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COLEGIO DE BACHILLERES 
 
SECRETARÍA ACADÉMICA 
 
COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN 
ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO 
 
COMPENDIO FASCICULAR 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II 
 
 
 
 
 
 
p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 FASCÍCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTORIO 
 
Roberto Castañón Romo 
Director General 
 
Luis Miguel Samperio Sánchez 
Secretario Académico 
 
Héctor Robledo Galván 
Coordinador de Administración 
Escolar y del Sistema Abierto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derechos reservados conforme a la Ley 
© 2004, COLEGIO DE BACHILLERES 
Prolongación Rancho Vista Hermosa núm. 105 
Col. Ex Hacienda Coapa 
Delegación Coyoacán, CP 04920, México, D.F. 
 
ISBN 970 632 262-0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P R E S E N T A C I Ó N G E N E R A L 
 
 
 
 
El Colegio de Bachilleres en respuesta a la inquietud de los estudiantes de contar con 
materiales impresos que faciliten y promuevan el aprendizaje de los diversos campos del 
saber, ofrece a través del Sistema de Enseñanza Abierta y a Distancia este compendio 
fascicular, resultado de la participación activa, responsable y comprometida del personal 
académico, que a partir del análisis conceptual, didáctico y editorial aportaron valiosas 
sugerencias para su enriquecimiento, y aunarse a la propuesta educativa de la 
Institución. 
 
Este compendio fascicular es producto de un primer esfuerzo académico del Colegio por 
ofrecer a todos sus estudiantes un material de calidad que apoye su proceso de 
enseñanza-aprendizaje, conformado por fascículos 
 
Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa del Sistema de Enseñanza Abierta y a 
Distancia a compartir este esfuerzo y utilizar el presente material para mejorar su 
desempeño académico. 
 
 DIRECCION GENERAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PRESENTACIÓN DEL COMPENDIO FASCICULAR 
 
 
 
 
Estudiante del Colegio de Bachilleres, te presentamos este compendio fascicular que 
servirá de base en el estudio de la asignatura “Cálculo Diferencial e Integral II” y 
funcionará como guía en tu proceso de Enseñanza – Aprendizaje. 
 
Este compendio fascicular tiene la característica particular de presentarte la información 
de manera accesible, propiciando nuevos conocimientos, habilidades y actitudes que te 
permitirán el acceso a la actividad académica, laboral y social. 
 
Cuenta con una presentación editorial integrada por fascículos, capítulos y temas que te 
permitirán avanzar ágilmente en el estudio y te llevarán de manera gradual a consolidar 
tu aprendizaje de esta asignatura. Lo anterior tiene como finalidad que puedas 
comprender el concepto fundamental del Cálculo Integral así como sus nociones 
básicas, es decir, que a partir del planteamiento de problemas en los que sea necesario 
calcular el área bajo la curva de la función, puedas obtener el modelo del problema y 
aplicar los métodos de integración para la solución de los mismos. Para lograr lo 
anterior, este material se apoya en la representación de gráficas de funciones y 
utilización de métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar los cambios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
COLEGIO DE BACHILLERES 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA 
 UNA VISIÓN ESTÁTICA 
 
 
 
 
 Autores: Guadalupe Xóchitl Chávez Pérez 
 Sergio Sánchez Carrillo 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 Í N D I C E 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 5 
 
PROPÓSITO 9 
 
CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA 11 
 
 1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA 13 
 
 1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA 22 
 
 1.3 INTEGRAL DEFINIDA 37 
 
 1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 41 
 
 1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 44 
 
RECAPITULACIÓN 48 
 
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 49 
 
AUTOEVALUACIÓN 51 
 
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 53 
 
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 54 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 I N T R O D U C C I Ó N 
 
 
Desde épocas remotas el hombre se enfrentó al problema de la cantidad y la medida, 
sobre todo de medir longitudes, áreas y volúmenes. Cuando estas longitudes eran 
segmentos de rectas o una sucesión finita de dichos segmentos, el problema de medir 
su longitud no representaba gran dificultad. 
 
 
 
Figura 1. 
 
Análogamente, cuando se quería medir áreas de polígonos, aunque fueran irregulares, el 
problema se resolvía dividiendo el polígono irregular en triángulos –esto demuestra que 
siempre lo podemos hacer, y calculada el área de cada triángulo, se decía que el 
problema estaba resuelto, ya que la suma de las áreas de dichos triángulos es el área 
buscada del polígono irregular. 
 
 
 
 
Figura 2. 
 
 
6 
De la misma manera, nuestros antepasados podían calcular con extraordinaria exactitud 
el volumen de cuerpos cuyas fronteras (caras) fueran superficies planas (polígonos), 
como paralelepípedos, pirámides, etcétera. 
 
 
 
 
Figura 3. 
 
 
Estos conocimientos se aplicaron de manera excepcional en la construcción de grandes 
obras que hoy nos sorprenden. Pero no solamente en la construcción se tiene dicho 
conocimiento sino también en muchas otras ramas del saber humano, como el 
conocimiento del movimiento de los astros. 
 
Sin embargo, calcular la longitud de una línea cuando ésta es curva, o encontrar el área 
de una región determinada por una curva cerrada o encontrar el volumen de un cuerpo 
cuya superficie ya no es plana sino curva, constituyó un verdadero reto en la antigüedad. 
 
Hoy en la actualidad, con el estudio del Cálculo Integral, ya no es gran problema, puesto 
que con su aplicación, tenemos la posibilidad de calcular el área de figuras irregulares 
como las siguientes: 
 
 
 
 
Figura 4. 
 
 
El método para encontrar el área de estas figuras se conoce como método de exahución. 
 
Un problema famoso característico que ilustra la obtención del área en figuras irregulares 
es el de encontrar el área del círculo, esto es, aproximarnos al área del círculo por medio 
de una red de cuadrados cada vez más fina. Esto se consideró imposible, pues por muy 
fina que fuera la red siempre tendrían el problema del elemento. 
 
7 
 
 
Figura 5. 
 
 
¿Qué significa que un círculo mida x metros cuadrados de área?, ¿Significa que 
podemos cubrir con x metros cuadrados la superficie del círculo? Para responder 
resuelve el siguiente ejemplo: 
 
Dibuja un círculo con un radio (r) de 20 cm. y calcula su área mediante la fórmula A = r2. 
Ahora dibuja un cuadrado de 35.449 cm. de lado y recórtalo. ¿Cuál es el área de este 
cuadrado? 
 
Después de recortar el cuadrado en partes iguales e irlas acomodando dentro del 
círculo, hasta llenarlo completamente, ¿qué sucede? 
 
Al principio podrás acomodar partes del cuadrado relativamente grandes, pero conforme 
avances observarás que tienes que ir cortando partes cada vez más pequeñas hasta 
quedar algunos huecos por llenar y pedazos del cuadrado por acomodar. ¿Qué pasa 
entonces? ¿Tienen o no el círculo y el cuadrado aproximadamente la misma área? 
 
¿Tenían o no razón en la antigüedad respecto a la conclusión que llegaron? Este tipo de 
problemas y otros podrás resolver por medio del estudio de este fascículo. 
 
Definir el área para figuras geométricas en general, implica un proceso de límite, es por 
ello que a lo largo del contenido del fascículoobtendrás aproximaciones de los 
resultados de problemas que impliquen sumas infinitas, calcularás el área exacta bajo 
una curva para establecer la Integral Definida y concluirás con el Teorema Fundamental 
de Cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 P R O P Ó S I T O 
 
 
El problema básico de la derivación es: dado 
el recorrido de un punto móvil, calcular su 
velocidad, o bien, dada una curva, calcular su 
pendiente. El problema básico de la integración es 
el inverso: dada la velocidad de un punto móvil en 
cada instante, hallar su trayectoria, o bien, dada la 
pendiente de una curva en cada uno de sus 
puntos, calcular la curva. 
 
Hans Hahn (1897-1934) 
 
 
El contenido de este fascículo pretende que al finalizar su estudio: 
 
 
 
 
 
 
¿QUÉ APRENDERÁS? 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿CÓMO LO APRENDERÁS? 
 
 
 
 
 
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR? 
 
 
 
 
A obtener el área bajo la gráfica de una 
función f(x) en un intervalo de valores a,b, 
estimar áreas por métodos numéricos, el 
concepto de integral definida, sus 
propiedades y relación con la derivada, 
además del Teorema Fundamental del 
Cálculo. 
Por medio del desarrollo y solución de 
problemas en los que se requiera conocer el 
resultado acumulado de procesos de cambio 
y situaciones problemáticas en rectángulos. 
Para resolver problemas cuya solución esté 
dada por el cálculo de integrales definidas. 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
CAPÍTULO 1 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
Entre los precursores del Cálculo Integral está Arquímedes (287–212 a. C.), quien logró 
calcular el área de la superficie de un segmento parabólico mediante integraciones y 
descomponiendo una superficie plana en fajas rectangulares sumamente estrechas. 
Képler, quien descubrió la ley de las áreas con base en integraciones, también concibió 
a los sólidos como formados por un número sumamente grande de elementos 
infinitesimales, ya sean triángulos, rectángulos, discos o conos. Buenaventura Cavalieri 
(1598–1647), en su Geometría de los Indivisibles calculó la longitud de líneas, áreas de 
volúmenes, recurriendo a sumas; John Wallis (1616–1703) estableció cuadraturas y 
curvaturas con base en los descubrimientos de Cavalieri. 
 
Puesto que el concepto de integral se deriva de la suma, en un principio se le concibió 
como la suma de una infinidad de rectángulos con una dimensión infinitesimal. Después 
de que Barro (1669) descubrió que el problema de calcular el área con arreglo a curva es 
el inverso del cálculo de la pendiente de la tangente y que Newton y Leibniz 
reconocieron, a su vez, que la integración y la diferenciación son procesos inversos, se 
definió la integral de una función de cierta variable independiente por la diferencial de 
esta variable, como otra función cuya derivada era la función propuesta. 
 
Los trabajos de Newton relativos al cálculo son anteriores a los de Leibniz, pero el 
primero nada publicó en un principio, limitándose a exponer en sus cátedras los 
descubrimientos que había hecho; no así Leibniz, quien publicó una notación distinta a 
las de Newton, el cual basó su concepción en la noción de velocidad de partículas, 
considerando lo que él llamó crecimiento instantáneo, mientras que Leibniz partió del 
concepto de diferencias sumamente pequeñas. 
 
