cualquier S ⊆ [k]d no vaćıo y cualquier partición P de ω en
finitos pedazos, existen β0, . . . , βk−1 ∈ Pi ∩ A, Pi un pedazo de la partición
P y β0 < . . . < βk−1, tales que {βt0 , . . . , βtd−1} ∈ D exactamente para un
30
t = {t0, . . . , td−1} ∈ S.
Prueba Sin perder generalidad supongamos que A = ω. Denotemos ≺, a un
orden total en ω isomorfo al orden usual de los números racionales Q. Hay infinitos
pares de elementosde ω en los que < y ≺ coinciden e infinitos pares de elementos
de ω en los que no, es decir, en los que > y ≺ coinciden. Definamos D como el
conjunto de elementos s ∈ [ω]d tal que < y ≺ coincidan en todos los pares de s.
Los elementos de S son subconjuntos de tamaño d de k = {0, . . . , k − 1}, luego
cada uno se puede ordenar de manera ascendente. Tomamos el mayor de ellos con
respecto al orden lexicográfico (viendo a cada elemento de S como una sucesión
ascendente), y llamémoslo t := {t0, . . . , td−1}. Ahora, si P es una partición de ω en
finitos pedazos, debe haber un pedazo Pj de la partición que sea infinito y denso
con respecto a ≺ en algún abierto de la topoloǵıa del orden en ω inducida por ≺.
Como Pj es denso en un ≺-abierto, Pj contiene infinitos pares de elementos en los
que < y ≺ coinciden, e infinitos pares de elementos en los que > y ≺ coinciden;
por esto, existen β0, . . . , βk−1 ∈ Pj, β0 < . . . < βk−1 tales que βt0 ≺ . . . ≺ βtd−1
y para s := {s0 . . . , sd−1} ∈ S, s 6= t, βsd−1 ≺ . . . ≺ βs0 , entonces, tenemos que
{βt0 , . . . , βtd−1} ∈ D unicamente para t ∈ S.
N
Y hemos llegado al final del camino; probaremos lo que hemos anunciado.
Teorema 9.3 Si p y q son dos primos diferentes y k un múltiplo de p mayor que
él; F : ([ω]k ∪ ∅, τp)→ V]q es continua y F (∅) = ~0 entonces existe un A ⊆ ω infinito
tal que F � A = ~0.
Prueba Notemos que F es una sucesión k-aria en Vq indexada por ω, entonces,
por el Lema 8.3 de la sección anterior sabemos que hay un sistema de sucesiones
independiente χ y un A ⊆ ω infinito tal que F � A es derivada de χ � A; entonces si
χ := 〈X i : i < r〉, F = c0Y 0 + c1Y 1 + · · ·+ ctY l donde ci ∈ Zq y Y i es una sucesión
derivada simplemente de algún Xj (la igualdad anterior se da al restringir tanto
a F como a los Y i’s a A). Si agrupamos los Y i’s derivados simplemente de X0 y
llamamos a la sucesión resultante Z0 y hacemos eso con cada i < r, tenemos que
F = Z0 + Z1 + · · ·+ Zr−1, con Zi derivado de X i. Notemos que para i 6= j se tiene
que span(Zi)∩ span(Zj) = {~0}, porque Zi ⊆ span(X i) y Zj ⊆ span(Xj) y dado que
χ es independiente span(X i) ∩ span(Xj) = {~0}.
Supongamos que F � A no es idéntica a ~0, entonces para algún i < r, Zi es
diferente de ~0. Si d es la aridad de X probemos que para cualquier valor que tome
d, F no puede ser continua; para esto, constrúımos una función lineal -y por ende
continua- h de Vq a span(Zi) aśı:
h(~v) =
{
0 si ~v ∈ span(Zj) con j 6= i
~v si ~v ∈ span(Zi)
Para simplificar la notación, llamemos Z := Zi, X := X i. Definimos ahora una
función G := h ◦ F ; como ambas h y F son continuas G también lo es y además
para cada s ∈ [A]k se tiene que G(s) = Z(s).
