Matrices_Determinantes_SistemasLineales

Vista previa del material en texto

Matrices, determinantes
y sistemas de ecuaciones lineales
David Ariza-Ruiz
10 de octubre de 2012
1. Matrices
Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la
siguiente forma 
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 · · · amn
 = (aij) i=1,...,nj=1,...,m
donde aij es el elemento de la i-ésima fila y j-ésima columna.
A las matrices se les nombran con letras mayúsculas: A, B, C, M , N , etc.
El número de filas y de columnas recibe el nombre de dimensión u orden de la matriz, y se
designa por n×m.
Al conjunto de matrices de dimensión n×m se denota porMn×m.
Ejemplo 1.1. (
2 1 0
1 2 3
)
= A2×3
 3 √2 00 −1 1
2
π 8 0
 = B3×3.
Definición 1.2. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos
que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Es decir, dadas dos matrices A y B, se tiene
que
A = B ⇐⇒

A,B ∈Mn×m
aij = bij ∀ i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m
Ejemplo 1.3. Las matrices
A =
(
3 b c
a 1 8
)
y B =
(
d 7 4
2 e f
)
son iguales si, y sólo si, d = 3, b = 7, c = 4, a = 2, e = 1 y f = 8.
1
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
1.1. Tipos de matrices
1.1.1. Según su forma
Matriz fila: su orden es 1× n. (
a11 a12 · · · a1n
)
.
Matriz columna: su orden es m× 1. 
a11
a21
...
am1
 .
Matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas, es cada
contrario se llama rectangular.(
3 2
0 1
)  2 −1 07 −2 1
4 3 0
 .
• El conjunto formado por los elementos de la forma aii de una matriz cuadrada se
llama diagonal principal.
• El conjunto de los elementos aij con i+ j = n+ 1 de una matriz cuadrada de orden
n recibe el nombre de diagonal secundaria.(
3 4
1 5
)
.
Matriz traspuesta: Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A, y se representa
por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por columnas.
A =
(
2 3 5
7 1 4
)
su matriz traspuesta es At =
 2 73 1
5 4
 .
Matriz simétrica es aquella que cumple que es igual a su traspuesta. Es decir, A es
simétrica si, y sólo si A = At.
A =
 1 −2 3−2 5 4
3 4 6
 .
Nota: si una matriz no es cuadrada, entonces nunca será una matriz simétrica.
Matriz antisimétrica. Una matriz A es antisimétrica si At = −A.
A =
 0 2 −3−2 0 −4
3 4 0
 .
Nota: En toda matriz antisimétrica su diagonal principal esta formada por ceros.
Dpto. de Análisis Matemático —2— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
1.1.2. Según sus elementos
Matriz nula: Todos sus elementos son 0. La matriz nula se representa por 0. 0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos salvo la
diagonal principal.  1 0 00 −3 0
0 0 5
 .
Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. 3 0 00 3 0
0 0 3
 = 3
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
Matriz identidad Id. es una matriz escalar con los elementos de la diagonal igual a 1.
Id2 =
(
1 0
0 1
)
Id3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
Matriz triangular superior (inferior): es una matriz cuadrada en la que todos los elementos
por encima (por debajo) de la diagonal principal son nulos.
 2 1 50 −3 4
0 0 6