 
 
12 
El método de las fluxiones, que concibió Newton a los 20 años y redactó a los 23, se dio 
a conocer después de su muerte; pero insertó una breve nota que da a conocer este 
método en sus memorias, Philosophia Naturalis Principia Matemática, en donde utiliza 
este método, aplicado no sólo a problemas de Matemática pura, sino a fenómenos 
celestes. 
 
Leibniz, durante su primera estancia en París (1692), creó los procedimientos 
infinitesimales de indiscutible originalidad y admirable potencia, en que destaca la 
tendencia simbolizadora. Estudió el problema de las tangentes y su inverso. 
 
Respecto a la tangente y su inversa, Leibniz introdujo el nuevo signo de la integral, 
representando con  y la misma cantidad que Cavalieri consideraba como suma de 
ordenadas y designaba por omn (omnia, o sea, la suma de todas las y). 
 
Al ver como en la operación indicada por el signo  se eleva el grado, infirió que la 
operación lo rebaja, y como esto suele suceder en la división, creó la notación 
d
x , que 
luego abandonó para adoptar dx, de cuyo significado sólo dio Leibniz esta explicación: 
diferencia entre dos x próximas. Son suyas las notaciones dx, dy/dx, lo mismo que la 
palabra derivada. 
 
Numerosos matemáticos completaron la obra iniciada por Newton y Leibniz. Deben 
citarse, entre ellos, a Jacobo Bernoulli (1654-1705), quien escribió una carta a Leibniz en 
1687 para solicitarle esclareciera la comprensión del nuevo cálculo; pero como Leibniz 
estaba de viaje, la carta le llegó hasta 1690. La tardanza de la respuesta causó que 
Jacobo Bernoulli se dedicase a la tarea de penetrar los secretos del Cálculo Diferencial, 
tanto él como su hermano Juan (1667-1748) dieron muestras de aptitudes excepcionales 
para la investigación matemática, por lo que Leibniz declaró que ésta era tanto de ellos 
como suya. 
 
El barón Agustín Luis Cauchy (1789-1857) fue el primero en demostrar, de manera 
rigurosa y plenamente satisfactoria y con base en el método de los límites, la 
consistencia de sus principios fundamentales. 
 
A Jacobo Bernoulli se debe la denominación de Cálculo Integral, sugerida en 1690 y 
adoptada por Leibniz en 1696. La integración por sustitución fue aplicada por Jacobo 
Bernolli desde los primeros tiempos del cálculo y la expresión cambio de variable se 
encuentra en las obras de Cauchy. La integración por partes, consecuencia inmediata de 
la fórmula de la diferencial de un producto, se encuentra accidentalmente en Brook 
Taylor, pero la denominación se debe a Silvestre F. Lacroix (1765-1843). 
 
La notación 
b
a
 
 
es de José Fourier (1768-1830) y se publicó por primera vez en la 
Théorie analytique de la Chaleur, de 1822, innovación que se adoptó de inmediato y dio 
a la expresión de la integral definida, la cual está representa como, 
b 
a 
dx )x(F . 
 
 
13 
1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA 
 
A continuación te presentamos el cálculo del área bajo distintas funciones constantes, 
para que observes que la integral es la operación inversa de la derivada. 
 
Para contestar las preguntas que se formularon en la introducción, primero calcularemos 
áreas de rectángulos. Supongamos que tenemos la función constante ƒ(x) = 1. 
 
 
Figura 6. 
 
 
Primero se calcula el área comprendida bajo esta función; entre las rectas x = 0, x = 1 y 
el eje X, se sabe que el área de un cuadrado es l 2, y como el lado mide 1, entonces el 
área es 1. 
 
 
 
 
Figura 7. 
 
 
Ahora calculemos el área comprendida bajo la misma función; las rectas x = 0,x = 2 y el 
eje X. 
 
 
14 
 
 
Figura 8. 
 
 
Vemos en la figura 8 que se trata de un rectángulo, por lo tanto, el área es 2. 
 
Con los mismos datos, sólo variando la recta cuya ecuación al principio fue x = 1 y luego 
x = 2, ahora por x = 3, tenemos que el área del nuevo rectángulo es 3 y así 
sucesivamente. 
 
 
 
Figura 9. 
 
El valor de la base de los rectángulos la denotaremos como x. 
 
Completa la tabla 1. 
Tabla 1. 
 
 
 
 
15 
Se advierte que el cálculo del área nos lleva a obtener una nueva función A1(x); el valor 
del área A1(x) depende de x. La gráfica de la nueva función queda como sigue: 
 
 
 
Figura 10. 
 
Esta función es continua ya que sólo calculamos el valor del área para valores de x 
enteros positivos, pero también se puede calcular el valor para x en todos los reales 
positivos; por ejemplo, si 
2
1
x , entonces el área es 
2
1 . 
 
¿Cómo se llama la nueva función? 
 
Ahora podemos pensar en calcular el área bajo la función identidad (anterior), la recta x 
= 1 y el eje X.Figura 11. 
 
Como se trata de un triángulo rectángulo, el área se obtiene mediante la fórmula 
2
 alturaxbase , mas como la base y la altura valen 1, entonces el área es 
2
1 . 
 
16 
Al calcular el área bajo la función identidad, la recta x = 2 y eje X, análogamente nos 
queda un triángulo rectángulo cuya base y altura valen 2. 
 
 
 
Figura 12. 
 
 
Por consiguiente, el área es 2. para comprenderlo mejor observa la tabla 2. 
 
 
Tabla 2, 
 
x ƒ(x) A1(x) A2(x) 
 
1 
 
1 
 
1 
2
1 
 
2 
 
1 
 
2 
2
4 
 
3 
 
1 
 
3 
2
9 
 
4 
 
1 
 
4 
2
16 
 
5 
 
1 
 
5 
2
25 
 
6 
 
1 
 
6 
2
36 
 
7 
 
1 
 
7 
2
49 
 
8 
 
1 
 
8 
2
64 
 
9 
 
1 
 
9 
2
81 
 
10 
 
1 
 
10 
2
100 
 
 
 
17 
La primera columna de la tabla 2 es el valor de x; la segunda son valores de la función 
constante, en este caso 1; la tercera es el valor de las áreas de la función constante 
conforme cambia el valor de x que da como resultado otra función llamada identidad, y la 
cuarta columna son los valores del área delimitada por la función identidad, el eje X y las 
rectas que van variando x = 1, x = 2,..., x = 10. 
 
¿Qué se observa en los resultados de la última columna de la tabla 2? 
 
¿Cuál es el área de la región comprendida debajo de la función identidad, el eje X y la 
recta x = n cuando n es número real positivo? 
Es 
2
2n . 
 
Podemos generalizar que para cualquier valor de x real positivo el área es 
2
2x , lo que 
nos conduce a otra función que es la mitad de la función cuadrática (figura 13). 
 
 
 
Figura 13. 
 
Deriva la función 
2
)(
2
2
xxA  . 
 
¿Qué función obtuviste? 
 
¿Tiene alguna relación con la función A1(x) = x? 
 
 
 
18 
Es la misma función y si ahora derivas A1(x) = x obtendrás la función constante 1, que es 
la función inicial. 
 
¿Pasará siempre lo mismo con cualquier otra función constante? 
 
Para contestar veamos otro ejemplo. 
Si 
2
1)( xf , calculemos las áreas que se forman con esta función, el eje X, el eje Y y las 
rectas x = 1, x = 2, x = 3,..., x = 10. 
 
 
 
Figura 14. 
 
 
Pon los datos y los resultados de las áreas en los espacios vacíos de la tabla 3. 
 
 
Tabla 3. 
 
x ƒ(x) A1(x) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
19 
Ahora podemos ver el área como una función que depende del valor de x, esto es, 
xxA
2
1)(1  , que es una función lineal. Su gráfica es: 
 
 
 
Figura 15. 
 
 
En esta gráfica de nuevo podemos calcular el área comprendida entre la función 
xxA
2
1)(1  , el eje X y las rectas x = 1, x =2, x = 3,..., x = 10, respectivamente. 
 
 
 
 
Figura 16. 
 
 
Haz la gráfica de las áreas para x = 5 y x = 8. 
 
 
20 
Tabla 4. 
 
x ƒ(x) A1(x) A2(x) 
 
1 
2
1 
2
1 
4
1 
 
2 
2
1 
 
1 
 
 
1 
 
3 
2
1 
2
3 
4
9 
 
4 
2
1 
 
2 
 
4 
 
5 
2
1 
2
5 
4
25 
 
6 
2
1 
 
3 
 
9 
 
7 
2
1 
2
7 
4
49 
 
8 
2
1 
 
4 
 
16 
 
9 
2
1 
2
9 
4
81 
 
10 
2
1 
 
5 
 
25 
 
 
La tabla 4 muestra el valor de todos los cálculos de las áreas. De éstas, la columna 4 
nos induce a otra función, 22 4
1)( xxA  . Deriva esta función dos veces y observa el 
resultado en cada caso. 
 
 
¿El cálculo de las áreas parciales bajo las gráficas de las funciones cuadráticas nos 
conducirá a una función cúbica? 
 
¿Cómo calcularemos áreas de regiones irregulares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
 
Resuelve los siguientes ejercicios. 
 
1. Sea f(x) = 3, calcula las áreas que se forman con esta función, el eje X, el eje Y y las 
rectas x = 1, x = 2, x = 3,…, x = 10. 
 
2. Escribe la función área como una función que depende del valor de “x” y construye su 
gráfica. Llámale A1(x) = 
 
3. ¿Qué forma tiene la gráfica? 
 
4. Calcula las áreas que se forman con la función A1(x), el eje X, el eje Y y las rectas x = 
1, x = 2, x = 3,…, x = 10. 
 
5. ¿Los resultados anteriores nos inducen a otra función? Si es así, ¿Cuál es? 
 
6. Deriva esta función dos veces y observa el resultado en cada caso. 
 
 
 
 
 E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
 
 
Con base en estos ejemplos podemos generalizar, es decir, cualquier función constante 
al calcular sus áreas parciales nos conduce a una función lineal de la cual también 
podemos ir calculando las áreas en relación con éstas, que nos lleva a una función 
cuadrática. 
 
 
 
La integral es la operación inversa de la derivada, lo cual se advierte en los dos 
ejemplos analizados. 
 
Llamaremos Integral Definida al valor del área bajo una curva en un intervalo. 
 
 
 
22 
1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA 
 
 
Se ha calculado el área bajo la gráfica de ciertas funciones elementales, de cierto modo 
sencillo, que son de tipo lineal, es decir, son rectas o segmentos de recta y el cálculo de 
las áreas se reduce a determinar el área de rectángulos o triángulos. 
 
