2 bach cc ss-t2-determinantes-17-18

Vista previa del material en texto

2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMA 2.- DETERMINANTES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
- Página 1 - 
 
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA 
 
Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 
Dada una matriz cuadrada de orden 1 , A = (a), se define det A = det (a) = a 
Por ejemplo, det (–7) = – 7 
 
 
 
 
Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 
Dada una matriz cuadrada de orden 2, 
a b
A
c d
 
=  
 
, se define det A = ad – bc 
Es decir, determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el 
producto de los de la diagonal secundaria 
Por ejemplo, 
3 5
det 3.4 2.( 5) 22
2 4
− 
= − − = 
 
 
Si 
a b
A
c d
 
=  
 
, el determinante de A se puede expresar de las siguientes formas: 
det (A) ó det
a b
c d
 
 
 
 ó | A | ó 
a b
c d
 
 
 
 
 
 
Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 
 
Consideremos una matriz cuadrada A de orden 3. El determinante de A se define como sigue: 
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
31 32 33
min min
det
Tér os sumando Tér os restandoa a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
 
  = + + − − − 
 
 
������������� �������������
 
 
Para recordar cómo se calcula el determinante, se usa una regla nemotécnica llamada regla de Sarrus: 
 
Términos que van sumando Términos que van restando 
 
Por ejemplo, 
tan2 1 3
5 1 2 2( 1)5 1( 2)4 ( 5)0( 3) 4( 1)( 3) 1( 5)5 0( 2)2 15
4 0 5
Los que van sumando Los que van res do−
− − − = − + − + − − − − − − − − − =
������������� �������������
 
 
 
 
Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada 
 
Si tomamos un elemento cualquiera a
i j
 de una matriz cuadrada A, se llama menor complementario 
de dicho elemento al determinante de la matriz que queda cuando eliminamos su fila y su columna 
El menor complementario del elemento a
i j
 lo representaremos por mc(a
i j
). 
Representaremos por mc(A) a la matriz de los menores complementarios de A 
 
Se llama adjunto de un elemento de A, a
i j
 , al valor A
i j
 = (– 1)i+j. mc(a
i j
) . 
Es decir, si i + j es par se deja el mismo signo y si es impar se cambia de signo. 
 
 
 
2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMA 2.- DETERMINANTES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
- Página 2 - 
 
Matriz adjunta 
La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento de 
A por su adjunto. La matriz adjunta se representa por adj(A) ó también por �A 
 
Algunas consideraciones prácticas para hallar la matriz adjunta son: 
 
- Si A es de orden 2, entonces adj(A) se obtiene cambiándole de signo a la diagonal secundaria de la 
matriz de menores complementarios de A 
 
- Si A es de orden 3, entonces adj(A) se obtiene cambiándole de signo a los elementos de fuera de 
las diagonales de la matriz de menores complementarios de A. 
 
 
 
2.- MATRIZ INVERSA 
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa o simplemente que A es invertible si existe otra 
matriz, que representamos por A–1 , que cumple: A A–1 = I y A–1 A = I . La matriz A–1 se llama 
inversa de A. 
 
Sea A una matriz cuadrada, 
[ ]t1
Si det A 0, entonces A no es invertible
1
Si det A 0, entonces A es invertible y A . A
det(A)
−
=

 ≠ =

adj ( )
 
 
Se cumple que: 1) (At)–1 = (A–1)t. 2) (AB)–1 = B–1A–1. 3) (A– 1)–1 = A 
 
3.- ECUACIONES MATRICIALES 
Son ecuaciones donde la incógnita que tenemos que despejar es una matriz. 
Veamos algunas reglas útiles para despejar la incógnita en ecuaciones con matrices: 
 
1) ( )+ =    → + − = − ⇒ = −resto AX A B X A A B A X B A
 
 
2) ( )− = → − + = + ⇒ = +sumo AX A B X A A B A X B A
 1, 1 1 1
3) . . .=   → = ⇒ =k
divido en tre k o sea multip lico por
kX A k X A X A
k k k
1
1 1 1
1 1
(por la derecha)
4) ( . ). . .
por la
log , ( )
−
− − −
− −
= → = ⇒ =
= → = ⇒ =
multiplico por A
multiplico por A
XA B X A A B A X B A
derecha
Aná amente si XA B XA A BA X BA
1
1 1 1
1 1
por la
5) ( )
por la
log , ( )
−
− − −
− −
= → = ⇒ =
= → = ⇒ =
multiplico por A
multiplico por A
izquierda
AX B A AX A B X A B
izquierda
Aná amente si A X B A A X AB X AB
1
1 1 1
6) ( )X . ltiplicando por ( )
( ) ( )X ( ) ( )
−
− − −
+ = → + = +
+ + = + = +
Sacando factor común X
AX BX C A B C Mu A B por la izquierda
A B A B A B C X A B C