1 0 0 0
5 2 0 0
4 −1 −3 0
3 4 2 0

Matriz triangular superior Matriz triangular inferior
1.2. Operaciones con matrices
1.2.1. Suma y diferencia de matrices
Definición 1.4. La suma de dos matrices A = (aij) y B = (Bij) de la misma dimensión, es
otra matriz, representada por A+B, de la misma dimensión que los sumandos, compuesta de
a suma de las dos matrices, elemento a elemento. Es decir,
A+B =
(
aij + bij
)
.
Dpto. de Análisis Matemático —3— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Ejemplo 1.5. Sea las matrices A =
(
2 3 5
−1 −7 4
)
y B =
(
5 −2 3
−1 4 0
)
. Entonces,
A+B =
(
7 1 8
−2 −3 4
)
.
La suma de matrices posee las siguientes propiedades:
P1. Propiedad asociativa: (A+B) + C = A+ (B + C).
P2. Propiedad conmutativa: A+B = B + A.
P3. Existencia de elemento neutro: La matriz nula, A+ 0 = A.
P4. existencia de opuesto: La matriz −A, que se obtiene cambiando de signo todos los elemen-
tos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que
A+ (−A) = 0.
Definición 1.6. La diferencia de las matrices A y B se representa por A−B , y se define del
siguiente modo:
A−B := A+ (−B) =
(
aij − bij
)
.
Ejemplo 1.7. En el ejemplo anterior, tenemos que
A−B =
(
−3 5 2
0 −11 −4
)
.
Notar que la suma y la diferencia de dos matrices no está definida si sus dimensiones son
diferentes.
1.2.2. Producto de matrices por un número
Definición 1.8. El producto de una matriz A = (aij) por un número real α es otra matriz
B = (bij) de la misma dimensión que A tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando
aij por α. Así pues,
αA :=
(
α aij
)
.
Ejemplo 1.9.
3 ·
 2 51 4
−1 8
 =
 6 153 12
−3 24
 .
El producto de un número por una matriz verifica las siguientes propiedades:
P1. Primera propiedad distributiva: α (A+B) = αA+ αB.
P2. Segunda propiedad distributiva: (α + β)A = αA+ β A.
P3. Propiedad asociativa mixta: α (β A) = (αβ)A.
P4. Existencia de elemento neutro: 1 · A = A.
Dpto. de Análisis Matemático —4— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Propiedades simplificativas:
P1. A+ C = B + C es equivalente a A = B;
P2. αA = αB es equivalente a A = B si α 6= 0;
P3. αA = β A es equivalente a α = β si A 6= 0.
1.2.3. Producto de dos matrices
Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera coincide con el
número de filas de la segunda matriz.
Definición 1.10. El producto de la matriz Am×n = (aij) por la matriz Bn×q = (bjk) es otra
matriz Cm×p = (cik) tal que cada elemento cik se obtiene multiplicando escalarmente la fila i
de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz.
Matemáticamente,
cik :=
n∑
h=1
aih · bhk.
Ejemplo 1.11.
a)
(
2 3
1 5
)(
2 5 1
3 7 8
)
=
(
13 31 26
17 40 41
)
.
b)
(
5 −3 1
4 2 −8
) −2 −3 51 7 0
4 2 8
 = ( −9 −34 17−38 −14 84
)
.
El producto de matrices verifican las siguientes propiedades:
P1. Propiedad asociativa: Am×n (Bn×pCp×q) = (Am×nBn×p)Cp×q.
P2. El producto de matrices en general no es conmutativo, es decir AB 6= BA.(
1 2
3 4
)(
1 1
5 3
)
=
(
11 7
23 15
)
∦(
1 1
5 3
)(
1 2
3 4
)
=
(
4 6
14 22
)
P3. Existencia de elemento neutro: La matriz identidad Id. Para cualquier matriz cuadrada A
de orden n, se tiene que
A · Idn = Idn · A = A.
P4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que
AB = BA = Idn.
Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A−1.
(véase la siguiente subsección).
Dpto. de Análisis Matemático —5— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
P5. El producto de matrices es distributivo con respecto de la suma de matrices, es decir,
A (B + C) = AB + AC.
Para no equivocarse:
AB = 0 no implica necesariamente que A = 0 o B = 0.
AB = AC no implica necesariamente que B = C.
(A±B)2 no es necesariamente igual a A2 +B2 ± 2AB.
(A+B)(A−B) no es necesariamente igual a A2 −B2.
1.2.4. Matriz inversa
La matriz inversa solo existe para algunas matrices cuadradas, no para todas (véase el
teorema 2.10).
Definición 1.12. Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B del mismo
orden n tal que
AB = BA = Idn,
se dice que B es la matriz inversa de A, y se designa por A−1.
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es regular o inversible y si no tiene
inversa se llama singular.
1.3. Rango de una matriz
Recordemos que el conjunto {~v1, ~v2, . . . , ~vk} es linealmente independiente si
λ1 ~v1 + λ2 ~v2 + · · ·+ λk ~vk = 0
implica que λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.
Definición 1.13. Dada una matriz A ∈ Mn×m, se define el rango de A como el número de
filas (o de columnas) linealmente independientes. El rango de A se denotará por rg(A).
Proposición 1.14. Si A es una matriz de orden m× n no nula se cumple que:
1 ≤ rg(A) ≤mı́n{m,n}.
1.3.1. Cálculo del rango por Gauss
En el cálculo del rango de una matriz:
a) Se pueden suprimir sin que varíe el rango:
las filas (o columnas) nulas.
las filas (o columnas) proporcionales a otras.
las filas (o columnas) dependientes de otras.
Dpto. de Análisis Matemático —6— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
b) Se pueden realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango:
Regla 1. Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.
Regla 2. Sumar o restar una fila (o columna) a otra.
Aplicando estos procesos se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas
(o columnas) linealmente independientes.
Dada la matriz
A =

∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗

donde los asteriscos ∗ denotan números cualesquiera, si al aplicar el método de Gauss llegamos
a
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 ∗ ∗
 entonces rg(A) = 4.
 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 ∗ ∗ ∗
 entonces rg(A) = 3.
(
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗
)
entonces rg(A) = 2.
(
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
)
entonces rg(A) = 1.
Ejemplo 1.15.
A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 F ′2=F2−F1−−−−−−→
F ′3=F3−F2
 1 2 33 3 3
3 3 3
 F ′3=F3−F2−−−−−−→
 1 2 33 3 3
0 0 0
 −→
−→
(
1 2 3
3 3 3
)
F ′2=F2−3F1−−−−−−−→
(
1 2 3
0 −3 −6
)
Entonces, rg(A) = 2.
Ejemplo 1.16.
B =

2 5 1
3 7 4
2 1 0
0 −2 1
 F ′2=F2− 32F1−−−−−−−→F ′3=F3−F1

2 5 1
0 −1
2
5
2
0 −4 −1
0 −2 1
 F ′3=F3−8F2−−−−−−−→F ′4=F4−4F2

2 5 1
0 −1
2
5
2
0 0 −21
0 0 9
 −→
F ′4=F4−
9
21
F3−−−−−−−→

2 5 1
0 −1
2
5
2
0 0 −21
0 0 0
 −→
 2 5 10 −1
2
5
2
0 0 −21

Entonces, rg(B) = 3.
Dpto. de Análisis Matemático —7— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Ejemplo 1.17.
C =

1 0 2 −1
2 1 0 3
5 1 6 0
4 1 4 1
3 0 6 −3

F ′2=F2−2F1
F ′3=F3−5F1−−−−−−−→
F ′4=F4−F1
F ′5=F5−3F1

1 0 2 −1
0 1 −4 5
0 1 −4 5
0 1 −4 5
0 0 0 0
 F
′
3=F3−F2−−−−−−→
F ′4=F4−F2

1 0 2 −1
0 1 −4 5
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 −→
−→
(
1 0 2 −1
0 1 −4 5
)
Entonces, rg(B) = 2.
2. Determinantes
Un determinante es un número que está asociado a una matriz cuadrada. El determinante
de una matriz A ∈Mn se denota por |A| o por det(A).
2.1. Tipos de determinantes
2.1.1. Determinantes de orden 2
Dada la matriz cuadrada de segundo orden
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
se llama determinante de A al número real
det(A) = |A| :=
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21.
2.1.2. Determinantes de orden 3
Dada la matriz cuadrada de tercer orden
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