Del cálculo del área con base en la gráfica de la función constante 1)( xf , resulta la 
función xxA )(1 . Y al calcular el área bajo la gráfica de la función xxA )(1 , obtenemos 
la función 
2
)(
2
2
xxA  . 
 
También vimos que si derivamos la función A2(x) con respecto a x, obtenemos la función 
A1(x) = x; es decir, 
 
xx
dx
xd
dx
xdA
 
2
2 2 
)(
2
2  
 
Mas si derivamos la función A1(x) = x con respecto a x, obtenemos )(xf , esto es: 
 
1 
)(1 
dx
dx
dx
xdA
 
 
Es decir, la función de donde partió el cálculo. 
 
Para calcular el área bajo la gráfica de una función que no sea necesariamente lineal, 
esto es, el área bajo la gráfica de una curva, usaremos el método de exahución, que 
sirve para determinar áreas de regiones que no sean de tipo poligonal, sino curvo, como 
el círculo. Para esto usaremos tres resultados elementales. 
 
1. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura: a = bh . 
 
2. Si tenemos una región conformada por un conjunto de rectángulos adyacentes 
que no se traslapan, entonces el área de la región es igual a la suma de las 
áreas de cada uno de los rectángulos. 
 
 
 
 
Figura 17. 
 
 
23 
3. Si una región R1 está completamente contenida en una región R2, entonces el 
área de R1 es menor o igual que el área de R2, es decir, área de R1  que área 
de R2. 
 
 
 
Figura 18. 
 
 
Ahora calcularemos el valor del área bajo la gráfica de una parte de una parábola, 
aproximando el área de la región por medio de una sumatoria de áreas de rectángulos 
construidos de tal manera que se aproximen cada vez más al área de la región deseada. 
 
Sea R la región comprendida entre la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = 
2, construyamos los rectángulos de la siguiente manera: 
 
 
1. Dividimos el intervalo [0, 2] en 4 subintervalos de igual longitud. 
 
4
2
4
02


x 
 
Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2, x3, x4} con: 
 
00 x 
 
4
2 
4
20 01  xxx 
 
4
4 
4
2
4
2 12  xxx 
 
4
6 
4
2
4
4 23  xxx 
 
4
8 
4
2
4
6 34  xxx 
 
 
que nos determinan los 4 subintervalos; 





4
2,0 , 





4
4,
4
2 , 





4
6,
4
4 , 





4
8,
4
6 . 
 
 
24 
2. En cada subintervalo construimos un rectángulo con base igual a la longitud del 
subintervalo 
4
2
x y la altura igual al valor máximo que toma la función en dicho 
subintervalo. 
 
 
Como la función es continua, entonces ésta alcanza su valor máximo en algún punto del 
intervalo cerrado [a, b]; además, como la función ƒ(x) = x2 es una función creciente, toma 
el valor máximo en el extremo derecho del subintervalo. ¿Por qué? 
 
 
 
Figura 19. 
 
 
Estos rectángulos adyacentes así construidos forman un polígono rectangular 
circunscrito P, cuya área es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que lo 
conforman. El área de cada rectángulo es igual a: 
 


















4
2
4
2 
4
2 )( 
2
11 xfxxfA 



















4
2
4
4 
4
4 )( 
2
22 xfxxfA 



















4
2
4
6 
4
6 )( 
2
33 xfxxfA 



















4
2
4
8 
4
8 )( 
2
44 xfxxfA 
 
25 
El área del polígono rectangular P es: 
 

















































4
2
4
8
4
2
4
6
4
2
4
4
4
2
4
2 
2222
4321 AAAAP 
 
Tras factorizar y asociar términos tenemos: 
 
    75.3 
8
30 )30(
8
1 16941
64
8 4321
4
2 2222
3












PA 
 
 
Como el polígono rectangular contiene a la región R, entonces tenemos que el área de R 
es  que el área de P = 3.75. 
 
 
Observa que 
2
1
4
2
x ; si los cálculos anteriores los hiciéramos con este valor, 
¿cambiaría el resultado? 
 
 
 
Si dividimos el intervalo [0,2] en 8 subintervalos, con base en el mismo procedimiento 
tenemos: 
 
8
2
8
02


x 
 
que determina el conjunto de puntos 






8
16,
8
14,
8
12,
8
10,
8
8,
8
6,
8
4,
8
2,0 y los subintervalos: 
 






8
2,0 , 





8
4,
8
2 , 





8
6,
8
4 , 





8
8,
8
6 , 





8
10,
8
8 , 





8
12,
8
10 , 





8
14,
8
12 , 





8
16,
8
14 . 
 
 
Nuestro conjunto de rectángulos lo construiremos con base en la longitud del intervalo y 
como altura el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x2 en cada subintervalo. 
 
 
26 
 
 
Figura 20. 
 
Antes de continuar analicemos más de cerca nuestro procedimiento. Tenemos 
8
2
x , 
donde 2 es la longitud del intervalo que estamos partiendo y 8 es el número de 
subintervalos que estamos tomando. 
 
00 x 
 
8
2
8
2001  xxx 
 







8
22
8
2
8
2
12 xxx 
 













8
23
8
2
8
2223 xxx 
 













8
24
8
2
8
2334 xxx 
 













8
25
8
2
8
2445 xxx 
 













8
26
8
2
8
2556 xxx 
 
27 













8
27 
8
2
8
26 67 xxx 
 













8
28 
8
2
8
27 78 xxx 
 
 
El área de cada rectángulo formado es: 
 
 2
32
11 18
2 
8
2
8
2 )( 

















 xxfA 
 2
32
22 28
2 
8
2
8
22 )( 























 xxfA 
 2
32
33 38
2 
8
2
8
23 )( 























 xxfA 
 2
32
44 48
2 
8
2
8
24 )( 























 xxfA 
 2
32
55 58
2 
8
2
8
25 )( 























 xxfA 
 2
32
66 68
2 
8
2
8
26 )( 























 xxfA 
 2
32
77 78
2 
8
2
8
27 )( 























 xxfA 
 2
32
88 88
2 
8
2
8
28 )( 























 xxfA 
 
 
Por lo tanto, el área del nuevo polígono rectangular P será: 
 
AP = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8. 
 
Factorizando y asociando términos tenemos: 
 
    1875.3 204
8
2 87654321
8
2
3
3
22222222
3














PA 
 
 
28 
De esta expresión vemos que la suma de las áreas de los rectángulos construidos es 
igual a la longitud del subintervalo (x) elevado al cubo, multiplicada por la suma de los 
cuadrados de los ocho primeros números naturales. 
 
 
 
Si partimos ahora el intervalo [0,2] en n = 16 subintervalos tendremos: 
 
16
2
x      9218.2 1496
512
1 1615....321
16
2 22222
3












PA 
 
 
Si lo dividimos en n = 32 subintervalos tendremos: 
 
32
2
x      7929.2 11440
4096
1 3231....321
32
2 22222
3












PA 
 
 
Si dividimos en n = 64 subintervalos tendremos: 
 
64
2
x      7294.2 89440
32768
1 6463....321
64
2 22222
3












PA 
 
 
De la operación anterior uno de los factores es la suma de los cuadrados de los 64 
primeros números naturales. Como este proceso es muy laborioso, ¿qué ocurre al hacer 
la siguiente operación? 
 
6
1)64(2)164(64  . 
 
Compara este resultado con el que ya teníamos. 
 
De aquí en adelante usaremos una operación similar para cada uno de los siguientes 
casos. 
 
 
Si dividimos en n = 128 subintervalos tendremos: 
 
128
2
x  
    6979.2 707264
262144
1 128127....321
128
2 22222
3












PA 
 
 
 
29 
Si dividimos n = 256 subintervalos tendremos: 
 
256
2
x  
    6823.2 5625216
2097152
1 256255....321
256
2 22222
3












PA 
 
 
Si dividimos en n = 512 subintervalos tendremos: 
 
512
2
x  
    6744.2 44870400
16777216
1 512511....321
512
2 22222
3












PA 
 
 
Si dividimos en n = 1024 subintervalos tendremos: 
 
1024
2
x  
    6705.2 358438400
134217728
1 10241023....321
1024
2 22222
3












PA 
 
 
 
Ahora calcularemos el área bajo la gráfica de la misma función ƒ(x) = x2, comprendida 
entre el eje X y la recta x = 3. 
 
Mediante el mismo procedimiento tendremos, para una partición en n = 4 subintervalos. 
 
4
3
x    6562.12 
64
27(30) 
4
43213 4321
4
3
3
2222
32222
3







 






PA 
 
 
Si n = 8 ; 
8
3
x  
  7578.10 
512
27(204) 
8
8....213 8....21
8
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
30 
Si n = 16; 
16
3
x  
  8613.9 
4096
27(1496) 
16
16....213 16....21
16
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
Si n = 32; 
32
3
x  
  4262.9 
32
32....213 32....21
32
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
Si n = 64; 
64
3
x  
  2120.9 
64
64....213 64....21
64
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
Si n = 128; 
128
3
x  
  1057.9 
128
128....213 128....21
128
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
Si n = 256; 
256
3
x  
  0528.9 
256
256....213 256....21
256
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
Si n = 512; 
512
3
x  
  0263.9 
512
512....213 512....21
512
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
31 
Si n = 1024; 
1024
3
x  
  0131.9 
1024
1024....213 1024....21
1024
3
3
222
3222
3







 






PA 
 
 
Al generalizar nuestro procedimiento, se observa que cuanto mayor es el número de 
subintervalos en que dividimos el intervalo inicial, menor es el área que resulta de sumar 
las áreas de los rectángulos construidos. Para explicarlo analicemos qué sucede en un 
subintervalo cualquiera, dada una participación. Tenemos: 
 
 
 
Figura 21. 
 
 
Al duplicar en cada paso el número de subintervalos, significa que para la siguiente 
participación el intervalo [xk1,xk] lo dividimos en 2; y al construir los nuevos rectángulos 
eliminaremos una parte original. 
 
En la siguiente partición el intervalo queda dividido en 4 subintervalos, con lo cual al 
construir los nuevos rectángulos eliminamos otra parte del área original. 
 
Al dividir nuevamente el intervalo en 8 subintervalos y construir los rectángulos 
eliminamos otra parte del área original. 
 
