M-39

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Propuesta de Trabajo Fin de Grado en Matemáticas (curso 2022–2023)
Responsable de tutorización: Antonio Martínez López
Departamento: Geometría y Topología
Correo electrónico: amartine@ugr.es
Responsable de cotutorización:
Departamento:
Correo electrónico:
(Rellenar sólo en caso de que la propuesta esté realizada a través de un estudiante):
Estudiante que propone el trabajo: Álvaro Maldonado Bullejos
Título del trabajo: Geometrías sobre superficies. Introducción a la Geometría de un Universo
Tipología del trabajo (marcar una de las siguientes casillas):
� Complemento de profundización
� Divulgación de las Matemáticas
� Docencia e innovación
� Herramientas informáticas
� Iniciación a la investigación
Materias del grado relacionadas con el trabajo: Geometría III, Geometría de Curvas y Su-
perficies, Taller de Geometría y Topología, Topología II, Ecuaciones diferenciales I y II
Descripción y resumen de contenidos :
Los matemáticos y cosmólogos se han esforzado considerablemente en investigar la forma del
universo. La geometría juega un papel fundamental en esta investigación y bajo suposiciones
básicas sobre la naturaleza del espacio, existe una relación simple entre la geometría del uni-
verso y su forma. En realidad solo hay tres posibilidades para el tipo de geometría: geometría
hiperbólica, geometría elíptica y geometría euclidiana. Estas son las geometrías que vamos a
estudiar en este TFG, las cuales constituyen la teoría de variedades de curvatura constante
y modelan las distintas variantes homogéneas de la geometría euclidiana. Históricamente,
han sido la fuente de los principales conceptos del análisis complejo, geometría diferencial,
topología y teoría de grupos.
En este trabajo se probará que estas geometrías realizan todos los tipos topológicos de
variedades bidimensionales compactas y servirán para introducir interesantes modelos de
universos tridimensionales compactos. Pretendemos estructurar el mismo en el desarrollo de
los siguientes contenidos:
Superficies euclídeas, elípticas e hiperbólicas. Teorema de Killing-Hopf.
Realización geométrica de las superficies compactas.
Sobre variedades tridimensionales llanas.
Algunos modelos de universos elípticos e hiperbólicos.
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Actividades a desarrollar :
Recopilación del material y estudio histórico del tema.
Clasificación de las superficies euclídeas.
Superficies elípticas e hiperbólicas.
Realización geométrica de las superficies compactas.
Ejemplos de 3-variedades llanas
Modelos elṕticos e hiperbólicos de 3-variedades
Objetivos matemáticos planteados
Recopilación de material y estudio histórico del tema
Realización geométrica de una superficie compacta
Algunos modelos para describir la geometría de un Universo.
Bibliografía
[1] M. P. Hitchman, Geometry with an introduction to Cosmic Topology,
(http://mphitchman.com, 2018 edition).
[2] B. Polster, G. Steinke, Geometries on surfaces, (Encyclopedia of Mathematics and
its applications, Cambridge University Press, 2001).
[3] J. Stillwell, Geometry of Surfaces, (Springer, 1992).
[4] J. R. Weeks, The Shape of the Space, (Marcel Dekker , 2002).
Firma del estudiante Firma del responsable de tutorización
(sólo para trabajos propuestos por estudiantes) (sólo para trabajos propuestos por estudiantes)
Firma del responsable de cotutorización
(sólo para trabajos propuestos por estudiantes)
En Granada, a 6 de mayo de 2022.
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	MALDONADO BULLEJOS ALVARO - 78007769A