se llama determinante de A al número real
det(A) = |A| :=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11 · a22 · a33 + a23 · a12 · a31 + a21 · a32 · a13
− a31 · a22 · a13 − a21 · a12 · a33 − a23 · a32 · a11.
Es fácil recordar el desarrollo del determinante de orden 3 mediante la regla de Sarrus:
Dpto. de Análisis Matemático —8— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Otra forma, es usando la siguiente regla
Versión vertical Versión horizontal
2.2. Propiedades
P1. det(A) = det(At) para todo A ∈Mn.
P2. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) de ceros, entonces su determinante es
igual a 0. Por ejemplo,
det(0, F2, F3) = 0.
P3. Si se permuta dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo. Por ejemplo,
det(F1, F2, F3) = − det(F2, F1, F3).
P4. Si la matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces su determinante es
cero. Por ejemplo,
det(F1, F1, F3) = 0.
P5. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada se descomponen
en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que
tienen en esa fila (o columna) el primero y el segundo sumandos, respectivamente, y en
las demás los mismos elementos que el determinante inicial. Por ejemplo,
det(F1 + F
′
1, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F
′
1, F2, F3).
P6. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada por
un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Por ejemplo,
det(αF1, F2, F3) = α det(F1, F2, F3)
Dpto. de Análisis Matemático —9— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
P7. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, entonces el determinante es cero. Por ejemplo,
det(F1, α F1, F3) = 0.
P8. det(A ·B) = det(A) · det(B) para todo A,B ∈Mn.
P9. Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de las demás, su determinante
no varía. Por ejemplo,
det(F1 + αF2 + β F3, F2, F3) = det(F1, F2, F3).
P10. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las demás, entonces el determinante es
cero. Por ejemplo,
det(F1, F2, α F1 + β F2) = 0.
Ejemplo 2.1. ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
[
Hacemos
F ′2 = F2 − F1
F ′3 = F3 − F1
]
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
4 4 4 4
8 8 8 8
13 14 15 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
pues tiene dos filas (la segunda y la tercera) proporcionales.
2.3. Cálculo de determinantes de orden cualquiera
2.3.1. Menor complementario
Dada la matriz A = (aij) ∈Mn×m, el menor complementario de un elemento aij, denotado
por Mij, es el determinante de la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila i y la
columna j.
Ejemplo 2.2. Sea
A =
 2 3 57 1 4
2 −3 8
 .
El menor complementario de a12 es M12 =
∣∣∣∣7 42 8
∣∣∣∣ = 48.
2.3.2. Adjunto
Definición 2.3. Dada la matriz A = (aij) ∈ Mn×m, el adjunto de un elemento aij se define
como el siguiente número real
∆ij := (−1)i+j ·Mij.
El signo (−1)i+j en la definición anterior se suele recordar mediante la regla:
+ − + − · · ·
− + − + · · ·
+ − + − · · ·
− + − + · · ·
...
...
...
... . . .
 .
Dpto. de Análisis Matemático —10— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
2.3.3. Determinante por recurrencia
Teorema 2.4. El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de
una fila (o columna) cualquiera multiplicada por sus adjuntos correspondientes.
Por ejemplo, si desarrollamos por la i-ésima fila,
|A| = ai1 ·∆i1 + ai2 ·∆i2 + · · ·+ ain ·∆in.
Se puede demostrar que el valor del determinante es independiente de la fila o columna elegida
para su desarrollo.
Ejemplo 2.5.∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1 2
−1 1 2 −1
1 3 2 2
2 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
3 2 2
−1 0 1
∣∣∣∣∣∣− 0 ·
∣∣∣∣∣∣
−1 2 −1
1 2 2
2 0 1
∣∣∣∣∣∣+ 1 ·
∣∣∣∣∣∣
−1 1 −1
1 3 2
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣− 2 ·
∣∣∣∣∣∣
−1 1 2
1 3 2
−1 −1 0
∣∣∣∣∣∣ =
= 1 · (−10) + 1 · 5− 2 · (−12) = 19.
Para que resulte más fácil desarrollar un determinante de orden ≥ 4, podemos usar las