 
Por lo tanto, para cada nueva partición delárea del polígono rectangular construido se va 
reduciendo, ajustándose al área que deseamos calcular. Cuando el número de 
subintervalos es muy grande (n muy grande) entonces el área del polígono rectangular, 
así construido, es prácticamente igual al área bajo la gráfica de la función. 
 
32 
Si calculamos ahora el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = 
b, tenemos: 
 
 
 
Figura 22 
 
 
1. Dividimos el intervalo [0, b] en n subintervalos 
n
bx  . Esto nos proporciona la 
partición  nxxx ,.....,, 10 con. 
 
00 x 
n
b
n
bxx  01 







n
b
n
bxx 212 







n
b
n
bxx 323 
 . 
 . 
 . 
b
n
bn
n
bxx nn 





 1 
 
 
33 
Y las áreas de los rectángulos son: 
 
3
32
11 )( n
b
n
b
n
bxxfA 











 
3
3
2
2
22 2 2 )( n
b
n
b
n
bxxfA 











 
3
3
2
2
33 3 3 )( n
b
n
b
n
bxxfA 











 
 . 
 . 
 . 
3
3
2
2
n )( 
n
b
n
b
n
bnxxfA nn 











 
 
 
 
Sumando estas áreas y factorizando tenemos: 
 
 2222
3
3
321 ...321... nn
bAAAAA n  
 







 

3
2222
3 ...321
n
nbA 
 
 
Para determinar cada valor debemos establecer qué valor toma la cantidad entre 
paréntesis cuando n es muy grande. 
 
Como recordarás de tus fascículos de primer semestre, 1 + 2 + 3 +...+ n =  
2
1nn . De 
acuerdo con esta expresión ¿habrá una expresión general que nos dé la suma de los 
cuadrados de los n primeros números naturales?, es decir, 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ? 
 
 
¡Sí! Esta sumatoria es igual a:   
6
121...321 2222  nnnn 
 
Demuestra esta fórmula mediante el método de inducción matemática. 
 
 
34 
Sustituyendo la expresión anterior en la fórmula del área, tenemos: 
 
  





 

3
3
6
121
n
nnnbA 
 
Efectuando el producto y la división indicados nos queda: 
 







2
3
6
1
2
1
3
1
nn
bA 
 
 
Cuando n es muy grande (n  ), el segundo y tercer término dentro del paréntesis 
tienden a ser cero; por consiguiente: 
 
3
3bA  . 
 
Si b = 1 ; 3333.0
3
1
A ; 
Si b = 2 ; 666.2
3
8
A ; 
Si b = 3 ; 00.9
3
27
A . 
 
Compara estos valores con los obtenidos anteriormente. 
 
 
Si b = x, entonces el área es una función de x, esto es, 
 
Si la función es ƒ(x) = x2 ; entonces su área es 
3
)(
3xxA  . 
 
¿Qué obtienes si derivas la función A(x) con respecto de x? 
 
 
 
Determinemos por medio del mismo procedimiento el área bajo la gráfica de la función 
ƒ(x) = x3, el eje X y la recta x = b. 
 
1. Partimos el intervalo [0, b] en n subintervalos: 
n
bx  
 
 
35 
Obtenemos la partición: 
 
00 x 
n
b
n
bxx  01 







n
b
n
bxx 212 







n
b
n
bxx 323 
 . 
 . 
 . 
b
n
bn
n
bxx nn 





 1 
 
 
2. En cada subintervalo tomemos el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x3. 
Como esta función es creciente, el máximo lo alcanza en el extremo derecho de cada 
subintervalo. ¿Por qué? 
 
Construyamos el conjunto de rectángulos de base igual a la longitud del subintervalo y 
altura igual al valor máximo de la función en el subintervalo; por consiguiente, sus áreas 
son: 
 
4
43
11 )( n
b
n
b
n
bxxfA 











 
4
4
3
3
22 2 2 )( n
b
n
b
n
bxxfA 











 
4
4
3
3
33 3 3 )( n
b
n
b
n
bxxfA 











 
 . 
 . 
 . 
4
4
3
3
n )( 
n
b
n
b
n
bnxxfA nn 











 
 
 
 
36 
Sumando estas áreas y factorizando, tenemos: 
 
nAAAAA  ...321 
 
4
4
3
4
4
3
4
4
3
4
4
...32
n
bn
n
b
n
b
n
bA  
 







 

4
3333
4 ...321
n
nbA 
 
 
Investiga hacia dónde tiende el valor de la cantidad que está entre paréntesis cuando n 
es muy grande (n  ). 
 
¿Hay una fórmula general que nos da la suma de los cubos de 
los n primeros números naturales 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ? 
 
 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
Practica el método que utilizamos para estudiar el área bajo la parábola en un caso más 
sencillo: 
 
1. Calcula el área limitada por la función identidad f(x) = x, el eje de las abscisas (eje X) 
y las rectas x = 0 (eje Y) y x = 20. 
 
 ¿De qué figura geométrica se está pidiendo el área? 
 ¿Podrías haber calculado el área bajo la curva más fácilmente? 
 
 
 
37 
1.3 INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
Ahora calcularemos el área bajo la gráfica respecto de una función ƒ(x) cualquiera. 
 
1. Sea ƒ(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] 
2. Tomemos una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud: 
n
abx  
 
Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2,...,xn} que conforman un conjunto 
de intervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],..., [xn1,x n]. 
 
Con x0 = a 
 
x1 = a + x 
 
x2 = x1 + x = a + 2∆x 
 . 
 . 
 . 
xn = xn-1 + x = bn
abna  
 
 
3. Construyamos una serie de rectángulos cuya base sea igual a la longitud de los 
subintervalos y cuya altura sea igual al valor que toma la función en un punto 
cualquiera vk de cada subintervalo [xk1, xk]. 
 
 
 
Figura 23 
 
 
38 
Esta serie de rectángulos nos determina un polígono P cuya área será igual a la suma de 
las áreas de los rectángulos así construidos. 
 
xvfA  )( 11 
 
xvfA  )( 22 
 
xvfA  )( 33 
 . 
 . 
 . 
xvfA nn  )( 
 
 
xvfxvfxvfxvfAAAAA nnp  )(...)()()( ... 321321 
 
 
4. Tomamos particiones con un número n cada vez más grande de subintervalos; es 
decir, que sumaremos las áreas de una infinidad de rectángulos con áreas 
infinitamente pequeñas ya que al incrementarse el número de subintervalos x 
tiende a ser muy pequeño. 
 
Por lo tanto, si 
 


n
xvfxvfxvfxvflìm n )(...)()()( 321 
 
Existe, entonces este límite será igual al área bajo la gráfica de la función ƒ en el 
intervalo [a, b] y a esta cantidad le llamaremos integral definida de la función ƒ en el 
Intervalo [a,b]; la denotaremos por 
b
a
dxxf
 
 
)( , es decir, 
 
 
 
0 
 
)(...)()()( )(
 
 
321



x
n
xvfxvfxvfxvflìmdxxf
b
a
n
 
 
 
Al símbolo  se le llama integral; a, b se conocen como límite inferior y superior 
respectivamente. 
 
 
39 
La expresión 
b
a
dxxf
 
 
)( se lee, integral de “a” a “b” de la función ƒ(x). 
 
Donde, dx es la diferencial de “x” y se considera una cantidad infinitamente pequeña. La 
diferencia es que x la usamos cuando tenemos sumas finitas y dx cuando tenemos 
sumas infinitas, es decir, límites. 
 
La función ƒ(x) pude tomar valores negativos, entonces ƒ(vk)x pueden ser cantidades 
negativas. Gráficamente esto nos induciría a que el rectángulo construido está por 
debajo del eje X y el área del rectángulo estaría multiplicando por –1. 
 
Esto nos lleva a la siguiente conversión: si la región bajo la gráfica está sobre el eje X 
ƒ(x)>0 desde x = a hasta x = c, su área es 
c
a
dxxf
 
 
)( , que es un valor positivo, pero si la 
región entre la gráfica y el eje X está por debajo de éste ƒ(x)<0 desde x = c hasta x = b, 
el área estará dada por 
b
c
dxxf
 
 
)( . 
 
 
 
Figura 24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
Calcula el área de las siguientes funciones aplicando el “método de exhaución”. 
 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
Estamos andando sobre un camino que otros hicieron y que ha sido ya bastante 
suavizado, podemos incluso aspirar a sintetizar todo este trabajo en un par de ideas: 
 
1. la integral es un método para definir el área de una figura mediante aproximacionessucesivas. 
 
2. Las aproximaciones están dadas por medio de rectángulos con la base en el dominio 
de la función y con altura determinada de tal manera que el área de cada rectángulo 
se asemeje lo más posible al área de la función correspondiente a la base del 
rectángulo. 
 
41 
1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
A partir de la definición de la Integral Definida podemos establecer las siguientes 
propiedades. 
 
Sean ƒ(x) y g(x) funciones integrales en el intervalo [a,b]. 
 
1. 0)(
 
 

a
a
dxxf ; si f(a) existe 
 
 
2.  
b
a
b
a
dxxfcdxxcf
 
 
 
 
)()( 
 
La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la 
función. 
 
 
3.    
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
 
 
 
 
 
 
)()()()( 
 
La integral de una suma (f + g) de funciones es igual a la suma de las integrales. 
 
 
4. Sea c un punto entre a y b; a < c < b, entonces  
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
 
 
 
 
 
 
)()()( . 
 
 
Figura 25. 
 
 
5.  
a
b
b
a
dxxfdxxf
 
 
 
 
)()( . 
 
Si cambiamos los límites de la integral entonces el valor de la integral cambiará de signo. 
 
 
 
42 
Expresando los resultados obtenidos anteriormente en términos de la nueva terminología 
tenemos: 
 
1. Si f(x) = 1 ; 0,b , bdxdxxf
bb
 
 
0 
 
0 
 )( . 
 
2. Si f(x) = x , 
2
 )(
2 
0 
 
0 
bxdxdxxf
bb
  . 
 
3. Si f(x) = x2 , 
3
 )(
3 
0 
2 
0 
bdxxdxxf
bb
  . 
 
4. Si f(x) = x3 , ? )(
 
0 
3 
0 
 
bb
dxxdxxf 
 
 
Con base en estos resultados y de las propiedades de la integral podemos calcular la 
integral de la siguiente función: ƒ(x) = 3x2  2x + 4, sobre el intervalo [0,2]. 
 
12 848 )2(4
2
22
3
23 423 )423( )(
 
0 
2 
0 
2 
0 
232 
0 
2 
0 
22 

















   
b
dxxdxdxxdxxxdxxf 
 
 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
Resuelve los siguientes ejercicios. 
 