Ahora si, empecemos con los casos para la aridad d de X:
31
Si d = 0 entonces X = 〈x∅〉 6= ~0 pues X es independiente. Para s ∈ [A]k,
G(s) = cx∅ 6= ~0 con c ∈ Zq. Podemos encontrar P una partición finita de ω
tal que el básico M(P ) en Vq alrededor de ~0, no contenga a cx∅; como G es
continua, G(∅) = ~0 y ~0 ∈M(P ), G−1(M(P )) es un abierto alrededor de ∅ en τp.
Por el Lema 3.3 como p|k, ∅ está en la clausura de [A]k en τp, luego existe un
s ∈ [A]k tal que s ∈ G−1(M(P )); pero esto implicaŕıa que G(s) = cx∅ ∈M(P ),
lo cual es una contradicción.
Si d = 1 entonces X = 〈xβ : β ∈ ω〉. Para s := {β0, . . . , βk−1} ∈ [A]k, G(s) =
Z(s) = c0xβ0 + · · · + ck−1xβk−1 con ci ∈ Zq no todos cero. Por el Lema 9.1
sabemos que existen números b0, . . . , bp−1 < k tales que cb0 + · · · + cbp−1 6= 0.
Para concentrarnos en los coeficientes ci’s, definimos otra función. Sea D ⊆ ω
tal que A ∩D y A ∩Dc son ambos infinitos y sea γ ∈ Hom(Vq,Zq) tal que
γ(xβ) =
{
1 si β ∈ D
0 si β ∈ Dc
Como γ es un homomorfismo de Vq a Zq, es decir de Vq al ćırculo S1, si dotamos
a Vq de la topoloǵıa de Böhr y a Zq de la discreta, entonces γ tiene que ser
continuo, luego γ◦G es continua. Por esto último y porque {0} es abierto en Zq,
su preimágen debe ser abierta en ([ω]k ∪ {∅}, τp) luego existe una partición P
de ω en finitos pedazos tal que para cualquier s ∈ T (P ) pasa que γ(G(s)) = 0.
Tomemos dos pedazos Pi, Pj de la partición P no necesariamente distintos,
tales que A ∩D ∩ Pi y A ∩Dc ∩ Pj sean ambos infinitos; tomemos β0, ..., βk−1
elementos de A tales que βb0 , . . . , βbp−1 estén en D ∩ Pi y el resto de βi’s estén
en Dc ∩ Pj. Sabemos que {β0, . . . , βk−1} está en T (P ), pues, hay un número p
de βi’s en un pedazo de la partición y un número k − p -divisible entre p- de
βi’s en otro pedazo -o en el mismo- de la partición. Sin embargo,
γ(G({β0, . . . , βk−1})) = γ(c0xβ0 + · · ·+ ck−1xβk−1)
= c0γ(xβ0) + · · ·+ ck−1γ(xβk−1)
= cb0 + · · ·+ cbp−1 6= 0,
lo cual es una contradicción.
Si d > 2 entonces X = 〈xt : t ∈ [ω]d〉. Notemos que como F es derivada de
χ, cualquier elemento de χ debe tener aridad menor o igual que k, la aridad
de F ; en particular, d es menor o igual que k. Sea S ⊆ [k]d no vaćıo, s :=
{β0, . . . , βk−1} ∈ [A]k: para t ∈ [k]d denotemos como βt := {βi : i ∈ t}. Podemos
escribir G(s) como combinación lineal de elementos de X, es decir, G(s) =
c0xβt0 + · · · + cnxβtn con ci ∈ Zq ninguno cero y ti ∈ S. Sea D ⊆ [ω]
d el D del
Lema 9.2 y γ ∈ Hom(Vq,Zq) tal que
γ(xt) =
{
1 si t ∈ D
0 si t ∈ Dc
Por argumentos anteriores, sabemos que γ ◦ G es continua, luego existe una
partición P de ω en finitos pedazos tal que si s ∈ T (P ) entonces γ(G(s)) = 0.