propiedades de los determinantes y hacer ceros en una fila (o columna).
Ejemplo 2.6.∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1 2
−1 1 2 −1
1 3 2 2
2 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
[
Hacemos
C′3 = C3 − C1
C′4 = C4 − 2C1
]
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
−1 1 3 1
1 3 1 0
2 −1 2 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = +1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 3 1
3 1 0
−1 −2 −3
∣∣∣∣∣∣ = 19.
Ejemplo 2.7.∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 1
−1 2 1 0
2 1 3 0
3 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
[
Hacemos
C′2 = C2 + C1
C′4 = C4 − C1
]
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
−1 1 1 1
2 3 3 −2
3 3 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = +1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
3 3 −2
3 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = −15.
2.4. Cálculo del rango usando determinantes
Si A es cualquier matriz, entonces una submatriz de A es cualquier matriz S obtenida al
eleminar de A algunas de sus filas y columnas. Por ejemplo, la matriz Aij obtenida al suprimir la
i-ésima fila y la j-ésima columna es una submatriz de A. Nótese que aunque A no sea cuadrada
contiene una gran cantidad de submatrices que sí lo són y a las que tiene por tanto sentido
calcularles su determinante.
Teorema 2.8. El rango de una matriz cualquiera A coincide con el orde más grande que tengan
las submatrices cuadradas de A con determinante no nulo.
Concretamente, el resultado anterior nos dice que rg(A) = k si y sólo si:
(a) Existe una submatriz S de A de orden k con |S| 6= 0,
Dpto. de Análisis Matemático —11— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
(b) Si S ′ es cualquier submatriz cuadrada de A de orden mayor que k, entonces |S ′| = 0.
Como consecuencia del resultado anterior,tenemos que una matriz cuadrada de orden n tiene
rango n si, y sólo si, el determinante de A es distinto de cero. Es decir,
dada A ∈Mn, tenemos que rg(A) = n⇐⇒ |A| 6= 0.
Ejemplo 2.9. Calcular el rango de la siguiente matriz
A =
 −1 2 1 34 −5 −1 0
2 −1 1 0
 .
Notar que A ∈M3×4. Luego, 0 ≤ rg(A) ≤ mı́n{3, 4} = 3. Como −1 6= 0, rg(A) ≥ 1. Como∣∣∣∣−1 24 −5
∣∣∣∣ = 5− 8 = −3 6= 0, entonces rg(A) ≥ 2.
Observar que ∣∣∣∣∣∣
−1 2 1
4 −5 −1
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = (5− 4− 4)− (−10− 1 + 8) = 0
y sin embargo ∣∣∣∣∣∣
−1 2 3
4 −5 0
2 −1 0
∣∣∣∣∣∣ = −12 + 30 = 18 6= 0.
Por tanto, rg(A) = 3.
2.5. Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
Teorema 2.10. Una matriz cuadrada tiene inversa si, y sólo si, su determinante es distinto de
cero.
A continuación mostraremos un método para hallar la matriz inversa de una matriz regular.
Para ello, necesitamos el siguiente concepto.
Definición 2.11. Sea A = (aij) ∈ Mn. Se llama matriz adjunta de A, y se denota por
Adj(A), a la matriz que se obtiene de sustituir cada elemento aij por su adjunto ∆ij. (véase la
definición 2.3)
Ejemplo 2.12. Dada la matriz A =
 2 −2 22 1 0
3 −2 2
 , los adjuntos de cada elemento son
∆11 = 2 ∆12 = −4 ∆13 = −7
∆21 = 0 ∆22 = −2 ∆23 = −2
∆31 = −2 ∆32 = 4 ∆33 = 6
Así pues, su matriz adjunta es
Adj(A) =
 ∆11 ∆12 ∆13∆21 ∆22 ∆23
∆31 ∆32 ∆33
 =
 2 −4 −70 −2 −2
−2 4 6
 .
Dpto. de Análisis Matemático —12— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Teorema 2.13. La matriz inversa de una matriz regular es igual a la matriz traspuesta de su
adjunta dividida por el determinante de la matriz dada. Es decir, si A ∈Mn es una matriz con
|A| 6= 0, entonces
A−1 =
1
|A|
Adj(A)t.
Ejemplo 2.14. Sea A la matriz del ejemplo anterior. Como |A| = −2 y
Adj(A)t =
 2 0 −2−4 −2 4
−7 −2 6
 ,
entonces
A−1 = −1
2
 2 0 −2−4 −2 4
−7 −2 6
 =
 −1 0 10 1 −2
7
2
1 −3
 .
Conviene observar que:
El primer paso para hallar la inversa de una matriz es calcular su determinante.
Si el determinante es cero, s termina el proceso: la matriz no tiene inversa.
3. Sistemas de ecuaciones lineales
3.1. Definición
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo:
(S)