1. Interpreta este resultado en cuanto al área bajo la curva, para esto construye la 
gráfica de ƒ(x). 
 
2. Determina el valor de la integral para la función ƒ(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7, sobre el 
intervalo [0,3]. 
 
3. ¿La integral de un producto es igual al producto de las integrales? 
 
4. Piensa en la función f(x) = x = g(x), calcula 
1 
0 
 )( )( dxxgxf : 
 a) como un producto de integrales. 
 
 b) multiplica antes las funciones y después calcula la integral. 
 Del inciso “a” y el “b”, ¿Se obtiene el mismo resultado? 
 
 
 
 
43 
 
 E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
Las propiedades de la integral definida nos sirven para facilitar el cálculo de ésta. 
 
Como recordarás se vieron 5 propiedades. 
 
1. 0)(
 
 

a
a
dxxf ; si f(a) existe 
 
2.  
b
a
b
a
dxxfcdxxcf
 
 
 
 
)()( 
 
3.    
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
 
 
 
 
 
 
)()()()( 
 
4.  
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
 
 
 
 
 
 
)()()( si a < c < b 
 
5.  
a
b
b
a
dxxfdxxf
 
 
 
 
)()( . 
 
 
 
44 
1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
 
 
Como se advierte, encontrar el valor de una integral mediante sumas es bastante difícil; 
si la función es polinomial podríamos con dificultad determinar su integral; si la función es 
más compleja, como ƒ(x) = sen x ó ƒ(x) = x cos x, podríamos auxiliarnos de una 
computadora para encontrar las integrales de estas funciones. 
 
Sin embargo existe una relación entre el concepto de derivada y el de integral que nos 
permite determinar las integrales de una manera relativamente sencilla. Este método se 
basa en el teorema fundamental del cálculo. 
 
Consideremos una función ƒ(x) definida sobre el intervalo [a,b]. Si F(x) es una función tal 
que )()( xf
dx
xdF
 , entonces F(x) se dice que es una antiderivada o una primitiva de ƒ(x). 
 
Sabemos que si ƒ(x) = c, entonces 0)( 
dx
dc
dx
xdf , es decir, la derivada de una 
constante es igual a cero, pero además el resultado inverso también es cierto: 
 
Si 0)( 
dx
xdf , entonces f(x) = c 
 
La definición de antiderivada y el resultado anterior nos lleva a que si ƒ(x) y g(x) son dos 
funciones tales que ƒ’(x) = g’(x), o bien ƒ’(x) – g’(x) = 0 equivalente a ƒ(x) – g(x)’ = 0, 
significa que ƒ(x) y g(x) difieren a los más en una constante, es decir, ƒ(x) = g(x) + c. 
 
Si ƒ(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función F(x) 
definida como 
 

x
a
dxxfxF
 
 
)()( con x  [a,b] 
 
 
 
Figura 26. 
 
 
 
 
45 
Es una función continua y derivable, ya que: 
 
)(
)()(
 
 xf
dx
dxxfd
dx
xdF
x
a 
 ; 
 
es decir, F(x) es una antiderivada o función primitiva de ƒ(x), 
 
F ’(x) = ƒ(x) . 
 
Esto concuerda con los resultados obtenidos en los cálculos que hemos hecho en este 
fascículo. 
 
Sea G(x) una antiderivada de la función ƒ(x), esto es, 
 
G’(x) = ƒ(x) , 
 
Entonces como F(x) = 
x
a
dxxf
 
 
)( es tal que F ’(x) = ƒ(x) , 
 
tenemos F ’(x) = G’(x). 
 
 
Lo anterior implica que F(x) y G(x) son funciones que difieren a lo más de una constante, 
por lo tanto, 
 
 F(x) = G(x) + C. 
 
Como F(a) = 0)(
 
 

a
a
dxxf (primera propiedad de la integral), entonces 
 
 0 = F(a) = G(a) + C; 
 
por lo tanto, G(a) + C = 0; C = –G(a); es decir, el valor de la constante C es igual a 
menos el valor que toma la función primitiva en el punto “a” y: 
 
F(b) = )()()(
 
 
aGbGdxxf
b
a
 . 
 
 
 
Si G(x) es una función primitiva de ƒ(x), entonces 
 
b
a
aGbGdxxf
 
 
)()()( 
 
 
 
A este resultado, el teorema fundamental del cálculo, llegaron Newton y Leibniz. 
 
 
 
 
 
46 
Este teorema nos facilita el cálculo de la integral de muchas otras funciones, como lo 
podrás comprobar en los siguientes fascículos. En particular como 
 
  n
n
n
x
n
xn
dx
n
xd






)1(
 11 11
1
 
 
Esto es, 
)1(
1


n
x n es antiderivada de xn, por lo tanto, tenemos: 
 
)1()1(
 
)1(
 
111 
 






 n
a
n
b
n
xdxx
nnb
a
nb
a
n 
 
que es congruente con los resultados obtenidos y que nos permite calcular integrales de 
funciones tales como ƒ(x) = 5x6 – 7x4 + 2x2 – 5, en el intervalo [2,3]. 
 
   
3 
2 
3 
2 
246 )5275( )( dxxxxdxxf 
 
    
3 
2 
3 
2 
23 
2 
43 
2 
6 5275 dxdxxdxxdxx 
 
3
2
121416
 5
12
2
14
7
16
5





























 xxxx 
 
3
2
357
 5
3
2
5
7
7
5

 xxxx 
 












 )2(5
3
)2(2
5
)2(7
7
)2(5)3(5
3
)3(2
5
)3(7
7
)3(5 357357 
 
1033.218.4442.9115182.34014.1562  
 
89.1282 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
 
Calcula la integral de las siguientes funciones en los intervalos indicados. 
 
 
1. ƒ(x) = 4x2 – 5x + 2 ; [–4,5] 
 
2. ƒ(x) = 3x3 – 2x ; [–3,3] 
 
3. ƒ(x) = 2x4 – 7x2 + 2 ; [–4,4] 
 
4. ƒ(x) = 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x ; [1,2] 
 
5. ƒ(x) = 6x6 – 4x4 + 2x3 – 3x ; [–1,1] 
 
 
 
 
 E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
 
La integral de funciones polinomiales se puede obtener por medio del Teorema 
Fundamental de Cálculo, mediante la aplicación de la siguiente propiedad. 
 
)1()1(
 
)1(
 
111 
 






 n
a
n
b
n
xdxx
nnb
a
nb
a
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 R E C A P I T U L A C I Ó N 
 
 
 
El siguiente esquema te proporcionará los elementos necesarios para elaborar una 
Recapitulación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área bajo la gráfica de una recta 
Área bajo la gráfica de una curva 
Integral Definida 
Área bajo la gráfica de una curva 
 
49 
 
 A C T I V I D A D E S D E C O N S O L I D A C I Ó N 
 
 
 
 
1. Calcula el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 2 sobre el eje X, entre el eje Y 
y las rectasx = 1, x = 2, x = 3,..., x = 10. 
 
 
2. Calcula por el método de exahución el área bajo la gráfica de la función 
ƒ(x) = 25 – x2; sobre el eje X, entre el eje Y y la recta x = 4. Para construir los 
rectángulos toma el valor mínimo de la función en cada subintervalo. 
 
 
3. Calcula por medio del método de exahución el área de la región determinada por 
la gráfica de la función ƒ(x) = x3; el eje X y las rectas x = –2 y x = 2. 
 
 
 
Figura 26. 
 
 
50 
En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades de la integral, el Teorema 
Fundamental del Cálculo y el resultado  

b
a
b
a
n
n
n
xdxx
 
 
1
 
1
 para determinar el valor de la 
integral que se te pide. 
 
 
4. Sea ƒ(x) = 3x2 – 2x + 1 ; [0,5] 
 
 
5. Sea ƒ(x) = 4x5 – 6x3 + 3x ; [–2,2] 
 
 
6. Sea ƒ(x) = x7 + 8x4  3x2 + 5 ; [–1,2] 
 
 
7. Sean ƒ(x) = 3x – 2 y g(x) = 2x  3 ;    )()(
5 
0 
dxxgxf 
 
8. Sea 






42 
20 )(
2
xsib
xsixxf calcula el área bajo la función ƒ(x), sobre el eje X 
 y la recta y = 4. 
 
 
 
Figura 27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 A U T O E V A L U A C I Ó N 
 
 
 
Con la intención de corroborar tu aprovechamiento se te proporcionan algunas 
respuestas a las Actividades de consolidación. 
 
1. Ya que ƒ(x) = 2 es una función constante, ¿puedes tomar el extremo derecho de 
cada subintervalo para tener la altura de los rectángulos? ¿Cuál es la altura de 
éstos?, ¿cuál es su base?, ¿sucede lo mismo para las rectas x = 2, x = 3,..., x = 
10? Abreviando el desarrollo: 
 
 Para x = 1 el área es A1 = 2 u2 
 
 x = 2 el área es A2 = 4 u2 
 
 x = 3 el área es A3 = 6 u2 
 . 
 . 
 . 
 x = 10 el área es A10 = 20 u2. 
 
 
2. ¿Se llegará al mismo resultado si tomamos los máximos de la función en cada 
uno de los subintervalos? 
 
 
3. Como ƒ(x) = x3 toma valores negativos en el intervalo [2,0]; el valor de la 
integral será negativo. Además, por la simetría de la gráfica, el área por arriba 
del eje X es igual al área por abajo del eje X. Entonces, ¿Cuál es el valor de la 
integral? ¿Cómo puede determinarse el área verdadera? ¿cuál es la propiedad 
de la integral que te permite lograr esto? 
 
 Después de haber realizado tu desarrollo, conforme a lo anterior, compara tú 
 resultado con: 
 
 Área = 8 u2. 
 
 
52 
 4. 105 u2 
 
 5. 0 
 
 6. 
40
1077 u2 
 
 7. 
2
75 u2 
 
 8. 
3
32 u2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 A C T I V I D A D E S D E G E N E R A L I Z A C I Ó N 
 
 
 
Se recomienda visitar el Museo de las Ciencias “Universum”, donde encontrarás 
diferentes apoyos para la comprensión analítica de las cuestiones básicas de las 
Matemáticas. 
 