32
Por el Lema 9.2 sabemos que existen β0, . . . , βk−1 ∈ A ∩ Pi, donde Pi es un
pedazo de la partición P tales que para exactamente un ti ∈ S, se tiene que
βti ∈ D. Como |β0, . . . , βk−1| = k, β0, . . . , βk−1 ∈ T (P ), pero,
γ(G({β0, . . . , βk−1})) = γ(c0xβt0 + · · ·+ cnxβtn )
= c0γ(xβt0 ) + · · ·+ cnγ(xβtn )
= ci 6= 0,
lo cual es una contradicción.
Entonces concluimos que F � A es idéntica a la sucesión ~0.
N
Notemos que la hipótesis del Teorema 9.3 de que F (∅) = ~0, no hace perder
generalidad pues Vq es un grupo topológico; luego si F (∅) = ~v 6= 0, podemos
componer a F con una función continua que mande a ~v a ~0. Este teorema nos dice
que en Vq no puede haber una copia homeomorfa de cierto subespacio de Vp, luego
no podemos encontrar un homeomorfismo entre Vq y Vp si p y q son dos primos
diferentes, y es el paso final de un complejo y magistral camino dilucidado por
Kunen para su respuesta negativa a la pregunta de van Douwen,
A pesar de que el resultado del no homeomorfismo es muy importante para la
investigación en el campo de la topoloǵıa de Böhr y de sucesiones de espacios vec-
toriales, y de que la topoloǵıa de Böhr de grupos infinitos con torsión, es decir, para
los cuales existe un n ∈ ω tal que para cualquier elemento x del grupo, n ∗ x = e,
es más manejable,siguen existiendo muchas preguntas abiertas sobre la topoloǵıa
de Böhr, como por ejemplo ¿qué pasa con V]n para n ∈ ω?, o ¿es V4 homeomorfo
a (V2 × V4)]?, o la pregunta en la que ya nos hemos detenido ¿si Z] ∼= Q]?. Hay
muchas herramientas para seguir estudiando estos problemas y seguir avanzando
en el camino de entender los subbásicos de Z] y Q],comopo ejemplo las propuestas
por Nielsen y Kunen en un art́ıculo [8] publicado en el 2003, que estudia las topo-
loǵıas de Böhr sobre grupos abelianos infinitos de exponente primo usando números
crómaticos de hipergrafos.
Parte VII
Referencias
[0] Hart, J.E. y Kunen, K. (1999). Böhr compactifications of discrete structures.
Fundamenta Mathematicae, 160, 101-151.
[1] Kunen, K. (1998). Böhr topologies and partition theorems for vector spaces.
Topology and its applications, 90, 97-107.
[2] Hart, K.P, van Mill, J. (1991). Discrete sets and the maximal totally bounded
group topology. J. Pure Appl. Algebra, 70, 73-80.
33
[3] Dikranjan, D. (2011). Ken and the Bohr topology. Topology and its applica-
tions, 158, 2465-2467.
[4] Boas. H.P. (1997). The Football Player and the Infinite Series.
[5] Böhr, H. (1947). Almost-periodic functions, Chelsea.
[6] Jech, T. (1997). Set Theory. Caṕıtulo 6: Other large cardinals. Berĺın:
Springer, pp., 480.[7] Booth, D. (1970). Ultrafilters on a countable set. Annals of Mathematics.
Logic 2, 1-24.
[8] Givens, B, Kunen, K. (2003). Chromatic numbers and Bohr topologies. Topo-
logy and its applications, 131, 189-202.
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	I Sobre este trabajo
	II Böhr y su topología
	1 Definiciones
	2 Los enteros y la topología de Böhr
	III Sobre Vp y Vp
	3 Definiciones y propiedades
	IV Ultrafiltros y ultrapotencias de espacios vectoriales
	4 Filtros, ultrafiltros y ultrafiltros de Ramsey
	5 Ultraproductos y utrapotencias de espacios vectoriales
	V Un poco de sucesiones
	6 Sucesiones y sistemas de sucesiones
	7 A la deriva...
	8 Conectando a V con V"0362V/V
	VI Finalmente, VpVq
	9 Prueba del no homeomorfismo
	VII Referencias