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3
...
...
...
...
...
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · ·+ amn xn = bm
donde
aij son números reales dados, se llaman coeficientes del sistema.
b1, b2, b3, . . . , bm son números reales, y reciben el nombre de términos independientes.
x1, x2, x3, . . . , xn son las incógnitas del sistema.
Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo.
Definición 3.1. La solución del sistema (S) es un conjunto ordenado de números reales
(s1, s2, s3, . . . , sn) tales que, al sustituir las incógnita x1 por s1, x2 por s2, x3 por s3, . . . ,
xn por sn, se satisfacen a la vez las m ecuaciones.
Podemos clasificar los sistemas lineales según la existencia de soluciones:
Dpto. de Análisis Matemático —13— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Sistema compatible (S.C.): tiene al menos una solución.
• S.C. Determinado: tiene una´única solución.
• S.C. Indeterminado: tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible (S.I.): no tiene ninguna solución.
Sistema Lineal

Compatible

Determinado.
Indeterminado.
Incompatible.
3.2. Forma matricial de un sistema lineal
El sistema (S) se puede escribir en la siguiente forma matricial
AX = B,
donde
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn
 es la matriz asociada al sistema,
B =

b1
b2
b3
...
bm
 es la matriz columna de los términos independientes,
X =

x1
x2
x3
...
xn
 es la matriz columna formada por las incógnitas.
La matriz ampliada A∗ del sistema (S) es de orden m × (n + 1) y se obtiene a partir de la
matriz A, añadiéndole la columna formada por los términos independientes B, es decir,
A∗ :=
(
A |B
)
=

a11 a12 a13 · · · a1n b1
a21 a22 a23 · · · a2n b2
a31 a32 a33 · · · a3n b3
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn bm
 .
Dpto. de Análisis Matemático —14— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
3.3. Sistemas equivalentes
Definición 3.2. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas
soluciones.
Observar que si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismo
número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan igual número de ecuaciones.
Teorema 3.3 (Transformaciones de Gauss). Las siguientes transformaciones dan lugar a otro
sistema equivalente:
Cambiar de orden las ecuaciones o las incógnitas;
Multiplicar los dos miembros de una misma ecuación por un número distinto de cero;
Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras ecuaciones del sistema;
Sustituir una ecuación por la suma de ella y una combinación lineal de las restantes.
Una regla práctica:
Antes de resolver un sistema conviene eliminar las ecuaciones dependientes, como:
— Ecuaciones nulas.
— Ecuaciones iguales.
— Ecuaciones proporcionales.
3.4. Método de Gauss
Consiste en trasformar un sistema en otro equivalente que sea escalonado usando para ello
las trasformaciones de Gauss.
Dado la matriz ampliada de un sistema
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗

pretendemos obtener una matriz equivalente con la siguiente forma
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 ∗ ∗
 .
Pueden ocurrir tres casos:
Dpto. de Análisis Matemático —15— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Caso 1. Sistema compatible determinado:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 � �
 ,
siendo �,� números distintos a cero.
Caso 2. Sistema compatible indeterminado:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 � � �
0 0 0 0 0
 ,
siendo �,�,� números distintos a cero.
Caso 3. Sistema incompatible: 
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 �
 ,
siendo � un número distinto a cero.
Ejemplo 3.4. Sea
(S)

x− y − 2z = −1
2x− 3y + 4z = 4
5x− y + 3z = 16
Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema. 1 −1 −2 −12 −3 4 4
5 −1 3 16
 F ′2=F2−2F1−−−−−−−→
F ′3=F3−5F1
 1 −1 −2 −10 −1 8 6
0 4 13 21
 F ′3=F3+4F2−−−−−−−→
 1 −1 −2 −10 −1 8 6
0 0 45 45

Obtenemos el siguiente sistema equivalente a (S):
x− y − 2z = −1 (1)
−y + 8z = 6 (2)
45z = 45 (3)
De (3), obtenemos que z = 1. Sustituyendo en (2)
−y + 8 = 6⇐⇒ y = 2.
Finalmente, sustituyendo ambos valores en (1), tenemos que
x− 2− 2 = −1⇐⇒ x = 3.
Por tanto, (S) es un sistema compatible determinado cuya única solución es x = 3, y = 2 y
z = 1.
Dpto. de Análisis Matemático —16— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Ejemplo 3.5. Sea
(S)

x− y + 3z = 4
2x− y − z = 6
3x− 2y + 2z = 10
Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema. 1 −1 3 42 −1 −1 6
3 −2 2 10
 F ′2=F2−2F1−−−−−−−→
F ′3=F3−3F1
 1 −1 3 40 1 −7 −2
0 1 −7 −2
 F ′3=F3−F2−−−−−−→
 1 −1 3 40 1 −7 −2
0 0 0 0

Obtenemos el siguiente sistema equivalente a (S):{
x− y + 3z = 4 (1)
−7y − 2z = −2 (2)
el cual es un sistema compatible indeterminado. Calculemos su solución general. Para ello, sea
λ ∈ R. Tomando z = λ, de (2), obtenemos que
y − 7λ = −2⇐⇒ y = −2 + 7λ.
Sustituyendo ambos valores en (1), tenemos que
x− (−2 + 7λ) + 3λ = 4⇐⇒ x = 2 + 4λ.
Por tanto, (S) es un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene dada por
la siguiente expresión 
x = 2 + 4λ,
y = −2 + 7λ, con λ ∈ R
z = λ.
Ejemplo 3.6. Sea
(S)