 
También te sugerimos ver la película con ganas de triunfar (que se proyecta en varios 
planteles del Colegio de Bachilleres) para tener actitud crítica y reflexiva en cuestiones 
relacionadas con el cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
 
 
B I B L I O G R A F Í A C O N S U L T A D A 
 
 
 
ANFOSSI, A. Y Fores Meyer M. A. Cálculo Diferencial e Integral, 9ª. Ed. Progreso, 
México, 1954. 
 
 
BOSCH, Guerra, Hernández y Oteyza. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones 
Cultural, México, 1995. 
 
 
CRUSE, A.B. y Lehman M. “Introducción a la Integral”, en Lecciones de Cálculo 2. Fondo 
Educativo Interamericano, México, 1982. 
 
 
GÓMEZ, José Luis. Introducción al Cálculo Diferencial e Integral, 2ª. Ed. Limusa, México, 
1987. 
 
 
HOCKETT, Shirley O. y Sternstein Martín. Cálculo por objetivos y aplicaciones. CECSA, 
México, 1985. 
 
 
LARSON, Hostetler. Cálculo y Geometría Analítica. McGraw-Hill, México, 1986. 
 
 
SALAS, S.L. y Hille E. Cálculos de una y varias variables, 2ª. Ed. Reverté, España, 
1982. 
 
 
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamérica, México, 1979. 
 
 
WENZELBURGER, E. Cálculo Integral. Módulo introductorio. Universidad 
Iberoamericana, México, 1985. 
 
 
Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, año II, núm. 6, diciembre de 1985. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLEGIO DE BACHILLERES 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FASCÍCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
 
 
 
 Autores: Luisa Guerrero Chávez 
 Alejandro Jesús López Argüelles 
 Alberto Luque Luna 
 María del Carmen Santoveña 
Delgado 
 Mauro Enrique Vázquez Muñoz 
 Miguel Ángel Villagómez Aragón 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 Í N D I C E 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 7 
 
CAPÍTULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA 9 
 
PROPÓSITO 11 
 
1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA 16 
 
1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 20 
 
1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 25 
 
1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE 30 
 
1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL 37 
INDEFINIDA Y DEFINIDA 
 
1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE 40 
INTEGRALES INDEFINIDAS 
 
RECAPITULACIÓN 47 
ACTIVIDADES INTEGRALES 48 
AUTOEVALUACIÓN 49 
 
 
 4 
 
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 51 
 
PROPÓSITO 53 
 
2.1 CAMBIO DE VARIABLE 57 
 
2.2 INTEGRACIÓN POR PARTES 62 
 
2.3 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES 68 
RACIONALES POR DESCOMPOSICIÓN EN 
FRACCIONES PARCIALES 
 
2.3.1 DENOMINADOR FORMADO POR UNA 
FUNCIÓN LINEAL 
68 
2.3.2 DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES 
LINEALES DE PRIMER GRADO QUE NO SE 
REPITEN 
71 
2.3.3 DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES 
DE SEGUNDO GRADO QUE NO SE REPITEN 
75 
 
RECAPITULACIÓN 81 
ACTIVIDADES INTEGRALES 82 
AUTOEVALUACIÓN 83 
ANEXO 84 
 
 
CAPÍTULO 3. APLICACIONES DEL CÁLCULO 
INTEGRAL 
87 
 
PROPÓSITO 89 
 
3.1 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y 92 
ÁREA BAJO LA CURVA 
 
3.2 INTEGRAL DE LA RAZÓN DE CAMBIO 100 
INSTANTÁNEA 
 
3.3 ÁREA BAJO LA CURVA 112 
 
3.4 ÁREA ENTRE CURVAS: UTILIDADES 119 
 
3.5 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN DE LA 131 
CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 
 
 
 5 
RECAPITULACIÓN 138 
ACTIVIDADES INTEGRALES 139 
AUTOEVALUACIÓN 140 
 
RECAPITULACIÓN GENERAL 141 
 
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 142 
 
AUTOEVALUACIÓN 144 
 
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 146 
 
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 151 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 I N T R O D U C C I Ó N 
 
 
 
 
Este Fascículo consta de tres capítulos: 
 
 
En el capítulo 1. Integral Indefinida, se plantea desde lo que es el concepto de integral, 
pasando por lo que es la determinación de la constante, así como la comparación entre 
integral definida (Fascículo 1) e integral indefinida, sin olvidar, por supuesto, algunos 
ejemplos básicos de integrales indefinidas. 
 
 
Una de las mejores maneras de aprender el Cálculo es a base de resolver ejercicios y/o 
problemas, y que mejor para el logro del objetivo que aventurarnos en el capítulo 2 
referente a las Técnicas de Integración. 
 
 
Por último, para reforzar lo aprendido del capítulo 1 y 2, se presentan en el capítulo 3 
una serie de problemas muy interesantes de las aplicaciones del Cálculo Integral en el 
campo de la Física, Biología, Ingeniería, Economía y Medicina. 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 C A P Í T U L O 1 
 
 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
 
 
 1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA 
 
 1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 
 
 1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 
 
 1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS 
 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
 
 P R O P Ó S I T O 
 
 
 
 
El cálculo diferencial y el cálculo integral son procesos inversos cuyo análisis de relación 
se alcanza con el contenido del presente fascículo, el cual pretende que al concluir su 
estudio: 
 
 
 
 
¿QUÉ APRENDERÁS? 
 
 
 
 
 
 
¿CÓMO LO APRENDERÁS? 
 
 
 
 
 
 
 
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR? 
 
 
 
 
 
El Teorema Fundamental del Cálculo y a 
resolver integrales indefinidas y definidas. 
Mediante la relación existente entre 
ambas integrales y el procedimiento de 
evaluación y solución de dichas integrales 
Para evaluar una integral definida (área 
bajo una curva) de funciones elementales 
y para determinar el valor de la constante 
de integración que se indica 
explícitamente en cada integral indefinida. 
 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
CAPÍTULO 1 
LA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
 
A continuación te presentamos un ejemplo que te ayudará a comprender el concepto de 
la integral indefinida. 
 
Durante un recorrido en autobús, un estudiante observó que el velocímetro marcaba 15 
km/h y que este trayecto se hizo en una hora; al llegar a una parte de subidas y curvas la 
velocidad era de 40 km/h, y al salir de éstas la velocidad era de 60 km/h. Al circular en la 
autopista, la velocidad era de 90 km/h. Con estos datos el observador hizo la siguiente 
gráfica. 
 
 
 
Figura 1. 
 
 
 
 
 14 
Esta gráfica representa los cambios de velocidad en un intervalo de tiempo, pero no dice 
cuántos kilómetros son, ya que son resultados acumulados de razones de cambio, mas 
al tomar la suma de los productos de las razones de cambio multiplicados por el intervalo 
el resultado obtenido será la suma total de los procesos de cambio. Por consiguiente, 
para obtener la distancia total se tiene: 
 
 15 km/h(1h) + 40 km/h(1h) + 60 km/h(1h) + 90 km/h(1h); 
 
 
Entonces la distancia resulta: 
 
 15 km + 40 km + 60 km + 90 km = 205 km. 
 
 
La figura 2 representa la distancia total recorrida en 4 h. 
 
 
 
Figura 2. 
 
 
De acuerdo con las gráficas se puede establecer que obtener la distancia que recorre el 
autobús implica sumar o integrar esas razones de cambio simbólicamente, por lo tanto, 
 
   svdt función desplazamiento 
 
 función velocidad 
 
O inversamente, si es la distancia o desplazamiento lo que se tiene y deseas obtener la 
velocidad, debes derivar la función desplazamiento v
dt
ds
 . 
 
 15 
Lo anterior es una explicación que te ayudará a entender el porqué de ciertas funciones 
continuas; por ejemplo: 
 
 
 
 
(1) ƒ(x) = x2, cuya gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) ƒ(x) = x2 + 2, cuya gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) ƒ(x) = x2 – 2, cuya gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
Al derivar obtienes otra función: ƒ’1(x) = 2x, ƒ’2(x) = 2x y ƒ3(x) = 2x , que al integrarlas se 
regresa a las funciones (1), (2) y (3). 
 
 
 
x 
y 
0 
y 
x 
0 
y 
x 0 
 16 
1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA 
 
 
A lo largo de tu formación académica has observado que en Matemáticas existen 
operaciones y funciones inversas, algunos ejemplos se especifican en la siguiente tabla: 
 
 
 
 
Respecto a la derivada y la antiderivada, se manejarán como procesos inversos. 
 
En los conceptos estudiados en Cálculo Diferencial hay uno que plantea el siguiente 
problema: dada una función, encontrar su derivada, que en Cálculo Integral 
estudiaremos como el problema inverso: dada la derivada de una función, hallar la 
función original o primitiva. Supongamos que deseamos encontrar una función F(x) que 
tiene como derivada a: 
 
x
dx
xdF 3)(  2 
 
Se diría que: 
 
3)( xxF  porque 2
3
3)( x
dx
dx
dx
xdF
 
 
o podemos decir que: 
 
4)( 31  xxF porque 
21 3
)(
x
dx
xdF
 
 
 17 
Las gráficas serían: 
 
 
 
Figura 3. 
 
 
De acuerdo con lo anterior, si llamamos a la función F(x) antiderivada o primitiva, 
decimos que x3 es antiderivada o primitiva de 3x2. 
 
La derivación y la antiderivación, que se consideran procesos inversos, podemos 
esquematizarlas como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acuerdo con el esquema, F(x) es una antiderivada o primitiva de ƒ(x) en un lugar de 
la antiderivada o primitiva de ƒ(x). ¿Por qué? 
 
Una antiderivada o primitiva de ƒ(x) = 2x es F(x) = x2, puesto que x
dx
xdF 2)(  
 
Incluso podemos decir que F1(x) = x2 – 1 y F2(x) = x2 + 10 son antiderivadas o primitivas 
 
de ƒ(x) = 2x, puesto que )(
)()( 21 xf
dx
xdF
dx
xdF
 
ƒ(x) es una 
función que 
da una razón 
de cambio. 
Integrando 
la razón de 
cambio se 
obtienen 
sus efectos 
acumulados
, F(x). 
Derivando los 
efectos cumulados 
se obtiene la razón 
de cambio original, 
ƒ(x). 
Derivación Integración 
 18 
Si F(x) es un antiderivada (primitiva) de una función ƒ(x), entonces G(x) = F(x) + C 
también lo es. Aquí C representa una constante (valor independiente de x) y G(x) es otra 
función cualquiera. 
 
¿Por qué G(x) también es una antiderivada o primitiva? Si suponemos que G(x) es una 
antiderivada o primitiva entonces concluimos que: 
 
)()( xf
dx
xdG
 
 
 
Hemos dicho que G(x) = F(x) + C, más si derivamos se tendrá: 
 
)(0)()()()( xf
dx
xdF
dx
dC
dx
xdF
dx
CxdF
dx
xdG


 
 
Por lo tanto, )()( xf
dx
xdG
 . Por consiguiente, G(x) es una antiderivada o función primitiva 
de ƒ(x). 
 
De esto concluimos que la antiderivada (o primitiva) de ƒ(x) debe tener la forma G(x) = 
F(x) + C, es decir, dos antiderivadas de la misma función pueden diferir cuando más en 
una constante. 
 
En adelante se hará referencia a F(x) + C como la antiderivada de ƒ(x). Además, F(x) + 
C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene por derivada a ƒ(x), 
y C tendrá valores diferentes. 
 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
¿Cuál es la operación inversa de la integración? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
 E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
Función Primitiva F(x). Es la función que se obtiene al integrar la función original f(x). 
 
 
 Así, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si F(x) es una función primitiva de f(x) 
La derivada de F(x), será la función original )()( xf
dx
xFd
 
entonces 
 20 
1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
Si F(x) y G(x) son antiderivadas o primitivas de ƒ(x) que difieren cuando más en una 
constante, podemos decir que al derivar la función primitiva obtendremos la función 
original, esto es: 
 
F’(x) = ƒ(x), 
 
O bien 
 
)()( xf
dx
xdF
 
 
Lo anterior puede expresarse como: 
 
dF(x) = ƒ(x)dx 
 
o 
 
dF(x) = F’(x)dx 
 
 
La operación para encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior se llama 
antiderivación o integración, y se representa por  , que es una sigma mayúscula 
estilizada. 
 
Así, podemos representar la solución como 
 
 dxxf )( = F(x) + C, 
 
donde  dxxf )( se lee como la integral o antiderivada de ƒ(x) respecto a x. 
 
De acuerdo con la simbología: 
 
ƒ(x) es el integrando 
 es el signo de integral 
ƒ(x)dx es el elemento de integración 
C es la constante de integración 
 
 
 21 
Recuerda que F1(x) = x2  1 y F2(x) = x2 + 10 son dos antiderivadas o primitivas de la 
función ƒ(x) = 2x, pero ¿son las únicas? Para responder, de la función ƒ(x) = x 
obtengamos sus antiderivadas o primitivas. 
 
antiderivada de x es 
2
2x porque la derivada de 
2
2x es x 
 
antiderivada de x es 1
2
2

x porque la derivada de 1
2
2

x es x 
 
antiderivada de x es 7
2
2

x porque la derivada de 7
2
2

x es x 
 
antiderivada de x es 11
2
2

x porque la derivada de 11
2
2

x es x 
 
antiderivada de x es 4
2
2

x porque la derivada de 4
2
2

x es x 
 
 
¿Hay otras antiderivadas o primitivas de la función ƒ(x) = x ? 
¿Podrías demostrar que hay otras expresiones antiderivadas de x ? 
 
Hazel ejercicio anterior con base en la derivación como comprobación. Nos referimos a: 
 
Una antiderivada de x es 8
2
2

x , porque   xx
dx
dx
dx
d 0 8
2
2









 
 
 
Para los ejemplos anteriores se debe entender que aunque la función ƒ(x) = x tiene un 
número infinito de antiderivadas o primitivas, hay una parte de todas ellas que 
permanece: 
 
2
2x 
 
 
Así podemos escribir todas las antiderivadas o primitivas de x con base en la siguiente 
notación. 
 
Antiderivada de x es Cx 
2
2
, 
 
donde C es un número que llamaremos constante de integración. 
 22 
La ecuación anterior se expresa en forma simbólica como: 
 
  C
xxdx
2
2
 que es la antiderivada o integral indefinida. 
 
 
Es decir, para indicar una antiderivada o primitiva o integral indefinida de una función 
general ƒ(x) es común encontrarla con la siguiente simbología: 
 
 
 
  CxFdxxf )()( , llamada integral indefinida de la función ƒ(x). 
 
 
 
Pero, ¿por qué una función puede tener un número infinito de antiderivadas? Se darán 
dos respuestas: una analítica y otra geométrica. 
 
La primera es simple, pues la hemos estado usando: por ejemplo, recuerda que 
habíamos mencionado a: 
 
7
2
2

x y 11
2
2

x 
 
como algunas de las antiderivadas de la función ƒ(x) = x. Esto se comprueba derivando 
ambas fórmulas, como ya se había indicado. 
 
De éstos dos ejemplos se deduce que podemos añadir una constante arbitraria de 
integración porque la derivada de la constante es cero. Cualquiera que sea el valor de la 
constante, no tiene efecto al calcular la derivada. 
 
 
La respuesta geométrica está en razón de la interpretación de la derivada como una 
pendiente. La figura 4 muestra tres diferentes curvas, cada una de las cuales tiene la 
misma derivada, mostrada en la figura 5. Así, la antiderivada de x representa una familia 
de funciones, todas de la forma Cx 
2
2
. 
 
 
 23 
 
 
Figura 4. 
 
 
 
 
Figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
Traza la gráfica de la función 2
2
)(
2

xxf (utiliza el eje de coordenadas de la figura 4). 
 
 
 
 
 
E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
 
 
Integral Indefinida. 
Se llama integral indefinida de la función f(x) al conjunto de todas las primitivas de f(x). 
A la integral indefinida se le nota por la expresión:   CxFdxxf )()( 
 
 
 
 
 25 
1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 
 
 
En la figura 4 se observa que la constante C de la antiderivada puede tomar diferentes 
valores, que dependen de la función original Recuerda que en Cálculo Diferencial se 
daban, por ejemplo, las siguientes funciones: 
 
4
2
1)( 2  xxf 
 
10
2
1)( 2  xxf 
 
1
2
1)( 2  xxf , 
 
que al derivarlas obtenías: 
 
ƒ’(x) = x 
 
ƒ’(x) = x 
 
ƒ’(x) = x 
 
 
¿Qué pasaba con los valores 4, 10 y 1? 
 
Estos valores, que si bien valen cero en la función derivada, son de gran importancia en 
Cálculo Integral, si queremos obtener las funciones originales a partir de las funciones 
derivadas. 
 
Para entender lo anterior, además del término constante de integración; pasaremos a las 
funciones planteadas en el principio del capítulo, esto es: 
 
ƒ(x) = x2 (1) 
 
ƒ(x) = x2 + 2 (2) 
 
ƒ(x) = x2 – 2 (3) 
 
 
Analizando veremos que: 
 
En la función (1) la constante no existe, por lo tanto, es cero. 
En la función (2) la constante vale 2. 
En la función (3) la constante vale – 2. 
 
 26 
Para un mejor análisis recurramos al aspecto gráfico, esto es, hacer la gráfica de cada 
función (figura 6), Tabularemos la primera función y tú harás las restantes. 
 
 ƒ(x) = y = x2 y = x2 o ƒ(x) = x2 
 
 
 
 
 Figura 6. 
 
 
Obsérvese la posición sobre los ejes x y y de cada una de las gráficas, ¿qué diferencias 
y similitudes hay? Para una mejor comprensión de lo que es Cálculo Diferencial e 
Integral hagamos lo siguiente: 
 
Al derivar la función (1) tendremos x
dx
dx 2
2
 (1’) 
Al derivar la función (2) tendremos   x
dx
xd 22
2

 (2’) 
Al derivar la función (3) tendremos   x
dx
xd 22
2

 (3’) 
 
Estas derivadas tienen la misma expresión matemática, aun cuando prevengan de 
diferente función; mas si recurrimos al proceso inverso, es decir, integramos la función 
derivada, entonces: 
 27 
Se integra la función (1’) 
 
  Cxxdx 22 , porque xdx
dx 2
2
 . 
 
Se integra la función (2’) 
 
  Cxxdx 22 , porque xdx
dx 2
2
 . 
 
Se integra la función (3’) 
 
  Cxxdx 22 , porque xdx
dx 2
2
 . 
 
 
Como la integración es un proceso inverso de la derivación se infiere que al integrar las 
funciones (1’), (2’) y (3’) tendríamos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, en los 
resultados de la integración no se cumple, ¿por qué?, ¿Qué hace falta para obtener las 
funciones (1), (2) y (3)? Se debe agregar a la integral indefinida una constante, C que al 
calcularse podremos determinar las funciones (1), (2) y (3), respectivamente. Por lo 
tanto, lo correcto es escribir la integración de la siguiente forma: 
 
   Cxxdx 22 , donde C = 0 
 
   Cxxdx 22 , donde C = 2 
 
   Cxxdx 22 , donde C = 2 
 
 
Se advierte que el valor de C es fácil inferirlo porque ya conocíamos las funciones (1), (2) 
y (3); sin embargo, no ocurre así en todos los casos, pues las más veces debemos 
indicar la constante, C, cuando efectuamos una integral indefinida. En otros casos se 
nos dan algunas condiciones iniciales de la función para determinar el valor de C. 
 
Antes de determinar el valor de la constante es importante ver en forma gráfica la 
relación entre la integración y diferenciación. Para esto vemos el siguiente ejemplo. 
 
De la función (1), ƒ(x) = x2 sabemos que su gráfica es una parábola cuyo vértice es el 
origen y concavidad hacia arriba; al obtener la derivada resulta otra función que es de 
primer grado (una recta). Este proceso se estudió en Cálculo Diferencial (Figura 7a), 
pero en Cálculo Integral se tiene el proceso inverso, porque a la función derivada hay 
que aplicarle el proceso de integración (Figura 7b). 
 28 
 
 
Figura 7a. 
 
 
 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
Analiza la siguiente figura. 
 
 
 
Figura 7b. 
 
 
Al aplicarle la integración a la función f(x) = 2x, ¿Puedes inferir que gráfica obtendrás 
correspondiente a la función integrada? 
 
 
 
 
 29 
 
 E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
 
 
 
 
Cuadro en donde se indica el por qué una integral indefinida tiene siempre una 
constante. 
 