2x− y + 3z = 6
4x− 2y + 6z = 9
x− y + z = 3
Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema. 2 −1 3 64 −2 6 9
1 −1 1 3
 F1↔F3−−−−→
 1 −1 1 34 −2 6 9
2 −1 3 6
 F ′2=F2−4F1−−−−−−−→
F ′3=F3−2F1
 1 −1 1 30 2 2 −3
0 1 1 3
→
F ′3=2F3−F2−−−−−−−→
 1 −1 1 30 2 2 −3
0 0 0 3

Se trata de una matriz ampliadaasociada a un sistema incompatible. Por tanto, el sistema (S)
es incompatible (no tiene solución).
Dpto. de Análisis Matemático —17— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
3.5. Teorema de Rouché-Fröbenius
Teorema 3.7 (Teorema de Rouché-Fröbenius). Un sistema de ecuaciones lineales es compatible
si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con
la columna de los términos independientes. Es decir,
(S) es compatible ⇐⇒ rg(A) = rg(A∗).
En un sistema con n incógnitas, se tiene que
rg(A) = rg(A∗) = r

r = n⇒ Sistema compatible determinado.
r < n⇒ Sistema compatible indeterminado.
rg(A) 6= rg(A∗)⇒ Sistema incompatible.
3.6. Regla de Cramer
Definición 3.8. Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple las
siguientes dos condiciones:
C1. Tiene n ecuaciones y n incógnitas.
C2. El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
Observar que un sistema de Cramer es por definición compatible determinado, ya que
rg(A) = rg(A∗) = n.
Teorema 3.9. En un sistema de Cramer, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el
determinante asociado a dicha incógnita por el determinante del sistema. Es decir,
x1 =
det(B,C2, C3, . . . , Cn)
det(C1, C2, C3, . . . , Cn)
x2 =
det(C1, B, C3, . . . , Cn)
det(C1, C2, C3, . . . , Cn)
x3 =
det(C1, C2, B, . . . , Cn)
det(C1, C2, C3, . . . , Cn)
...
xn =
det(C1, C2, C3, . . . , B)
det(C1, C2, C3, . . . , Cn)
Ejemplo 3.10. Sea
(S)

2x+ y + 3z = 7
x+ 6z = 4
3x− 2y + z = 2
Dpto. de Análisis Matemático —18— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz
Como el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y
|A| =
∣∣∣∣∣∣
2 1 3
1 0 6
3 −2 1
∣∣∣∣∣∣ = 4 6= 0,
obtenemos que (S) es un sistema de Cramer. Aplicando la regla de Cramer, deducimos que
x =
∣∣∣∣∣∣
7 1 3
4 0 6
2 −2 1
∣∣∣∣∣∣
4
=
4
4
= 1, y =
∣∣∣∣∣∣
2 7 3
1 4 6
3 2 1
∣∣∣∣∣∣
4
=
8
4
= 2,
z =
∣∣∣∣∣∣
2 1 7
1 0 4
3 −2 2
∣∣∣∣∣∣
4
=
12
4
= 3.
Por tanto, la solución del sistema (S) es x = 1, y = 2 y z = 3.
Dpto. de Análisis Matemático —19— Curso 2012/13
	Matrices
	Tipos de matrices
	Según su forma
	Según sus elementos
	Operaciones con matrices
	Suma y diferencia de matrices
	Producto de matrices por un número
	Producto de dos matrices
	Matriz inversa
	Rango de una matriz
	Cálculo del rango por Gauss
	Determinantes
	Tipos de determinantes
	Determinantes de orden 2
	Determinantes de orden 3
	Propiedades
	Cálculo de determinantes de orden cualquiera
	Menor complementario
	Adjunto
	Determinante por recurrencia
	Cálculo del rango usando determinantes
	Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
	Sistemas de ecuaciones lineales
	Definición
	Forma matricial de un sistema lineal
	Sistemas equivalentes
	Método de Gauss
	Teorema de Rouché-Fröbenius
	Regla de Cramer