 
 30 
1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 
 
 
Se ha visto que evaluar una integral indefinida implica que hay una constante de 
integración C, la cual, al evaluarla, obtendremos la función original. Si retomamos las 
funciones ƒ(x) = x2, ƒ(x) = x2 + 2 y ƒ(x) = x2 – 2, de manera general podemos indicar que 
 
y = ƒ(x) = x2 + C 
 
representa una familia de parábolas y cada valor de C corresponde a una de ellas; por 
ejemplo: 
 
y = x2 + 2 
 
y = x2 – 2 
 
y = x2 – 3 
 
y = x2 + C ó y = x2 – C 
 
y = x2 + 1/4 
 
y = x2 + 10 
 
y = x2 – 1/16 
 
 
Se observa que C toma diferentes valores, incluso cero, y toma la forma y = x2. A 
continuación se indican ciertas condiciones iniciales para determinar el valor de la 
constante C. 
 
Si queremos que una de las parábolas descritas por la ecuación y = x2 + C pase por el 
punto P(2,1), al sustituir tendremos: 
 
y = x2 + C si P(2,1) que es condición de la función 
1 = 22 + C 
1 = 4 + C 
C = 1 – 4 
C = 3. 
 
Entonces se estará hablando de la parábola y = x2 – 3. Veamos otro ejemplo: 
 
 31 
Si y = x2 + C y uno de sus puntos es P(1,3) tendremos: 
 
y = x2 + C 
3 = 12 + C 
3 = 1 + C 
C = 2, 
 
Y la parábola será y = x2 + 2 
 
 
Adicionalmente, calcula la constante de y = x2 + C si queremos que los siguientes puntos 
pertenezcan a las parábolas. Comprueba lo anterior trazandolas parábolas. 
 
P(3,1) 
P(4,3) 
P(3,2) 
P(3,4) 
P(2,5) 
P(3,2) 
 
 
 
Cuando se conoce la constante de integración, podemos llegar a la función primitiva que 
dio origen a la derivada. 
 
Veamos cómo determinar la constante de integración a partir de otro enfoque. Para ello 
recuerda lo estudiado en el Fascículo 1, de Cálculo Diferencial e Integral II, donde se 
indica que debes: 

x
a
dxxfxA
 
 
 )()( si 0)( xf en  xa, 
 
 
o bien, 
)( )(
 
 
xAdxxf
x
a
 si 0)( xf en  xa, 
 
es decir, en estas circunstancias la integral definida representa geométricamente el área 
bajo la curva ƒ(x) cuando x varía en [a, x]. 
 
 32 
En este fascículo se llegó a la expresión de integral indefinida como: 
 
  )()( xFdxxf . 
 
De estas dos expresiones se deduce que las integrales de la misma función difieren 
únicamente en una constante, ya que A(x) y F(x) son dos integrales de ƒ(x): 
 
A(x) = F(x) + C ; 
 
Por lo tanto, el siguiente paso es determinar el valor de C, consideremos el área 
sombreada bajo ƒ(x) entre las líneas verticales sobre (a,0) y (x,0) de la figura 8. 
 
 
 
 Figura 8. 
 
 
Aquí A(a) = 0 es el área del segmento con extremos en (a,0) y (a,ƒ(a)). 
Usando A(x) = F(x) + C y cuando x = a: 
A(a) = F(a) + C; 
pero A(a) = 0 
 0 = F(a) + C  C = F(a) 
 
De la ecuación anterior recuerda que: 
 
A(x) es el área bajo la curva ƒ(x) en el intervalo [a,x] 
F(x) es la integral indefinida  dxxf )( 
F(a) es F(x) evaluada en a. 
 
 
 33 
Encontremos ahora el área bajo la curva y = x2 desde 0 hasta x (figura 9). 
 
 
 
Figura 9. 
 
 
Como sabemos   )(3
3
2 xFCxdxx 
 
A(x) = F(x) – F(0); 
 
Pero CxxF 
3
)(
3
 
 
y CF 
3
0)0(
3
; 
 
Por lo tanto, al sustituir en A(x), 
 












 CCxxA
3
0
3
)(
33
 
 
 
3
)(
3xxA  . 
 
 
Observa que la constante, C, se elimina al encontrarse la expresión F(x) – F(a); así, 
podemos omitir sencillamente C, como en el siguiente ejemplo: 
 
¿Puedes encontrar el área bajo la curva y = 2x2, entre los puntos (2,0) y (3,0) de la figura 
10? 
 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. 
 
 
Solución 
 
A(x) = F(3) – F(2), 
 
Donde F(x) =  dxx 22 = 3
2 3x 
 
Así, F(3) =   18
3
32 3
 y F(2) =  
3
16
3
22 3
 
 
Al sustituir en la primera expresión, el área es: 
 
A(x) =
3
38
3
1618  . 
 
 
Se concluye que si se pide el área limitada por la curva ƒ(x) cuyo intervalo es [a,b] (figura 
11), podemos encontrarla con: 
 

b
a
dxxfA
 
 
 )( 
o bien 
 
A = F(b) – F(a), siempre que F’(x) = ƒ(x) ó F(x) =  dxxf )( . 
 
 
La última expresión de A indica que el área también puede encontrarse en términos de la 
integral indefinida. 
x 
 f(x) 
 1 2 3 4 
0 
 35 
 
 
Figura 11. 
 
 
De acuerdo con lo anterior tenemos la relación 
 
)()( )(
 
 
aFbFdxxf
b
a
 , si  dxxfxF )()( . 
 
 
En consecuencia, la integral definida puede expresarse en términos de una integral 
indefinida evaluada en los límites. 
 
¿Te es familiar este resultado? 
 
Por supuesto que si, la formalidad de estos ejemplos es lo que se analiza en el Teorema 
Fundamental de Cálculo del Fascículo 1. 
 
 
 
 A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
 
 
 
Calcula el área bajo la curva y = x2 entre los puntos (1,0) y (2,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
 
 
E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 
 
 
Es importante establecer la relación entre integrales indefinidas y definidas, ya que son 
muy diferentes aun cuando existe una relación estrecha entre ellas. 
 
La integral definida 
b
a
dxxf
 
 
 )( se define en términos del límite de una suma: 
 
Suma [ƒ(x) x] o bien  [ƒ(x) x]. 
 
La integral definida es un número (frecuentemente en dimensiones como cm2 o m2) que 
se aproxima por términos de sumas cuyo número de rectángulo se hace infinito y el 
ancho de la base de los mismos se aproxima a cero. 
 
La integral indefinida  dxxf )( es una función cuya derivada es ƒ(x). 
 
Como ejemplo de distinción entre la integral definida e indefinida tenemos: 
 
2
0
2
3 
2
 
223
0
3
0
2

xxdx 
 
3
0 2
9 xdx 
 
cuya gráfica se muestra en la figura 12. 
 
 
 
Figura 12. 
 
 38 
En cuanto a la integral indefinida 
  C
xdxx
2
 
2
, 
 
La gráfica correspondiente es la figura 13, que es una familia específica de funciones 
donde la diferencia entre cada una es la constante. 
 
 
 
Figura 13. 
 
 
 
A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N 
 
 
Resuelve y evalúa las siguientes integrales: 
 
1.  dxx 
3 4. 
3 
1 
3 dqq 
 
 
2. 
2 
1 
3 dxx 5.  dyy 
 
 
3.  dpp 6.    dxx 1 
 
 
 
 
 
 
 39 
 
 E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS 
 
 
De la siguiente serie de funciones obtener su antiderivada o primitiva para observar y 
deducir su comportamiento. 
 
1. Antiderivada de 1 = x 4. Antiderivada de 
4
4
3
xx  
 
2. Antiderivada de 
2
2xx  5. Antiderivada de 
5
5
4
xx  
 
3. Antiderivada de 
3
3
2
xx  
 
 
¿Puedes dar el patrón de éstas fórmulas? Hay una fórmula para una antiderivada de 
cualquier función de la forma xn, que siempre es una constante multiplicada por xn+1. 
 
Entonces, cuando derivamos ésta función llegamos a otra función cuyo exponente es 
uno menos que el de la función original. Por lo tanto, si antiderivamos una función, 
llegamos a una nueva función cuyo exponente es más uno que la función original. Esto 
nos lleva a las siguientes fórmulas: 
 
 
 
 41 
Por lo tanto, antiderivada de C
n
xx
n
n 



1
1
. Por ejemplo, si n = 3, antiderivada de 
413
413
3 xxx 



. 
 
Que está de acuerdo con el resultado de la tabla. 
 
Si n = 7, entonces de acuerdo con la fórmula antiderivada de: 
 
817
817
7
xxx 



 
 
 
Para comprobar la fórmula general de antiderivada o función primitiva basta con derivar 
la siguiente función: 
1
1



n
xy
n
 
 
de la cual resulta: 
  n
n
x
n
xny 
1
1 '
11




 
 
que es la función con la cual empezamos y muestra que la fórmula general es correcta. 
 
 
La integral de las funciones ƒ(x) = 1 y ƒ(x) = x permite ver el comportamiento de la 
integral definida con el de la integral indefinida o antiderivada. 
 
 
 
Figura 14. 
 
El área bajo una curva en un intervalo cerrado se calcula por medio de la integral 
definida. 
 
b
a
xf )( Área 
 42 
Respecto a la figura 14 tenemos ƒ(x) = 1 y el área de un rectángulo es bh (base por 
altura), por lo tanto: 
 
  
b
a
bhdxxf
 
 
 )( 
 
 
1 
0 
1)1)(1(dx , que es el área del rectángulo A1 
 
 
2 
0 
2)1)(2(dx , que es el área del rectángulo A2 
 
 
nx
nn xxdx
 
0 
)1)(( , que es el área del rectángulo n–simo 
 
 
De esta integral definida resulta el área del n–simo rectángulo. Para la misma función la 
integral indefinida es: 
 
  Cxdx 
 
 
En el caso de la integral indefinida para la misma función el resultado no es un número, 
es una familia de funciones de la forma x + C. 
 
 
 
Figura 15. 
 
 
El área está definida por: 
 
b
a
dxxf
 
 
 )( área 
 43 
En este caso ƒ(x) = x, y el área 
2
bh (área de un triángulo). 
 
 
Por lo tanto, 
 
 
b
a
bhdxxf
 
 2
 )( 
 
 
1 
0 2
1
2
)1)(1( dxx 
 
 
2 
0 2
4
2
)2)(2( dxx 
 
 
 
nx nnn xxxxdx
 
0 
2
22
))((
. 
 
 
De la integral definida resulta un valor numérico, que en este caso representa el área del 
triángulo n-simo. Para la integral indefinida de la función ƒ(x) = x se tiene: 
 
  C
xxdx
2
2
 
 
Que representa una familia de funciones Cx 
2
2
 donde C es el valor que caracteriza a 
una de esas funciones. 
 
 
En los siguientes ejercicios